一道数学竞赛题的多解·推广·应用

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题目已知F_1、F_2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F_1PF_2=60°,则该椭圆和双曲线的离心率之积的最小值是()(A)3~(1/2)/3.(B)3~(1/2)/2.(C)1.(D)3~(1/2).(2016年全国高中数学联赛(四川初赛))1.解法研究解法1不妨设椭圆和双曲线的方程分别为x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0).x~2/a’~2+y~2/b’~2=1(a’>0,b’>0).则根据焦点三角形的面积公式可得 It is known that F_1, F_2 are the common focal points of ellipses and hyperbolic curves, P is one of their common points, and ∠F_1PF_2 = 60 °, the minimum of the product of the eccentricities of the ellipses and hyperbola is () (A) 3 ~ (1/2) / 3 (B) 3 ~ (1/2) / 2 (C) 1. (D) 3 ~ (1/2). (2016 National High School Maths League (Sichuan Preliminary) ) 1. Solution Research Solution 1 Let’s assume that the equations for ellipses and hyperbolic curves are x2 / a2 + y2 / b2 = 1 (a> b> 0) .x2 / a2 + y ~ 2 / b ’~ 2 = 1 (a’> 0, b ’> 0). According to the area formula of the focus triangle,
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