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摘要：本文研究和讨论了平稳独立增量过程中的几个条件分布，特别是泊松过程、伯努利过程中的几个时间变量的条件分布。
关键词： 计数过程；独立增量；平稳增量；泊松过程；伯努利过程；条件分布
以Nt表示到时刻t为止已发生的“某事件”的次数，若满足Nt≥0； Nt是整数值；s 另外，若对一切t10，在时间段t1+s，t2+s中事件的个数与时间段t1，t2中事件的个数有相同的分布，则称计数过程{Nt}有平稳增量。
记Xi为事件第i1次与第i次发生的时间间隔，Si为事件第i次发生的时刻，i=1，2，…，约定X0=0，N（0）=0。
以下着重研究几个平稳的独立增量过程中的条件分布。先讨论泊松过程中的几个条件分布。
设{Nt}为平稳的独立增量过程，在任一长度为t的区间中事件的个数服从均值为λt的泊松分布，即对一切s，t≥0，
P（Nt+s-Ns=n）=e-λt（λt）nn！，n=0，1，…，
则称{Nt}是强度为λ的泊松过程。
易知
（1）ENt-Ns
=DNt-Ns=λt-s；
（2） CovN（s），N（t）=λmins，t ；
（3）Xi，i=1，2，…，相互独立，均服从参数为λ的指数分布；
（4）Si，i=1，2，…，服从参数为λ，i的Γ-分布。
（1）设{Nt}是强度为λ的泊松过程，则Nt=1条件下，S1服从0，t上的均匀分布。亦即，如果已知时间段0，t内发生了一个事件，则此事件发生的时刻等可能取值于0，t。
证明：对s≤t有
PS1≤s|Nt=1=PS1≤s，Nt=1PNt=1
=P在（0，s]内有1个事件，在（s，t]内没有事件PNt=1
=P（N（s）=1）P（Nt-N（s）=0）PNt=1
=λse-λse-λt-sλte-λt=st
（2）设0，t内发生的事件数为n，即{N（t）=n}，则这n个事件发生的时刻，在不考虑发生的先后次序时，是独立同分布于0，t上的均与分布的。
证明参见参考文献[2]，此例即例1的推广。
（3）设{Nt}是强度为λ的泊松过程，0≤s 证明：0≤s PN（s）=k|Nt=n=PN（s）=k，Nt=nPNt=n
=P[HT5”，7.]在（0，s]内恰好发生k个事件，在（s，t]内恰好发生n-k个事件[HT]PNt=n
=[HT5”，7.SS]P（在（0，s]内恰好发生k个事件）P（在（s，t]内恰好发生n-k个事件）[HT]PNt
=n
=P（N（s）=k）P（Nt-N（s）=n-k）PNt=n
=nk（st）k（t-st）n-k，
此即二项分布B（n，st）。
（4）设{Nit}是强度分别为λ1，λ2的相互独立的泊松过程，i=1，2，t≥0，Nt=N1（t）+N2（t），则{Nt}是强度为λ=λ1+λ2的泊松过程，且Nt=n的条件下，N1（t）服从二项分布B（n，λ1λ），N2（t）服从二项分布B（n，λ2λ）。
证明：易验证{Nt}是强度为λ=λ1+λ2的泊松过程，
由于P（N1t=k|Nt=n）
=P（N1（t）=k，N2t=n-k）PNt=n
=P（N1（t）=k）P（N2t=n-k）PNt=n
=nk（λ1λ）k（λ2λ）n-k，此即二项分布B（n，λ1λ），类似可证N2（t）服从二项分布B（n，λ2λ）。
（5）以下討论伯努利过程中的条件分布。
设Xi，i=1，2，…，独立同分布，共同分布为P（Xi=1）=p=1-P（Xi=0），则称{Xn}为伯努利过程。
a.记Nn=∑ni=1Xi，则{Nn}是平稳独立增量过程；
b.记Ti=inf{n|∑nk=1Xk=i}，i=1，2，…，则Ti，i=1，2，…服从参数为{i，p}的负二项分布，即 P（Ti=k）=k-1i-1pi（1-p）k-i，k=i，i+1，…；i=1，2，…
c.在T2=n，n>1条件下，T1在1，2，…，n-1中等可能取值。
证明：易证，从略。若视{Xi=1}为第i次试验成功，则c.表明：如果第二次成功出现在第n次试验，则第一次试验成功的时间等可能取值于1，2，…，n-1。
此结论亦可推广，本文不再赘述。
参考文献：
[1]何声武.随机过程引论[M].大连：高等教育出版社，1999.
[2]胡迪鹤.应用随机过程引论.哈尔滨工业大学出版社，1984.
[3]S.M.Ross.随机过程[M].北京：中国统计出版社，1997.
[4]S.M.Ross.应用随机过程概率模型导论（英文版，第9版）[M].北京：人民邮电出版社，2007.
关键词： 计数过程；独立增量；平稳增量；泊松过程；伯努利过程；条件分布
以Nt表示到时刻t为止已发生的“某事件”的次数，若满足Nt≥0； Nt是整数值；s
记Xi为事件第i1次与第i次发生的时间间隔，Si为事件第i次发生的时刻，i=1，2，…，约定X0=0，N（0）=0。
以下着重研究几个平稳的独立增量过程中的条件分布。先讨论泊松过程中的几个条件分布。
设{Nt}为平稳的独立增量过程，在任一长度为t的区间中事件的个数服从均值为λt的泊松分布，即对一切s，t≥0，
P（Nt+s-Ns=n）=e-λt（λt）nn！，n=0，1，…，
则称{Nt}是强度为λ的泊松过程。
易知
（1）ENt-Ns
=DNt-Ns=λt-s；
（2） CovN（s），N（t）=λmins，t ；
（3）Xi，i=1，2，…，相互独立，均服从参数为λ的指数分布；
（4）Si，i=1，2，…，服从参数为λ，i的Γ-分布。
（1）设{Nt}是强度为λ的泊松过程，则Nt=1条件下，S1服从0，t上的均匀分布。亦即，如果已知时间段0，t内发生了一个事件，则此事件发生的时刻等可能取值于0，t。
证明：对s≤t有
PS1≤s|Nt=1=PS1≤s，Nt=1PNt=1
=P在（0，s]内有1个事件，在（s，t]内没有事件PNt=1
=P（N（s）=1）P（Nt-N（s）=0）PNt=1
=λse-λse-λt-sλte-λt=st
（2）设0，t内发生的事件数为n，即{N（t）=n}，则这n个事件发生的时刻，在不考虑发生的先后次序时，是独立同分布于0，t上的均与分布的。
证明参见参考文献[2]，此例即例1的推广。
（3）设{Nt}是强度为λ的泊松过程，0≤s
=P[HT5”，7.]在（0，s]内恰好发生k个事件，在（s，t]内恰好发生n-k个事件[HT]PNt=n
=[HT5”，7.SS]P（在（0，s]内恰好发生k个事件）P（在（s，t]内恰好发生n-k个事件）[HT]PNt
=n
=P（N（s）=k）P（Nt-N（s）=n-k）PNt=n
=nk（st）k（t-st）n-k，
此即二项分布B（n，st）。
（4）设{Nit}是强度分别为λ1，λ2的相互独立的泊松过程，i=1，2，t≥0，Nt=N1（t）+N2（t），则{Nt}是强度为λ=λ1+λ2的泊松过程，且Nt=n的条件下，N1（t）服从二项分布B（n，λ1λ），N2（t）服从二项分布B（n，λ2λ）。
证明：易验证{Nt}是强度为λ=λ1+λ2的泊松过程，
由于P（N1t=k|Nt=n）
=P（N1（t）=k，N2t=n-k）PNt=n
=P（N1（t）=k）P（N2t=n-k）PNt=n
=nk（λ1λ）k（λ2λ）n-k，此即二项分布B（n，λ1λ），类似可证N2（t）服从二项分布B（n，λ2λ）。
（5）以下討论伯努利过程中的条件分布。
设Xi，i=1，2，…，独立同分布，共同分布为P（Xi=1）=p=1-P（Xi=0），则称{Xn}为伯努利过程。
a.记Nn=∑ni=1Xi，则{Nn}是平稳独立增量过程；
b.记Ti=inf{n|∑nk=1Xk=i}，i=1，2，…，则Ti，i=1，2，…服从参数为{i，p}的负二项分布，即 P（Ti=k）=k-1i-1pi（1-p）k-i，k=i，i+1，…；i=1，2，…
c.在T2=n，n>1条件下，T1在1，2，…，n-1中等可能取值。
证明：易证，从略。若视{Xi=1}为第i次试验成功，则c.表明：如果第二次成功出现在第n次试验，则第一次试验成功的时间等可能取值于1，2，…，n-1。
此结论亦可推广，本文不再赘述。
参考文献：
[1]何声武.随机过程引论[M].大连：高等教育出版社，1999.
[2]胡迪鹤.应用随机过程引论.哈尔滨工业大学出版社，1984.
[3]S.M.Ross.随机过程[M].北京：中国统计出版社，1997.
[4]S.M.Ross.应用随机过程概率模型导论（英文版，第9版）[M].北京：人民邮电出版社，2007.