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摘要：本文将产业作为网络中的节点，利用产业与产业之间的投入产出关系将产业之间的联系看作是网路中的边，基于复杂网络理论，并借用平均最短距离、平均簇系数、度分布、度-度相关性、介数中心性等概念对产业结构网络结构进行分析。研究表明，该网络具有小的平均最短距离和较大的簇系数，是一个小世界网络。
关键词：复杂网路；投入产出；度分布
一、引言
系统是由相互作用和依赖的若干组成部分结合的具有特定功能的有机整体[1]。而网络是由节点以及节点之间的连线组成的，将真实系统中的元素看成网络中的节点，元素之间的数量关系看成网络中的边，用这种方式构建的网络可以用来描述各类真实系统。近年来，复杂网络作为大量真实复杂系统的高度抽象[2]，成为学者们研究的热点，很多国际一流的期刊都陆续刊发了许多有关复杂网络的论文，研究范围包括：电力网络、病毒传播网络、神经网络、演员合作网络、交通网络等，而对产业结构进行研究的论文还较少。
经济的发展与其产业结构有重要的关联。产业结构转型是地区经济快速增长的核心驱动力[3]。而优化高效的产业网络是经济社会全面发展的必要条件[4]。本文以我国产业结构为研究对象，将其抽象为由产业和产业关联所组成的复杂网络，产业作为网络中的节点，产业间的联系视为网络中的边，以此建立起产业结构的网络模型，计算网络的统计特征，研究网络的复杂性，希望能为中国产业结构的优化发展提供决策依据。
二、方法和数据来源
中国的产业结构网络由42个产业（即节点）组成，数据来自中国2012年的投入产出表。对数据说明如下：
第一，不考虑本产业之间的中间投入，这样可以避免建立一个自环的网络。
第二，引入消耗系数并作无向化处理。计算过程如下：
第一步：计算直接消耗系数。
aij=xij/xj（i，j=1，2，……n）（2-1）
其中，aij为j产业生产时所消耗i产业投入的系数，xij为i产业对j产业的中间投入，xj为j产业的产出。
第二步：无向化处理。
rij=aij+aji2（2-2）
在本文中设a为消耗系数的临界值，然后对所有的rij取均值即得到a。如果rij≥a则认为这两个部门之间有联系，即两点之间有边。本文计算出的a值为4.324×10-3，即当rij≥4.324×10-3时，i和j之间有边存在，经计算网络中的边数为1936条。
三、网络相关统计指标
（一）平均最短距离
平均最短距离描述了网络中各个节点的分离称度。在产业结构网络中，两个产业之间最少的边数即为两节点之间的最短距离。因此，网络的平均最短距离可定义为所有节点最短距离的平均数。计算如下：
L=2N（N-1）∑i>jdij（3-1）
其中，N=42是网络的节点数，dij为节点i与节点j之间的最短距离，计算的中国产业结构网络的平均最短距离为1.372。
（二）平均簇系数
簇系数是用来衡量网络节点聚类称度的参数，节点i的簇系数计算如下：
Ci=1Ki（Ki-1）∑Nj，k=1bijbjkbki（3-2）
其中ki为节点i的度，bij为邻接矩阵元，当节点i，j相邻时其值为1，否则为0。
因此，整个网络的簇系数为：
C=1N∑Ni=1Ci（3-3）
计算可得中国产业结构网络的簇系数为0.533，具有一定的聚集性。
（三）度及其分布
与节点连接的边的数量称为节点的度，而网络的度是网络中所有节点的度的平均值。节点的度越大代表节点的影响力越大，在网络中的地位越重要，反之亦然。度分布用分布函数P（k）表示，可定义为在网络选择一个节点其度值为k的概率，也等于网络中度值为k的节点的个数与网络节点总数比值。根据数据可以算的中国产业结构网络的平均度为23.4，即每个产业平均与23个产业相连。
（四）度-度相关性
度-度相关性指的是节点之间相互选择的偏好，节点i的所有邻近节点的平均度可记为：
Knn，i=1Ki∑kij=1Kij（3-4）
其中，Kij是i的Ki个邻近节点的度，j=1，2，……，ki。度为k的所有节点的邻近点的平均度，公式如下：
Km（k）=1Nk∑iki=1Km，vi（3-5）
其中，度为k的节点表示为v1，v2，……，vi，Nk是指网络中度为k的所有节点的个数。
通过计算我们就可以知道网络的相关性，当Km（k）随着k的增加而增加，随着k的减小而减小，即可判断网络是正相关的，反之如果Km（k）随着k的增加而减小，随着k的减小而增加，即可判断网络是负相关的。运用Newman给出的计算方法可计算出网络节点度的Pearson相关系数r[5]。公式如下：
r（g）=M-1∑ijiki-[M-1∑i12（ji+ki）]2M-1∑i12（ji+ki）-[M-1∑i12（ji+ki）]2（3-6）
式中，M为观察到的网络中的连线的数目，jk，ik是第i条连线两端的节点度数且i=1，2，……，M，-1≤r≤1。
根据公式计算出的中国产业结构网络的相关系数r=0.628，度度之间表现为正相关性，说明度小的节点优先连接度大的节点。
（五）介数中心性
介数中心性是以经过某个节点的最短路径的个数来刻画节点重要性的，简称介数（BC），具体地，节点i的介数可定义为：
BCi=∑s≠i≠tnistgst（3-7）
其中，gst为从节点s到节点t的最短路径的数目，nist为从节点s到节点t的gst条最短路径中经过节点i的最短路径的数目。计算可得，中国产业结构网络中各节点的点介数分布前十的产业如下：
表节点介数排名前十的产业
序号产业节点介数
1化学工业0.24836
2金属冶炼及压延加工业0.14637
3电力及蒸汽、热水生产和供应业0.11293
4农业0.08534
5商业0.07246
6货运邮电业0.06582
7石油和天热气开采业0.06191
8机械工业0.04237
9电子及通信设备制造业0.03183
10食品制造业0.03012
节点介数的大小反映了该产业在网络中的影响力，因此如果将表中的某个或某几个产业乃至全部的产业从网络中去除将会极大的影响网络的运行。
四、结论
本文借助复杂网络理论对中国产业结构网络性质做了初步的研究，得出中国产业结构网络是一个小世界网络，具有小的平均最短路径和较大的聚集系数，度-度表现出正的相关性，说明度小的节点倾向于与大的节点连接。对于复杂网络所涉及到的更为复杂的研究方面包括：边的方向及边权、点权对网络性质的影响等在本文中没有做深入的研究。（作者单位：兰州交通大学经济管理学院）
参考文献：
[1]钱学森，许国志，王涛云.论系统工程[M].长沙：湖南科学技术出版社，1988：7-12.
[2]周涛，柏文洁，汪秉宏等.复杂网络研究概述[J]，物理，2005，34（1）：31-36.
[3]Sachsa J D，Woob W T.Understanding China’s economic performance[J].The Journal of Policy Reform.2001，4（1）：1-50.
[4]邱灵，方创琳.城市产业结构优化的纵向测度与横向诊断模型及应用—以北京市为例[J].地理研究，2010，29（2）：327-337.
[5]汪小帆，李翔，陈关荣.网络科学导论[M].北京：高等教育出版社，2012：91-112.
关键词：复杂网路；投入产出；度分布
一、引言
系统是由相互作用和依赖的若干组成部分结合的具有特定功能的有机整体[1]。而网络是由节点以及节点之间的连线组成的，将真实系统中的元素看成网络中的节点，元素之间的数量关系看成网络中的边，用这种方式构建的网络可以用来描述各类真实系统。近年来，复杂网络作为大量真实复杂系统的高度抽象[2]，成为学者们研究的热点，很多国际一流的期刊都陆续刊发了许多有关复杂网络的论文，研究范围包括：电力网络、病毒传播网络、神经网络、演员合作网络、交通网络等，而对产业结构进行研究的论文还较少。
经济的发展与其产业结构有重要的关联。产业结构转型是地区经济快速增长的核心驱动力[3]。而优化高效的产业网络是经济社会全面发展的必要条件[4]。本文以我国产业结构为研究对象，将其抽象为由产业和产业关联所组成的复杂网络，产业作为网络中的节点，产业间的联系视为网络中的边，以此建立起产业结构的网络模型，计算网络的统计特征，研究网络的复杂性，希望能为中国产业结构的优化发展提供决策依据。
二、方法和数据来源
中国的产业结构网络由42个产业（即节点）组成，数据来自中国2012年的投入产出表。对数据说明如下：
第一，不考虑本产业之间的中间投入，这样可以避免建立一个自环的网络。
第二，引入消耗系数并作无向化处理。计算过程如下：
第一步：计算直接消耗系数。
aij=xij/xj（i，j=1，2，……n）（2-1）
其中，aij为j产业生产时所消耗i产业投入的系数，xij为i产业对j产业的中间投入，xj为j产业的产出。
第二步：无向化处理。
rij=aij+aji2（2-2）
在本文中设a为消耗系数的临界值，然后对所有的rij取均值即得到a。如果rij≥a则认为这两个部门之间有联系，即两点之间有边。本文计算出的a值为4.324×10-3，即当rij≥4.324×10-3时，i和j之间有边存在，经计算网络中的边数为1936条。
三、网络相关统计指标
（一）平均最短距离
平均最短距离描述了网络中各个节点的分离称度。在产业结构网络中，两个产业之间最少的边数即为两节点之间的最短距离。因此，网络的平均最短距离可定义为所有节点最短距离的平均数。计算如下：
L=2N（N-1）∑i>jdij（3-1）
其中，N=42是网络的节点数，dij为节点i与节点j之间的最短距离，计算的中国产业结构网络的平均最短距离为1.372。
（二）平均簇系数
簇系数是用来衡量网络节点聚类称度的参数，节点i的簇系数计算如下：
Ci=1Ki（Ki-1）∑Nj，k=1bijbjkbki（3-2）
其中ki为节点i的度，bij为邻接矩阵元，当节点i，j相邻时其值为1，否则为0。
因此，整个网络的簇系数为：
C=1N∑Ni=1Ci（3-3）
计算可得中国产业结构网络的簇系数为0.533，具有一定的聚集性。
（三）度及其分布
与节点连接的边的数量称为节点的度，而网络的度是网络中所有节点的度的平均值。节点的度越大代表节点的影响力越大，在网络中的地位越重要，反之亦然。度分布用分布函数P（k）表示，可定义为在网络选择一个节点其度值为k的概率，也等于网络中度值为k的节点的个数与网络节点总数比值。根据数据可以算的中国产业结构网络的平均度为23.4，即每个产业平均与23个产业相连。
（四）度-度相关性
度-度相关性指的是节点之间相互选择的偏好，节点i的所有邻近节点的平均度可记为：
Knn，i=1Ki∑kij=1Kij（3-4）
其中，Kij是i的Ki个邻近节点的度，j=1，2，……，ki。度为k的所有节点的邻近点的平均度，公式如下：
Km（k）=1Nk∑iki=1Km，vi（3-5）
其中，度为k的节点表示为v1，v2，……，vi，Nk是指网络中度为k的所有节点的个数。
通过计算我们就可以知道网络的相关性，当Km（k）随着k的增加而增加，随着k的减小而减小，即可判断网络是正相关的，反之如果Km（k）随着k的增加而减小，随着k的减小而增加，即可判断网络是负相关的。运用Newman给出的计算方法可计算出网络节点度的Pearson相关系数r[5]。公式如下：
r（g）=M-1∑ijiki-[M-1∑i12（ji+ki）]2M-1∑i12（ji+ki）-[M-1∑i12（ji+ki）]2（3-6）
式中，M为观察到的网络中的连线的数目，jk，ik是第i条连线两端的节点度数且i=1，2，……，M，-1≤r≤1。
根据公式计算出的中国产业结构网络的相关系数r=0.628，度度之间表现为正相关性，说明度小的节点优先连接度大的节点。
（五）介数中心性
介数中心性是以经过某个节点的最短路径的个数来刻画节点重要性的，简称介数（BC），具体地，节点i的介数可定义为：
BCi=∑s≠i≠tnistgst（3-7）
其中，gst为从节点s到节点t的最短路径的数目，nist为从节点s到节点t的gst条最短路径中经过节点i的最短路径的数目。计算可得，中国产业结构网络中各节点的点介数分布前十的产业如下：
表节点介数排名前十的产业
序号产业节点介数
1化学工业0.24836
2金属冶炼及压延加工业0.14637
3电力及蒸汽、热水生产和供应业0.11293
4农业0.08534
5商业0.07246
6货运邮电业0.06582
7石油和天热气开采业0.06191
8机械工业0.04237
9电子及通信设备制造业0.03183
10食品制造业0.03012
节点介数的大小反映了该产业在网络中的影响力，因此如果将表中的某个或某几个产业乃至全部的产业从网络中去除将会极大的影响网络的运行。
四、结论
本文借助复杂网络理论对中国产业结构网络性质做了初步的研究，得出中国产业结构网络是一个小世界网络，具有小的平均最短路径和较大的聚集系数，度-度表现出正的相关性，说明度小的节点倾向于与大的节点连接。对于复杂网络所涉及到的更为复杂的研究方面包括：边的方向及边权、点权对网络性质的影响等在本文中没有做深入的研究。（作者单位：兰州交通大学经济管理学院）
参考文献：
[1]钱学森，许国志，王涛云.论系统工程[M].长沙：湖南科学技术出版社，1988：7-12.
[2]周涛，柏文洁，汪秉宏等.复杂网络研究概述[J]，物理，2005，34（1）：31-36.
[3]Sachsa J D，Woob W T.Understanding China’s economic performance[J].The Journal of Policy Reform.2001，4（1）：1-50.
[4]邱灵，方创琳.城市产业结构优化的纵向测度与横向诊断模型及应用—以北京市为例[J].地理研究，2010，29（2）：327-337.
[5]汪小帆，李翔，陈关荣.网络科学导论[M].北京：高等教育出版社，2012：91-112.