论文部分内容阅读
【摘要】本文以人教版八年级上册《分式方程》第一课时教学为例，论述“类比”在数学教学中的应用，总结出“类比—合作探究—总结”的学习方法。
【关键词】《分式方程》 問题导入 类比 方法归纳
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2018）05A-0022-05
一、教材分析
《分式方程》是人教版八年级上册第十五章第三节的内容，是初中数学的重要内容之一。分式方程是分母中含有未知数的方程，它是整式方程的延伸和拓展，是人们认识方程的一次提升，它与实际生活紧密联系，是描述现实生活的重要方程模型，同时也体现了数学的实际应用价值。解分式方程既是分式有关知识在解方程中的应用，又是进一步研究其他方程和解决实际问题的基础。教会学生“检验”是教学过程中必不可少且的环节，这个过程体现了数学的化归思想和程序化思想。
二、教学目标
（一）了解分式方程的概念；
（二）会用去分母的方法解可化为一元一次方程的分式方程，体会化归思想；
（三）了解需要对分式方程的解进行检验的原因；
（四）在探究分式方程解法过程中培养学生类比、转化的数学思想，激发学生克服困难的信心，让学生获得成就感，提高解决数学问题的能力。
三、教学重难点
重点：会利用去分母的方法解分式方程；
难点：了解分式方程产生增根的原因。
四、学情分析
学生在小学以及七年级已经学过一元一次方程以及二元一次方程组的解法，在学习本章的第一、二节时掌握了分式的概念和分式的约分、通分、四则运算，学生的这些已有知识为顺利完成本节课的教学任务打下了基础。学生第一次接触分式方程，在对整式方程的认识还不够深入的情况下，就遇到比解整式方程复杂的求解过程和可能产生增根的新情境，学生对此内容的接受会有很大的困难，特别是产生增根的原因，学生缺乏认知准备。学生由于解整式方程产生思维定式，即所有方程都是有解的，导致对有些分式方程“无解”产生疑惑和不理解。因此在教学时，教师一方面铺设好学习本节内容的知识台阶，充分体现数学的转化思想，化新为旧、化生为熟，从等式性质2出发，让学生认识到解分式方程时产生增根的原因，另外一方面教师要积极创造机会让学生多交流讨论、发表见解，发挥学习的主动性。
五、教学实录
（一）巧妙导入，归纳概念
教师用“2017年朱日和基地阅兵式”视频中空中战机片段进行导入并提出问题：在某次飞行中，歼20在静风中的速度为1500千米/时，如果它以此速度顺风飞行760千米和逆风飞行740千米的时间相等，则当时的风速为多少？学生列出方程：[7601500+x=7401500-x]
师：大家观察一下这个方程，它有什么特点？
生1：未知数的位置发生了变化。
师：哦，未知数的位置发生了变化，很好！以前我们学习过的方程都有哪些？
生：一元一次方程、二元一次方程。
师：你能快速地将下面4个方程进行分类吗？
（1）3[x]-2=5；（2）[2x+y=4x-y=2]；（3）[x+13-x-12=1]；
（4）[x4+y5=4.]
师：谁是一元一次方程呀？
生：（1）和（3）。
师：那（2）（4）呢？
生：二元一次方程。
师：对，没错！这两类方程有什么共同特点？
师生：左右两边都是整式。
师：所以我们可以把这两类方程称作整式方程。而我们今天列出来的这个方程跟以往的整式方程对比，正如前面那名同学所说的，未知数的位置发生了变化，像这样，分母当中含有未知数的方程我们把它称为分式方程。
师：结合分式方程的定义，我们来看一看下面6个方程中，哪些是分式方程。
（1）[x-22]=[x3]；（2）[1x-2]=[3x]；（3）[4x]+[3y]=7；（4）2x+[x-15]=10；（5）[3-xπ]=[x2]；（6）x-[1x]=2.
生：（2）（3）（6）。
师：大家回答得好快呀！大家是怎么判断的？
生2：看分母的位置。
师：对！判断一个方程是否为分式方程就看其分母是否含有未知数。大家注意方程（5）中的π是常数。
【设计意图】
本环节通过大阅兵的片段引出实际问题，既增强学生上课的兴趣，也渗透了爱国主义情感，凸显数学与生活的联系，为后面用分式方程解决实际问题埋下伏笔。笔者在归纳分式方程定义之前，先引导学生回顾前面所学的一元一次方程、二元一次方程（组），通过观察发现两者的共性是方程中等号两边均为整式，从而将它们称为整式方程；对比新方程与旧方程，顺势得出分式方程的定义；通过习题巩固学生对分式方程定义的理解，最后的方法小结，将学生对定义的认识提升到判断方程是否为分式方程的方法，同时也强调无理数π的易错点。通过“发现—观察—对比—归纳—巩固—小结”的学习过程，学生对分式方程的定义有较全面、深刻的认识，达成了目标一。
（二）回顾提炼，类比解决
师：如何解分式方程[7601500+x]=[7401500-x]？
（学生沉默不语）
师：我们怎样解有分母的一元一次方程呢？
生：通过两边同乘分母的最小公倍数去分母，再去括号，移项，合并，系数化为1，求得[x]的值。
师：怎么验证[x]的值是否正确呢？
生：把[x]的值分别代入方程的左边和右边，如果左右两边的值相等，[x]就是正确的，如果不相等，就错误。 师：很好。接下来请同学们类比一元一次方程的解法，解这道分式方程。先自行思考，写出解题过程，再以前后两桌四人小组为单位交流，分享。8分钟后，派代表上来展示解法。
（8分鐘后）
师：哪个小组来分享你们的解法？
生1：我是通过交叉相乘把分式方程转变为整式方程760（1500-x）=740（1500+x），接着就解一元一次方程得到x=1000。
师：为什么交叉相乘能保证等号仍然成立？这么变形的依据是什么？
生1：我也不清楚，小学老师直接告诉我们的。
师：没关系，一会我们看看有没有其他同学可以给出合理的解释。那么你对你所得的结果进行验证了吗？
生1：验证过了。
师：风速在80km/h左右就已经是超级大风了，你求得的1000km/h是哪种风？方程所得的解不仅要满足方程，还应符合实际意义。同学们帮忙检查看看，这名同学的解题过程是否存在错漏之处？
生2：老师，我发现他在移项时没有变号，所以结果是错误的，正确的解应该是x=20。
师：谢谢，请坐。你的观察很细致。
师：我们再来听听其他同学的解法。
生3：我是类比一元一次方程去分母的方法，让方程两边同乘分母的最简公分母，这样分式方程就可以转变为整式方程760（1500-x）=740（1500+x）。
师：很严谨的表述。和上一名同学一样，也想到了将分式方程转化为整式方程来解决。你能具体说说两边同乘最简公分母，方程等号仍成立的依据是什么吗？
生3：等式的性质。
师：有依有据，真棒！还有不同解法吗？
生4：老师，我是先将方程左右两边的式子进行通分，然后根据分式的值相等，分母又相同，所以它们的分子肯定相等，就得到了整式方程760（1500-x）=740（1500+x），我的解是x=20。
师：这个想法也不错哦，请坐。同学们，三名同学展示了自己的做法，也都得到了同样的解。请细心比较，三名同学的做法有什么相同点和不同点？
生5：我认为相同点是大家都想到了把分式方程去分母后变为整式方程来解决。不同的是转化的方法不同，但实质上又是一样的，因为交叉相乘和先通分再令分子相等，其实都和第二名同学的做法一样，是依据等式性质，两边同乘最简公分母实现的。
师：你分析得很透彻，说出了三种去分母方法的共性，很棒！
【设计意图】
新课程理念提到，数学课堂是讨论、交流、合作的课堂。讨论、合作是学习小组成员完成学习任务的手段，而交流则促进学生成果共享。课堂上讨论、交流、合作首先利于培养学生自主、自信的品质和学习的主动性，并利于创造自由、轻松愉悦的学习环境，促进学生思维的延展。在如何解分式方程这个问题上，笔者引导学生复习已学的方程的解题方法，相当于给了学生一个方向，让学生自主思考并求得结果。在得到结果后，笔者再引导学生通过讨论慢慢弄清楚每一步的理由，体现了循序渐进的学习过程，也体现了数学的严谨性。教师放手让学生去思考、表达，就会收获更多惊喜，教师在课堂上应成为一位极具智慧的指路人。
（二）创造冲突，突破难点
（教师出示练习题：解分式方程[1x-5]=[10x2-25]，学生自主思考、独立完成）
师：同学们在解这道分式方程的过程中是否遇到了困难？
生1：老师，我和解上一道分式方程一样先去分母得到一元一次方程，解一元一次方程后得到[x=5]，但是我代入方程检验后发现方程的分母为0，我不知道往下该怎么表达。
生2：老师，我也得到了相同的解[x=5]，但是如果[x=5]使得分母为0，那么式子就没有意义了，就不能说它是方程的解了，所以我认为这个方程是没有解的。
师：谢谢你们大胆说出了自己遇到的困难。确实很奇怪，为什么我们经历了相同的步骤解得x的值，在方程1中，整式方程的解[x=20]是原分式方程的解，但方程2中，整式方程的解[x=5]却不是原分式方程的解呢？
生3：对比解两个方程的过程，虽然大家都由解整式方程得到x，但是可以看到区别在于x的值在方程1中，使得分母不为0，而在方程2中，x的值使得分母为0，所以方程2就无解。
师：x的值使得分母为0的同时，也导致谁为0呢？
生3：应该是最简公分母，因为它是由各分母的所有因式相乘得到的。
师：那么，如果我们想检验一个x的值是否是分式方程的解时，有哪些方法呢？
生4：我认为可以代入最简公分母，如果最简公分母为0，分式方程就无解，如果最简公分母不为0，x的值就是分式方程的解。这样比较快捷。
师：比较快捷，是相对哪种方法比较快捷？
生4：相对把x的值分别代入每一个分母要快捷。
师：同学们再认真思考，为什么在整式方程中，没有出现过无解的情况呢？
生5：因为整式方程的分母都是具体的数，所以分母都是有意义的。
生6：我们对整式方程去分母时，两边同乘的是各分母的最小公倍数，肯定不为0，但是分式方程去分母时，我们两边同乘的是最简公分母，我们事先不知道它的值是否为0。万一它正好是0，那么我们这么做就违反了等式性质的要求。
师：没错，从具体的数到一般的式子，我们要考虑得更为严谨一些。因此，对于分式方程，我们有必要对所得的x的值进行检验。这个x的值最基本的条件是先要保证分式方程有意义，也就是保证最简公分母是不为0的，其次它还应保证方程两边的值相等，哪一点是与解整式方程最大的区别？
生6：要保证原方程有意义是以前不用考虑的。
师：对，所以为了突显这一区别，在解分式方程过程中，我们应把它呈现出来。 （教师板书解分式方程[1x-5]=[10x2-25]的过程：
两边同乘（x+5）（x-5）得：x+5=10
解得：x=5
检验：当x=5时，（x+5）（x-5）=0，
所以x=5不是原分式方程的解，
原分式方程无解）
【设计意图】
笔者在本环节的第一个问题是：“在解决这道分式方程的过程中你是否遇到了困难？”提出这样一个问题，是因为数学学习过程中的快乐与否对学生来说比分数更重要，所以教师要及时关注和关心学生在学习过程中的情感体验，给予学生充分的关怀和安全感，让他们敢于在课堂上说出自己的困惑，教师既能够及时了解学情，又能引导其他学生打开进一步探索的思路。“为什么我们经历了相同的步骤解得x的值，在方程1中，整式方程的解是原分式方程的解，但方程2中，整式方程的解却不是原分式方程的解呢？”“为什么在整式方程中，没有出现过无解的情况呢？”这两个问题引导学生对比两道分式方程以及对比分式方程与整式方程的求解步骤，发现导致分式方程出现有解和无解两种情况的原因，并且理解在解分式方程的步骤中添加“检验”这一步的重要性和必要性。学生通过对比找出差异，有助于进一步加深对新知识的理解。在初中数学的教学过程中，当学生对某些知识点容易混淆时，或当新学的概念、方法与以往的概念、方法类似时，或当数学概念之间存在互逆关系时，教师可采用对比教学法。
（三）练习与总结，巩固新知
师：下面，请同学们完成练习。（出示练习题：解方程[xx+1=2x3x+3+1]）
（学生完成练习，教师与学生归纳解分式方程常见的错误：①去分母时，漏乘原方程的整式部分；②约去分母后，分子是多项式时，没有注意添括号；③漏检验）
师：在这节课的学习中，你掌握了哪些知识？在学习新知的过程中你体会到了哪种重要的数学思想？
生1：我认识了分式方程，还学会怎样解分式方程。
生2：我觉得学习数学要非常严谨，注意讨论字母的值，遇到字母要能够类比学习数字时的方法，不要害怕。
生3：我掌握了解分式方程的一般步骤，必须要检验，因为可能出现无解的情况，这点和解整式方程是不同的。
师：谢谢你们的分享！我们在本节课学习了两个知识点——分式方程的定义、分式方程的解法，三个基本步骤——去分母、解整式方程、檢验，常用的思想有化归，即将未知转化为已知，还有类比旧知的思路、方法学习新知。
【设计意图】
学生通过做题、归纳易错点，培养了数学表达能力，也解决了本节课的易错点。
“在这节课的学习中，你掌握了哪些知识？”“在学习新知的过程中你体会到了哪些重要的数学思想？”这两个问题引导学生从知识和方法两个方面对本节课进行回顾、反思，从学生的小结情况可以发现多数学生能够说出本节课的重要知识点：分式方程的定义、去分母的方法、解分式方程的一般步骤、检验的必要性等，也能说出本节课渗透的数学思想：类比一元一次方程的解法学习分式方程解法，把未知的分式方程化归为已知的一元一次方程来解决。对本节课的知识点和学习思想进行整理性小结，学生有了更系统的认识，同时养成及时小结的学习习惯。
六、教学反思
在本节课的引入环节，笔者将课本的轮船航行问题改编成飞机的飞行问题，以建军90周年的大阅兵为背景，自然引出本节课的问题，有效地吸引了学生的注意力，同时渗透了强军强国的爱国主义教育。接着，将所得的方程与之前的一元一次方程、二元一次方程进行对比，使学生明确新方程与整式方程的最大区别为：分母含有未知数，顺势得出分式方程的概念，教学效果不错。
在学生掌握分式方程的定义后，接下来着重学习它的解法。在展开探究活动前，笔者引导学生回顾一元一次方程的相关解法，意在启发学生通过类比一元一次方程去分母的过程来求解分式方程。笔者在教学过程中发现，绝大多数学生都能够想到“去分母”，但是对“如何去分母”存在困难，不能类比寻找最小公倍数的方法联想到寻找最简公分母，再根据等式性质实现去分母；部分学生会运用小学知识“交叉相乘”实现去分母；部分学生运用近期所学的分式的通分将分式方程两边进行通分，再根据等式左右两边的值不变，实现去分母。针对学生存在的困难，笔者认为可以通过以下途径突破难点：（1）复习一元一次方程时，强调去分母的方法和依据；（2）针对“交叉相乘”“通分”的去分母方法进行追问：为什么能这么做？其依据是什么？使学生明白它们归根结底就是通过等式的性质——等式两边同乘最简公分母而实现的；（3）对比最小公倍数和最简公分母两个概念，让学生理解从数到式在运算中的区别与联系；（4）设计一组练习，巩固去分母。
学生在学习整式方程过程中，已经形成了一种定式思维：方程都是有解的。所以对于分式方程无解的情况，他们在思想上很难接受，进而就不能理解“检验”这一步的必要性。第三个教学环节要达到的教学目的有两个：（1）明白分式方程为什么无解；（2）理解分式方程检验的必要性以及掌握分式方程检验的方法。怎样才能激发学生对“无解”的好奇和深思，怎样才能让学生透彻理解“检验”必要性？笔者认为，通过直观的“对比”效果会比较好。因此，笔者设计了三个对比。
对比1：“对比方程2和方程1”，为什么经历同样的解题步骤，方程1中整式方程的根是分式方程的根，而方程2中整式方程的根却不是分式方程的根？请谈谈你的看法。
对比2：“为什么分式方程可能有解可能无解，但是整式方程却总是有解呢？你能说明其中的原因吗？”两次对比之后，从学生的课堂反应看出，绝大多数学生能够明白：方程两边所乘的最简公分母的值是否为0影响了解的情况；整式方程两边同乘的是具体的不为0的数，所以总是有解。抓住解的情况不同，笔者顺势追问：“既然分式方程可能有解、可能无解，那么我们如何验证x=a是否为分式方程的解呢？”（学生的方法主要分为两种，第一种是沿用以前的检验方式，把x=a分别代入方程左右两边进行计算，看左边是否等于右边；第二种是把x=a代入最简公分母，观察最简公分母的值是否为0） 对比3：比较两种检验方法，你认为哪种更适合分式方程？为什么？
至此，本环节的教学目标基本达成，在此基础上规范和完善练习2的解题过程，并让学生由此归纳出解分式方程的一般步骤。
在课堂小结环节，笔者以两个问题引导学生对本节课进行知识和方法两个方面的回顾反思：
1.在这节课的学习中，你掌握了哪些知识？学会了哪些学习方法？
2.在学习新知的过程中你体会到了哪种重要的数学思想？
笔者观察学生的小结情况发现，多数学生能够说出本节课的重要知识点：分式方程的定义、去分母的方法、解分式方程的一般步骤、检验的必要性等，也能说出本节课渗透的数学思想：类比一元一次方程的解法学习分式方程解法，把未知的分式方程化归为已知的一元一次方程。
【评析】
（一）重视知识的切入点，使学生明确“学什么、怎么学”
本节课以建军90周年的大阅兵为背景引出问题，让学生回顾一元一次方程、二元一次方程的解法，激活学生的原有认知，引导学生类比研究一元一次方程的方法来研究分式方程，使学生明确本节课“学什么、怎么学”，让学生有法可循而不至于无从下手，為探究环节的教学铺垫。这一开门见山的设计，准确地抓住了本节课的切入点。
（二）重视让学生体验和经历知识的形成过程，让学生“好学、学好”
数学学科的特质是思考，数学是思维的体操。在教学过程中，梁老师始终注意发挥学生的主体作用，重视让学生体验和经历知识的形成过程，在如何解分式方程这个问题上，梁老师只引导学生复习已学方程的相关解法，相当于给了学生一个方向，接下来怎么走到终点，就得靠学生想办法。学生通过自主探究、合作学习来主动发现结论，经历了发现问题、分析问题、解决问题的全过程，获得基础知识，基本能力也得到培养，主体作用得到了充分的发挥。课堂惊喜不断，有师生真实的、充满情感的、智慧的互动。这样的教学实践取得了良好的教学效果，梁老师不仅教给学生知识，更注重培养学生良好的数学素养和学习习惯，让学生学会学习。这充分体现了“教师在课堂上应成为智慧的指路人”这一新课标理念。
（三）重视教学设计的环环相扣，诱学生“步步深入”
纵观整个教学过程，梁老师找准学生的认知起点，以解决情境中的问题、寻求方法为主线，层层设疑，环环相扣，诱学生“步步深入”，让学生逐步完成对知识的理解和深化。课堂设计的两个探究活动，给学生提供了很大的探究空间，学生探究兴趣盎然，思维得以展现，探究效果显著，是“真探究”。学生在“观察”“思考”“计算”中体验、经历、感受，形成积极的、生动的、自主合作的学习方式。学生在实践的过程中付出了自己的努力，体会到成功的快乐。
（四）重视方法总结，提升学生思维品质
教学中，梁老师引导学生探求解题思路与解题本身存在的规律、反思解题中所犯的错误，“透过现象看本质”进行方法总结，提升学生的思维品质，学生能运用通法举一反三，以不变应万变。（秦健）
（责编 刘小瑗）
【关键词】《分式方程》 問题导入 类比 方法归纳
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2018）05A-0022-05
一、教材分析
《分式方程》是人教版八年级上册第十五章第三节的内容，是初中数学的重要内容之一。分式方程是分母中含有未知数的方程，它是整式方程的延伸和拓展，是人们认识方程的一次提升，它与实际生活紧密联系，是描述现实生活的重要方程模型，同时也体现了数学的实际应用价值。解分式方程既是分式有关知识在解方程中的应用，又是进一步研究其他方程和解决实际问题的基础。教会学生“检验”是教学过程中必不可少且的环节，这个过程体现了数学的化归思想和程序化思想。
二、教学目标
（一）了解分式方程的概念；
（二）会用去分母的方法解可化为一元一次方程的分式方程，体会化归思想；
（三）了解需要对分式方程的解进行检验的原因；
（四）在探究分式方程解法过程中培养学生类比、转化的数学思想，激发学生克服困难的信心，让学生获得成就感，提高解决数学问题的能力。
三、教学重难点
重点：会利用去分母的方法解分式方程；
难点：了解分式方程产生增根的原因。
四、学情分析
学生在小学以及七年级已经学过一元一次方程以及二元一次方程组的解法，在学习本章的第一、二节时掌握了分式的概念和分式的约分、通分、四则运算，学生的这些已有知识为顺利完成本节课的教学任务打下了基础。学生第一次接触分式方程，在对整式方程的认识还不够深入的情况下，就遇到比解整式方程复杂的求解过程和可能产生增根的新情境，学生对此内容的接受会有很大的困难，特别是产生增根的原因，学生缺乏认知准备。学生由于解整式方程产生思维定式，即所有方程都是有解的，导致对有些分式方程“无解”产生疑惑和不理解。因此在教学时，教师一方面铺设好学习本节内容的知识台阶，充分体现数学的转化思想，化新为旧、化生为熟，从等式性质2出发，让学生认识到解分式方程时产生增根的原因，另外一方面教师要积极创造机会让学生多交流讨论、发表见解，发挥学习的主动性。
五、教学实录
（一）巧妙导入，归纳概念
教师用“2017年朱日和基地阅兵式”视频中空中战机片段进行导入并提出问题：在某次飞行中，歼20在静风中的速度为1500千米/时，如果它以此速度顺风飞行760千米和逆风飞行740千米的时间相等，则当时的风速为多少？学生列出方程：[7601500+x=7401500-x]
师：大家观察一下这个方程，它有什么特点？
生1：未知数的位置发生了变化。
师：哦，未知数的位置发生了变化，很好！以前我们学习过的方程都有哪些？
生：一元一次方程、二元一次方程。
师：你能快速地将下面4个方程进行分类吗？
（1）3[x]-2=5；（2）[2x+y=4x-y=2]；（3）[x+13-x-12=1]；
（4）[x4+y5=4.]
师：谁是一元一次方程呀？
生：（1）和（3）。
师：那（2）（4）呢？
生：二元一次方程。
师：对，没错！这两类方程有什么共同特点？
师生：左右两边都是整式。
师：所以我们可以把这两类方程称作整式方程。而我们今天列出来的这个方程跟以往的整式方程对比，正如前面那名同学所说的，未知数的位置发生了变化，像这样，分母当中含有未知数的方程我们把它称为分式方程。
师：结合分式方程的定义，我们来看一看下面6个方程中，哪些是分式方程。
（1）[x-22]=[x3]；（2）[1x-2]=[3x]；（3）[4x]+[3y]=7；（4）2x+[x-15]=10；（5）[3-xπ]=[x2]；（6）x-[1x]=2.
生：（2）（3）（6）。
师：大家回答得好快呀！大家是怎么判断的？
生2：看分母的位置。
师：对！判断一个方程是否为分式方程就看其分母是否含有未知数。大家注意方程（5）中的π是常数。
【设计意图】
本环节通过大阅兵的片段引出实际问题，既增强学生上课的兴趣，也渗透了爱国主义情感，凸显数学与生活的联系，为后面用分式方程解决实际问题埋下伏笔。笔者在归纳分式方程定义之前，先引导学生回顾前面所学的一元一次方程、二元一次方程（组），通过观察发现两者的共性是方程中等号两边均为整式，从而将它们称为整式方程；对比新方程与旧方程，顺势得出分式方程的定义；通过习题巩固学生对分式方程定义的理解，最后的方法小结，将学生对定义的认识提升到判断方程是否为分式方程的方法，同时也强调无理数π的易错点。通过“发现—观察—对比—归纳—巩固—小结”的学习过程，学生对分式方程的定义有较全面、深刻的认识，达成了目标一。
（二）回顾提炼，类比解决
师：如何解分式方程[7601500+x]=[7401500-x]？
（学生沉默不语）
师：我们怎样解有分母的一元一次方程呢？
生：通过两边同乘分母的最小公倍数去分母，再去括号，移项，合并，系数化为1，求得[x]的值。
师：怎么验证[x]的值是否正确呢？
生：把[x]的值分别代入方程的左边和右边，如果左右两边的值相等，[x]就是正确的，如果不相等，就错误。 师：很好。接下来请同学们类比一元一次方程的解法，解这道分式方程。先自行思考，写出解题过程，再以前后两桌四人小组为单位交流，分享。8分钟后，派代表上来展示解法。
（8分鐘后）
师：哪个小组来分享你们的解法？
生1：我是通过交叉相乘把分式方程转变为整式方程760（1500-x）=740（1500+x），接着就解一元一次方程得到x=1000。
师：为什么交叉相乘能保证等号仍然成立？这么变形的依据是什么？
生1：我也不清楚，小学老师直接告诉我们的。
师：没关系，一会我们看看有没有其他同学可以给出合理的解释。那么你对你所得的结果进行验证了吗？
生1：验证过了。
师：风速在80km/h左右就已经是超级大风了，你求得的1000km/h是哪种风？方程所得的解不仅要满足方程，还应符合实际意义。同学们帮忙检查看看，这名同学的解题过程是否存在错漏之处？
生2：老师，我发现他在移项时没有变号，所以结果是错误的，正确的解应该是x=20。
师：谢谢，请坐。你的观察很细致。
师：我们再来听听其他同学的解法。
生3：我是类比一元一次方程去分母的方法，让方程两边同乘分母的最简公分母，这样分式方程就可以转变为整式方程760（1500-x）=740（1500+x）。
师：很严谨的表述。和上一名同学一样，也想到了将分式方程转化为整式方程来解决。你能具体说说两边同乘最简公分母，方程等号仍成立的依据是什么吗？
生3：等式的性质。
师：有依有据，真棒！还有不同解法吗？
生4：老师，我是先将方程左右两边的式子进行通分，然后根据分式的值相等，分母又相同，所以它们的分子肯定相等，就得到了整式方程760（1500-x）=740（1500+x），我的解是x=20。
师：这个想法也不错哦，请坐。同学们，三名同学展示了自己的做法，也都得到了同样的解。请细心比较，三名同学的做法有什么相同点和不同点？
生5：我认为相同点是大家都想到了把分式方程去分母后变为整式方程来解决。不同的是转化的方法不同，但实质上又是一样的，因为交叉相乘和先通分再令分子相等，其实都和第二名同学的做法一样，是依据等式性质，两边同乘最简公分母实现的。
师：你分析得很透彻，说出了三种去分母方法的共性，很棒！
【设计意图】
新课程理念提到，数学课堂是讨论、交流、合作的课堂。讨论、合作是学习小组成员完成学习任务的手段，而交流则促进学生成果共享。课堂上讨论、交流、合作首先利于培养学生自主、自信的品质和学习的主动性，并利于创造自由、轻松愉悦的学习环境，促进学生思维的延展。在如何解分式方程这个问题上，笔者引导学生复习已学的方程的解题方法，相当于给了学生一个方向，让学生自主思考并求得结果。在得到结果后，笔者再引导学生通过讨论慢慢弄清楚每一步的理由，体现了循序渐进的学习过程，也体现了数学的严谨性。教师放手让学生去思考、表达，就会收获更多惊喜，教师在课堂上应成为一位极具智慧的指路人。
（二）创造冲突，突破难点
（教师出示练习题：解分式方程[1x-5]=[10x2-25]，学生自主思考、独立完成）
师：同学们在解这道分式方程的过程中是否遇到了困难？
生1：老师，我和解上一道分式方程一样先去分母得到一元一次方程，解一元一次方程后得到[x=5]，但是我代入方程检验后发现方程的分母为0，我不知道往下该怎么表达。
生2：老师，我也得到了相同的解[x=5]，但是如果[x=5]使得分母为0，那么式子就没有意义了，就不能说它是方程的解了，所以我认为这个方程是没有解的。
师：谢谢你们大胆说出了自己遇到的困难。确实很奇怪，为什么我们经历了相同的步骤解得x的值，在方程1中，整式方程的解[x=20]是原分式方程的解，但方程2中，整式方程的解[x=5]却不是原分式方程的解呢？
生3：对比解两个方程的过程，虽然大家都由解整式方程得到x，但是可以看到区别在于x的值在方程1中，使得分母不为0，而在方程2中，x的值使得分母为0，所以方程2就无解。
师：x的值使得分母为0的同时，也导致谁为0呢？
生3：应该是最简公分母，因为它是由各分母的所有因式相乘得到的。
师：那么，如果我们想检验一个x的值是否是分式方程的解时，有哪些方法呢？
生4：我认为可以代入最简公分母，如果最简公分母为0，分式方程就无解，如果最简公分母不为0，x的值就是分式方程的解。这样比较快捷。
师：比较快捷，是相对哪种方法比较快捷？
生4：相对把x的值分别代入每一个分母要快捷。
师：同学们再认真思考，为什么在整式方程中，没有出现过无解的情况呢？
生5：因为整式方程的分母都是具体的数，所以分母都是有意义的。
生6：我们对整式方程去分母时，两边同乘的是各分母的最小公倍数，肯定不为0，但是分式方程去分母时，我们两边同乘的是最简公分母，我们事先不知道它的值是否为0。万一它正好是0，那么我们这么做就违反了等式性质的要求。
师：没错，从具体的数到一般的式子，我们要考虑得更为严谨一些。因此，对于分式方程，我们有必要对所得的x的值进行检验。这个x的值最基本的条件是先要保证分式方程有意义，也就是保证最简公分母是不为0的，其次它还应保证方程两边的值相等，哪一点是与解整式方程最大的区别？
生6：要保证原方程有意义是以前不用考虑的。
师：对，所以为了突显这一区别，在解分式方程过程中，我们应把它呈现出来。 （教师板书解分式方程[1x-5]=[10x2-25]的过程：
两边同乘（x+5）（x-5）得：x+5=10
解得：x=5
检验：当x=5时，（x+5）（x-5）=0，
所以x=5不是原分式方程的解，
原分式方程无解）
【设计意图】
笔者在本环节的第一个问题是：“在解决这道分式方程的过程中你是否遇到了困难？”提出这样一个问题，是因为数学学习过程中的快乐与否对学生来说比分数更重要，所以教师要及时关注和关心学生在学习过程中的情感体验，给予学生充分的关怀和安全感，让他们敢于在课堂上说出自己的困惑，教师既能够及时了解学情，又能引导其他学生打开进一步探索的思路。“为什么我们经历了相同的步骤解得x的值，在方程1中，整式方程的解是原分式方程的解，但方程2中，整式方程的解却不是原分式方程的解呢？”“为什么在整式方程中，没有出现过无解的情况呢？”这两个问题引导学生对比两道分式方程以及对比分式方程与整式方程的求解步骤，发现导致分式方程出现有解和无解两种情况的原因，并且理解在解分式方程的步骤中添加“检验”这一步的重要性和必要性。学生通过对比找出差异，有助于进一步加深对新知识的理解。在初中数学的教学过程中，当学生对某些知识点容易混淆时，或当新学的概念、方法与以往的概念、方法类似时，或当数学概念之间存在互逆关系时，教师可采用对比教学法。
（三）练习与总结，巩固新知
师：下面，请同学们完成练习。（出示练习题：解方程[xx+1=2x3x+3+1]）
（学生完成练习，教师与学生归纳解分式方程常见的错误：①去分母时，漏乘原方程的整式部分；②约去分母后，分子是多项式时，没有注意添括号；③漏检验）
师：在这节课的学习中，你掌握了哪些知识？在学习新知的过程中你体会到了哪种重要的数学思想？
生1：我认识了分式方程，还学会怎样解分式方程。
生2：我觉得学习数学要非常严谨，注意讨论字母的值，遇到字母要能够类比学习数字时的方法，不要害怕。
生3：我掌握了解分式方程的一般步骤，必须要检验，因为可能出现无解的情况，这点和解整式方程是不同的。
师：谢谢你们的分享！我们在本节课学习了两个知识点——分式方程的定义、分式方程的解法，三个基本步骤——去分母、解整式方程、檢验，常用的思想有化归，即将未知转化为已知，还有类比旧知的思路、方法学习新知。
【设计意图】
学生通过做题、归纳易错点，培养了数学表达能力，也解决了本节课的易错点。
“在这节课的学习中，你掌握了哪些知识？”“在学习新知的过程中你体会到了哪些重要的数学思想？”这两个问题引导学生从知识和方法两个方面对本节课进行回顾、反思，从学生的小结情况可以发现多数学生能够说出本节课的重要知识点：分式方程的定义、去分母的方法、解分式方程的一般步骤、检验的必要性等，也能说出本节课渗透的数学思想：类比一元一次方程的解法学习分式方程解法，把未知的分式方程化归为已知的一元一次方程来解决。对本节课的知识点和学习思想进行整理性小结，学生有了更系统的认识，同时养成及时小结的学习习惯。
六、教学反思
在本节课的引入环节，笔者将课本的轮船航行问题改编成飞机的飞行问题，以建军90周年的大阅兵为背景，自然引出本节课的问题，有效地吸引了学生的注意力，同时渗透了强军强国的爱国主义教育。接着，将所得的方程与之前的一元一次方程、二元一次方程进行对比，使学生明确新方程与整式方程的最大区别为：分母含有未知数，顺势得出分式方程的概念，教学效果不错。
在学生掌握分式方程的定义后，接下来着重学习它的解法。在展开探究活动前，笔者引导学生回顾一元一次方程的相关解法，意在启发学生通过类比一元一次方程去分母的过程来求解分式方程。笔者在教学过程中发现，绝大多数学生都能够想到“去分母”，但是对“如何去分母”存在困难，不能类比寻找最小公倍数的方法联想到寻找最简公分母，再根据等式性质实现去分母；部分学生会运用小学知识“交叉相乘”实现去分母；部分学生运用近期所学的分式的通分将分式方程两边进行通分，再根据等式左右两边的值不变，实现去分母。针对学生存在的困难，笔者认为可以通过以下途径突破难点：（1）复习一元一次方程时，强调去分母的方法和依据；（2）针对“交叉相乘”“通分”的去分母方法进行追问：为什么能这么做？其依据是什么？使学生明白它们归根结底就是通过等式的性质——等式两边同乘最简公分母而实现的；（3）对比最小公倍数和最简公分母两个概念，让学生理解从数到式在运算中的区别与联系；（4）设计一组练习，巩固去分母。
学生在学习整式方程过程中，已经形成了一种定式思维：方程都是有解的。所以对于分式方程无解的情况，他们在思想上很难接受，进而就不能理解“检验”这一步的必要性。第三个教学环节要达到的教学目的有两个：（1）明白分式方程为什么无解；（2）理解分式方程检验的必要性以及掌握分式方程检验的方法。怎样才能激发学生对“无解”的好奇和深思，怎样才能让学生透彻理解“检验”必要性？笔者认为，通过直观的“对比”效果会比较好。因此，笔者设计了三个对比。
对比1：“对比方程2和方程1”，为什么经历同样的解题步骤，方程1中整式方程的根是分式方程的根，而方程2中整式方程的根却不是分式方程的根？请谈谈你的看法。
对比2：“为什么分式方程可能有解可能无解，但是整式方程却总是有解呢？你能说明其中的原因吗？”两次对比之后，从学生的课堂反应看出，绝大多数学生能够明白：方程两边所乘的最简公分母的值是否为0影响了解的情况；整式方程两边同乘的是具体的不为0的数，所以总是有解。抓住解的情况不同，笔者顺势追问：“既然分式方程可能有解、可能无解，那么我们如何验证x=a是否为分式方程的解呢？”（学生的方法主要分为两种，第一种是沿用以前的检验方式，把x=a分别代入方程左右两边进行计算，看左边是否等于右边；第二种是把x=a代入最简公分母，观察最简公分母的值是否为0） 对比3：比较两种检验方法，你认为哪种更适合分式方程？为什么？
至此，本环节的教学目标基本达成，在此基础上规范和完善练习2的解题过程，并让学生由此归纳出解分式方程的一般步骤。
在课堂小结环节，笔者以两个问题引导学生对本节课进行知识和方法两个方面的回顾反思：
1.在这节课的学习中，你掌握了哪些知识？学会了哪些学习方法？
2.在学习新知的过程中你体会到了哪种重要的数学思想？
笔者观察学生的小结情况发现，多数学生能够说出本节课的重要知识点：分式方程的定义、去分母的方法、解分式方程的一般步骤、检验的必要性等，也能说出本节课渗透的数学思想：类比一元一次方程的解法学习分式方程解法，把未知的分式方程化归为已知的一元一次方程。
【评析】
（一）重视知识的切入点，使学生明确“学什么、怎么学”
本节课以建军90周年的大阅兵为背景引出问题，让学生回顾一元一次方程、二元一次方程的解法，激活学生的原有认知，引导学生类比研究一元一次方程的方法来研究分式方程，使学生明确本节课“学什么、怎么学”，让学生有法可循而不至于无从下手，為探究环节的教学铺垫。这一开门见山的设计，准确地抓住了本节课的切入点。
（二）重视让学生体验和经历知识的形成过程，让学生“好学、学好”
数学学科的特质是思考，数学是思维的体操。在教学过程中，梁老师始终注意发挥学生的主体作用，重视让学生体验和经历知识的形成过程，在如何解分式方程这个问题上，梁老师只引导学生复习已学方程的相关解法，相当于给了学生一个方向，接下来怎么走到终点，就得靠学生想办法。学生通过自主探究、合作学习来主动发现结论，经历了发现问题、分析问题、解决问题的全过程，获得基础知识，基本能力也得到培养，主体作用得到了充分的发挥。课堂惊喜不断，有师生真实的、充满情感的、智慧的互动。这样的教学实践取得了良好的教学效果，梁老师不仅教给学生知识，更注重培养学生良好的数学素养和学习习惯，让学生学会学习。这充分体现了“教师在课堂上应成为智慧的指路人”这一新课标理念。
（三）重视教学设计的环环相扣，诱学生“步步深入”
纵观整个教学过程，梁老师找准学生的认知起点，以解决情境中的问题、寻求方法为主线，层层设疑，环环相扣，诱学生“步步深入”，让学生逐步完成对知识的理解和深化。课堂设计的两个探究活动，给学生提供了很大的探究空间，学生探究兴趣盎然，思维得以展现，探究效果显著，是“真探究”。学生在“观察”“思考”“计算”中体验、经历、感受，形成积极的、生动的、自主合作的学习方式。学生在实践的过程中付出了自己的努力，体会到成功的快乐。
（四）重视方法总结，提升学生思维品质
教学中，梁老师引导学生探求解题思路与解题本身存在的规律、反思解题中所犯的错误，“透过现象看本质”进行方法总结，提升学生的思维品质，学生能运用通法举一反三，以不变应万变。（秦健）
（责编 刘小瑗）