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基本不等式是解决最值问题的重要工具。“一正、二定、三相等”是运用基本不等式的前提条件，缺一不可。很多最值问题的求解方法往往具有一定的隐蔽性，需要进行适当的变形方能使用基本不等式。本人对近年来的相关高考题、联考题进行归纳，主要有六种变形技巧，若能掌握它们，则可将复杂问题简单化。
一、 拆项、添项
【例1】 已知x<54，求函数y=4x－2+14x－5的最大值.
分析 因为4x－5<0，所以首先要“调整”符号。又(4x－2)•14x－5不是常数，所以对它要进行“配凑”。
解 ∵x<54,∴5－4x>0,∴y=4x－2+14x－5=－5－4x+15－4x+3≤－2+3=1.
当且仅当5－4x=15-4x，即x=1时，上式等号成立.
故当x=1时，ymax=1.
奇思妙想 设x≥5，函数y=x+3x的最小值是 .
分析 若直接使用基本不等式，则等号无法取到，所以通过变换，可部分使用。
解 把条件变为y=x+3x=x+25x－22x，
当x≥5时，y=－22x单调递增，而
y=x+25x≥225=10在x=5时取得最小值.
所以y=x+3x在x=5时有
ymin=10－225=285.
点拨 1. 本题无法直接运用基本不等式求解，但可适当进行拆项，即配凑出积为定值，从而可利用基本不等式求最大值。
2. 本题还可以运用导数法进行求解。
二、 连续使用基本不等式——破解无定值
【例2】 设a>b>0，求a2+16b(a－b)的最小值.
分析 条件为和式，但无法直接配凑出积为定值，从而思维陷入困境；此时若能发现对第二个式子使用基本不等式后，产生积为定值，则难点得到突破，方法巧妙，令人拍案叫绝。
解 由16b(a－b)≥16b+a－b22=64a2，此时等号成立条件是b=a－b，即a=2b，所以a2+16b(a－b)≥a2+64a2≥264=16.此时等号成立条件是，a2=64a2，即a=4，所以此时b=2>0.
点拨 两次使用基本不等式是指连续两次使用不等式，使用时要注意等号要同时成立。
奇思妙想 设x，y是正数，求x+12y2+y+12x2的最小值.
解 由题意x+12y2+y+12x2≥2x+12yy+12x=2xy+14xy+1≥4xy•14xy+2=4，“＝”成立的条件，x+12y=y+12x，x2y2=14两者不矛盾，故“＝”能成立，故所求的最小值为4．
三、 借助求解不等式
【例3】 若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的最小值是 .
解 令ab=t(t>0),由ab=a+b+3≥2ab+3,(当且仅当a=b=3取等号)
得t2≥2t+3,解得t≥3.
即ab≥3,故ab≥9(当且仅当a=b=3取等号也成立).所以ab的最小值是9.
点拨 此类问题求解的关键是使用基本不等式后，再转化为求解一元二次不等式，可谓出奇制胜。
奇思妙想 已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝1ab的最小值.
解 由已知得30－ab＝a＋2b，
∵a＋2b≥22ab，∴30－ab≥22ab，
令u＝ab，则u2＋22u－30≤0，－52≤u≤32.
∴ab≤32，ab≤18，y≥118,
当且仅当b＝3，a＝6时等号成立.
四、 借助求导
【例4】 若x>y>0,则2x3+3xy－y2的最小值为 .
分析 一般同学想到应用基本不等式，而应用基本不等式后无和为定值，从而陷入困境。
解 ∵x>y>0,∴y(x－y)≤x22,
当且仅当x=2y时取等号.
∴2x3+3xy－y2≥2x3+12x2，
设f(x)=2x3+12x2,x>0.
则f′(x)=32(x5－(2)5x3,x>0.
∴当x∈(0,2)时，f′(x)<0;
当x∈(2,+∞)时，f′(x)>0.
∴f(x)min=f(2)=10,
∴2x3+3xy－y2的最小值为10,
当且仅当x=2y=2时取到最小值.
点拨 此类问题求解的关键是使用基本不等式仅起减元作用，进而转化为求解高次函数的最值问题，妙用导数。
五、 巧引参
【例5】 已知a、b、c∈R+，a+b+c=1,求13a+1+13b+1+13c+1的最大值．
分析 已知和为定值，但目标也为和的形式，直接使用基本不等式肯定难以奏效。此时可巧引参数，创设条件使用基本不等式。
解 引入待定正参数t，
∵t13a+1=t2(13a+1)
≤12(t2+13a+1)，①
同理t13b+1=t2(13b+1)
≤12(t2+13b+1)，②
t13c+1=t2(13c+1)
≤12(t2+13c+1).③
①+②+③得：
t(13a+1+13b+1+13c+1)
≤12(3t2+13a+13b+13c+3)=32t2+8．
∵t＞0，
∴13a+1+13b+1+13c+1≤32t+8t．④
由于t＞0，则32t+8t≥23t2•8t=43．
当且仅当t=13a+1=13b+1=13c+1，
即t=433时，④式取等号，
将t=433代入④得：13a+1+13b+1+13c+1的最大值为43．
点拨 通过巧妙地引入参数，把问题转化成基本不等式结构，使参数在求解最值过程中起到一个桥梁作用。
六、 妙换元
【例6】 已知x≥52，求函数f(x)=x2－4x+52x－4的最小值.
分析 本题看似无法使用基本不等式，但对函数式进行换元，便可创造出使用基本不等式的条件。
解 设x－2=t,则x=t+2,t≥12
故y=x2－4x+52x－4=(x－2)2+12(x－2)
=12t+1t≥1．
当且仅当t=1t，即t=1(x=3)时等号成立，
所以函数f(x)最小值为1．
点拨 通过换元，把生疏的结构转化为基本不等式形式，使解题思路自然、简捷。
八、 因式分解
【例8】 已知a>0,b>0,c>0,a(a+b+c)+bc=4－23，求函数y=2a+b+c的最小值.
分析 本题看似无法使用基本不等式，但可对条件和结论进行巧妙变形，充分利用两者的联系，便可创造出使用基本不等式的条件。
解 由a(a+b+c)+bc=4－23得：
a(a+b)+(a+b)c=(a+b)(a+c)
=4－23．
∴y=2a+b+c=(a+b)+(a+c)
≥2(a+b)(a+c)=24－23
=23－2,
当且仅当a+b=a+c即b=c时等号成立.
故所求最小值为23－2．
点拨 本题为多元函数的最值问题，通过因式分解将生疏的结构转化为基本不等式形式，解题思路令人拍案称奇。
牛刀小试
1. 设a>b>c，且1a－b+1b－c≥ma－c恒成立，求m的取值范围．
2. 已x>0,y>0，且1x+9y=1，求x+y的最小值.
3. 一批救灾物资随17列火车以v km/h的速度匀速直达400 km外的灾区，为了安全起见，两列火车的间距不得小于v202 km，问这批物资全部运送到灾区最少需要多少小时？
4. 已知x，y为正实数，且x2＋y22＝1，求x1+y2的最大值.
【参考答案】
1. ∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0．
∴(a－c)1a－b+1b－c
=［(a－b)+(b－c)］•1a－b+1b－c
≥2(a－b)(b－c)•21a－b•1b－c=4，
当且仅当a－b=b－c，即a+c=2b时，等号成立．∴要使原不等式恒成立，只须m≤4．
故m的取值范围为－∞，4．
2. ∵1x+9y=1,
∴（x+y）1x+9y=10+9xy+yx≥16.
当且仅当y＝12，x＝4时取等号，∴最小值为16.
3. 最后一列火车出发时，其已等待出发的时间为16×v202v=16v400，
又由于最后一列火车行驶全程用时为400v，
∴t=16v400+400v≥216v400•400v=8，
当且仅当16v400=400v，即v=100时，等号成立，∴tmin=8．
4. x1+y2＝x2•1+y22＝2x•12+y22，下将x，12+y22分别看成两个因式，x•
12+y22≤x2+12+y2222＝x2+y22+122
＝34.
∴x1+y2＝2x•12+y22≤342.
（作者：李忠贵，江苏省板浦高级中学）
一、 拆项、添项
【例1】 已知x<54，求函数y=4x－2+14x－5的最大值.
分析 因为4x－5<0，所以首先要“调整”符号。又(4x－2)•14x－5不是常数，所以对它要进行“配凑”。
解 ∵x<54,∴5－4x>0,∴y=4x－2+14x－5=－5－4x+15－4x+3≤－2+3=1.
当且仅当5－4x=15-4x，即x=1时，上式等号成立.
故当x=1时，ymax=1.
奇思妙想 设x≥5，函数y=x+3x的最小值是 .
分析 若直接使用基本不等式，则等号无法取到，所以通过变换，可部分使用。
解 把条件变为y=x+3x=x+25x－22x，
当x≥5时，y=－22x单调递增，而
y=x+25x≥225=10在x=5时取得最小值.
所以y=x+3x在x=5时有
ymin=10－225=285.
点拨 1. 本题无法直接运用基本不等式求解，但可适当进行拆项，即配凑出积为定值，从而可利用基本不等式求最大值。
2. 本题还可以运用导数法进行求解。
二、 连续使用基本不等式——破解无定值
【例2】 设a>b>0，求a2+16b(a－b)的最小值.
分析 条件为和式，但无法直接配凑出积为定值，从而思维陷入困境；此时若能发现对第二个式子使用基本不等式后，产生积为定值，则难点得到突破，方法巧妙，令人拍案叫绝。
解 由16b(a－b)≥16b+a－b22=64a2，此时等号成立条件是b=a－b，即a=2b，所以a2+16b(a－b)≥a2+64a2≥264=16.此时等号成立条件是，a2=64a2，即a=4，所以此时b=2>0.
点拨 两次使用基本不等式是指连续两次使用不等式，使用时要注意等号要同时成立。
奇思妙想 设x，y是正数，求x+12y2+y+12x2的最小值.
解 由题意x+12y2+y+12x2≥2x+12yy+12x=2xy+14xy+1≥4xy•14xy+2=4，“＝”成立的条件，x+12y=y+12x，x2y2=14两者不矛盾，故“＝”能成立，故所求的最小值为4．
三、 借助求解不等式
【例3】 若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的最小值是 .
解 令ab=t(t>0),由ab=a+b+3≥2ab+3,(当且仅当a=b=3取等号)
得t2≥2t+3,解得t≥3.
即ab≥3,故ab≥9(当且仅当a=b=3取等号也成立).所以ab的最小值是9.
点拨 此类问题求解的关键是使用基本不等式后，再转化为求解一元二次不等式，可谓出奇制胜。
奇思妙想 已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝1ab的最小值.
解 由已知得30－ab＝a＋2b，
∵a＋2b≥22ab，∴30－ab≥22ab，
令u＝ab，则u2＋22u－30≤0，－52≤u≤32.
∴ab≤32，ab≤18，y≥118,
当且仅当b＝3，a＝6时等号成立.
四、 借助求导
【例4】 若x>y>0,则2x3+3xy－y2的最小值为 .
分析 一般同学想到应用基本不等式，而应用基本不等式后无和为定值，从而陷入困境。
解 ∵x>y>0,∴y(x－y)≤x22,
当且仅当x=2y时取等号.
∴2x3+3xy－y2≥2x3+12x2，
设f(x)=2x3+12x2,x>0.
则f′(x)=32(x5－(2)5x3,x>0.
∴当x∈(0,2)时，f′(x)<0;
当x∈(2,+∞)时，f′(x)>0.
∴f(x)min=f(2)=10,
∴2x3+3xy－y2的最小值为10,
当且仅当x=2y=2时取到最小值.
点拨 此类问题求解的关键是使用基本不等式仅起减元作用，进而转化为求解高次函数的最值问题，妙用导数。
五、 巧引参
【例5】 已知a、b、c∈R+，a+b+c=1,求13a+1+13b+1+13c+1的最大值．
分析 已知和为定值，但目标也为和的形式，直接使用基本不等式肯定难以奏效。此时可巧引参数，创设条件使用基本不等式。
解 引入待定正参数t，
∵t13a+1=t2(13a+1)
≤12(t2+13a+1)，①
同理t13b+1=t2(13b+1)
≤12(t2+13b+1)，②
t13c+1=t2(13c+1)
≤12(t2+13c+1).③
①+②+③得：
t(13a+1+13b+1+13c+1)
≤12(3t2+13a+13b+13c+3)=32t2+8．
∵t＞0，
∴13a+1+13b+1+13c+1≤32t+8t．④
由于t＞0，则32t+8t≥23t2•8t=43．
当且仅当t=13a+1=13b+1=13c+1，
即t=433时，④式取等号，
将t=433代入④得：13a+1+13b+1+13c+1的最大值为43．
点拨 通过巧妙地引入参数，把问题转化成基本不等式结构，使参数在求解最值过程中起到一个桥梁作用。
六、 妙换元
【例6】 已知x≥52，求函数f(x)=x2－4x+52x－4的最小值.
分析 本题看似无法使用基本不等式，但对函数式进行换元，便可创造出使用基本不等式的条件。
解 设x－2=t,则x=t+2,t≥12
故y=x2－4x+52x－4=(x－2)2+12(x－2)
=12t+1t≥1．
当且仅当t=1t，即t=1(x=3)时等号成立，
所以函数f(x)最小值为1．
点拨 通过换元，把生疏的结构转化为基本不等式形式，使解题思路自然、简捷。
八、 因式分解
【例8】 已知a>0,b>0,c>0,a(a+b+c)+bc=4－23，求函数y=2a+b+c的最小值.
分析 本题看似无法使用基本不等式，但可对条件和结论进行巧妙变形，充分利用两者的联系，便可创造出使用基本不等式的条件。
解 由a(a+b+c)+bc=4－23得：
a(a+b)+(a+b)c=(a+b)(a+c)
=4－23．
∴y=2a+b+c=(a+b)+(a+c)
≥2(a+b)(a+c)=24－23
=23－2,
当且仅当a+b=a+c即b=c时等号成立.
故所求最小值为23－2．
点拨 本题为多元函数的最值问题，通过因式分解将生疏的结构转化为基本不等式形式，解题思路令人拍案称奇。
牛刀小试
1. 设a>b>c，且1a－b+1b－c≥ma－c恒成立，求m的取值范围．
2. 已x>0,y>0，且1x+9y=1，求x+y的最小值.
3. 一批救灾物资随17列火车以v km/h的速度匀速直达400 km外的灾区，为了安全起见，两列火车的间距不得小于v202 km，问这批物资全部运送到灾区最少需要多少小时？
4. 已知x，y为正实数，且x2＋y22＝1，求x1+y2的最大值.
【参考答案】
1. ∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0．
∴(a－c)1a－b+1b－c
=［(a－b)+(b－c)］•1a－b+1b－c
≥2(a－b)(b－c)•21a－b•1b－c=4，
当且仅当a－b=b－c，即a+c=2b时，等号成立．∴要使原不等式恒成立，只须m≤4．
故m的取值范围为－∞，4．
2. ∵1x+9y=1,
∴（x+y）1x+9y=10+9xy+yx≥16.
当且仅当y＝12，x＝4时取等号，∴最小值为16.
3. 最后一列火车出发时，其已等待出发的时间为16×v202v=16v400，
又由于最后一列火车行驶全程用时为400v，
∴t=16v400+400v≥216v400•400v=8，
当且仅当16v400=400v，即v=100时，等号成立，∴tmin=8．
4. x1+y2＝x2•1+y22＝2x•12+y22，下将x，12+y22分别看成两个因式，x•
12+y22≤x2+12+y2222＝x2+y22+122
＝34.
∴x1+y2＝2x•12+y22≤342.
（作者：李忠贵，江苏省板浦高级中学）