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[摘 要] 浙江省宁波市2006年初中毕业生学业考试第24题学业考试题以全新的方式考查学生的估算能力和估算策略，体现了新课程的理念，但结果不能令人乐观。当前初中数学教学对估算教学不够重视，教师对估算的理论方法缺乏了解，学生估算能力较差。加强估算教学势在必行。
[关键词] 初中数学 估算 估算教学 估算能力
一、问题的提出
2006年宁波市初中毕业生学业考试第24题出现了考查估算的题目：
利用图象解一元二次方程x2-2x-1=0时，我们采用的一种方法是：在直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=2x+1，两图象交点的横坐标就是该方程的解．
(1)请再给出一种利用图象求方程x2-2x-1=0的解的方法。
(2)已知函数y=x3的图象(如图)：求方程x3-x-2=0的解。(结果保留2个有效数字)
这是一道新课程初中数学新增内容“估算”的试题，即利用函数图象求方程的近似解，主要考查学生运用数形结合思想综合解决问题的能力。该题的设计非常有创意和开放性，特别注重解决问题的过程与方法，突出地体现了对问题的类比与探索意识，如果死记硬背知识点是难以解决的。从中考统计结果看，该题得分率很低，大概是40%，尤其是第（2）小题。主要问题是学生审题不清，如对第（1）小题有的在直接用求根公式求方程 的根。对第（2）小题有的学生题意不清，在用代入尝试检验的方法求解，把得出方程的解看成最终目的，忽视了考查解题过程才是题目的初衷。这都说明学生对估算的策略、方法掌握不够，造成估算能力薄弱，思路单一，不会灵活地解决这类综合性的估算题。究其原因，主要是目前初中数学教学对估算教学不够重视，许多教师对估算的理论方法缺乏了解，而课程标准这方面的解释不够具体，使教师对估算教学认识肤浅，所教方法比较单一，如仅限于教材的一些材料，缺少必要的渗透和引领，使学生不会通过估算来“数学”地思考问题。
所以有必要对当前初中数学估算教学的现状作分析，以引起数学教师的反思。
二、当前初中数学估算教学的现状
华东师大版教材在八年级下、九年级下学习一次函数、二次函数时都对估算有一些具体的体现与落实，如
（1） 利用函数图像法求方程组 的近似解
（2） 利用函数图像法估计方程x2-3x-4=0、方程组 等的近似解。
教材的目的是让学生亲历自主探索、动手操作、合情推理来理解方程、不等式、函数的互相关系，渗透了类比、化归、数形结合的数学思想，从而考查学生的数学综合应用能力。但根据笔者的调查，该内容的实际教学情况却不尽如人意。有的由于教师对于画图标准没有明确的要求，学生画图的准确性差异很大，导致给出的答案误差较大；有的教师看到学生花费的时间太长，影响课堂教学进度，就没等学生完成匆匆一对答案了之；有的比较机灵的学生则先直接解得方程（组）的解，然后再画图，使估算成了摆设。
造成以上情况的原因是教材选材上受知识范围所束缚,选取的是一元一次方程组和一元二次方程（组）。这些方程学生都已掌握了成熟、准确的代数解法，再来探索利用图象的近似求解法，就不能真正体现图象法的优势，于是就出现了先用代数法解方程再在图象上描近似点的倒置现象，“估计方程解”完全成了为估计而估计的作秀，显得比较勉强，以致一些教师、学生都认为这类估算问题缺乏思考的深度和必要，不如直接解方程更方便，加上作图很繁琐，便不太接受这种方法，所以课堂教学效果不是很好，不能真正体现估算的价值。教师也很难把握估算教学的尺度，尤其对过程和方法较难控制，我认为这应该是教材的一个不足之处。
宁波市学业考试第24题则将课程标准“加强估算意识的培养”这一要求很好地落到实处,充分发挥评价的导向作用，弥补了教材的不足。试题采用了三次函数，就避开了学生可以用已有的代数法解方程的知识，并提供函数图象，避免超出初中阶段的知识范围，很好地考查了学生对“经历用观察、画图手段估计方程解”方法的掌握情况。该题除了体现图象法本身在数学知识体系和数学思想方法上的重大价值外，也会对准确理解、把握《课程标准》中的估算教学起到良好的导向作用。
从调查的情况来看，许多教师由于缺乏估算的理论认识和专业知识，加上估算问题的结果具有开放性，给教学带来一定的困难，从而对估算不够重视。特别是在当前升学教学的压力下，教师都十分强调计算的准确与快速，认为精算才是重要的，所教的估算方法普遍比较单一、死板，不系统、不全面，缺乏对知识间有机的链接，尤其对于“什么时候要用估算”、“为什么要用估算来解决问题”这些学生容易产生疑惑的问题很少提及。所以学生对估算的理解也比较肤浅，如把”取近似值“与“估算”混为一谈，运用估算的方法去检验结果的合理性的意识较薄弱。再加上学生没有体会到估算的应用价值，没有产生估算的实际需要，因此大部分学生很少运用估算的方法检验自己的答题是否正确，有的甚至认为“估算的结果不是精确值，是错误的”，应用估算的意识很薄弱。
三、加强估算教学的对策
到底什么是估算呢？它有哪些价值呢？我们先来了解一下估算的有关含义。
估算是个体未经过精确计算而只借助原有知识对问题提出粗略答案的一种估计形式，是心算、数概念和算术计算技巧之间相互作用的过程。顾名思义，估算是一种粗略的计算，实质是一种快速的近似计算，它的基本特点是对数值做扩大或缩小，从而对运算结果确定出一个范围，作合理的猜测，或作出一个估计。估算能力是指学生在利用一些估算策略的基础上，通过观察、比较、判断、推理等认知过程，获得一种概略化结果的能力。估算能力是一种比较特殊的能力，它可以使我们判断一个经由粗略计算得到的答案的合理性，在解决一些日常实际问题和检验计算结果合理性时特别有用，它比复杂的笔算更有价值，同时对于培养学生的数学意识，发展学生的思维能力很有帮助。通过估算教学可以逐步提高学生的估算意识和估算能力，有效改善学生的数学思维品质，发展学生的数感，形成良好的认知结构和知识结构。估算教学的主要目的不在于获得问题的结果，而是使学生通过经历解决过程问题的过程学会用数学的方法和数学的观点认识客观世界的规律。所以估算能力在学生的学习和生活中都有着十分广泛的应用，教师应逐步培养学生的估算意识和估算技能，提高学生的数学素养。
基于估算的现实意义，《数学课程标准》提出了让学生从实际问题中估计解的准确性与合理性的教学要求，将估算能力作为一条重要的课程标准。《数学课程标准》对七～九年级新增的估算能力要求是：能对较大的数字信息做出合理的推断与解释；能用有理数估计一个无理数的大致范围；经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程；根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解；用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
例如：估计方程x2 ＋2x－10＝0的解。估计方程的解，不仅仅在于求解，更重要的是让学生能直观地探究方程的性质，并用观察、画图或计算器等手段估计方程的解。如果直接解方程，就会使学生看不到方程与函数的密切联系，思维的发展就不会很全面。用函数的图像来估计方程的解看似繁琐，但切不可因此而忽视，不能只是一味要求培养计算精确答案的技能，所以教师要舍得花时间，让学生充分体验，真正了解估算的方法和价值。
所以我们教师要更新教育观念，大力增强估算意识的培养。教师要提高估算教学对于促进学生形成良好数感重要性的认识，尤其要加强方法指导。初中阶段的主要估算方法有：利用数据运算及实际估计的技能、技巧估计所列算式、所作图形的结果；运用逐步逼近的方法估计无理数的大致范围及方程近似解；根据函数的图像求方程（组）的近似解；用计算机作图（如几何画板）观察估计方程（组）的近似解等。这些方法要有机结合，渗透于学生平时的练习与实践中，潜移默化地让学生积累和运用估算的思想、技能、技巧，提高估算能力。
教师应善于创造性地使用教材，充分挖掘教学资源，尤其是结合学生的生活和实践开展生动活泼、富有意义的估算教学，在多样化的选择中使他们体会到估算的必要性和优越性，将估算内化为一种自觉，自主的意识，进而形成一种习惯。同时也希望课程编者能对估算的内容作适当地改进，促使学生乐于探索，激发兴趣，并增加一些专题和阅读材料来介绍估算的有关知识，以引起师生的重视，也方便教师教学。
[关键词] 初中数学 估算 估算教学 估算能力
一、问题的提出
2006年宁波市初中毕业生学业考试第24题出现了考查估算的题目：
利用图象解一元二次方程x2-2x-1=0时，我们采用的一种方法是：在直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=2x+1，两图象交点的横坐标就是该方程的解．
(1)请再给出一种利用图象求方程x2-2x-1=0的解的方法。
(2)已知函数y=x3的图象(如图)：求方程x3-x-2=0的解。(结果保留2个有效数字)
这是一道新课程初中数学新增内容“估算”的试题，即利用函数图象求方程的近似解，主要考查学生运用数形结合思想综合解决问题的能力。该题的设计非常有创意和开放性，特别注重解决问题的过程与方法，突出地体现了对问题的类比与探索意识，如果死记硬背知识点是难以解决的。从中考统计结果看，该题得分率很低，大概是40%，尤其是第（2）小题。主要问题是学生审题不清，如对第（1）小题有的在直接用求根公式求方程 的根。对第（2）小题有的学生题意不清，在用代入尝试检验的方法求解，把得出方程的解看成最终目的，忽视了考查解题过程才是题目的初衷。这都说明学生对估算的策略、方法掌握不够，造成估算能力薄弱，思路单一，不会灵活地解决这类综合性的估算题。究其原因，主要是目前初中数学教学对估算教学不够重视，许多教师对估算的理论方法缺乏了解，而课程标准这方面的解释不够具体，使教师对估算教学认识肤浅，所教方法比较单一，如仅限于教材的一些材料，缺少必要的渗透和引领，使学生不会通过估算来“数学”地思考问题。
所以有必要对当前初中数学估算教学的现状作分析，以引起数学教师的反思。
二、当前初中数学估算教学的现状
华东师大版教材在八年级下、九年级下学习一次函数、二次函数时都对估算有一些具体的体现与落实，如
（1） 利用函数图像法求方程组 的近似解
（2） 利用函数图像法估计方程x2-3x-4=0、方程组 等的近似解。
教材的目的是让学生亲历自主探索、动手操作、合情推理来理解方程、不等式、函数的互相关系，渗透了类比、化归、数形结合的数学思想，从而考查学生的数学综合应用能力。但根据笔者的调查，该内容的实际教学情况却不尽如人意。有的由于教师对于画图标准没有明确的要求，学生画图的准确性差异很大，导致给出的答案误差较大；有的教师看到学生花费的时间太长，影响课堂教学进度，就没等学生完成匆匆一对答案了之；有的比较机灵的学生则先直接解得方程（组）的解，然后再画图，使估算成了摆设。
造成以上情况的原因是教材选材上受知识范围所束缚,选取的是一元一次方程组和一元二次方程（组）。这些方程学生都已掌握了成熟、准确的代数解法，再来探索利用图象的近似求解法，就不能真正体现图象法的优势，于是就出现了先用代数法解方程再在图象上描近似点的倒置现象，“估计方程解”完全成了为估计而估计的作秀，显得比较勉强，以致一些教师、学生都认为这类估算问题缺乏思考的深度和必要，不如直接解方程更方便，加上作图很繁琐，便不太接受这种方法，所以课堂教学效果不是很好，不能真正体现估算的价值。教师也很难把握估算教学的尺度，尤其对过程和方法较难控制，我认为这应该是教材的一个不足之处。
宁波市学业考试第24题则将课程标准“加强估算意识的培养”这一要求很好地落到实处,充分发挥评价的导向作用，弥补了教材的不足。试题采用了三次函数，就避开了学生可以用已有的代数法解方程的知识，并提供函数图象，避免超出初中阶段的知识范围，很好地考查了学生对“经历用观察、画图手段估计方程解”方法的掌握情况。该题除了体现图象法本身在数学知识体系和数学思想方法上的重大价值外，也会对准确理解、把握《课程标准》中的估算教学起到良好的导向作用。
从调查的情况来看，许多教师由于缺乏估算的理论认识和专业知识，加上估算问题的结果具有开放性，给教学带来一定的困难，从而对估算不够重视。特别是在当前升学教学的压力下，教师都十分强调计算的准确与快速，认为精算才是重要的，所教的估算方法普遍比较单一、死板，不系统、不全面，缺乏对知识间有机的链接，尤其对于“什么时候要用估算”、“为什么要用估算来解决问题”这些学生容易产生疑惑的问题很少提及。所以学生对估算的理解也比较肤浅，如把”取近似值“与“估算”混为一谈，运用估算的方法去检验结果的合理性的意识较薄弱。再加上学生没有体会到估算的应用价值，没有产生估算的实际需要，因此大部分学生很少运用估算的方法检验自己的答题是否正确，有的甚至认为“估算的结果不是精确值，是错误的”，应用估算的意识很薄弱。
三、加强估算教学的对策
到底什么是估算呢？它有哪些价值呢？我们先来了解一下估算的有关含义。
估算是个体未经过精确计算而只借助原有知识对问题提出粗略答案的一种估计形式，是心算、数概念和算术计算技巧之间相互作用的过程。顾名思义，估算是一种粗略的计算，实质是一种快速的近似计算，它的基本特点是对数值做扩大或缩小，从而对运算结果确定出一个范围，作合理的猜测，或作出一个估计。估算能力是指学生在利用一些估算策略的基础上，通过观察、比较、判断、推理等认知过程，获得一种概略化结果的能力。估算能力是一种比较特殊的能力，它可以使我们判断一个经由粗略计算得到的答案的合理性，在解决一些日常实际问题和检验计算结果合理性时特别有用，它比复杂的笔算更有价值，同时对于培养学生的数学意识，发展学生的思维能力很有帮助。通过估算教学可以逐步提高学生的估算意识和估算能力，有效改善学生的数学思维品质，发展学生的数感，形成良好的认知结构和知识结构。估算教学的主要目的不在于获得问题的结果，而是使学生通过经历解决过程问题的过程学会用数学的方法和数学的观点认识客观世界的规律。所以估算能力在学生的学习和生活中都有着十分广泛的应用，教师应逐步培养学生的估算意识和估算技能，提高学生的数学素养。
基于估算的现实意义，《数学课程标准》提出了让学生从实际问题中估计解的准确性与合理性的教学要求，将估算能力作为一条重要的课程标准。《数学课程标准》对七～九年级新增的估算能力要求是：能对较大的数字信息做出合理的推断与解释；能用有理数估计一个无理数的大致范围；经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程；根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解；用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
例如：估计方程x2 ＋2x－10＝0的解。估计方程的解，不仅仅在于求解，更重要的是让学生能直观地探究方程的性质，并用观察、画图或计算器等手段估计方程的解。如果直接解方程，就会使学生看不到方程与函数的密切联系，思维的发展就不会很全面。用函数的图像来估计方程的解看似繁琐，但切不可因此而忽视，不能只是一味要求培养计算精确答案的技能，所以教师要舍得花时间，让学生充分体验，真正了解估算的方法和价值。
所以我们教师要更新教育观念，大力增强估算意识的培养。教师要提高估算教学对于促进学生形成良好数感重要性的认识，尤其要加强方法指导。初中阶段的主要估算方法有：利用数据运算及实际估计的技能、技巧估计所列算式、所作图形的结果；运用逐步逼近的方法估计无理数的大致范围及方程近似解；根据函数的图像求方程（组）的近似解；用计算机作图（如几何画板）观察估计方程（组）的近似解等。这些方法要有机结合，渗透于学生平时的练习与实践中，潜移默化地让学生积累和运用估算的思想、技能、技巧，提高估算能力。
教师应善于创造性地使用教材，充分挖掘教学资源，尤其是结合学生的生活和实践开展生动活泼、富有意义的估算教学，在多样化的选择中使他们体会到估算的必要性和优越性，将估算内化为一种自觉，自主的意识，进而形成一种习惯。同时也希望课程编者能对估算的内容作适当地改进，促使学生乐于探索，激发兴趣，并增加一些专题和阅读材料来介绍估算的有关知识，以引起师生的重视，也方便教师教学。