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【摘要】把计算机和数学软件引入高等数学教学中，进行多媒体教学实践是提高教学质量的重要措施.文章主要探讨数学软件Mathematica的功能在高等数学微积分教学和图形中的应用.
【关键词】Mathematica；极限；导数；积分；图形
一、引 言
面对高职学生，几乎所有学生反映高等数学是抽象、运算复杂难理解的，使得学生难学老师难教.如何将复杂的运算与计算机结合，使之变得更具体容易理解，真正降低学习难度，是高校教师长期致力解决的问题.而Mathematica是美国伊利诺大学复杂系统研究中心主任、物理学、数学和计算机科学教授Stephen Wolfram负责研制的，Mathematica不仅可以进行基础的计算，而且可以进行图像处理，我们可以利用Mathematica的数学运算函数来计算极限、导数、不定积分和定积分，并可利用Mathematica强大的图形处理功能绘制二维和三维函数图形，展示了Mathematica在高等数学微积分教学和计算中的应用.
二、数学软件Mathematica在高等数学教学中的应用
1.用Mathematica计算极限
Mathematica系统中，求极限的语言是“Limit［函数，自变量-〉数值或∞］”.
例1 某储户将10万元的人民币以活期的形式存入银行，假设年利率为5%，如果银行允许储户在一年内可任意次结算，在不计利息税的情况下，若储户等间隔地结算n次，每次结算后将本息全部存入银行，问：一年后该储户的本息和是多少？随着结算次数的无限增加，一年后该储户是否会成为百万富翁？
分析 若每年计息一次，那么本利和为100000(1+0.005).
若每年计息两次，那么本利和为1000001+0.00522.
若每年计息三次，那么本利和为1000001+0.00533.
若每年计息n次，那么本利和为1000001+0.005nn.
随着结算次数的无限增加，即n→∞，故一年后本息共计：limn→∞1000001+0.005nn.
输入：Limit［1000001+0.005nn，n-〉∞］.
输出：100501.
即一年后该储户不会成为百万富翁.
2. 用Mathematica计算导数
Mathematica系统中，求导数的函数为：“D［函数f［x］，自变量x］”用于求函数f［x］的一阶导数；“D［函数f［x］，{自变量x，阶数n}］”用于求函数f［x］的n阶导数.
例2 某商店每年销售某种商品a件，每次购进的手续费为b元，而每件的库存费为c元，在该商品均匀销售情况下，商店应分几批购进商品才能使所花手续费及库存费之和为最小？
分析 在均匀销售情况下，商品库存量仅需年销售量的一半，即a2件.设总费用为y，共分x批购进，手续费为bx，每批购进的件数为ax，库存费为ac2x，则y=bx+ac2x，令y′=b-ac2x2=0，得x=ac2b（负值舍去）.
又 y″=b-ac2x2′=acx3>0，所以x=ac2b为极小值.
输入：Clear［x，a，b，c］；
f［x］:=b*x+a*c/(2x)
f1=D［f［x］，x］
Solve［f1==0，x］
D［f［x］，{x，2}］.
输出：b-ac2x2
x→-ac2b，x→ac2b
acx3
3.用Mathematica计算积分
在Mathematica系统中，求不定积分的函数为“Integrate［函数f［x］自变量x］”，求定积分的函数为Integrate［函数f［x］{积分变量x，下限a，上限b}］.求函数f ［x］的不定积分和定积分也可利用操作平台输入成数学形式.
例3 用Mathematica求∫xarctanxdx.
输入：Integrate［xarctan［x］，x］.
输出：12(-x+(1+x2)arctan［x］).
（或者）输入：∫x*arctan［x］dx.
输出：12(-x+(1+x2)arctan［x］).
例4 用Mathematica求∫10x21-x2dx.
输入：Integrate［x21-x2,{x,0,1}］.
输出：π16.
（或者）输入：∫10x21-x2dx.
输出：π16.
4.用Mathematica作图形
在Mathematica系统中，画f在［xmin，xmax］上的图形为“Plot［f，{x，xmin，xmax}］”,画list的散点图为“ListPlot［list，{n，nmin，nmax}］”，画参数方程平面图为“ParametricPlot［{x(t)，y(t)}，{t，tmin，tmax}］”，画f的三维图为“Plot3D［f，{x，xmin，xmax}，{y，ymin，ymax}］”，画参数方程曲面图为“ParametricPlot［{x(u，v)，y(u，v)}，{u，umin，umax}，{v，vmin，vmax}］”.
例5 绘制函数x=sint,
y=2cost,
z=t2的图形.
输入：ParametricPlot3D［{sin［t］，2*cos［t］，t/2}，{t，0，12}］.
输出：
例6 已知z=cos(x+y)，画出它的图形.
输入：Plot3D［cos［x+y］，{x，-Pi，Pi}，{y，-Pi，Pi}］.
输出：
三、结束语
高等数学中关于函数求导、求极限、求积分(包括不定积分和定积分)、微分方程和多元函数极值等问题构成了高等数学的基本内容，也是学生学习和计算的一个重点和难点，运用Mathematica计算机辅助教学，可培养学生学习运用数学工具进行各种工程设计和借助于计算机解决问题的兴趣.
【参考文献】
［1］彭涓，王庆岭.数学应用与实践［J］.北京：中国铁道出版社.
［2］侯风波.工科高等数学［J］.沈阳：辽宁大学出版社.
［3］高职数学应用基础［M］.长沙：湖南师范大学出版社.
【关键词】Mathematica；极限；导数；积分；图形
一、引 言
面对高职学生，几乎所有学生反映高等数学是抽象、运算复杂难理解的，使得学生难学老师难教.如何将复杂的运算与计算机结合，使之变得更具体容易理解，真正降低学习难度，是高校教师长期致力解决的问题.而Mathematica是美国伊利诺大学复杂系统研究中心主任、物理学、数学和计算机科学教授Stephen Wolfram负责研制的，Mathematica不仅可以进行基础的计算，而且可以进行图像处理，我们可以利用Mathematica的数学运算函数来计算极限、导数、不定积分和定积分，并可利用Mathematica强大的图形处理功能绘制二维和三维函数图形，展示了Mathematica在高等数学微积分教学和计算中的应用.
二、数学软件Mathematica在高等数学教学中的应用
1.用Mathematica计算极限
Mathematica系统中，求极限的语言是“Limit［函数，自变量-〉数值或∞］”.
例1 某储户将10万元的人民币以活期的形式存入银行，假设年利率为5%，如果银行允许储户在一年内可任意次结算，在不计利息税的情况下，若储户等间隔地结算n次，每次结算后将本息全部存入银行，问：一年后该储户的本息和是多少？随着结算次数的无限增加，一年后该储户是否会成为百万富翁？
分析 若每年计息一次，那么本利和为100000(1+0.005).
若每年计息两次，那么本利和为1000001+0.00522.
若每年计息三次，那么本利和为1000001+0.00533.
若每年计息n次，那么本利和为1000001+0.005nn.
随着结算次数的无限增加，即n→∞，故一年后本息共计：limn→∞1000001+0.005nn.
输入：Limit［1000001+0.005nn，n-〉∞］.
输出：100501.
即一年后该储户不会成为百万富翁.
2. 用Mathematica计算导数
Mathematica系统中，求导数的函数为：“D［函数f［x］，自变量x］”用于求函数f［x］的一阶导数；“D［函数f［x］，{自变量x，阶数n}］”用于求函数f［x］的n阶导数.
例2 某商店每年销售某种商品a件，每次购进的手续费为b元，而每件的库存费为c元，在该商品均匀销售情况下，商店应分几批购进商品才能使所花手续费及库存费之和为最小？
分析 在均匀销售情况下，商品库存量仅需年销售量的一半，即a2件.设总费用为y，共分x批购进，手续费为bx，每批购进的件数为ax，库存费为ac2x，则y=bx+ac2x，令y′=b-ac2x2=0，得x=ac2b（负值舍去）.
又 y″=b-ac2x2′=acx3>0，所以x=ac2b为极小值.
输入：Clear［x，a，b，c］；
f［x］:=b*x+a*c/(2x)
f1=D［f［x］，x］
Solve［f1==0，x］
D［f［x］，{x，2}］.
输出：b-ac2x2
x→-ac2b，x→ac2b
acx3
3.用Mathematica计算积分
在Mathematica系统中，求不定积分的函数为“Integrate［函数f［x］自变量x］”，求定积分的函数为Integrate［函数f［x］{积分变量x，下限a，上限b}］.求函数f ［x］的不定积分和定积分也可利用操作平台输入成数学形式.
例3 用Mathematica求∫xarctanxdx.
输入：Integrate［xarctan［x］，x］.
输出：12(-x+(1+x2)arctan［x］).
（或者）输入：∫x*arctan［x］dx.
输出：12(-x+(1+x2)arctan［x］).
例4 用Mathematica求∫10x21-x2dx.
输入：Integrate［x21-x2,{x,0,1}］.
输出：π16.
（或者）输入：∫10x21-x2dx.
输出：π16.
4.用Mathematica作图形
在Mathematica系统中，画f在［xmin，xmax］上的图形为“Plot［f，{x，xmin，xmax}］”,画list的散点图为“ListPlot［list，{n，nmin，nmax}］”，画参数方程平面图为“ParametricPlot［{x(t)，y(t)}，{t，tmin，tmax}］”，画f的三维图为“Plot3D［f，{x，xmin，xmax}，{y，ymin，ymax}］”，画参数方程曲面图为“ParametricPlot［{x(u，v)，y(u，v)}，{u，umin，umax}，{v，vmin，vmax}］”.
例5 绘制函数x=sint,
y=2cost,
z=t2的图形.
输入：ParametricPlot3D［{sin［t］，2*cos［t］，t/2}，{t，0，12}］.
输出：
例6 已知z=cos(x+y)，画出它的图形.
输入：Plot3D［cos［x+y］，{x，-Pi，Pi}，{y，-Pi，Pi}］.
输出：
三、结束语
高等数学中关于函数求导、求极限、求积分(包括不定积分和定积分)、微分方程和多元函数极值等问题构成了高等数学的基本内容，也是学生学习和计算的一个重点和难点，运用Mathematica计算机辅助教学，可培养学生学习运用数学工具进行各种工程设计和借助于计算机解决问题的兴趣.
【参考文献】
［1］彭涓，王庆岭.数学应用与实践［J］.北京：中国铁道出版社.
［2］侯风波.工科高等数学［J］.沈阳：辽宁大学出版社.
［3］高职数学应用基础［M］.长沙：湖南师范大学出版社.