映射概念的教学研究

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  【摘 要】集合论是现代数学的基础,集合概念是很抽象的,映射概念是研究集合的有力工具和重要的方法。本文用較通俗的方法介绍了映射﹑满射﹑单射﹑恒等映射、常值映射、一一映射﹑复合映射﹑逆映射等概念,给中学数学师生提供参考。
  【关键词】映射;满射与单身;一一映射;恒等映射与常值映射;复合映射与逆映射
  【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437(2019)10-0178-02
  在我国高中数学教科书中关于映射的概念介绍的很少。下面将用较通俗的方法介绍映射﹑满射﹑单身﹑恒等映射、常值映射、一一映射﹑复合映射﹑逆映射等概念,给中学数学师生提供参考。
  1 映射的概念
  定义1 设A﹑B是两个集合,若存在某种对应法则,使得A中的每一个元素,都与集合B中的唯一的元素b相对应,则叫做从集合A到集合B的映射[1]。记作:A→B(或AB)。若集合A的元素,在下映射到集合B的元素b,b就叫做在映射下的象。记作。而把集合A中所有以b为象的元素构成的集合{|,},叫做元素b的原象。记作,即={|,},显然它是集合A的子集。
  集合A叫做映射的定义域,集合A的所有元素的象构成的集合,叫做映射的值域。记作,即=。
  由映射定义,可理解为下述三点。
  (1)集合A中每一个元素必有唯一的象;
  (2)对于集合A中的不同元素,在集合B中可以有相同的象;
  (3)允许集合B中元素没有原象。
  2 恒等映射与映射相等
  2.1 恒等映射
  定义2 设:A→B是映射,当B=A时,则叫做从A到A的映射,即是由A到其自身的映射,可简称映射是集合A上的映射[2]。记作:A→A。
  例1 设A={1,2,3},是A上的整除关系,即={(1,1),(2,2),(3,3)},(1整除1,2整除2,3整除3),则是集合A上的映射,如图1。
  定义3 设是集合A上的映射,当时,则称为集合A上的恒等(同)映射,即恒等映射对每个元素来说其象均与原象相同。
  2.2 映射相等
  定义4 设与是集合A到集合B的映射,两个映射与被称为相等的,就是映射与的定义域相等,是指对于A中的任一个元素,其对应的象均相等,
  即:
  3 满射与单射
  3.1 满射
  定义5 设:A→B是集合A到集合B的射射,若成立,则称为集合A到集合B的满(全)
  射[3]。即集合B中的每一个元素都至少是集合A中的某一元素的象。
  例2 判断下列两个映射是否满射?
  答:图2是满射,图3不是满射。
  3.2 单射
  定义6 设:A→B是集合A到集合B的映射,对于集合A中任意两个元素,当时,都有,则称为集合A到集合B的单射(单一映射)。即集合A中的不同元素在集合B中的象也
  不同。
  4 一一映射(双射)与常值映射
  4.1 一一映射(双射)
  定义7 设A﹑B是集合,:A→B是集合A到集合B的映射,如果既是单射又是满射,则称为集合A到集合B的一一映射(或称双射)。
  一一映射必须满足如下三个条件:
  (1)集合A中的每一个元素,都能在集合B中找到一个确定的元素b,作为它的象。即象是唯一的。
  (2)集合A中不同的元素,在集合B中有不同的象,也就是若,则必有。即集合B中的每一个元素的原象也是唯一的。
  (3)集合B中任意一个元素b,都在集合A中有原象,即原象必须是存在。
  小结:映射、单射、满射、一一映射四者的从属关系。如果把它们分别看作集合,那么四者的从属关系:
  4.2 常值映射
  定义8 设A﹑B是集合,:A→B是集合A到集合B的映射。若对于一切,都有,而是B中的一个固定的元素,即单元素集),则称映射为常值映射。如设,,作映射
  则映射是一个常值映射。因为对于一切,都有。
  5 复合映射与逆映射
  5.1 复合映射
  定义9 设A、B、C是集合,:A→B是集合A到集合B的映射,:B→C是集合B到集合C的映射。对于A中的任何一个元素,在映射下,在B中有一个元素与对应,即→;在映射下,在C中有一个元素与b对应,即→,从而对A中的每一个元素,在C中有与相对应,即,这样就得到了一个从集合A到集合C的映射,称映射为映射与映射的复合映射(或映射是映射与映射的积)。记作
  或
  5.2 逆映射
  定义10 设A、B是集合,:A→B是集合A到集合B的一一映射,对于每一个,有唯一的,使得。我们规定为B到A上的映射:,则称为映射的逆映射。
  定理11 设A、B是集合,:A→B是集合A到集合B的一一映射,则映射的逆映射是B→A上的一一映射。
  【参考文献】
  [1]韩殿发.集合[M],哈尔滨:黑龙江科学技术出版社,1984.
  [2]李大友.离散数学[M],北京:清华大学出版社,2001.
  [3]中华人民共和国教育部制定.北京:普通高中数学课程标准[M],人民教育出版社,2018.
  【作者简介】
  优丽吐孜·阿力木(1991~),女,维吾尔族,西南大学数学与统计学院数学教育专业硕士研究生,导师为宋乃庆教授,主要从事数学教育研究。
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