论文部分内容阅读
摘要：数学思维模式是一定的数学知识结构与数学思维方式结合而成的动力系统。以小学数学教材为例，就“数学思维的操作模式——数学方法、数学思维的机理模式——数学原理、数学思维的动态模式——数学思想、数学思维的工具模式——数学意识”四种数学思维模式的操作及作用进行研究，促使学生自觉地学会用“数学的思维方式”思考问题，从而真正学会数学的思维方式。
关键词：数学思维模式;操作模式;机理模式;动态模式;工具模式
中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2021）04B-0053-04
数学思维模式是指主体在数学思维活动中形成的相对稳定的思维样式，是数学模式在主体头脑中概括加工的反映。因此数学思维模式是一定的数学知识结构与数学思维方式结合而成的动力系统。数学思维模式是关于认识数学模式的思维模式，它具有约简思维过程、降低思维难度、提高思维效率的认识功能。思维模式是相对于模式所使用的思维活动的范围大小而言的。从大的方面说，数学思维模式有“数学思维的操作模式——数学方法、数学思维的机理模式——数学原理、数学思维的动态模式——数学思想、数学思维的工具模式——数学意识”四大类[1]94。数学思维模式有别于其他学科的思维模式，是数学的精髓部分。笔者就谈谈这四种数学思维模式的操作方法及作用。
一、数学思维的操作模式：数学方法
操作模式的数学思维表现为有章可循、可以操作的一种程序，如加减乘除的四则运算法则，三角形、梯形、圆的面积公式等。这里讲的操作，是一种思维操作。例如，用三角板画三角形的高，教师归纳了“一放二靠三移四画五标记”的程序，就是为了便于学生掌握三角形高的画法。
以苏教版三年级数学下册“有趣的乘法”（如图1）为例：
此处乘积中个、十、百位上的三个数是一个定型的运算，这也是一种运算结构，这种新的操作结构，可记为：两头一拉，中间一加。若这两位数的个位与十位数字相加满十，可将操作模式进一步完善为：两头一拉，中间一加，满十进一。
我们说思维法则，既是经验的总结，又是进一步思维的引导。重要法则的反复操练，不仅可以熟悉数学知识，形成技能，也是练就数学基本功的重要手段。法则的灵活运用就是技巧，较常用的技巧就是方法，方法和技巧是操作模式的数学思维中的较高层次。方法的运用提高了法则的效率，有助于对数学的深刻理解。
随着学生学习年级的升高，还会遇到更多数学思维的操作模式，如中学阶段的换元法、待定系数法、消元法、“十字相乘法”等都属于数学思维操作模式的范畴。操作模式的数学思维有利于熟悉数学知識和形成数学技能，掌握基本的数学方法。
二、数学思维的机理模式：数学原理
机理模式的数学思维，表现为一种适应范围广、高层次的方法。它充满着理性与逻辑性，常以数学原理的形式出现，有时虽然也有操作，但操作只处于从属地位。如果说操作模式的数学思维表现为“一定要这样”，那么机理模式的数学思维突出的是“为什么是这样”[1]97。机理模式的数学思维表现有：分析和综合原理、等价原理、对称原理、构造原理、分类原理、抽屉原理、加法原理、乘法原理等。
下面，我们先来看苏教版五年级数学上册的一道例题：“南山中心小学举行小学生足球赛，有4支球队参加，分别是红队、黄队、绿队和蓝队。如果每两支球队比赛一场，一共要比赛多少场？”此题共有四种解法，让我们不妨对其中两种解法进行剖析。
第一种：在纸上写下红、黄、绿和蓝四支球队，然后两两配对（如图2），一一数之，可得结果为6场。
这种方法主要是有章可循的操作思维，其实质是两两搭配关系的思维操作，它表现出的是“一定要这样”。
第二种：首先运用一一列举的方法，列成图3;然后抽象出算法：4×3÷2=6（场）。
这种方法主要是分类或分解原理的机理思维。其实质是乘法原理的应用。它表现为“为什么是这样”。
再来看学生在小学阶段学习计算，算法是计算的基本程序和方法，应该把算理作为计算的原理和依据。学生提高计算能力，增强计算正确性，不能靠死记算法，而应建立在理解算理的基础上;也不能靠反复演练，而应巧想活用。不重视算理的理解，单纯地训练算法，充其量也只是获得了操作技能。计算方法是依据有关的运算性质，将计算过程中的推理系统化和程序化，它是一种先进的逻辑推理形式。
在这里需要指出的是，如果没有法则和方法的认真操作，就不能形成扎实的基本功;如果没有上升到数学原理去思维，思考法则和方法的机理，势必是机械的数学学习。反过来，如果仅仅是从原理上学习数学，而不是在法则训练的基础上去提炼，则数学原理就成了无源之水，无本之木。机理模式的数学思维有利于对数学知识的理解和连贯系统的建构。
三、数学思维的动态模式：数学思想
学习数学的基本要求是理解，要将数学知识广泛地融会贯通，这就是动态模式的数学思维，表现为数学思想，是一种辩证性、运动性、总体性的思维形式，从普遍联系的视角进行数学思维。如转化思想、运动思想、数形结合思想、优化思想、集合思想、极限思想、对应思想、变换思想、普遍性和特殊性思想等，都属于动态思维模式。
动态模式的数学思想是沟通数学知识之间、数学知识与实践之间内在联系的思维形式，是深刻的居高临下式理解知识的思维模式。许多定理、公式、法则在高一级形式都能实现统一。
如小学里学习直线几何图形的面积，从苏教版教材的编排来看，它是按照长方形—正方形—平行四边形—三角形—梯形的顺序，引导学生运用经验逐个推导这些图形的面积公式，如图4：
在单元知识整理课上，教师又设计了以“基本型”（梯形）为基础，引导学生归纳分析这五种直线平面图形面积公式的演变过程。同样地，再可根据梯形动态变化，想象演变成长方形和正方形，用梯形面积公式推出长方形和正方形的面积计算公式。 在动态模式的数学思维下，学生不仅发现五种直线平面图形之间的联系，而且抽象的直线平面图形面积计算公式之间也有着联系，都可用梯形面积公式来统整。可见，学习知识就是一个不断由薄到厚和由厚到薄的过程。这里的由厚到薄的“薄”，不是知识少了，而是精了，是知识的理解达到了融会贯通。动态思维反映了思维的发展，没有动态思维就没法学习数学。
四、数学思维的工具模式：数学意识
数学家如何创造数学？数学家在处理与数学似乎无关的问题时，他们的技巧为何如此高超？这种创造、这种处理，就是工具模式的数学思维：数学意识。有观点认为：数学是科学的仆人，数学是科学的语言，甚至数学是宇宙的语言，数学是思维的工具。如笛卡尔提出过的“万能方法”：把任何问题都划归为数学问题;把任何数学问题都划归为代数问题;把任何代数问题都划归为方程式的求解。虽然“万能模式”的设想最后并未成功，但仍不失为一种伟大的思想，它从本质上肯定了数学思维对认识世界的工具作用。正如马克思所说：一门科学，只有当它成功地运用数学时，才是达到真正完善的地步。这就是所谓的数学意识。也就是说，数学的对象是一种逻辑的建构，一般的科学对象可以说是“数学建构”。
课程改革以来，广大教材编写者和教师，常常会把“探索性演绎法”渗透于教材和教学中，引导学生进行探究性学习，去发现数学新知识。如，苏教版五年级数学上册“钉子板上的多边形”学生探索学习过程：
1.创设生活中的数学现象，引导学生在点子图上画各种多边形。
2.探索内部只有一个钉子的多边形面积与它边上钉子数的关系：S=n÷2。举例验证。
3.探索内部有2个钉子的多边形面积与它边上钉子数的关系：S=n÷2 1;即a=2，S=n÷2 1;再进行验证。
接着，向a=3， a=4，……及a=0拓展。
4.引导学生想象：由于a=2， S=n÷2 1，那么：a=3，S=n÷2 2;a=4，S=n÷2 3……
5.引導学生讨论：对于a=1， S=n÷2还可以怎样表达？（写成S=n÷2 0）
然后，把多点聚成一点（课外延伸思考）。
引导学生把“a=1时，S=n÷2 0;a=2时， S=n ÷2 1;a=3时， S=n÷2 2;a=4时， S=n÷2 3……”这些规律合成一条规律：S=n÷2 （a-1）。
做这样的探究活动，学生在对数学知识的发现过程中，虽然运用“探索性演绎法”的能力还很稚嫩，对猜想的证明也不是很严谨，但是用数学的思维处理问题的顺序和抽象化、模型化、符号化等意识从小得到培育，并使数学意识具有的数学创造的品格，及具有用来解决挑战性问题的能力的品格得到增强。
由此可见，数学意识是一个工作母机，它不仅能解决数学问题，而且是开辟新的数学领域的动力，正因为如此，数学才如此枝繁叶茂，并且深入社会的每一个角落。《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提出的“解决问题”就是为了培养学生数学意识。只有增强了数学意识，工具的数学才能作为数学的工具服务于生产与生活。人们应该学会用数学的思维方式来解决问题。
以上四种数学思维模式的个性特质有着递进的层次性关系，“它们之间就如自然界由简单到复杂、由低级到高级、由无序到有序的发展和演化是一样的，体现着类如阶梯样的序形，每一个阶梯都可以看作是一个层次”。在这其中，数学知识是思维的基础材料，操作模式思维的数学方法是对数学知识的积累与模块化，机理模式思维的数学原理是对数学知识的消化、理解和系统化，动态模式思维的数学思想是对数学知识的系统掌握，工具模式思维的数学意识是对数学知识的运用。
形成数学意识是数学思维的最高境界，它是学习者走出校门若干年后，什么法则都可能忘记了，什么概念都可能淡忘了，什么公式都可能模糊了，而保留下来的终身受益的东西。自觉地会用“数学的思维方式”思考问题，这才是真正学会了“数学的思维方式”。
参考文献：
[1]周春荔. 数学思维概论[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.
责任编辑：石萍
*本文系江苏省教学研究立项课题“基于ELLI框架的多元文化背景下儿童学习力培养研究”（2019JK13-L038）的阶段性成果。
收稿日期：2021-01-20
作者简介：顾丽英，无锡市新洲小学（江苏无锡，214112），高级教师，研究方向为小学数学教学、教育管理。
关键词：数学思维模式;操作模式;机理模式;动态模式;工具模式
中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2021）04B-0053-04
数学思维模式是指主体在数学思维活动中形成的相对稳定的思维样式，是数学模式在主体头脑中概括加工的反映。因此数学思维模式是一定的数学知识结构与数学思维方式结合而成的动力系统。数学思维模式是关于认识数学模式的思维模式，它具有约简思维过程、降低思维难度、提高思维效率的认识功能。思维模式是相对于模式所使用的思维活动的范围大小而言的。从大的方面说，数学思维模式有“数学思维的操作模式——数学方法、数学思维的机理模式——数学原理、数学思维的动态模式——数学思想、数学思维的工具模式——数学意识”四大类[1]94。数学思维模式有别于其他学科的思维模式，是数学的精髓部分。笔者就谈谈这四种数学思维模式的操作方法及作用。
一、数学思维的操作模式：数学方法
操作模式的数学思维表现为有章可循、可以操作的一种程序，如加减乘除的四则运算法则，三角形、梯形、圆的面积公式等。这里讲的操作，是一种思维操作。例如，用三角板画三角形的高，教师归纳了“一放二靠三移四画五标记”的程序，就是为了便于学生掌握三角形高的画法。
以苏教版三年级数学下册“有趣的乘法”（如图1）为例：
此处乘积中个、十、百位上的三个数是一个定型的运算，这也是一种运算结构，这种新的操作结构，可记为：两头一拉，中间一加。若这两位数的个位与十位数字相加满十，可将操作模式进一步完善为：两头一拉，中间一加，满十进一。
我们说思维法则，既是经验的总结，又是进一步思维的引导。重要法则的反复操练，不仅可以熟悉数学知识，形成技能，也是练就数学基本功的重要手段。法则的灵活运用就是技巧，较常用的技巧就是方法，方法和技巧是操作模式的数学思维中的较高层次。方法的运用提高了法则的效率，有助于对数学的深刻理解。
随着学生学习年级的升高，还会遇到更多数学思维的操作模式，如中学阶段的换元法、待定系数法、消元法、“十字相乘法”等都属于数学思维操作模式的范畴。操作模式的数学思维有利于熟悉数学知識和形成数学技能，掌握基本的数学方法。
二、数学思维的机理模式：数学原理
机理模式的数学思维，表现为一种适应范围广、高层次的方法。它充满着理性与逻辑性，常以数学原理的形式出现，有时虽然也有操作，但操作只处于从属地位。如果说操作模式的数学思维表现为“一定要这样”，那么机理模式的数学思维突出的是“为什么是这样”[1]97。机理模式的数学思维表现有：分析和综合原理、等价原理、对称原理、构造原理、分类原理、抽屉原理、加法原理、乘法原理等。
下面，我们先来看苏教版五年级数学上册的一道例题：“南山中心小学举行小学生足球赛，有4支球队参加，分别是红队、黄队、绿队和蓝队。如果每两支球队比赛一场，一共要比赛多少场？”此题共有四种解法，让我们不妨对其中两种解法进行剖析。
第一种：在纸上写下红、黄、绿和蓝四支球队，然后两两配对（如图2），一一数之，可得结果为6场。
这种方法主要是有章可循的操作思维，其实质是两两搭配关系的思维操作，它表现出的是“一定要这样”。
第二种：首先运用一一列举的方法，列成图3;然后抽象出算法：4×3÷2=6（场）。
这种方法主要是分类或分解原理的机理思维。其实质是乘法原理的应用。它表现为“为什么是这样”。
再来看学生在小学阶段学习计算，算法是计算的基本程序和方法，应该把算理作为计算的原理和依据。学生提高计算能力，增强计算正确性，不能靠死记算法，而应建立在理解算理的基础上;也不能靠反复演练，而应巧想活用。不重视算理的理解，单纯地训练算法，充其量也只是获得了操作技能。计算方法是依据有关的运算性质，将计算过程中的推理系统化和程序化，它是一种先进的逻辑推理形式。
在这里需要指出的是，如果没有法则和方法的认真操作，就不能形成扎实的基本功;如果没有上升到数学原理去思维，思考法则和方法的机理，势必是机械的数学学习。反过来，如果仅仅是从原理上学习数学，而不是在法则训练的基础上去提炼，则数学原理就成了无源之水，无本之木。机理模式的数学思维有利于对数学知识的理解和连贯系统的建构。
三、数学思维的动态模式：数学思想
学习数学的基本要求是理解，要将数学知识广泛地融会贯通，这就是动态模式的数学思维，表现为数学思想，是一种辩证性、运动性、总体性的思维形式，从普遍联系的视角进行数学思维。如转化思想、运动思想、数形结合思想、优化思想、集合思想、极限思想、对应思想、变换思想、普遍性和特殊性思想等，都属于动态思维模式。
动态模式的数学思想是沟通数学知识之间、数学知识与实践之间内在联系的思维形式，是深刻的居高临下式理解知识的思维模式。许多定理、公式、法则在高一级形式都能实现统一。
如小学里学习直线几何图形的面积，从苏教版教材的编排来看，它是按照长方形—正方形—平行四边形—三角形—梯形的顺序，引导学生运用经验逐个推导这些图形的面积公式，如图4：
在单元知识整理课上，教师又设计了以“基本型”（梯形）为基础，引导学生归纳分析这五种直线平面图形面积公式的演变过程。同样地，再可根据梯形动态变化，想象演变成长方形和正方形，用梯形面积公式推出长方形和正方形的面积计算公式。 在动态模式的数学思维下，学生不仅发现五种直线平面图形之间的联系，而且抽象的直线平面图形面积计算公式之间也有着联系，都可用梯形面积公式来统整。可见，学习知识就是一个不断由薄到厚和由厚到薄的过程。这里的由厚到薄的“薄”，不是知识少了，而是精了，是知识的理解达到了融会贯通。动态思维反映了思维的发展，没有动态思维就没法学习数学。
四、数学思维的工具模式：数学意识
数学家如何创造数学？数学家在处理与数学似乎无关的问题时，他们的技巧为何如此高超？这种创造、这种处理，就是工具模式的数学思维：数学意识。有观点认为：数学是科学的仆人，数学是科学的语言，甚至数学是宇宙的语言，数学是思维的工具。如笛卡尔提出过的“万能方法”：把任何问题都划归为数学问题;把任何数学问题都划归为代数问题;把任何代数问题都划归为方程式的求解。虽然“万能模式”的设想最后并未成功，但仍不失为一种伟大的思想，它从本质上肯定了数学思维对认识世界的工具作用。正如马克思所说：一门科学，只有当它成功地运用数学时，才是达到真正完善的地步。这就是所谓的数学意识。也就是说，数学的对象是一种逻辑的建构，一般的科学对象可以说是“数学建构”。
课程改革以来，广大教材编写者和教师，常常会把“探索性演绎法”渗透于教材和教学中，引导学生进行探究性学习，去发现数学新知识。如，苏教版五年级数学上册“钉子板上的多边形”学生探索学习过程：
1.创设生活中的数学现象，引导学生在点子图上画各种多边形。
2.探索内部只有一个钉子的多边形面积与它边上钉子数的关系：S=n÷2。举例验证。
3.探索内部有2个钉子的多边形面积与它边上钉子数的关系：S=n÷2 1;即a=2，S=n÷2 1;再进行验证。
接着，向a=3， a=4，……及a=0拓展。
4.引导学生想象：由于a=2， S=n÷2 1，那么：a=3，S=n÷2 2;a=4，S=n÷2 3……
5.引導学生讨论：对于a=1， S=n÷2还可以怎样表达？（写成S=n÷2 0）
然后，把多点聚成一点（课外延伸思考）。
引导学生把“a=1时，S=n÷2 0;a=2时， S=n ÷2 1;a=3时， S=n÷2 2;a=4时， S=n÷2 3……”这些规律合成一条规律：S=n÷2 （a-1）。
做这样的探究活动，学生在对数学知识的发现过程中，虽然运用“探索性演绎法”的能力还很稚嫩，对猜想的证明也不是很严谨，但是用数学的思维处理问题的顺序和抽象化、模型化、符号化等意识从小得到培育，并使数学意识具有的数学创造的品格，及具有用来解决挑战性问题的能力的品格得到增强。
由此可见，数学意识是一个工作母机，它不仅能解决数学问题，而且是开辟新的数学领域的动力，正因为如此，数学才如此枝繁叶茂，并且深入社会的每一个角落。《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提出的“解决问题”就是为了培养学生数学意识。只有增强了数学意识，工具的数学才能作为数学的工具服务于生产与生活。人们应该学会用数学的思维方式来解决问题。
以上四种数学思维模式的个性特质有着递进的层次性关系，“它们之间就如自然界由简单到复杂、由低级到高级、由无序到有序的发展和演化是一样的，体现着类如阶梯样的序形，每一个阶梯都可以看作是一个层次”。在这其中，数学知识是思维的基础材料，操作模式思维的数学方法是对数学知识的积累与模块化，机理模式思维的数学原理是对数学知识的消化、理解和系统化，动态模式思维的数学思想是对数学知识的系统掌握，工具模式思维的数学意识是对数学知识的运用。
形成数学意识是数学思维的最高境界，它是学习者走出校门若干年后，什么法则都可能忘记了，什么概念都可能淡忘了，什么公式都可能模糊了，而保留下来的终身受益的东西。自觉地会用“数学的思维方式”思考问题，这才是真正学会了“数学的思维方式”。
参考文献：
[1]周春荔. 数学思维概论[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.
责任编辑：石萍
*本文系江苏省教学研究立项课题“基于ELLI框架的多元文化背景下儿童学习力培养研究”（2019JK13-L038）的阶段性成果。
收稿日期：2021-01-20
作者简介：顾丽英，无锡市新洲小学（江苏无锡，214112），高级教师，研究方向为小学数学教学、教育管理。