双棒在不同情景下的最终运动状态

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  在电磁感应导体棒运动问题中,两个导体棒运动的最终速度大小及关系问题是学生的难点,不同的情景带来不同的状态,但是解决此难点的方法很简单,那就是从分析受力入手,分析其运动规律,就会水到渠成。
  例:如图1所示,在水平面内有平行的光滑导轨MN和PQ,不计电阻、它们间距为L,在其上横放着两根金属棒ab和cd,质量分别为m■和m■,金属棒单位长度电阻为R,整个装置处在竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中。现在给金属棒ab一个平行导轨向右的瞬时初速度V■而开始运动起来,求最终棒ab和cd的最终速度?
  图1
  解析:ab棒开始切割磁感线运动、产生感应电动势E■=BLV■,在两棒和导轨组成的回路中产生感应电流,cd棒在安培力作用下向右运动、切割磁感线产生感应电动势为E■=BLV■,等效电路如图2所示,其中r=LR、电路中电流I=■。
  图2
  ab棒在安培力F=BIL=B■L■(V■-V■)/(2Lr)作用下做减速运动、cd棒在安培力F作用下作加速运动,在速度相等时,加速度a均为0,所以最终两金属棒以共同速度V运动。
  对两棒,水平方向上动量守恒有:
  m■V■=(m■ m■)V,解得V=■
  因此最终状态为:以■匀速运动。
  变式1:若例题中ab棒的初速度V■为0,而受到一个向右的水平恒力F作用,其他条件不变,如图3所示,再求最终棒ab和cd的最终运动情况?
  图3
  解析:有些学生不假思索、想当然地認为和例题一样,最终以共同速度运动。其实要搞清楚两棒的最终运动情况应从每个棒受力情况入手。
  在开始经过一小段时间,设ab和cd的速度分别为V■、V■,回路中的电动势为E=BL(V■-V■)、电流为I=E/(2LR)、两导体棒受到的安培力均为F■=BIL,即F1=B■L■(V■-V■)/(2LR),
  应用牛顿第二定律可知,
  ab棒的加速度a■=(F-F■)/m■,
  cd棒的加速度a■=F■/m■,
  在开始阶段,a■>a■,(V■-V■)增大、安培力F■增大,a■减小、a■增大,则ab棒做加速度a■越来越小的加速度运动、cd棒做加速度a■越来越大的加速度运动,一定会出现加速度相等的时刻,即a■=a■,此后(V■-V■)保持不变,他们以共同加速度运动而收尾,共同加速度a=F/( m■ m■),以上各式联立解得:V■-V■=■。
  因此:它们的最终状态是做加速度相同的匀加速运动,保持速度差为■不变。
  变式2:在例题中,把导轨变成由两部分m■N■、P■Q■和m■N■、P■Q■构成,且M■N■∥P■Q■、导轨间距为L1,M■N■∥P■Q■、导轨间距为L■,导棒cd放置在M■N■和P■Q■上、且距离Q■N■较远,导棒ab放置在M■N■和P■Q■上,如图4所示,现在给ab一个向右的初速度V■,判定最终两棒的运动?
  图4
  解析:ab以V■开始向右切割磁感线运动,在回路中产生感应电流,cd受到向右的安培力开始向右加速运动、ab受到向左的安培力而减速运动,穿过闭合回路的磁通量增加,根据楞次定律阻碍磁通量增加可知,最终回路磁通量不变,两棒都做匀速运动,设此过程中通过回路横截面的电荷量为q,设ab、cd的速度分别为V■、V■,根据最终穿过回路的磁通量不变,有
  L■V■=L■V■ ①
  对ab,从V■开始到V■,应用动量定理有:
  -BL■q=m■V■-m■V■ ②
  对cd,从0到V■,应用动量定理有:
  BL■q=m■V■ ③
  ②/③再除以①可得V■=■,V■=■。
  因此,ab、cd最终分别以V■=■,V■=■匀速运动。
  总之,对于电磁感应问题还是要从基本的方法分析起,从动力学知识、电路等方面把握,问题就会迎刃而解。
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