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摘要：分析并讨论了过采样Σ-ΔADC中过采样技术和噪声整形技术的工作原理，Σ-Δ调制器的级数对整形效果的影响及调制器的结构选择，并用MATLAB语言的simulink工具箱进行了系统级的仿真。
关键词：过采样；Σ-Δ调制器；噪声整形
中图分类号：TN761文献标识码：A文章编号：1009-3044(2007)06-11631-01
1 引言
传统A/D转换器，如逐次积分型、折叠型和流水线型等类型，由于高精度模拟电子器件受到集成度、温度等变化因素的影响，而且为了防止混叠噪声，需要高性能的前置滤波器，这使得传统的A/D转换器的精度很难提高，从而限制了转换器的分辨率。为了避免这些问题，过采样技术被运用到A/D转换器的设计中。
基于过采样Σ-△调制器的转换器是一种基于Σ-△过采样技术和噪声整形技术的ADC。过采样Σ-△ADC的结构框图如图1所示。模拟输入信号经过一个抗混迭滤波器，然后以远高于Nyquist频率的速率fs进行采样。采样结果经过Σ-△调制器，产生一个粗糙的低精度量化结果。Σ-△调制器的环路反馈结构使得量化噪声的频谱分布发生改变，低频段的噪声减小，高频段的噪声增大。然后通过数字低通滤波器滤除基带之外的噪声，并降采样至Nyquist频率。
图1 Σ-△ADC的结构
2 Σ-△调制器工作原理
2.1 过采样技术
量化误差指量化器输出与输入值之间的差，时间采样不会引入信号失真，但是对信号的量化将不可避免地引入量化噪声，引起信号失真。由信号采样量化理论可知，若输入信号的最小幅度大于量化器的量化等级Δ，则输入信号幅度随机分布。量化误差e在士△/2范围内均匀分布，则其概率分布密度为：
总噪声功率为：
在白噪声近似下，噪声功率密度为：
式中fN是Nyquist频率，M为过采样率。很明显，若用低通滤波滤去信号带外噪声，并降采样至fN，则系统中的量化噪声就只有原先的1/M。可以清楚看到过采样技术使量化噪声在基带内的分布明显得到稀释。
通过提高采样速率和过采样率，以时间交换精度，避免了高精度A/D转换所需要的复杂电路。过采样不足之处是过采样技术不能对量化器的线性度要求有所降低，因此在高精度ADC的设计中，为了克服高线性度要求的难题，通常采用单比特量化器。
2.2 噪声整形技术
Σ-△调制器是决定ADC采样速率和转换精度的核心部分。 量化噪声是影响ADC精度最基本的因素之一。设计Σ-△调制器的最主要目的就是衰减分布于基带内的量化噪声。Σ-△调制器主要是由前端的积分器，1位A/D及反馈环路中的1位D/A来组成。
由于这个系统包括1个Σ-△调制器和1个积分器，积分器实际起到求和的作用，相当于数学符号中的功能，Σ-△调制器因而得名。采用这一结构可以对噪声进行整形或调制，使信号带宽内的噪声大大减小，而放大了信号带宽外的噪声。相当于将噪声能量从低频段推到了高频段，而对信号本身不起整形作用。这样在Σ-△调制器后加入低通滤波器，就可以有效地滤除信号带宽外的量化噪声，大大提高了系统性能。
∑-△调制器的阶数L表示调制器中积分器的数目；过采样率M是调制器的采样率与Nyquist率的比值；量化器和D/A转换器的位数为N。量化误差u(kT)表示量化器输出与输入的差，根据图2：
图2 调制器框图
对(1)式和(2)式进行Z变换，得到L阶调制器的输出的传递函数应为：
我们将传递函数写成如下形式：
Hx(z)表示调制器对输入信号的传输函数，He(z)表示调制器对量化噪声的传输函数。对于一阶调制器。这表明，一阶调制器对信号只产生一个采样周期的延迟，而对量化噪声则产生了一阶整形。
相类似地，对于L阶调制器。说明L阶调制器对信号产生L个采样周期的延迟，而对量化噪声则产生了L阶整型。
2.3 调制器结构选择
对L阶∑-△调制器，当输入为正弦信号时，输出信号的信噪比SNR最大值为：
由此式可以清楚看到过采样率M对SNR的影响。在工艺允许的范围内，每提高一倍采样频率，∑-△调制器输出带内信噪比就会大约提高 3×(2L＋1)dB。在过采样频率一定情况下，调制器阶数越高，信噪比越高。所以一阶调制器仅适用于低频信号。二阶调制器由于电路容易实现，在给定相同频率输入信号和量化器位数的条件下，二阶调制器的过采样率可以远远低于一阶调制器。所以应用较为广泛。更高阶的调制器由于容易出现过载现象而使电路不稳定，因此往往采用一些特殊的调制器电路结构，如级联结构。一阶和二阶∑-△调制器结构是非常成熟的且保持相对的稳定性，所以高阶的∑-△调制器可以用一阶或二阶调制器级联的方法构成。这样每一级都能保持稳定，同时也实现了高阶的噪声整形。
3 系统级设计及仿真
设计一个高速两阶Σ-△调制器，采样频率为1MHZ，过采样率为64，如图4所示结构：
图3 高速两阶Σ-△调制器
此为二阶调制器，可能出现过载，为了防止这种现象出现，要选合适的积分器增益，simulink仿真表明积分器增益在0.4到0.6之间时，噪声整形效果好，且系统可以稳定工作。当积分器增益取0.6时，积分器输出信号急剧增加，系统变得不稳定，所以我们取0.5。下图给出了输入幅值为0.5V的正弦信号时，第一级积分器第二级积分器和最后量化输出的结果。从图5中可以看出，积分器一和积分器二均没有过载。
图4 仿真结果
4 结束语
通过以上分析可以看出，过采样Σ-△调制器通过过采样和噪声整形两大技术对噪声具有显著整形作用，可以将噪声能量从低频段变换到高频段但又不对信号产生影响。这样通过低通滤波器就可以有效去除噪声，提高信噪比和系统性能，由于这一特点，现在Σ-△调制器被广泛应用于数模混合电路中。
参考文献：
[1] R.Jacob Baker. CMOS Circuit Design, Layout, and Simulation[M]. China Machine Press,2003.683-791.
[2] Gray R M. Oversampled Sigma-Delta Modulation[M]. IEEE Trans Comm un, Mar 1987, 35:481-489.
[3] R.J. 贝克. CMOS混合信号电路设计[M]. 科学出版社，2005.135-213.
[4] 朱颖，何乐年. 高速两阶Sigma-delta调制器研究与设计[D]. 2006.
本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
关键词：过采样；Σ-Δ调制器；噪声整形
中图分类号：TN761文献标识码：A文章编号：1009-3044(2007)06-11631-01
1 引言
传统A/D转换器，如逐次积分型、折叠型和流水线型等类型，由于高精度模拟电子器件受到集成度、温度等变化因素的影响，而且为了防止混叠噪声，需要高性能的前置滤波器，这使得传统的A/D转换器的精度很难提高，从而限制了转换器的分辨率。为了避免这些问题，过采样技术被运用到A/D转换器的设计中。
基于过采样Σ-△调制器的转换器是一种基于Σ-△过采样技术和噪声整形技术的ADC。过采样Σ-△ADC的结构框图如图1所示。模拟输入信号经过一个抗混迭滤波器，然后以远高于Nyquist频率的速率fs进行采样。采样结果经过Σ-△调制器，产生一个粗糙的低精度量化结果。Σ-△调制器的环路反馈结构使得量化噪声的频谱分布发生改变，低频段的噪声减小，高频段的噪声增大。然后通过数字低通滤波器滤除基带之外的噪声，并降采样至Nyquist频率。
图1 Σ-△ADC的结构
2 Σ-△调制器工作原理
2.1 过采样技术
量化误差指量化器输出与输入值之间的差，时间采样不会引入信号失真，但是对信号的量化将不可避免地引入量化噪声，引起信号失真。由信号采样量化理论可知，若输入信号的最小幅度大于量化器的量化等级Δ，则输入信号幅度随机分布。量化误差e在士△/2范围内均匀分布，则其概率分布密度为：
总噪声功率为：
在白噪声近似下，噪声功率密度为：
式中fN是Nyquist频率，M为过采样率。很明显，若用低通滤波滤去信号带外噪声，并降采样至fN，则系统中的量化噪声就只有原先的1/M。可以清楚看到过采样技术使量化噪声在基带内的分布明显得到稀释。
通过提高采样速率和过采样率，以时间交换精度，避免了高精度A/D转换所需要的复杂电路。过采样不足之处是过采样技术不能对量化器的线性度要求有所降低，因此在高精度ADC的设计中，为了克服高线性度要求的难题，通常采用单比特量化器。
2.2 噪声整形技术
Σ-△调制器是决定ADC采样速率和转换精度的核心部分。 量化噪声是影响ADC精度最基本的因素之一。设计Σ-△调制器的最主要目的就是衰减分布于基带内的量化噪声。Σ-△调制器主要是由前端的积分器，1位A/D及反馈环路中的1位D/A来组成。
由于这个系统包括1个Σ-△调制器和1个积分器，积分器实际起到求和的作用，相当于数学符号中的功能，Σ-△调制器因而得名。采用这一结构可以对噪声进行整形或调制，使信号带宽内的噪声大大减小，而放大了信号带宽外的噪声。相当于将噪声能量从低频段推到了高频段，而对信号本身不起整形作用。这样在Σ-△调制器后加入低通滤波器，就可以有效地滤除信号带宽外的量化噪声，大大提高了系统性能。
∑-△调制器的阶数L表示调制器中积分器的数目；过采样率M是调制器的采样率与Nyquist率的比值；量化器和D/A转换器的位数为N。量化误差u(kT)表示量化器输出与输入的差，根据图2：
图2 调制器框图
对(1)式和(2)式进行Z变换，得到L阶调制器的输出的传递函数应为：
我们将传递函数写成如下形式：
Hx(z)表示调制器对输入信号的传输函数，He(z)表示调制器对量化噪声的传输函数。对于一阶调制器。这表明，一阶调制器对信号只产生一个采样周期的延迟，而对量化噪声则产生了一阶整形。
相类似地，对于L阶调制器。说明L阶调制器对信号产生L个采样周期的延迟，而对量化噪声则产生了L阶整型。
2.3 调制器结构选择
对L阶∑-△调制器，当输入为正弦信号时，输出信号的信噪比SNR最大值为：
由此式可以清楚看到过采样率M对SNR的影响。在工艺允许的范围内，每提高一倍采样频率，∑-△调制器输出带内信噪比就会大约提高 3×(2L＋1)dB。在过采样频率一定情况下，调制器阶数越高，信噪比越高。所以一阶调制器仅适用于低频信号。二阶调制器由于电路容易实现，在给定相同频率输入信号和量化器位数的条件下，二阶调制器的过采样率可以远远低于一阶调制器。所以应用较为广泛。更高阶的调制器由于容易出现过载现象而使电路不稳定，因此往往采用一些特殊的调制器电路结构，如级联结构。一阶和二阶∑-△调制器结构是非常成熟的且保持相对的稳定性，所以高阶的∑-△调制器可以用一阶或二阶调制器级联的方法构成。这样每一级都能保持稳定，同时也实现了高阶的噪声整形。
3 系统级设计及仿真
设计一个高速两阶Σ-△调制器，采样频率为1MHZ，过采样率为64，如图4所示结构：
图3 高速两阶Σ-△调制器
此为二阶调制器，可能出现过载，为了防止这种现象出现，要选合适的积分器增益，simulink仿真表明积分器增益在0.4到0.6之间时，噪声整形效果好，且系统可以稳定工作。当积分器增益取0.6时，积分器输出信号急剧增加，系统变得不稳定，所以我们取0.5。下图给出了输入幅值为0.5V的正弦信号时，第一级积分器第二级积分器和最后量化输出的结果。从图5中可以看出，积分器一和积分器二均没有过载。
图4 仿真结果
4 结束语
通过以上分析可以看出，过采样Σ-△调制器通过过采样和噪声整形两大技术对噪声具有显著整形作用，可以将噪声能量从低频段变换到高频段但又不对信号产生影响。这样通过低通滤波器就可以有效去除噪声，提高信噪比和系统性能，由于这一特点，现在Σ-△调制器被广泛应用于数模混合电路中。
参考文献：
[1] R.Jacob Baker. CMOS Circuit Design, Layout, and Simulation[M]. China Machine Press,2003.683-791.
[2] Gray R M. Oversampled Sigma-Delta Modulation[M]. IEEE Trans Comm un, Mar 1987, 35:481-489.
[3] R.J. 贝克. CMOS混合信号电路设计[M]. 科学出版社，2005.135-213.
[4] 朱颖，何乐年. 高速两阶Sigma-delta调制器研究与设计[D]. 2006.
本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。