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摘要：建立精密谐波传动数学模型，分别研究线性控制器和脉冲控制器的精度，继而定量讨论摩擦力对脉冲控制器的精度影响。仿真和试验结果表明：谐波传动的摩擦力会严重降低脉冲控制器的性能；脉冲控制器的准确度高于线性控制器的准确度。该研究将有益于谐波传动在高精密控制系统中的应用。
关键词：控制器；谐波传动；精密系统；摩擦力
文献标志码：A
文章编号：1674-5124（2015）02-0096-05
引 言
谐波齿轮具有齿隙小，传动比大和体积紧凑等优点，因此，谐波齿轮传动在精密机器人控制系统中得到了越来越广泛的应用。针对精密位置系统[1]中摩擦力的影响及其非线性特性，许多研究者进行了大量脉冲控制器的设计研究。
以微小运动增量连续运动是精密机械人手臂最重要的操作特性之一，这一特性被称为控制精度，其定义为机器人系统在点到点运动中能够产生的最小连续运动步幅。该精度限制了机器人系统的重复性和准确度。精密谐波传动系统的精度常常与一些难于模拟的动态微观因素有关，包括齿轮啮合、噪音和传动挠性等。本文针对线性控制和脉冲控制两种常用的控制器，通过实验和概率统计的方法，验证了摩擦力对其控制准确度的影响。
1.摩擦模型
如图l所示，精密机器人系统的谐波传动可以近似为电动机和机械手臂，其惯量分别为Jm、JI，二者通过弹簧连接。谐波传动挠量模拟为通过扭矩弹簧产生的扭矩Tso。电动机借助于谐波传动挠量（通过弹簧）作用于机械手臂让其运动，减速比为r。
图1中Fm和Fi分别代表电机一侧和载荷一侧的摩擦，qm和q1分别是电机和载荷的位置。谐波传动系统的数学模型可以表示为式中：Ks——谐波传动的弹簧系数；
Km——电机扭矩常数：
u（t）——输入电压；
R——电阻：
Kb——电压常数。
设fsm和fcm是电机侧的静态摩擦和库仑摩擦^和fd是载荷侧的静态摩擦和库仑摩擦。则在速度不等于零，并忽略粘滞摩擦的情况下，电机侧和载荷侧的摩擦可以分别表示为为了便于研究，本文定义下列无量纲参数：
将式（14）～式（18）代入式（12）和式（13）可得到精密谐波传动的无量纲模型：2基于位置反馈的线性控制器精度研究
为了分析精密机器人控制系统中谐波齿轮传动的准确度，建立了一套实验设备，通过计算机控制机器人操作手，操作手拥有3个自由度，X、Y方向由谐波齿轮传动系统驱动，手臂的位置由电容传感器测量，数据采集卡包括A/D、D/A转换和编码器存取。图2为控制框图。
手臂在一个方向上连续移动1 000个步长进行精度测试，利用电容传感器测量手臂的位移，位移结果用方框图表示。初始步长设为一个电机编码器单位，如果这个步长不能产生连续的位移运动，则增加一个编码器单位，重新进行测试，重复这一过程直到获得连续的位移运动。使手臂产生连续运动的最小位移值就是该机器人系统的准确度。
对于由一个编码器单位增量组成的1000个步长（一个步长大约相当于1.5μm的手臂位移），手臂的位移如图3所示，机器人系统手臂位移分布方框图如图4所示。
由图4可以看出.该方法能够实现一个单位步长的连续运动。同时，手臂运动具有非笛卡尔特性，一个单位步长可能代表1～2μm的位移，这取决于传感器的安装位置。然而，对于大部分的运动区间，一个单位步长对应的位移都要小于1.5 μm，出现的所有运动位移皆小于2个单位步长（即3μm）。所以说线性控制器下手臂运动的准确度是3μm。
3.脉冲控制器的精度研究
对于脉冲控制器的精度，如果用电容传感器作为反馈信号，电机可能获得小于一个编码器单位的运动位移。为了确定脉冲控制器的准确度，设脉冲宽度为常用值W=1ms，脉冲幅度从0起调直到获得最小连续手臂运动的幅度为止。
为了获得持续的模拟和实验精度数值，本文采用以下准确度数学定义：向控制系统输入具有相同幅度的Ⅳ个脉冲信号，记录Ⅳ个脉冲信号对应的位移增量平均值和最大值；脉冲幅度从0开始逐渐增大，直到获得一个可连续的平均位移增量，并且该平均位移量应大于一个比较小的门槛数值ε1考虑到这个平均位移量应具有重复代表性，将该平均位移量对应的输入量乘以一个变化系数（1+ε2），其中，ε2是在有参数变化的情况下，对应输入能够产生连续运动输出的偏差因子：从而，由这个新的输入量能够产生的最大输出增量就是该控制系统的准确度。
实验中，取ε1=0.1μm，ε2=0.01μm，N=1000。实验测量的手臂位移见图5，机器人系统的手臂位移分布方框图见图6。从图中可以得出，几乎所有的增量都小于0.3μm，所以该脉冲控制下的运动准确度为0.3μm，远高于线性控制器下的运动准确度。
4.摩擦力对精度的影响分析
由于系统参数对脉冲控制效果有很大的影响，为此，分别对摩擦力影响精度的情况进行模拟仿真和实验研究。按照式（16）的定义，f1为载荷侧摩擦力的大小，通过实验对其0.01～1之间125种不同等级进行研究。对于不同等级的摩擦力，均采用1000个脉冲输入来仿真上面定义的运动精度，从而可以得到手臂的仿真位移分布框图，比如f1=0.1时手臂的仿真分布框图如图7所示。
仿真结果表明，当摩擦力水平较大时，必须在施加一定数量的脉冲波后，即模型连接弹簧变形到达一定量时，手臂才能移动。这是因为弹簧的势能必须积累到一定程度才能克服摩擦力，摩擦力水平越高，需要用来驱动手臂运动的势能就越大：从而使得开始的第一步位移很大，然后位移会变得平稳，如图8所示。这就表明手臂在移动前聚集了一定的势能，一旦手臂开始运动，系统势能就像雪崩一样衰减。
对于最大、最小、一般的摩擦力水平，其对应的手臂位移仿真结果如图9所示。从图中可以看出’摩擦力越大，精度越差。为了研究其仿真数据的可重复性，利用下列方程来进行数据的标准偏差计算。
标准偏差如图10所示。
本文设计了实验来验证上述仿真结果。首先，放置一个楔形块在机械臂下，向手臂方向推动楔块以增加载荷一侧的摩擦力，然后测量摩擦力f1，并利用式（16）计算摩擦力水平f1。实验测试了不同摩擦力情况下的精度，得到了如图11所示的手臂的位移分布方框图，以及图12所示的手臂位移与摩擦力大小的关系图。从图中可以看出，精度与摩擦力几乎成线性关系，实验结果与仿真结果一致。图13为实验结果的标准偏差分析，它表明实验同样具有很好的重复性。
5.结束语
本文深入研究了精密机器人谐波传动系统在摩擦力干扰下的控制器运动精度问题，建立了精密谐波传动的摩擦模型方程，并利用线性控制器和脉冲控制器对其进行了分析。仿真和实验结果表明，脉冲控制器的准确度高于传统控制方法。
同时在精密谐波传动脉冲控制系统中，谐波传动载荷一侧的摩擦力大小严重影响其准确度，当载荷侧的摩擦力增大时，准确度几乎成正比减小。由此可见，为了充分发挥机器人精密谐波传动中脉冲控制器的功能，精确评价谐波传动载荷一侧的摩擦力变化十分重要。
关键词：控制器；谐波传动；精密系统；摩擦力
文献标志码：A
文章编号：1674-5124（2015）02-0096-05
引 言
谐波齿轮具有齿隙小，传动比大和体积紧凑等优点，因此，谐波齿轮传动在精密机器人控制系统中得到了越来越广泛的应用。针对精密位置系统[1]中摩擦力的影响及其非线性特性，许多研究者进行了大量脉冲控制器的设计研究。
以微小运动增量连续运动是精密机械人手臂最重要的操作特性之一，这一特性被称为控制精度，其定义为机器人系统在点到点运动中能够产生的最小连续运动步幅。该精度限制了机器人系统的重复性和准确度。精密谐波传动系统的精度常常与一些难于模拟的动态微观因素有关，包括齿轮啮合、噪音和传动挠性等。本文针对线性控制和脉冲控制两种常用的控制器，通过实验和概率统计的方法，验证了摩擦力对其控制准确度的影响。
1.摩擦模型
如图l所示，精密机器人系统的谐波传动可以近似为电动机和机械手臂，其惯量分别为Jm、JI，二者通过弹簧连接。谐波传动挠量模拟为通过扭矩弹簧产生的扭矩Tso。电动机借助于谐波传动挠量（通过弹簧）作用于机械手臂让其运动，减速比为r。
图1中Fm和Fi分别代表电机一侧和载荷一侧的摩擦，qm和q1分别是电机和载荷的位置。谐波传动系统的数学模型可以表示为式中：Ks——谐波传动的弹簧系数；
Km——电机扭矩常数：
u（t）——输入电压；
R——电阻：
Kb——电压常数。
设fsm和fcm是电机侧的静态摩擦和库仑摩擦^和fd是载荷侧的静态摩擦和库仑摩擦。则在速度不等于零，并忽略粘滞摩擦的情况下，电机侧和载荷侧的摩擦可以分别表示为为了便于研究，本文定义下列无量纲参数：
将式（14）～式（18）代入式（12）和式（13）可得到精密谐波传动的无量纲模型：2基于位置反馈的线性控制器精度研究
为了分析精密机器人控制系统中谐波齿轮传动的准确度，建立了一套实验设备，通过计算机控制机器人操作手，操作手拥有3个自由度，X、Y方向由谐波齿轮传动系统驱动，手臂的位置由电容传感器测量，数据采集卡包括A/D、D/A转换和编码器存取。图2为控制框图。
手臂在一个方向上连续移动1 000个步长进行精度测试，利用电容传感器测量手臂的位移，位移结果用方框图表示。初始步长设为一个电机编码器单位，如果这个步长不能产生连续的位移运动，则增加一个编码器单位，重新进行测试，重复这一过程直到获得连续的位移运动。使手臂产生连续运动的最小位移值就是该机器人系统的准确度。
对于由一个编码器单位增量组成的1000个步长（一个步长大约相当于1.5μm的手臂位移），手臂的位移如图3所示，机器人系统手臂位移分布方框图如图4所示。
由图4可以看出.该方法能够实现一个单位步长的连续运动。同时，手臂运动具有非笛卡尔特性，一个单位步长可能代表1～2μm的位移，这取决于传感器的安装位置。然而，对于大部分的运动区间，一个单位步长对应的位移都要小于1.5 μm，出现的所有运动位移皆小于2个单位步长（即3μm）。所以说线性控制器下手臂运动的准确度是3μm。
3.脉冲控制器的精度研究
对于脉冲控制器的精度，如果用电容传感器作为反馈信号，电机可能获得小于一个编码器单位的运动位移。为了确定脉冲控制器的准确度，设脉冲宽度为常用值W=1ms，脉冲幅度从0起调直到获得最小连续手臂运动的幅度为止。
为了获得持续的模拟和实验精度数值，本文采用以下准确度数学定义：向控制系统输入具有相同幅度的Ⅳ个脉冲信号，记录Ⅳ个脉冲信号对应的位移增量平均值和最大值；脉冲幅度从0开始逐渐增大，直到获得一个可连续的平均位移增量，并且该平均位移量应大于一个比较小的门槛数值ε1考虑到这个平均位移量应具有重复代表性，将该平均位移量对应的输入量乘以一个变化系数（1+ε2），其中，ε2是在有参数变化的情况下，对应输入能够产生连续运动输出的偏差因子：从而，由这个新的输入量能够产生的最大输出增量就是该控制系统的准确度。
实验中，取ε1=0.1μm，ε2=0.01μm，N=1000。实验测量的手臂位移见图5，机器人系统的手臂位移分布方框图见图6。从图中可以得出，几乎所有的增量都小于0.3μm，所以该脉冲控制下的运动准确度为0.3μm，远高于线性控制器下的运动准确度。
4.摩擦力对精度的影响分析
由于系统参数对脉冲控制效果有很大的影响，为此，分别对摩擦力影响精度的情况进行模拟仿真和实验研究。按照式（16）的定义，f1为载荷侧摩擦力的大小，通过实验对其0.01～1之间125种不同等级进行研究。对于不同等级的摩擦力，均采用1000个脉冲输入来仿真上面定义的运动精度，从而可以得到手臂的仿真位移分布框图，比如f1=0.1时手臂的仿真分布框图如图7所示。
仿真结果表明，当摩擦力水平较大时，必须在施加一定数量的脉冲波后，即模型连接弹簧变形到达一定量时，手臂才能移动。这是因为弹簧的势能必须积累到一定程度才能克服摩擦力，摩擦力水平越高，需要用来驱动手臂运动的势能就越大：从而使得开始的第一步位移很大，然后位移会变得平稳，如图8所示。这就表明手臂在移动前聚集了一定的势能，一旦手臂开始运动，系统势能就像雪崩一样衰减。
对于最大、最小、一般的摩擦力水平，其对应的手臂位移仿真结果如图9所示。从图中可以看出’摩擦力越大，精度越差。为了研究其仿真数据的可重复性，利用下列方程来进行数据的标准偏差计算。
标准偏差如图10所示。
本文设计了实验来验证上述仿真结果。首先，放置一个楔形块在机械臂下，向手臂方向推动楔块以增加载荷一侧的摩擦力，然后测量摩擦力f1，并利用式（16）计算摩擦力水平f1。实验测试了不同摩擦力情况下的精度，得到了如图11所示的手臂的位移分布方框图，以及图12所示的手臂位移与摩擦力大小的关系图。从图中可以看出，精度与摩擦力几乎成线性关系，实验结果与仿真结果一致。图13为实验结果的标准偏差分析，它表明实验同样具有很好的重复性。
5.结束语
本文深入研究了精密机器人谐波传动系统在摩擦力干扰下的控制器运动精度问题，建立了精密谐波传动的摩擦模型方程，并利用线性控制器和脉冲控制器对其进行了分析。仿真和实验结果表明，脉冲控制器的准确度高于传统控制方法。
同时在精密谐波传动脉冲控制系统中，谐波传动载荷一侧的摩擦力大小严重影响其准确度，当载荷侧的摩擦力增大时，准确度几乎成正比减小。由此可见，为了充分发挥机器人精密谐波传动中脉冲控制器的功能，精确评价谐波传动载荷一侧的摩擦力变化十分重要。