【摘要】本文采用不同的方法对一道一阶微分方程的题目进行求解，并由此體现出初等解法在一阶微分方程求解中的多样性.
　　【关键词】积分因子法；分项组合；一阶微分方程；常数变易
　　本文采用五种方法求解微分方程ydx-（x y3）dy=0.
　　具体如下：
　　解法一（积分因子公式法）
　　由方程知M=y，N=-（x y3），
　　又My≠Nx，故原方程为非恰当方程，
　　又由My-Nx-M=-2y只和y有关，所以原方程有只和y有关的积分因子μ（y）=e∫-2ydy=1y2，
　　原方程两边同乘1y2得1ydx-xy2 ydy=0，
　　其中，M=1y，N=-xy2-y，
　　My=Nx=-1y2，故此方程为恰当方程.
　　设u（x，y）=∫1ydx φ（y），则
　　uy=y∫1ydx φ′（y）=-xy2-y，
　　得φ′（y）=-y，则φ（y）=∫-ydy=-12y2 c，
　　从而原方程的通解为-12y2 xy=c（c为任意常数）.
　　解法二（观察法）
　　通过观察得积分因子μ=1y2，将1y2乘原方程两边得
　　1ydx-xy2 y=0，
　　即-ydy ydx-xdyy2=d-12y2 xy，
　　故原方程的通解为-12y2 xy=c（c为任意常数）.
　　解法三（常数变易法）
　　原方程可变形为dydx=yx y3，
　　将y看作自变量，x看作因变量，原方程可化为
　　dxdy=xy y2，下面分两步进行求解：
　　（1）先求对应齐次线性微分方程dxdy=1y的解.
　　由公式x=ce∫p（x）dy得
　　x=ce∫1ydy=cy.
　　（2）利用常数变易：
　　设x=c（y）y为原方程的解，代入
　　dxdy=xy y2得
　　c′（y）y c（y）=c（y） y2，
　　易得c′（y）=y，则
　　c（y）=∫ydy=12y2 c，
　　故原方程的通解为-12y2 xy=c（c为任意常数）.
　　解法四（一阶非齐次线性公式法）
　　将x看作因变量，y看作因变量，原方程可化为
　　dxdy=xy y2，其中，p（y）=1y，q（y）=y2，
　　由公式x=e∫p（y）dy∫q（y）e-∫p（y）dydy c得
　　x=e∫1ydy∫y2e-∫1ydydy c=y12y2 c，
　　故原方程的通解为-12y2 xy=c（c为任意常数）.
　　解法五（曲线积分法）
　　通过观察得积分因子μ=1y2，将1y2乘原方程两边得
　　1ydx-xy2 y=0，为恰当方程，用曲线积分法求解.
　　取x0=0，y0=0，则u（x，y）=∫x01ydx ∫y0-ydy=1yx-12y2，
　　故原方程的通解为-12y2 xy=c（c为任意常数）.
　　【参考文献】
　　[1]赵临龙.常微分方程[M].武汉：华中师范大学出版社，2014.
　　[2]王克，潘家齐.常微分方程学习指导[M].北京：高等教育出版社，2007.