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《三国演义》是元末明初小说家罗贯中创作的长篇章回体历史演义小说，也是我国四大名著之一。《三国演义》描写了从东汉末年到西晋初年之间近百年的历史，全书以黄巾起义为开端，最终司马炎一统三国，建立晋朝的故事。在这广阔的历史舞台上，呈现了一幕幕气势磅礴的战争场面，作者将兵法融于字里行间，既有情节，也有计谋。《三国演义》是一部非常成功的战争描写著作，在文学艺术中成就非常突出，其中也体现了数学思想的应用。
一、抽象思想
抽象思想是认识事物的一种邏辑思维方法，包括符号思想、分类思想、集合思想、有限与无限思想、变中有不变思想等。《三国演义》中体现了符号化思想、变中有不变思想的应用。
（一）符号化思想
符号化思想主要指人们有意识地、普遍地运用符号去表述研究的对象。符号化思想是人们在研究现实世界的数量关系和空间形式的过程中产生的，它来源于生活，但并不是生活中真实的物质存在，而是一种抽象概括。
在文艺作品中，符号化思想也得到了广泛应用。在中国古代社会，“三”是一个神圣的数字，很多小说的回目和情节中就有符号“三”的应用。回目就是每回书的题目，有的是单句，有的是偶句，这是一种在小说创造过程中具有中国特色的艺术表现形式。很多小说作品的回目中都有数字“三”的身影，像《西游记》中的“九九数完魔刬尽，三三行满道归根;三僧大战青龙山，四星挟捉犀牛怪”。《水浒传》中的：“吴学究说三阮撞筹，公孙胜应七星聚义;镇三山大闹青州道，霹雳火夜走瓦砾场”。《三国演义》也不例外，回目中仍然很多地方都有数字“三”的应用，如“宴桃园豪杰三结义，斩黄巾英雄首立功;袁曹各起马步三军，关张共擒王刘二将;荆州城公子三求计，博望坡军师初用兵”等。
（二）变中有不变的思想
变中有不变思想是指在学习数学或用数学解决问题的过程中，会面对千变万化的对象，但是在这些变化中能找到不变的性质和规律，发现数学的本质，这就是变中有不变的思想，其实质是万变不离其宗。
《三国演义》中写道：“亮长于巧思，损益连弩，木牛流马，皆出其意，推演兵法，作八阵图，咸得其要云。”当陆逊火烧连营并带大军追捕刘备时，诸葛亮用石头堆成石头阵等待着他。此石头阵按照奇门遁甲的原理，将其分为休、生、伤、杜、景、死、惊、开八门，变化万端，可挡十万精兵。但陆逊却从死门而入，料想不识此阵，后被诸葛亮的岳父把陆逊带了出来，即从正东“生门”打入，往西南“休门”杀出，复从正北“开门”杀入，此阵可破。不管这个阵法怎么变化，只要按照这几个门走，最后就可以走出这个阵法了。看似复杂的阵法，其实只是一个变中有不变思想的巧妙运用。
二、推理思想
推理是从一个或几个已有的判断得出另一个新判断的思维形式，推理所根据的判断叫前提，根据前提所得到的判断叫结论。它包括归纳推理、类比推理、演绎推理、转化思想、数形结合思想、代换思想等。
（一）类比推理
类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出他们的其他属性也相同的推理，它的结论是或然性的。类比推理的例子在《三国演义》中有很多，这里列举具有代表性的几个。
在小说的第19回曹操攻打下邳，与吕布对战，在吕布被抓时写道：方操送宫下楼时，布告玄德曰：“公为座上客，布为阶下囚，何不发一言而相宽乎？”玄德点头。及操上楼来，布叫曰：“明公所患，不过于布;布今已服矣。公为大将，布副之，天下不难定也。”操回顾玄德曰：“何如？”玄德答曰：“公不见丁建阳、董卓之事乎？”刘备的话是一个类比推理。吕布曾认丁建阳为“父亲”，后来见利忘义，亲手杀了这位“父亲”，转认董卓为“父亲”。在女色的引诱下，吕布又亲手杀死了董卓。曹操如再重用吕布，那么，这一部分属性和丁建阳、董卓重用吕布相同。因此，它的另一部分属性也很可能相同，即吕布将杀害曹操。
同样，在小说第79回左咸进谏孙权杀关羽也用到了类比推理。建安二十四年（219年）十一月，孙权西征关羽，任命吕蒙为前部，孙权先达江陵，派陆逊攻占夷陵、秭归，切断关羽入川退路。关羽向驻扎上庸的蜀将刘封、孟达求援，被拒绝。关羽陷于进退失据、腹背受敌的困境，遂西走麦城。是年十二月，关羽率少数骑兵从麦城突围，西逃璋乡，其部下皆降于孙权。孙权又派朱然、潘璋截断了他的道路，关羽父子最终在临沮为潘璋部将马忠擒获，孙权本想劝说关羽投降，但是左咸向孙权进谏，曾经关羽落到了曹操手里，无论曹操对关羽怎样的好，但关羽还是誓死追随刘备，如果此次放了关羽，那么无疑是放虎归山，将来后患无穷，就这样，关羽就被孙权斩首，从此一代枭雄就这样没了。
从以上例子来看，类比推理在文学中的作用是非常重要的，它不仅可以起到推动故事情节的发展，还能更好地陈述事实，具有很强的说服性。
（二）演绎推理
所谓演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程。演绎推理可分为选言推理、假言推理、联言推理和三段论推理。
1.假言推理。
假言推理的前提有一个充分条件假言判断，肯定前件就要肯定后件，否定后件就要否定前件。
在赤壁大战前夕，蔡中、蔡和奉曹操之命率五百人马假意投降东吴，周瑜见状密对甘宁说：“此二人不带家小，非真投降，乃曹操使来为奸细者。”在这里周瑜就是用假言来推理二蔡是否真降的，即如果二蔡真降，一定会带家小来降，而今他俩并未带家小来降，所以一定是诈降。周瑜的话就是包含着一个充分条件假言推理，否定后件就要否定前件，他否定了二蔡没有带家小来降，所以断定他们是假降。
在周瑜的推理中，前提真实，推理符合规则所以得出了和现实相符的结论。所以周瑜将计就计，击败了曹操。没有推理，岂能够将计就计！
2.联言推理。
联言推理是前提或结论为联言命题，并根据联言命题的逻辑性质而进行推演的演绎推理。若其前提是联言命题，则结论为该联言命题的一个（或部分）联言支。若其结论是联言命题，则前提是该联言命题的各个联言支。 在《三国演义》的第1回中写道：“话说天下大势，分久必合，合久必分。”在最后一回也就是第120回又写道：“自此三国归于晋帝司马炎，为一统之基矣。此所谓‘天下大势，合久必分，分久必合’者也。”这简简单单的两句话分别在开头和结尾都提到了，这就是运用了推理思想中的联言推理，从一开始就已经注定了未来的结局，最终都离不开“分”与“合”二字。
3.三段论推理。
三段论是演绎推理的一般模式，包括：大前提，即已知的一般原理，小前提，即所研究的特殊情況，结论即根据一般原理，对特殊情况做出的判断。
在小说的第100回中，诸葛亮与曹真对阵时，细作来报曹真卧病不起，现在营中治病。诸葛亮大喜，谓诸将曰：“若曹真病轻，必便回长安。今魏兵不退，必为病重，故留于军中，以安众人之心。吾写下一书，教秦良的降兵持与曹真，真若见之，必然死矣！”诸葛亮判断曹真真的病重后，便写一封信给曹真，内容是说曹真乃无能之辈，无脸面见关中父老，又有何颜面入相府之厅堂。曹真看毕，恨气填胸，至夜，便死于军中。在这里诸葛亮的判断就是三段论推理：病势沉重的人突然伤心过度就会送命;曹真现在病势沉重;所以，曹真必然伤心过度就会送命。
（三）数形结合
数形结合是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。华罗庚说过“数缺形时少直观，形无数时难入微”。可见，数形结合的重要性。
在第42回小说中写到文聘引军追赵云至长坂桥，只见张飞倒竖虎须，圆睁环眼，手绰蛇矛，立马桥上，又见桥东树林之后，尘头大起，疑有伏后，便勒住马，不敢近前。俄而曹仁、李典、夏侯惇、夏侯渊、乐进、张辽、张郃、许褚等都至。见飞怒目横矛，立马于桥上，又恐是诸葛孔明之计，都不敢近前。扎住阵脚，一字儿摆在桥西，使人飞报曹操。操闻知，急上马，从阵后来。张飞睁圆环眼，隐隐见后军青罗伞盖、旄钺旌旗来到，料得是曹操心疑，亲自来看。飞乃厉声大喝曰：“我乃燕人张翼德也！谁敢与我决一死战？”声如巨雷。曹军闻之，尽皆股栗。
曹操急令去其伞盖，回顾左右曰：“我向曾闻云长言：翼德于百万军中，取上将之首，如探囊取物。今日相逢，不可轻敌。”张飞带来的兵原本就不多，为了造成人很多的假象，他让原随二十余骑在马尾拴上树枝，来回奔跑，通过“造形”来体现数量。这里尘土飞扬是形，代表兵将众多。
三、反证法思想
反证法思想是间接论证的一种方法，也称为“逆证”。它是通过断定与论题相矛盾的判断，也就是反论题的虚假来确立论题的真实性的论证方法，首先提出论题，然后设定反论题，并依据推理规则进行推演，证明反论题的虚假，最后根据排中律，证明反论题为假，原论题便是真的。在进行反证的过程中，只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题。在《三国演义》中就用到了反证法的思想，如草船借箭、离间计、空城计等。
（一）草船借箭
在小说第46回中的赤壁之战。周瑜一心想除掉诸葛亮，时时为难诸葛亮，让诸葛亮为了双方的利益造十万支箭。可想而知，这短短的几天怎么可能做到，诸葛亮便想到了借箭这一想法，这便有了历史上著名的草船借箭。
诸葛亮的草船借箭便是用到了反证法思想，他利用天文地理的知识，给曹操造成了东吴来战的假象，从反面论证了自己猜想的真实性，也就是让曹操以为东吴真的来袭击，然后运用与真实相反的结果，也就是大雾天气骗过了曹操，最终达到自己的目的，不费一兵一卒，便轻轻松松得到了十万支箭。
（二）离间计
离间计指的是用计谋离间敌人引起内讧，只要涉及军事战略，那么就不得不说到离间计。《三国演义》第59回，曹操与马超、韩遂对战，但曹操很显然是敌不过两人的，于是曹操就给韩遂写了故意抹字的书信，还故意让马超看到，最后成功离间马超叔父二人，引起内讧，让叔侄二人生出嫌隙。自此西凉之兵，自相拼杀不战自败。这正是反证法思想的应用，曹操通过给韩遂的抹字书从相互矛盾的方面来证明其会产生的结果，从而达到自己最后真实的目的。
（三）空城计
在小说中的第95回，马谡拒谏失街亭后，诸葛亮被迫退到城里。诸葛亮让五千兵退去西城县搬运粮草，忽然十余次飞马报到说：“司马懿引大军十五万，望西城蜂拥而来！”这时城中无大将，只有一班文官。诸葛亮很淡定，大开四门，每一门用二十军士，扮作百姓，洒扫街道。自己乃披鹤氅，戴纶巾，引二小童携琴一张，于城上敌楼前，凭栏而坐，焚香操琴。
司马懿来到城下，看见诸葛亮坐于城楼之上，笑容可掬，焚香操琴。左有一童子，手捧宝剑;右有一童子，手执麈尾。城门内外，有二十余百姓，低头洒扫，旁若无人。司马懿看毕大疑，便到中军，教后军作前军，前军作后军，望北山路而退。就这样，诸葛亮用奇谋吓退了司马懿的大军。在这里，诸葛亮通过反证法来证明司马懿的多疑，而司马懿又以同样的方法来证明诸葛亮的平生谨慎，不曾弄险，从而得出正确的结论，今大开城门，必有埋伏，我兵若进，中其计也，所以引兵而退。这正是在反证法中通过断定与论题矛盾的判断来确定论题的真实性，以此证明诸葛亮对司马懿的猜想是正确，从而使得此次战役得以化险为夷。
《三国演义》作为一部描写战争的出色作品，在小说的很多内容中都渗透了数学思想，进一步增强了小说的逻辑性和连贯性，把故事情节更好地串联了起来，可见作者不仅有丰富的文化功底，还有很高的数学素养。《三国演义》中蕴含的数学思想，值得我们仔细品味。
一、抽象思想
抽象思想是认识事物的一种邏辑思维方法，包括符号思想、分类思想、集合思想、有限与无限思想、变中有不变思想等。《三国演义》中体现了符号化思想、变中有不变思想的应用。
（一）符号化思想
符号化思想主要指人们有意识地、普遍地运用符号去表述研究的对象。符号化思想是人们在研究现实世界的数量关系和空间形式的过程中产生的，它来源于生活，但并不是生活中真实的物质存在，而是一种抽象概括。
在文艺作品中，符号化思想也得到了广泛应用。在中国古代社会，“三”是一个神圣的数字，很多小说的回目和情节中就有符号“三”的应用。回目就是每回书的题目，有的是单句，有的是偶句，这是一种在小说创造过程中具有中国特色的艺术表现形式。很多小说作品的回目中都有数字“三”的身影，像《西游记》中的“九九数完魔刬尽，三三行满道归根;三僧大战青龙山，四星挟捉犀牛怪”。《水浒传》中的：“吴学究说三阮撞筹，公孙胜应七星聚义;镇三山大闹青州道，霹雳火夜走瓦砾场”。《三国演义》也不例外，回目中仍然很多地方都有数字“三”的应用，如“宴桃园豪杰三结义，斩黄巾英雄首立功;袁曹各起马步三军，关张共擒王刘二将;荆州城公子三求计，博望坡军师初用兵”等。
（二）变中有不变的思想
变中有不变思想是指在学习数学或用数学解决问题的过程中，会面对千变万化的对象，但是在这些变化中能找到不变的性质和规律，发现数学的本质，这就是变中有不变的思想，其实质是万变不离其宗。
《三国演义》中写道：“亮长于巧思，损益连弩，木牛流马，皆出其意，推演兵法，作八阵图，咸得其要云。”当陆逊火烧连营并带大军追捕刘备时，诸葛亮用石头堆成石头阵等待着他。此石头阵按照奇门遁甲的原理，将其分为休、生、伤、杜、景、死、惊、开八门，变化万端，可挡十万精兵。但陆逊却从死门而入，料想不识此阵，后被诸葛亮的岳父把陆逊带了出来，即从正东“生门”打入，往西南“休门”杀出，复从正北“开门”杀入，此阵可破。不管这个阵法怎么变化，只要按照这几个门走，最后就可以走出这个阵法了。看似复杂的阵法，其实只是一个变中有不变思想的巧妙运用。
二、推理思想
推理是从一个或几个已有的判断得出另一个新判断的思维形式，推理所根据的判断叫前提，根据前提所得到的判断叫结论。它包括归纳推理、类比推理、演绎推理、转化思想、数形结合思想、代换思想等。
（一）类比推理
类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出他们的其他属性也相同的推理，它的结论是或然性的。类比推理的例子在《三国演义》中有很多，这里列举具有代表性的几个。
在小说的第19回曹操攻打下邳，与吕布对战，在吕布被抓时写道：方操送宫下楼时，布告玄德曰：“公为座上客，布为阶下囚，何不发一言而相宽乎？”玄德点头。及操上楼来，布叫曰：“明公所患，不过于布;布今已服矣。公为大将，布副之，天下不难定也。”操回顾玄德曰：“何如？”玄德答曰：“公不见丁建阳、董卓之事乎？”刘备的话是一个类比推理。吕布曾认丁建阳为“父亲”，后来见利忘义，亲手杀了这位“父亲”，转认董卓为“父亲”。在女色的引诱下，吕布又亲手杀死了董卓。曹操如再重用吕布，那么，这一部分属性和丁建阳、董卓重用吕布相同。因此，它的另一部分属性也很可能相同，即吕布将杀害曹操。
同样，在小说第79回左咸进谏孙权杀关羽也用到了类比推理。建安二十四年（219年）十一月，孙权西征关羽，任命吕蒙为前部，孙权先达江陵，派陆逊攻占夷陵、秭归，切断关羽入川退路。关羽向驻扎上庸的蜀将刘封、孟达求援，被拒绝。关羽陷于进退失据、腹背受敌的困境，遂西走麦城。是年十二月，关羽率少数骑兵从麦城突围，西逃璋乡，其部下皆降于孙权。孙权又派朱然、潘璋截断了他的道路，关羽父子最终在临沮为潘璋部将马忠擒获，孙权本想劝说关羽投降，但是左咸向孙权进谏，曾经关羽落到了曹操手里，无论曹操对关羽怎样的好，但关羽还是誓死追随刘备，如果此次放了关羽，那么无疑是放虎归山，将来后患无穷，就这样，关羽就被孙权斩首，从此一代枭雄就这样没了。
从以上例子来看，类比推理在文学中的作用是非常重要的，它不仅可以起到推动故事情节的发展，还能更好地陈述事实，具有很强的说服性。
（二）演绎推理
所谓演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程。演绎推理可分为选言推理、假言推理、联言推理和三段论推理。
1.假言推理。
假言推理的前提有一个充分条件假言判断，肯定前件就要肯定后件，否定后件就要否定前件。
在赤壁大战前夕，蔡中、蔡和奉曹操之命率五百人马假意投降东吴，周瑜见状密对甘宁说：“此二人不带家小，非真投降，乃曹操使来为奸细者。”在这里周瑜就是用假言来推理二蔡是否真降的，即如果二蔡真降，一定会带家小来降，而今他俩并未带家小来降，所以一定是诈降。周瑜的话就是包含着一个充分条件假言推理，否定后件就要否定前件，他否定了二蔡没有带家小来降，所以断定他们是假降。
在周瑜的推理中，前提真实，推理符合规则所以得出了和现实相符的结论。所以周瑜将计就计，击败了曹操。没有推理，岂能够将计就计！
2.联言推理。
联言推理是前提或结论为联言命题，并根据联言命题的逻辑性质而进行推演的演绎推理。若其前提是联言命题，则结论为该联言命题的一个（或部分）联言支。若其结论是联言命题，则前提是该联言命题的各个联言支。 在《三国演义》的第1回中写道：“话说天下大势，分久必合，合久必分。”在最后一回也就是第120回又写道：“自此三国归于晋帝司马炎，为一统之基矣。此所谓‘天下大势，合久必分，分久必合’者也。”这简简单单的两句话分别在开头和结尾都提到了，这就是运用了推理思想中的联言推理，从一开始就已经注定了未来的结局，最终都离不开“分”与“合”二字。
3.三段论推理。
三段论是演绎推理的一般模式，包括：大前提，即已知的一般原理，小前提，即所研究的特殊情況，结论即根据一般原理，对特殊情况做出的判断。
在小说的第100回中，诸葛亮与曹真对阵时，细作来报曹真卧病不起，现在营中治病。诸葛亮大喜，谓诸将曰：“若曹真病轻，必便回长安。今魏兵不退，必为病重，故留于军中，以安众人之心。吾写下一书，教秦良的降兵持与曹真，真若见之，必然死矣！”诸葛亮判断曹真真的病重后，便写一封信给曹真，内容是说曹真乃无能之辈，无脸面见关中父老，又有何颜面入相府之厅堂。曹真看毕，恨气填胸，至夜，便死于军中。在这里诸葛亮的判断就是三段论推理：病势沉重的人突然伤心过度就会送命;曹真现在病势沉重;所以，曹真必然伤心过度就会送命。
（三）数形结合
数形结合是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。华罗庚说过“数缺形时少直观，形无数时难入微”。可见，数形结合的重要性。
在第42回小说中写到文聘引军追赵云至长坂桥，只见张飞倒竖虎须，圆睁环眼，手绰蛇矛，立马桥上，又见桥东树林之后，尘头大起，疑有伏后，便勒住马，不敢近前。俄而曹仁、李典、夏侯惇、夏侯渊、乐进、张辽、张郃、许褚等都至。见飞怒目横矛，立马于桥上，又恐是诸葛孔明之计，都不敢近前。扎住阵脚，一字儿摆在桥西，使人飞报曹操。操闻知，急上马，从阵后来。张飞睁圆环眼，隐隐见后军青罗伞盖、旄钺旌旗来到，料得是曹操心疑，亲自来看。飞乃厉声大喝曰：“我乃燕人张翼德也！谁敢与我决一死战？”声如巨雷。曹军闻之，尽皆股栗。
曹操急令去其伞盖，回顾左右曰：“我向曾闻云长言：翼德于百万军中，取上将之首，如探囊取物。今日相逢，不可轻敌。”张飞带来的兵原本就不多，为了造成人很多的假象，他让原随二十余骑在马尾拴上树枝，来回奔跑，通过“造形”来体现数量。这里尘土飞扬是形，代表兵将众多。
三、反证法思想
反证法思想是间接论证的一种方法，也称为“逆证”。它是通过断定与论题相矛盾的判断，也就是反论题的虚假来确立论题的真实性的论证方法，首先提出论题，然后设定反论题，并依据推理规则进行推演，证明反论题的虚假，最后根据排中律，证明反论题为假，原论题便是真的。在进行反证的过程中，只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题。在《三国演义》中就用到了反证法的思想，如草船借箭、离间计、空城计等。
（一）草船借箭
在小说第46回中的赤壁之战。周瑜一心想除掉诸葛亮，时时为难诸葛亮，让诸葛亮为了双方的利益造十万支箭。可想而知，这短短的几天怎么可能做到，诸葛亮便想到了借箭这一想法，这便有了历史上著名的草船借箭。
诸葛亮的草船借箭便是用到了反证法思想，他利用天文地理的知识，给曹操造成了东吴来战的假象，从反面论证了自己猜想的真实性，也就是让曹操以为东吴真的来袭击，然后运用与真实相反的结果，也就是大雾天气骗过了曹操，最终达到自己的目的，不费一兵一卒，便轻轻松松得到了十万支箭。
（二）离间计
离间计指的是用计谋离间敌人引起内讧，只要涉及军事战略，那么就不得不说到离间计。《三国演义》第59回，曹操与马超、韩遂对战，但曹操很显然是敌不过两人的，于是曹操就给韩遂写了故意抹字的书信，还故意让马超看到，最后成功离间马超叔父二人，引起内讧，让叔侄二人生出嫌隙。自此西凉之兵，自相拼杀不战自败。这正是反证法思想的应用，曹操通过给韩遂的抹字书从相互矛盾的方面来证明其会产生的结果，从而达到自己最后真实的目的。
（三）空城计
在小说中的第95回，马谡拒谏失街亭后，诸葛亮被迫退到城里。诸葛亮让五千兵退去西城县搬运粮草，忽然十余次飞马报到说：“司马懿引大军十五万，望西城蜂拥而来！”这时城中无大将，只有一班文官。诸葛亮很淡定，大开四门，每一门用二十军士，扮作百姓，洒扫街道。自己乃披鹤氅，戴纶巾，引二小童携琴一张，于城上敌楼前，凭栏而坐，焚香操琴。
司马懿来到城下，看见诸葛亮坐于城楼之上，笑容可掬，焚香操琴。左有一童子，手捧宝剑;右有一童子，手执麈尾。城门内外，有二十余百姓，低头洒扫，旁若无人。司马懿看毕大疑，便到中军，教后军作前军，前军作后军，望北山路而退。就这样，诸葛亮用奇谋吓退了司马懿的大军。在这里，诸葛亮通过反证法来证明司马懿的多疑，而司马懿又以同样的方法来证明诸葛亮的平生谨慎，不曾弄险，从而得出正确的结论，今大开城门，必有埋伏，我兵若进，中其计也，所以引兵而退。这正是在反证法中通过断定与论题矛盾的判断来确定论题的真实性，以此证明诸葛亮对司马懿的猜想是正确，从而使得此次战役得以化险为夷。
《三国演义》作为一部描写战争的出色作品，在小说的很多内容中都渗透了数学思想，进一步增强了小说的逻辑性和连贯性，把故事情节更好地串联了起来，可见作者不仅有丰富的文化功底，还有很高的数学素养。《三国演义》中蕴含的数学思想，值得我们仔细品味。