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摘 要：分别使用非线性自我激励门限模型（SETAR模型）和线性ARMA模型对股票市场进行比较研究，并运用MAE和RMSE方法比较两者的预测效果，结果表明，通过门限值的控制作用，SETAR模型利用时序数据隐含的时序分段相依性这一重要信息,限制了模型误差,从而比ARMA 模型更适合于描述股票波动的非线性规律。
关键词：SETAR模型；股票波动性；ARMA模型
中图分类号：224.7文献标识码：A文章编号：1672-3198（2008）09-0134-02
0 前言
所谓SETAR模型，是指一种特殊的TAR模型，其阀值的选取是研究变量自身，而不象一般的TAR模型，阀值变量为其他变量。该模型在研究非线性问题上，日益受到国内外学者的重视。
SETAR模型被成功地用来预测一些生物和物理方面的进程, 如预测lysn 数据和太阳黑子的数目(Tong, 1990), 此外该模型在经济和金融方面也得到了广泛的应用。Tiao and Tsay(1994), Potter(1995)运用该模型对美国的GDP 进行了预测; Potter (1995)、Peel and Speight(1995)年分别运用SETAR 模型对美国和英国的GDP进行了预测, 但是运用该模型对股票进行研究的文章一直较少, 作者采用自我激励门限模型——Self- Exciting Threshold Autogressive Model (SETAR) 对股票市场进行研究。除了运用SETAR 模型对股票进行拟合, 还通过与ARMA 模型的比较, 对SETAR 的预测能力进行检验。本文第一部分对该模型进行一般的理论介绍；第二部分运用该模型对股票市场进行拟合与预测，并与一般的ARMA（p,q）模型拟合与预测效果进行比较；最后为结论部分。
1 SETAR模型
通常我们假定一个时间序列{Y}在一个状态空间里，服从线性自回归的特性，然而，实际情况往往并非我们假设的那样，它可能属于两个或更多的空间，这取决于该序列滞后值 ，一般d可以取0，1，…，一直到允许的最大滞后长度。在不同的空间它服从不同的AR(P)过程。例如在两个空间状态的情况下，可以定义一个SETAR(2;P1;P2)模型如下：
上述模型表明该过程在两个状态分别服从AR(P1)过程和AR(P2)过程。
一般可以把上述模型写成以下形式：
我们采用赤池信息准则(Akaike's lnformation Criterion, 简称AIC)。即通过使AIC 取最小值来确定d 和p 的值。Tong(1990)指出此时SETAR 模型的AIC 准则可以通过两个表达式下AR 模型的AIC 准则求和来获得, 即:
AIC(p1,p2)=n1ln1+n2ln2+2(p1+1)+2(p2+1)
其中，j2是第j个分段表达式下残差的方差，r的值的确定可以采取黄金分割法, 所谓黄金分割法, 就是即在搜索过程中通过比较搜索点的函数值。每次均以同等的比率0.618 不断缩小极值点所在的区间, 通过这样不断的缩小区间使之逼近某一值, 该值即为所求的r 值。r 的初始值区间我们可以采用如下做法: 将时间序列yt按照升序进行排序, r 的取值必须满足以下集合r{r|y［π(n-1)］≤r≤y［(1-π)(n-1)］}(其中,π为一个分段表达式的观测值占总的观察值的百分比), 并且π可以比较安全的取得0.15(Franses, Van Dijk, 2000)。计算选择在不同的d,p1,p2和阀值r下回归，以上四个参数的决定遵循以下规则：（1）回归残差不存在自相关；（2）最小AIC准则。
2 实证研究
2.1 数据
本文选取1997年1月1日到2007年12月28日的香港恒生指数， 作为样本（数据来源：聚源数据库），所选用的数据均为收盘价。其中，香港恒生指数共2725个交易数据，令pt为t时的收盘价，定义对数收益率yt=ln(pt/pt-1×100)。
2.2 模型估计
首先对时间序列进行平稳性检验。运用EVIEWS软件进行ADF检验，统计量计算得12.24403，5%显著水平下的临界值等于-2.863176，不能拒绝原假设，该过程为非平稳过程。对该数据进行一次差分后再进行ADF检验，统计量计算得-13.48298，5%显著水平下的临界值等于-2.863182，拒绝原假设，即为平稳过程。通过运用黄金分割法进行搜索，算得香港恒生指数r=0.29875。对于门限变量和滞后期数的确定，我们采取AIC准则，通过选AIC取最小值可知，当门限变量为 滞后期数为1，这时的模型为SETAR（2，5，4）。运用最小二乘法（OLS）对参数进行估计，得到：
对残差做相关性检验，结果如下表
表中给出了从滞后1到15阶自相关检验的Q统计值和假设自相关系数都为0的p值。从结构来看，在5%的显著性水平下，不能拒绝原假设，即所有的自相关系数为0，因而残差不具有自相关性，说明上述SETAR模型p1和p2的选取是合适的。
为了与非线性模型SETAR进行比较，我们采用ARMA（p,q）模型。运用EVIEWS软件进行ADF检验，统计量计算得-7.3049，5%显著水平下的临界值等于-2.8624，拒绝原假设，即为平稳过程。估计方程得：
yt=0.0545-0.3899y-t-1+0.2792y-t-2+0.1858y-t-3+0.2292y-t-4+0.1290y-t-5+εt-0.6170εt-1
2.3 预测能力比较
现考虑SETAR模型的拟合程度以及预测能力的优劣。DaccoandSatchwell(1999)指出预测结果好坏的关键因素是模型的选择，并且进一步指出，即使时间序列本身是由多个门限生成的，对其进行拟合线性模型的绝对误差百分比（MAPE）可能比采用非线性拟合和线性模型的绝对误差百分比（MAPE）要小。因此我们还需要进一步考虑均方根误差率(RMSE)和绝对误差平均MAE ，其中RMSE=1n∑T+nt=T+1（t-yt）2，T表示样本容量，n表示样本外预测期数， 表示预测值， 是真值，RMSE通过若干个预测值对预测的相对误差进行综合评价；MAE=1n∑T+nt=T+1|t-yt|，其中T表示样本容量，n表示样本外预测期数，t表示预测值，yt是真值。RMSE通过若干个预测值对预测的相对误差进行综合评价。
要考察几个模型预测值的准确度，主要看单步预测值的大小，该预测值越小，即MAE和RMSE值越小，模型预测精度就越高。对比分析如下表所示：
从表中我们可以看出，SETAR模型的RMSE和MAE值均比ARMA模型小，因此我们得出SETAR模型的预测能力比ARMA要强。
3 结论
从以上分析可知，用SETAR模型来拟合我国的股票波动，效果明显的优于线性的ARMA（p,q）模型，说明了在不同状态下，股票市场表现出来的性质是不一样的，一般的线性ARMA（p,q）模型则忽略了这种差异， 而SETAR模型准确反映了股票波动的这一特点，这就是用SETAR模型来模拟和预测股票波动性其效果明显优于线性ARMA模型的原因。
门限自回归模型（SETAR）是一种能有效描述具有跳跃性、相依性、谐波等复杂现象的非线性动态系统，门限的控制作用保证了门限自回归模型良好的稳健性和应用性，在各种自然科学和工程领域内，非线性时序预测具有广泛的实用价值。另外，因股市的建模与预测所处理的信息量往往十分庞大，各因素间相关性错综复杂，主次关系变化不定，数量关系难以定量分析，对算法有很高的要求，正是其复杂的非线性特征，使得关于股市的预测往往难如人意，从根本上来说，预测工作往往不是一次就可以完成的。
股票市场呈现非线性也不是一个独立的过程，而是表现相互依存的关系。其原因在于信息是以非线性的方式呈现的。人们也以非线性的方式对信息作反应，股价的波动也呈现非线性，相应地通过股票市场也表现在股价指数上，使得股价的指数所构成的时间序列分析呈现出非线性特征。通过运用SETAR模型对股票的波动性进行拟合具有一定的实用价值，利用该模型对股票市场进行预测具有可行性。
参考文献
［1］袁军. SETAR 模型在GDP 预测中的应用［J］.统计与决策，2007，（5）.
［2］ Tong.H.On a threshold Model［J］.Recognition and Signal Processing,1978,16(5).
［3］ De Gooijer,J.G.and P.De Bruin. On SETAR Forecasting ［J］.Statistics and Probability Letters,1997,160(12).
［4］ Peel, D.A., and Speight, A.E.H.Thresh0ld Nonlinearities in Output:some International Evidence ［J］.Applied Economics, 1998,30:323-333.
［5］ Potter, S.M..A Nonlinear Approach to U.S.GNP ［J］.Journal of Applied Econometries, 1995,10:109-125.
［6］ 张晓峒. EVIEWS使用指南和案例［M］.北京：机械工业出版社，2007,(2).
关键词：SETAR模型；股票波动性；ARMA模型
中图分类号：224.7文献标识码：A文章编号：1672-3198（2008）09-0134-02
0 前言
所谓SETAR模型，是指一种特殊的TAR模型，其阀值的选取是研究变量自身，而不象一般的TAR模型，阀值变量为其他变量。该模型在研究非线性问题上，日益受到国内外学者的重视。
SETAR模型被成功地用来预测一些生物和物理方面的进程, 如预测lysn 数据和太阳黑子的数目(Tong, 1990), 此外该模型在经济和金融方面也得到了广泛的应用。Tiao and Tsay(1994), Potter(1995)运用该模型对美国的GDP 进行了预测; Potter (1995)、Peel and Speight(1995)年分别运用SETAR 模型对美国和英国的GDP进行了预测, 但是运用该模型对股票进行研究的文章一直较少, 作者采用自我激励门限模型——Self- Exciting Threshold Autogressive Model (SETAR) 对股票市场进行研究。除了运用SETAR 模型对股票进行拟合, 还通过与ARMA 模型的比较, 对SETAR 的预测能力进行检验。本文第一部分对该模型进行一般的理论介绍；第二部分运用该模型对股票市场进行拟合与预测，并与一般的ARMA（p,q）模型拟合与预测效果进行比较；最后为结论部分。
1 SETAR模型
通常我们假定一个时间序列{Y}在一个状态空间里，服从线性自回归的特性，然而，实际情况往往并非我们假设的那样，它可能属于两个或更多的空间，这取决于该序列滞后值 ，一般d可以取0，1，…，一直到允许的最大滞后长度。在不同的空间它服从不同的AR(P)过程。例如在两个空间状态的情况下，可以定义一个SETAR(2;P1;P2)模型如下：
上述模型表明该过程在两个状态分别服从AR(P1)过程和AR(P2)过程。
一般可以把上述模型写成以下形式：
我们采用赤池信息准则(Akaike's lnformation Criterion, 简称AIC)。即通过使AIC 取最小值来确定d 和p 的值。Tong(1990)指出此时SETAR 模型的AIC 准则可以通过两个表达式下AR 模型的AIC 准则求和来获得, 即:
AIC(p1,p2)=n1ln1+n2ln2+2(p1+1)+2(p2+1)
其中，j2是第j个分段表达式下残差的方差，r的值的确定可以采取黄金分割法, 所谓黄金分割法, 就是即在搜索过程中通过比较搜索点的函数值。每次均以同等的比率0.618 不断缩小极值点所在的区间, 通过这样不断的缩小区间使之逼近某一值, 该值即为所求的r 值。r 的初始值区间我们可以采用如下做法: 将时间序列yt按照升序进行排序, r 的取值必须满足以下集合r{r|y［π(n-1)］≤r≤y［(1-π)(n-1)］}(其中,π为一个分段表达式的观测值占总的观察值的百分比), 并且π可以比较安全的取得0.15(Franses, Van Dijk, 2000)。计算选择在不同的d,p1,p2和阀值r下回归，以上四个参数的决定遵循以下规则：（1）回归残差不存在自相关；（2）最小AIC准则。
2 实证研究
2.1 数据
本文选取1997年1月1日到2007年12月28日的香港恒生指数， 作为样本（数据来源：聚源数据库），所选用的数据均为收盘价。其中，香港恒生指数共2725个交易数据，令pt为t时的收盘价，定义对数收益率yt=ln(pt/pt-1×100)。
2.2 模型估计
首先对时间序列进行平稳性检验。运用EVIEWS软件进行ADF检验，统计量计算得12.24403，5%显著水平下的临界值等于-2.863176，不能拒绝原假设，该过程为非平稳过程。对该数据进行一次差分后再进行ADF检验，统计量计算得-13.48298，5%显著水平下的临界值等于-2.863182，拒绝原假设，即为平稳过程。通过运用黄金分割法进行搜索，算得香港恒生指数r=0.29875。对于门限变量和滞后期数的确定，我们采取AIC准则，通过选AIC取最小值可知，当门限变量为 滞后期数为1，这时的模型为SETAR（2，5，4）。运用最小二乘法（OLS）对参数进行估计，得到：
对残差做相关性检验，结果如下表
表中给出了从滞后1到15阶自相关检验的Q统计值和假设自相关系数都为0的p值。从结构来看，在5%的显著性水平下，不能拒绝原假设，即所有的自相关系数为0，因而残差不具有自相关性，说明上述SETAR模型p1和p2的选取是合适的。
为了与非线性模型SETAR进行比较，我们采用ARMA（p,q）模型。运用EVIEWS软件进行ADF检验，统计量计算得-7.3049，5%显著水平下的临界值等于-2.8624，拒绝原假设，即为平稳过程。估计方程得：
yt=0.0545-0.3899y-t-1+0.2792y-t-2+0.1858y-t-3+0.2292y-t-4+0.1290y-t-5+εt-0.6170εt-1
2.3 预测能力比较
现考虑SETAR模型的拟合程度以及预测能力的优劣。DaccoandSatchwell(1999)指出预测结果好坏的关键因素是模型的选择，并且进一步指出，即使时间序列本身是由多个门限生成的，对其进行拟合线性模型的绝对误差百分比（MAPE）可能比采用非线性拟合和线性模型的绝对误差百分比（MAPE）要小。因此我们还需要进一步考虑均方根误差率(RMSE)和绝对误差平均MAE ，其中RMSE=1n∑T+nt=T+1（t-yt）2，T表示样本容量，n表示样本外预测期数， 表示预测值， 是真值，RMSE通过若干个预测值对预测的相对误差进行综合评价；MAE=1n∑T+nt=T+1|t-yt|，其中T表示样本容量，n表示样本外预测期数，t表示预测值，yt是真值。RMSE通过若干个预测值对预测的相对误差进行综合评价。
要考察几个模型预测值的准确度，主要看单步预测值的大小，该预测值越小，即MAE和RMSE值越小，模型预测精度就越高。对比分析如下表所示：
从表中我们可以看出，SETAR模型的RMSE和MAE值均比ARMA模型小，因此我们得出SETAR模型的预测能力比ARMA要强。
3 结论
从以上分析可知，用SETAR模型来拟合我国的股票波动，效果明显的优于线性的ARMA（p,q）模型，说明了在不同状态下，股票市场表现出来的性质是不一样的，一般的线性ARMA（p,q）模型则忽略了这种差异， 而SETAR模型准确反映了股票波动的这一特点，这就是用SETAR模型来模拟和预测股票波动性其效果明显优于线性ARMA模型的原因。
门限自回归模型（SETAR）是一种能有效描述具有跳跃性、相依性、谐波等复杂现象的非线性动态系统，门限的控制作用保证了门限自回归模型良好的稳健性和应用性，在各种自然科学和工程领域内，非线性时序预测具有广泛的实用价值。另外，因股市的建模与预测所处理的信息量往往十分庞大，各因素间相关性错综复杂，主次关系变化不定，数量关系难以定量分析，对算法有很高的要求，正是其复杂的非线性特征，使得关于股市的预测往往难如人意，从根本上来说，预测工作往往不是一次就可以完成的。
股票市场呈现非线性也不是一个独立的过程，而是表现相互依存的关系。其原因在于信息是以非线性的方式呈现的。人们也以非线性的方式对信息作反应，股价的波动也呈现非线性，相应地通过股票市场也表现在股价指数上，使得股价的指数所构成的时间序列分析呈现出非线性特征。通过运用SETAR模型对股票的波动性进行拟合具有一定的实用价值，利用该模型对股票市场进行预测具有可行性。
参考文献
［1］袁军. SETAR 模型在GDP 预测中的应用［J］.统计与决策，2007，（5）.
［2］ Tong.H.On a threshold Model［J］.Recognition and Signal Processing,1978,16(5).
［3］ De Gooijer,J.G.and P.De Bruin. On SETAR Forecasting ［J］.Statistics and Probability Letters,1997,160(12).
［4］ Peel, D.A., and Speight, A.E.H.Thresh0ld Nonlinearities in Output:some International Evidence ［J］.Applied Economics, 1998,30:323-333.
［5］ Potter, S.M..A Nonlinear Approach to U.S.GNP ［J］.Journal of Applied Econometries, 1995,10:109-125.
［6］ 张晓峒. EVIEWS使用指南和案例［M］.北京：机械工业出版社，2007,(2).