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[摘 要]本文基于Kelvin模型的基本原理，构建了车辙的粘弹性模型，并采用这个模型，分析了车辙的蠕变机理，模拟了改性沥青各项技术指标对沥青路面车辙蠕变的影响。本文的创新点有三：第一是在Kelvin模型中加入了Claver假定，用于模拟沥青的应力松弛；第二是将元胞自动机的方法引入Kelvin模型，从而使得本文构造的模型既能用于理论分析，又便于编写大规模并行运算程序；第三是构建了一种全新的车辙Kelvin模型，并将Kelvin模型中的粘壶、弹簧等与改性沥青的各项技术指标对应，为进一步提高改性沥青的抗车辙性能提供了理论支持。
[關键词]改性沥青；车辙；Kelvin模型；粘弹性理论；元胞自动机；Claver假定
中图分类号：U416.217 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2014）13-0310-02
作为一种优质的筑路材料，沥青在道路交通工程中的应用非常广泛。据统计[1]，沥青路面占高等级路面的比例，中国大陆至少为75%，发达国家则超过90%。作为沥青路面的主要病害之一，车辙对行车安全危害很大。1962年，壳牌公司首先在道路设计中考虑车辙的影响[2，3]。自此，相关科研工作者相继开始研究车辙的机理及对行车安全的影响[4，5]。沥青受到外力时，同时具有粘性与弹性，因此沥青是一种比较典型的粘弹性材料。国外早在上世纪70年代，就已经采用粘弹性力学的方法计算车辙的深度[4]。我国科研工作者开展这项研究比较晚，但近年来也取得不少成果。张久鹏等研究了沥青路面车辙处的Weissenberg效应及“挤出胀大”等现象[5]；蔚旭灿则采用分层（主要是三层）的弹性模型系统分析了沥青路面的动力响应并进行了实验验证[6]。
元胞自动机是一种理想化模型，最早用来模拟生物体的自我繁殖与发展[7]，但是近年来这套模型在材料结构模拟[8]和力学计算中得到广泛的应用[9]。本文采用元胞自动机的思想分析车辙的蠕变现象。
1.Kelvin模型基础理论
粘弹性理论主要研究某些非牛顿流体，特别是宾汉流体的力学现象。粘弹性体的本构方程采用唯象理论建立，常用的本构模型有Maxwell模型、Kelvin模型、Burgers模型等[10]，本文采用Kelvin模型。Kelvin模型采用弹性元件和粘壶元件并联来模拟粘弹性体的本构关系，如图1所示。
图1中的弹簧恢复力F与弹簧的伸长量成正比，粘壶的粘滞力 N 与粘壶的变形速度成正比：
其中，k 为弹簧常数（如果模拟非线性流体，则k为L的函数），为弹簧的原始长度，为弹簧的变形，是粘壶的阻尼系数，n为流动指数， 模拟剪切稠化，模拟剪切稀化[11]，模拟理想宾汉流体；
Claver 研究无网格计算方法时，采用变长度弹簧模拟粘弹性体的塑性变形[12]。借鉴Claver的方法，在式（1）中，如果假设弹簧的原始长度也是时间t的函数，则可以模拟沥青路面的应力松弛现象：
2 .车辙的Kelvin模型的动力学模拟
如图2所示，设车辆经过后，路面横断面有一个（瞬时）初始沉降。
根据Kelvin模型的基本原理，可以将图2中的车辙模拟成图3的形式。
图3中，弹簧粘壶组A～C模拟的是各层之间的正应力，弹簧粘壶组D～I模拟的是车辙与周边沥青之间的剪切力。弹簧恢复力与粘壶的阻尼力分别采用式1与式2计算。
图3中离散单元的编号如图4所示。
可以采用元胞自动机的方法定性分析车辙的蠕变。
当车轮碾过之后，假设单元1有一个初始沉降 （前一个下标表示单元1，后一个下标表示第一次拟合；图B和图C只是示意图，由图A，初始沉降显然比图B和图C中的弹簧粘壶组的弹簧长度大，但事实上并非如此；以下同），单元2～6位置不变，此时弹簧粘性组C、D、E、G、H的变形等于，在第一个计算步长，假设只有单元1可以运动，则单元1的加速度为：
重复以上步骤，轮流松弛单元体1、2、3、4、5、6……..直至收敛，就可以得到车辙经过蠕变后的形状和尺寸。
3 .结论
在式（1）中，如果增加k值，则相同的冲击力作用下，路面的初始沉降会比较小，荷载能以比较快的速度传递到路面其他部分，同时，当荷载撤除之后，变形恢复也会比较迅速。由于图3中的弹簧，表征的是沥青的弹性模量，所以，从这个模型可知，弹性模量越大的沥青，抗车辙性能越好。这个结论是与相关文献的研究相吻合的[13]。
在式（2）中，如果增加的值，且令n的值为1，则沥青恢复的速度会比较缓慢，这与我们在实验中观察到的现象是吻合的。对于有应力松弛现象的沥青，如果阻尼较大，恢复较慢，则每次加载后的永久变形就会比较大，这种沥青材料的抗车辙性能就会较差。
在式（2）中，如果，则沥青路面在车辆突然冲击下，初始沉降会比较小，同时，由于路面恢复一般较车辆加载要缓慢得多，所以如果两次加载间隔时间较长，沥青路面最终的永久变形会比较小。这个结论有待实验验证。
4 .进一步研究展望
1、 采用SPH方法离散沥青路面，在SPH质点直接采用本文的方法添加粘弹性力学模型，编写相关程序，模拟沥青路面车辙的形成与发展。
2、 申请经费，用实验验证沥青路面在剪切稀化与剪切稠化中的粘弹性力学行为，为进一步改善改性沥青的性能提供理论与实验支持。
5 .致谢
感谢云南省沥青油料供应保障中心实验室提供相关实验数据。
参考文献
[1] 熊萍，SBS聚合物改性沥青技术性能及形态结构研究[D]，西安：长安大学，2003
[2] Doman G M. The extension to practice of a fundamental procedure for the design of flexible pavements[A]. Proceedings， First International Conference on the Structural Design of Asphalt Pavements[C]. Ann Arbor： University of Michigan， 1962.785-793 [3] 彭妙娟，许志鸿，沥青路面车辙预估方法，同济大学学报（自然科学版），2004，32（11） ： 1457～1460
[4] Kenis W J. Predictive design procedures： A design method for flexible pavements using the VESYS structural subsystem[A]. Proceedings， Fourth International Conference on the Structural Design of Asphalt Pavements [C] . Ann Arbor： University of Michigan， 1977. 101-730
[5] 張久鹏，黄晓明 等，沥青路面车辙处沥青迁移规律及粘弹性力学机理，武汉理工大学学报（交通科学与工程版），2008，32（4） ： 596～598
[6] 蔚旭灿，应用数学力学方法研究沥青路面结构特性[D]，西安：长安大学，2008
[7] J.von. Neumann. [M]. Theory of self-Reproducing Automata， Urbana， University of Illionois， 1966
[8] 邓张铭，周浪，元胞自动机模型方法及其在材料组织结构模拟中的应用，材料科学与工程，2000，18（3），123～129
[9] 杨吉新，王乘 等，元胞单元法，固体力学学报，2004，25（2），203～207
[10] Christensen R M. Theory of Viscoelasticity [A]， New York： Academic Press， 1982 （科学出版社有中译本）
[11] 权晓波，李维 等，幂律流体突扩管道湍流流动的研究，西安交通大学学报，2001，35（11）： 1118～1121
[12] Clavet S， Beaudoin P，etc. Particle-based viscoelastic fluid simulation [R] . In Proceedings of the 2005 ACM SIGGRAPH/Eurographics Symposium on Computer Animation， New York， NY， USA： ACM Press， 2005： 219～228
[13] 孙大权，SBS改性沥青相容性及其工程性质的研究[D]，上海：同济大学，2003
[關键词]改性沥青；车辙；Kelvin模型；粘弹性理论；元胞自动机；Claver假定
中图分类号：U416.217 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2014）13-0310-02
作为一种优质的筑路材料，沥青在道路交通工程中的应用非常广泛。据统计[1]，沥青路面占高等级路面的比例，中国大陆至少为75%，发达国家则超过90%。作为沥青路面的主要病害之一，车辙对行车安全危害很大。1962年，壳牌公司首先在道路设计中考虑车辙的影响[2，3]。自此，相关科研工作者相继开始研究车辙的机理及对行车安全的影响[4，5]。沥青受到外力时，同时具有粘性与弹性，因此沥青是一种比较典型的粘弹性材料。国外早在上世纪70年代，就已经采用粘弹性力学的方法计算车辙的深度[4]。我国科研工作者开展这项研究比较晚，但近年来也取得不少成果。张久鹏等研究了沥青路面车辙处的Weissenberg效应及“挤出胀大”等现象[5]；蔚旭灿则采用分层（主要是三层）的弹性模型系统分析了沥青路面的动力响应并进行了实验验证[6]。
元胞自动机是一种理想化模型，最早用来模拟生物体的自我繁殖与发展[7]，但是近年来这套模型在材料结构模拟[8]和力学计算中得到广泛的应用[9]。本文采用元胞自动机的思想分析车辙的蠕变现象。
1.Kelvin模型基础理论
粘弹性理论主要研究某些非牛顿流体，特别是宾汉流体的力学现象。粘弹性体的本构方程采用唯象理论建立，常用的本构模型有Maxwell模型、Kelvin模型、Burgers模型等[10]，本文采用Kelvin模型。Kelvin模型采用弹性元件和粘壶元件并联来模拟粘弹性体的本构关系，如图1所示。
图1中的弹簧恢复力F与弹簧的伸长量成正比，粘壶的粘滞力 N 与粘壶的变形速度成正比：
其中，k 为弹簧常数（如果模拟非线性流体，则k为L的函数），为弹簧的原始长度，为弹簧的变形，是粘壶的阻尼系数，n为流动指数， 模拟剪切稠化，模拟剪切稀化[11]，模拟理想宾汉流体；
Claver 研究无网格计算方法时，采用变长度弹簧模拟粘弹性体的塑性变形[12]。借鉴Claver的方法，在式（1）中，如果假设弹簧的原始长度也是时间t的函数，则可以模拟沥青路面的应力松弛现象：
2 .车辙的Kelvin模型的动力学模拟
如图2所示，设车辆经过后，路面横断面有一个（瞬时）初始沉降。
根据Kelvin模型的基本原理，可以将图2中的车辙模拟成图3的形式。
图3中，弹簧粘壶组A～C模拟的是各层之间的正应力，弹簧粘壶组D～I模拟的是车辙与周边沥青之间的剪切力。弹簧恢复力与粘壶的阻尼力分别采用式1与式2计算。
图3中离散单元的编号如图4所示。
可以采用元胞自动机的方法定性分析车辙的蠕变。
当车轮碾过之后，假设单元1有一个初始沉降 （前一个下标表示单元1，后一个下标表示第一次拟合；图B和图C只是示意图，由图A，初始沉降显然比图B和图C中的弹簧粘壶组的弹簧长度大，但事实上并非如此；以下同），单元2～6位置不变，此时弹簧粘性组C、D、E、G、H的变形等于，在第一个计算步长，假设只有单元1可以运动，则单元1的加速度为：
重复以上步骤，轮流松弛单元体1、2、3、4、5、6……..直至收敛，就可以得到车辙经过蠕变后的形状和尺寸。
3 .结论
在式（1）中，如果增加k值，则相同的冲击力作用下，路面的初始沉降会比较小，荷载能以比较快的速度传递到路面其他部分，同时，当荷载撤除之后，变形恢复也会比较迅速。由于图3中的弹簧，表征的是沥青的弹性模量，所以，从这个模型可知，弹性模量越大的沥青，抗车辙性能越好。这个结论是与相关文献的研究相吻合的[13]。
在式（2）中，如果增加的值，且令n的值为1，则沥青恢复的速度会比较缓慢，这与我们在实验中观察到的现象是吻合的。对于有应力松弛现象的沥青，如果阻尼较大，恢复较慢，则每次加载后的永久变形就会比较大，这种沥青材料的抗车辙性能就会较差。
在式（2）中，如果，则沥青路面在车辆突然冲击下，初始沉降会比较小，同时，由于路面恢复一般较车辆加载要缓慢得多，所以如果两次加载间隔时间较长，沥青路面最终的永久变形会比较小。这个结论有待实验验证。
4 .进一步研究展望
1、 采用SPH方法离散沥青路面，在SPH质点直接采用本文的方法添加粘弹性力学模型，编写相关程序，模拟沥青路面车辙的形成与发展。
2、 申请经费，用实验验证沥青路面在剪切稀化与剪切稠化中的粘弹性力学行为，为进一步改善改性沥青的性能提供理论与实验支持。
5 .致谢
感谢云南省沥青油料供应保障中心实验室提供相关实验数据。
参考文献
[1] 熊萍，SBS聚合物改性沥青技术性能及形态结构研究[D]，西安：长安大学，2003
[2] Doman G M. The extension to practice of a fundamental procedure for the design of flexible pavements[A]. Proceedings， First International Conference on the Structural Design of Asphalt Pavements[C]. Ann Arbor： University of Michigan， 1962.785-793 [3] 彭妙娟，许志鸿，沥青路面车辙预估方法，同济大学学报（自然科学版），2004，32（11） ： 1457～1460
[4] Kenis W J. Predictive design procedures： A design method for flexible pavements using the VESYS structural subsystem[A]. Proceedings， Fourth International Conference on the Structural Design of Asphalt Pavements [C] . Ann Arbor： University of Michigan， 1977. 101-730
[5] 張久鹏，黄晓明 等，沥青路面车辙处沥青迁移规律及粘弹性力学机理，武汉理工大学学报（交通科学与工程版），2008，32（4） ： 596～598
[6] 蔚旭灿，应用数学力学方法研究沥青路面结构特性[D]，西安：长安大学，2008
[7] J.von. Neumann. [M]. Theory of self-Reproducing Automata， Urbana， University of Illionois， 1966
[8] 邓张铭，周浪，元胞自动机模型方法及其在材料组织结构模拟中的应用，材料科学与工程，2000，18（3），123～129
[9] 杨吉新，王乘 等，元胞单元法，固体力学学报，2004，25（2），203～207
[10] Christensen R M. Theory of Viscoelasticity [A]， New York： Academic Press， 1982 （科学出版社有中译本）
[11] 权晓波，李维 等，幂律流体突扩管道湍流流动的研究，西安交通大学学报，2001，35（11）： 1118～1121
[12] Clavet S， Beaudoin P，etc. Particle-based viscoelastic fluid simulation [R] . In Proceedings of the 2005 ACM SIGGRAPH/Eurographics Symposium on Computer Animation， New York， NY， USA： ACM Press， 2005： 219～228
[13] 孙大权，SBS改性沥青相容性及其工程性质的研究[D]，上海：同济大学，2003