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DOI：10.19392/j.cnki.16717341.201714229
摘要：量子振荡作为探测材料费米面的有效工具之一，在近年来探索拓扑材料的过程中，更加凸显它的作用。本文通过分析量子振荡的公式，提出一种快速准确处理量子振荡数据的方法，可以更容易获得材料的电子有效质量的信息。
关键词：拓扑材料；量子振荡；有效质量
2016年诺贝尔物理学奖被颁发给索利斯、霍尔丹、科斯特利茨三位科学家，基于他们对拓扑相变与具有拓扑相的物质的理论发现。寻找具有拓扑相的材料—拓扑材料，现已成为凝聚态物理前沿科学中重要的研究领域之一[1]。拓扑材料不仅能产生一些新颖的物理现象，诸如巨磁阻、高迁移率、较小的有效质量（文中有效质量均指电子有效质量）、手性反常等，而且对未来新型器件的设计起到一定的作用[2]。材料的导电性一般与材料能带结构中的能隙有关，可分为导体（没有能隙）、半导体（能隙较小）、绝缘体（能隙較大）。传统材料，其能带结构中色散关系都是呈二次方的。而拓扑材料往往具有线性色散的能带结构。拓扑材料也可以分为拓扑绝缘体和拓扑半金属。对于拓扑绝缘体而言，其体态为绝缘体，但其表面态则表现为导体，并具有线性的能带色散关系[2]。对于拓扑半金属而言，其体态就存在线性的能带结构[3]。
不同的能带结构具有不同的费米面，量子振荡是一种非常有力的探测费米面的工具之一。因此量子振荡将在拓扑材料的探索中起到非常重要的作用。本文将着重阐述利用量子振荡来判断材料物理性质及其过程中可能会遇到的一些问题与相应的处理方法。
一、量子振荡的频率及其物理意义
在单晶材料中，当hωckBT时[4]，其中h是约化普朗克常量，ωc=eBm*c为回旋频率，e为电子电荷量，B为磁场强度，m*c为回旋有效质量，kB为玻尔兹曼常数，T为温度，材料的态密度就会随磁场变化与磁场的倒数呈周期性关系。这就导致了各种与材料态密度相关的物理量出现周期性的振荡现象—量子振荡，诸如电导或电阻随磁场的变化产生的振荡，磁化率随磁场的变化产生的振荡等等。根据波尔—索末菲条件，我们可以得到F=（h2πe）AF（其中AF为费米面截面的极值），所以不同的量子振荡频率反映着不同的费米面截面的极值。从而通过磁场方向的改变得到不同角度下量子振荡的频率，就能得到该单晶材料的费米面的形状。如果该材料具有多个频率，则我们应采用快速傅里叶变化（FFT）来对所得到的量子振荡数据进行分析，如图一（a）、（b）所示。
二、材料中电子的有效质量
以电导振荡为例，其振荡的通常形式为[4]：
ΔσXX=A0RTRDRS cos2π（FB-12+β）（1）
其中A0为常数，β为相位，F为量子振荡频率，RT=αm*TB*1sinh[αm*T/B]，RD=exp（-αm*TDB），RS=cos（πgm*2），T是温度，TD是丁格尔温度，m*为约化有效质量（m*=m0/me，m0）为电子有效质量，
图一 量子振荡的计算机模拟：（a）多频的量子振荡。（b）对图一（a）的FFT分析。（c）不同温度下的量子振荡。插图：常规的拟合方法。（d）本文提出的拟合方法。
me为电子质量），α为常数约为14.69T/K。与材料本身性质无关的量为磁场强度B与温度T。可以发现仅有RT与外界可以控制的量温度T有关。所以我们可以通过调节温度来推得RT这一项中电子的有效质量的值。确定磁场的大小和角度后，其余各项均为常数，一般人们都是通过拟合不同温度下
ΔσXX=C0αm*TB*1sin h[αm*T/B]
的关系，来得到有效质量的值，如图一（c）所示（图一 （c）模拟的是不同温度下的电导振荡随磁场强度倒数的变化）。这种拟合方法需要获得多条不同温度下的数据，其测量所需时间较长。仔细观察ΔσXX的表达式，我们认为只测量两个不同温度的点，即可通过解析公式来得到约化有效质量m*的准确值。由ΔσXX（T1）/ΔσXX（T2），则有
ΔσXX（T1）ΔσXX（T2）=sinh[αm*T2Bsinh[αm*T1B]（2）
由于该公式含有sinh函数，应采用数值近似求解。以取温度为2K和4K时为例，我们得到在1B=0.1049（T1）时，电导的值分别为1.47861E3 S/m与6.05619E4 S/m。估计有效质量的大致范围，我们假设材料的有效电子质量在0～1me之间（对于拓扑材料而言其有效质量往往只有电子质量的十分之一），选取有效电子质量精度为小数点后五位，则利用计算机可以画出一条关于y=sinh[αm*T2B]sinh[αm*T1B]的函数，其中自变量是有效质量m·ΔσXX（T1）*TtΔσXX（T2）*T1为常数，则我们可以画出两条线，这两条线的交点的横坐标即为约化有效质量的值，如图一 （d）所示。采用这个方法分析，我们可以快速并且准确得到约化有效质量的值，对于本例其值为0.500与模拟的参数一致，并且发现该值的准确度比直接拟合公式所得到的准确度要更高。得到材料的有效质量以后，其他与材料相关的物理系数更加容易获得。比如说
RD=exp·（-αm*TDB）
，这一项中，由于指数形式的函数仅包含在RT与RD中，我们可以通过利用对指数函数取对数的方法来获得TD（丁格尔温度），这与材料在磁场下的迁移率息息相关。一般而言，拓扑材料应具有高的迁移率，小的有效质量，所以在实验数据较少时，采用本方法可以精确且快速得到其有效质量和迁移率的相关信息。
三、多个频率的量子振荡
对于实际的材料来说其费米面极值一般是多个的，我们可以分以下几种情况讨论：
1.对于费米面极值相差较大的材料，其对应的频率分的较开，我们可以从其波形上直接读取某个频率的波峰波谷的位置，再将他当做單个频率的量子振荡来分析。获得具体参数后，利用原始的混合频率的振荡数据减去单频数据对剩下的数据再进行进一步分析。
2.对于费米面极值相差很小，但在量子振荡中只有一个频率占主导，其他频率对材料性质的影响则较小，此时仍可当做单频的量子振荡来处理。
3.对于费米面极值较为接近或者频率无法清晰读取的情况，我们只能通过对函数ΔσXX=ΣiAiRTiRDiRSicos2π（FiB-12+βi）
中各个参数进行拟合，直至与原始数据较为接近，最后才能得到材料的各个物理参数。
四、总结
本文阐述了量子振荡的数据处理方法，讲解在数据较少的情况下，快速并且准确的得到材料的物理性质。此方法为判别某种材料是否具有拓扑性质提供了一种途径。
参考文献：
[1]Qi XL， Zhang SC. The quantum spin Hall effect and topological insulators [J]. Physics Today， 2010， 63（1）： 338.
[2]Ando Y. Topological insulator materials [J]. Journal of the Physical Society of Japan， 2013， 82（10）： 102001.
[3]Weng H， Dai X， Fang Z. Topological semimetals predicted from firstprinciples calculations [J]. Journal of Physics： Condensed Matter， 2016， 28（30）： 303001.
[4]Ashcroft N W， Mermin N D. Solid state physics [J]. 1976.
摘要：量子振荡作为探测材料费米面的有效工具之一，在近年来探索拓扑材料的过程中，更加凸显它的作用。本文通过分析量子振荡的公式，提出一种快速准确处理量子振荡数据的方法，可以更容易获得材料的电子有效质量的信息。
关键词：拓扑材料；量子振荡；有效质量
2016年诺贝尔物理学奖被颁发给索利斯、霍尔丹、科斯特利茨三位科学家，基于他们对拓扑相变与具有拓扑相的物质的理论发现。寻找具有拓扑相的材料—拓扑材料，现已成为凝聚态物理前沿科学中重要的研究领域之一[1]。拓扑材料不仅能产生一些新颖的物理现象，诸如巨磁阻、高迁移率、较小的有效质量（文中有效质量均指电子有效质量）、手性反常等，而且对未来新型器件的设计起到一定的作用[2]。材料的导电性一般与材料能带结构中的能隙有关，可分为导体（没有能隙）、半导体（能隙较小）、绝缘体（能隙較大）。传统材料，其能带结构中色散关系都是呈二次方的。而拓扑材料往往具有线性色散的能带结构。拓扑材料也可以分为拓扑绝缘体和拓扑半金属。对于拓扑绝缘体而言，其体态为绝缘体，但其表面态则表现为导体，并具有线性的能带色散关系[2]。对于拓扑半金属而言，其体态就存在线性的能带结构[3]。
不同的能带结构具有不同的费米面，量子振荡是一种非常有力的探测费米面的工具之一。因此量子振荡将在拓扑材料的探索中起到非常重要的作用。本文将着重阐述利用量子振荡来判断材料物理性质及其过程中可能会遇到的一些问题与相应的处理方法。
一、量子振荡的频率及其物理意义
在单晶材料中，当hωckBT时[4]，其中h是约化普朗克常量，ωc=eBm*c为回旋频率，e为电子电荷量，B为磁场强度，m*c为回旋有效质量，kB为玻尔兹曼常数，T为温度，材料的态密度就会随磁场变化与磁场的倒数呈周期性关系。这就导致了各种与材料态密度相关的物理量出现周期性的振荡现象—量子振荡，诸如电导或电阻随磁场的变化产生的振荡，磁化率随磁场的变化产生的振荡等等。根据波尔—索末菲条件，我们可以得到F=（h2πe）AF（其中AF为费米面截面的极值），所以不同的量子振荡频率反映着不同的费米面截面的极值。从而通过磁场方向的改变得到不同角度下量子振荡的频率，就能得到该单晶材料的费米面的形状。如果该材料具有多个频率，则我们应采用快速傅里叶变化（FFT）来对所得到的量子振荡数据进行分析，如图一（a）、（b）所示。
二、材料中电子的有效质量
以电导振荡为例，其振荡的通常形式为[4]：
ΔσXX=A0RTRDRS cos2π（FB-12+β）（1）
其中A0为常数，β为相位，F为量子振荡频率，RT=αm*TB*1sinh[αm*T/B]，RD=exp（-αm*TDB），RS=cos（πgm*2），T是温度，TD是丁格尔温度，m*为约化有效质量（m*=m0/me，m0）为电子有效质量，
图一 量子振荡的计算机模拟：（a）多频的量子振荡。（b）对图一（a）的FFT分析。（c）不同温度下的量子振荡。插图：常规的拟合方法。（d）本文提出的拟合方法。
me为电子质量），α为常数约为14.69T/K。与材料本身性质无关的量为磁场强度B与温度T。可以发现仅有RT与外界可以控制的量温度T有关。所以我们可以通过调节温度来推得RT这一项中电子的有效质量的值。确定磁场的大小和角度后，其余各项均为常数，一般人们都是通过拟合不同温度下
ΔσXX=C0αm*TB*1sin h[αm*T/B]
的关系，来得到有效质量的值，如图一（c）所示（图一 （c）模拟的是不同温度下的电导振荡随磁场强度倒数的变化）。这种拟合方法需要获得多条不同温度下的数据，其测量所需时间较长。仔细观察ΔσXX的表达式，我们认为只测量两个不同温度的点，即可通过解析公式来得到约化有效质量m*的准确值。由ΔσXX（T1）/ΔσXX（T2），则有
ΔσXX（T1）ΔσXX（T2）=sinh[αm*T2Bsinh[αm*T1B]（2）
由于该公式含有sinh函数，应采用数值近似求解。以取温度为2K和4K时为例，我们得到在1B=0.1049（T1）时，电导的值分别为1.47861E3 S/m与6.05619E4 S/m。估计有效质量的大致范围，我们假设材料的有效电子质量在0～1me之间（对于拓扑材料而言其有效质量往往只有电子质量的十分之一），选取有效电子质量精度为小数点后五位，则利用计算机可以画出一条关于y=sinh[αm*T2B]sinh[αm*T1B]的函数，其中自变量是有效质量m·ΔσXX（T1）*TtΔσXX（T2）*T1为常数，则我们可以画出两条线，这两条线的交点的横坐标即为约化有效质量的值，如图一 （d）所示。采用这个方法分析，我们可以快速并且准确得到约化有效质量的值，对于本例其值为0.500与模拟的参数一致，并且发现该值的准确度比直接拟合公式所得到的准确度要更高。得到材料的有效质量以后，其他与材料相关的物理系数更加容易获得。比如说
RD=exp·（-αm*TDB）
，这一项中，由于指数形式的函数仅包含在RT与RD中，我们可以通过利用对指数函数取对数的方法来获得TD（丁格尔温度），这与材料在磁场下的迁移率息息相关。一般而言，拓扑材料应具有高的迁移率，小的有效质量，所以在实验数据较少时，采用本方法可以精确且快速得到其有效质量和迁移率的相关信息。
三、多个频率的量子振荡
对于实际的材料来说其费米面极值一般是多个的，我们可以分以下几种情况讨论：
1.对于费米面极值相差较大的材料，其对应的频率分的较开，我们可以从其波形上直接读取某个频率的波峰波谷的位置，再将他当做單个频率的量子振荡来分析。获得具体参数后，利用原始的混合频率的振荡数据减去单频数据对剩下的数据再进行进一步分析。
2.对于费米面极值相差很小，但在量子振荡中只有一个频率占主导，其他频率对材料性质的影响则较小，此时仍可当做单频的量子振荡来处理。
3.对于费米面极值较为接近或者频率无法清晰读取的情况，我们只能通过对函数ΔσXX=ΣiAiRTiRDiRSicos2π（FiB-12+βi）
中各个参数进行拟合，直至与原始数据较为接近，最后才能得到材料的各个物理参数。
四、总结
本文阐述了量子振荡的数据处理方法，讲解在数据较少的情况下，快速并且准确的得到材料的物理性质。此方法为判别某种材料是否具有拓扑性质提供了一种途径。
参考文献：
[1]Qi XL， Zhang SC. The quantum spin Hall effect and topological insulators [J]. Physics Today， 2010， 63（1）： 338.
[2]Ando Y. Topological insulator materials [J]. Journal of the Physical Society of Japan， 2013， 82（10）： 102001.
[3]Weng H， Dai X， Fang Z. Topological semimetals predicted from firstprinciples calculations [J]. Journal of Physics： Condensed Matter， 2016， 28（30）： 303001.
[4]Ashcroft N W， Mermin N D. Solid state physics [J]. 1976.