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【摘 要】让学生在学习数学时体味数学思想的美丽和深刻，是数学教学的应然追求。它需要每一位教师深度解读新课标，将数学思想渗入课前的每一次备课，在认真研读教材的基础上，展示数学背景并对教材进行返璞归真式的加工；需要每一位教师更新教育观念，将数学思想浸入课堂上的每一次探究与思考，让学生在实践引领中探索新知，在实验支撑下解惑释疑，领略数学思想之美。
【关键词】数学思想 渗透 体味 深化
小学数学教学不仅要重视显性数学知识的传授，而且应不失时机地将隐含于教材中的数学思想方法加以显现，让学生在数学思想的浸润中成长。
一、研读教材，凸显渗透数学思想的内容
数学教材是传承数学文化的载体。如何研读教材，充分发挥教材的教育功能，使渗透在教材中的数学思想在学生心里积淀下来，是数学教师最应该关注的问题；如何凸显渗透数学思想的教学内容，把静态的知识转化为承载数学思想的背景材料，让学生在思想的滋养中学到知识，是数学教师必须掌握的技能。
1.展示背景，揭示数学思想。
数学背景是对数学知识产生和发展起关键作用的数学历史情境和现实环境。数学教学活动应该在一定的背景下进行。展示了数学背景，学生才能了解数学知识的源与流，才能领悟人类在揭示某一数学事实时想出了什么、怎么想的、为什么这样想。德国数学家莱布尼兹说过，教学最好是向学生展示背景。我国数学家严士健也强调，应该从广泛的角度向学生介绍数学思想、发展规律。简单地说，就是为了让学生真正理解某一点知识，要讲清楚它的来龙去脉，讲清楚这些内容的背景。
小学生学习负数时应对其讲清楚负数产生的背景。教师在引导学生“认识负数”时，可以以温度的变化、海拔的高低、效益的盈亏等生活现象为现实背景，说明实际生活中存在着大量具有相反意义的量，进而研究如何用数来表示它们。首先，如果仍旧用以前学过的数来表示，就必须用语言来指明方向（如零上5℃、零下5℃）。显然，这种表达方式不够简洁，也不便于统计，所以要建立一个新的数来解决上述问题。由此，引进表示相反关系的一对符号“-”和“ ”。接着，师生共同归纳出负数的意义，即用以前学过的数（0除外）前面加上“-”号或“ ”号来表示相反意义的量，从而引出负数和正数。
通过上述教学情境的引导，学生不仅了解了负数产生的背景和意义，同时也为以后进一步扩充数的概念奠定了坚实的思想基础，这才是学习负数真正的落脚点。仅仅以带“-”号的数让学生认识负数，学生不可能真正地感悟到负数所蕴涵的数学思想。
2.返璞归真，突出数学思想。
众所周知，数学具有抽象性和严谨性，常常以形式化的语言和符号呈现。数学教材虽然经过加工，但主要还是以学术形态的语言编写，教材结构仍然表现出纯演绎的特征。因此，教师必须对教材进行返璞归真式的加工，进而把学术形态的数学转化为教育形态的数学。否则，就只能是照本宣科，把原本生动、有趣的数学变得枯燥、无味。
关于“方程”，教材中给出的形式化定义是：含有未知数的等式叫做方程。这样的定义没有触及方程概念的基本思想，学生虽然记住了定义，也能够解题，却不能在短时间内对方程概念有本质的理解，因此，教师教学时应予以加工，补充体现方程思想的最朴实的内容。方程的基本思想是：为了求得未知数，在已知数和未知数之间建立的一种等量关系。方程的目的就在于建立关系。事实上，这种思想在人们的生活中普遍存在。如要认识“未知”先生，必须先请“已知”先生为媒介，找到一种关系，根据关系就能认识“未知”先生了。教学中可以多列举类似的渗透方程思想的现实模型，帮助学生领会方程的形式化定义。
返璞归真，就是把渗透在抽象、严谨、形式化的数学教材中的数学思想还原出来，让学生在掌握数学知识的同时感受数学的本质。
二、注重发现，创设体味数学思想的途径
著名数学家华罗庚说过：“学习数学最好到数学家的纸篓里找材料，不要只看书上的结论。”学生学习知识的过程既是了解数学家思维活动成果的过程，也是感受数学家的思想方法的过程。所以，数学教学不能是“灌输式”的，而应该创设有利于学生发现的问题情境，引导学生细致归纳、大胆猜想，在探究中建构数学模型，形成数学思想。
1.在探索知识生成和发展的过程中渗透数学思想。
数学知识经过几千年的积淀，折射出的数学思想博大精深。在数学课堂中，教师应根据学生的年龄特点和知识原点，采用切实可行的教学方式，再现数学知识的形成过程，始终致力于把数学思想的渗透有机地贯穿于新知识的生成发展过程之中。
一年级“认数”阶段，教师出示各种各样的物体图片（小鱼和小猫等），要求学生用自己熟悉的图形来表示这些物体，并且数量要和实物同样多。有的学生用三个★表示三条小鱼，用四个○表示四只小猫，还有的学生用两种颜色的笔分别画了三根小棒和四根小棒代表小鱼和小猫……很快学生发现这样的表达方法虽然直观，但如果小动物多了就不太方便了，从而抽象出数字“3”和“4”来。又通过“小猫吃鱼够不够吃的问题”，如果“1只小猫吃1条鱼的话”，引导学生用一一对应的方法发现还差1条，不够吃，从而得出3<4。
这样的教学，学生的认知过程清晰明了，在“润物细无声”中渗透了符号思想和对应思想。人类的祖先用绳子打结的办法来表示物体的数量，后来绳子打结发展成用记号，再逐步演变成现在的阿拉伯数字。这个过程经历了漫长的岁月，不能忽略。因此教师通过教学设计，再现其过程。学生在课堂经历的过程（物体——图形代替——数字）与知识形成的漫长经历（物体——绳子打结——记号——数字）相一致。在此过程中，学生通过亲身参与，经历了数字的发生和形成过程；通过数和画图对照，感受到数字的简洁美；又通过运用一一对应的方法进行比较，体会到数字可以用来比较大小。在这里，符号起了关键性的作用，有了符号，一切变得简洁明了且方便。 2.在经历问题探究和解决的过程中感悟数学思想。
我们要借由一定问题的探究，组织恰当的教学活动，让学生参与讨论，这是形式，不是目的，这个形式是为了让学生自己想问题，为了让他跟同学们讨论，逐渐积累一种思维的方法，感悟问题中的数学思想，从而逐渐学会想问题。
在“植树问题”教学中，一位教师首先呈现问题：“在一条50米长的路的一侧，每2米栽一棵树，如果两端都栽，能栽几棵？”面对学生的困惑，教师没有急着讲解，而是引导学生思考“间隔数和棵数相等吗”，并启发学生从较短的距离开始想起。
学生独立思考并在小组里交流后开始汇报。有学生提出：把5指叉开看作5棵树，每2棵树之间有1个间隔，一共有4个间隔。从而发现，间隔数比棵数少1。又有学生提出：在桌上摆4支笔，看作4棵树，有3个间隔，也是间隔数比棵数少1。还有学生表示可以用画图的方法：画3个圆圈表示3棵树，把圆圈之间用线连起来，有2根线，就表示有2个间隔。如图所示：
，从而得出“棵数=间隔数 1”。
教师不失时机地提问：“这里有几种思考方法，都得出了它们（指板书）的关系，你更喜欢哪一种呢？”学生比较后得出画图的方法最直观、简便，而且具有代表性。这时，再用画图的方法得出“如果只栽一端，或者两端都不栽，间隔数和棵数之间的关系”就是水到渠成的事情了。
在这个问题的探讨中，我们看到，所有的结论都是由学生自己发现并表达出来的，教师总是能恰到好处地提问，然后交由学生去思考、探讨。学生充分参与并经历了从简单问题的研究中找到规律，最终来解决复杂问题的过程，感悟到了其中渗透的探索归纳、数学建模、数形结合的数学思想方法，并享受到数学“以简驭繁”带来的喜悦。
三、指导实践，构建深化数学思想的平台
“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”数学实践活动是学生习得数学知识、领悟数学思想的重要手段。在活动中获得的数学思想方法更形象、更深刻、更能实现迁移，从而使学生的学习能力、思维能力得到发展。我们要努力构建深化数学思想的活动平台，让学生不仅为理解知识而操作，更知道为什么这样操作，领悟其中的数学思想。
1.在实践引领中探索新知，形成数学思想。
新课程标准指出：学生是学习的主体，教师是学习的组织者、合作者、引导者。教师应当把教学重心放在引导学生独立自主地探索新知识上，使学生不仅学会而且会学，并把提高其“会学”的能力放在突出的地位。因此，教师要能够站在数学思想方法的高度上，引领学生在实践中探索、观察、说明、论证，在活动中形成数学思想。
《圆的认识》一课中，关于圆的形成，一位教师别出心裁地设计了学生的实践活动。首先，教师要求学生拿出一些同样长的小棒搭拼成已经学过的图形，学生很快搭出了三角形、正方形……教师提出：“能不能用小棒搭成一个圆呢？”几乎所有的学生都认为这是不可能的。有一位学生用5根小棒拼成五边形，用6根小棒拼成六边形，六边形与五边形比较更像一个圆，但大家都认为“像一个圆，但不是一个圆”。教师因势利导：“怎么样才能得到一个更加像圆的圆呢？”学生自然地想到，用7根、8根、9根……小棒去搭拼，然而随着拼得的“圆”越来越大，桌面渐渐摆不下。
教师又进一步提出：“能不能使一个六边形变成一个周长不变的圆？”学生经过探索，把每根小棒一截为二，得到12根小棒，12根小棒拼得的图形更像一个圆。如果继续下去，一截为三得到18根小棒，一截为四得到24根小棒……这说明了什么？学生很快意识到当小棒截得越来越短时，就会得到一个越来越“圆”的圆。
在这个案例中，教师通过由“直”到“曲”的转化，形成圆与已学过的平面图形的沟通，并巧妙地渗透了极限思想。极限思想比较抽象，学生不易懂。于是教师让学生一次次动手拼圆，并不断比较，在形象、直观的操作中，让学生“身临其境”地观察、感受、想象，从而感悟到：要使围成的图形更圆些，唯一的办法是将小棒截得越来越短，最终当小棒非常短，短得几乎就剩下一个点时，围成的图形就是一个圆。学生在实践中真正体验到“越来越短”和“越来越接近”的极限思想。
2.在实验支撑下解惑释疑，建立数学思想。
教学实践告诉我们：面对一个新问题时，学生需要的不仅是知识本身，还有比知识更重要的“遇惑——探究——解惑”的思考方法和学习经验。因此，在新知的教学中，教师尤其要注重使学生体验通过什么途径、运用什么方法获得新知识、解决新问题。充分利用现实背景，提供充足的感知材料，依托实验支撑，是帮助学生建立数学概念、确立数学思想的重要举措。
《三角形的认识》一课中，在认识了三角形各部分的名称后，教师让学生把准备好的吸管剪成三段，看能否围成一个三角形。学生操作后，有的如愿以偿，有的束手无策。不禁发问：这里面究竟有什么秘密？从而提出问题：怎样的三根小棒才能围成三角形？
为了帮助学生解决这个问题，教师安排了下面的教学环节。
出示材料：有4厘米、5厘米、6厘米和10厘米的小棒各一根，从中任意取三根，看能否围成三角形。
要求：同桌合作，一位学生用小棒围，另一位学生记录，填写表格。
根据操作和讨论，学生发现三角形中任意两条边的长度之和必须大于第三条边才能围成三角形。
小学生的年龄特点决定了他们认识事物只能从个别的、具体的、看得见的事物开始，不完全归纳法是小学生获得某个数学结论的常用方法。在这个教学片段中，关于“什么样的三条边可以围成三角形”，教师完全放手让学生去分析。学生脑海中已有的实践活动的经验、教师为学生准备的材料和表格让有序的探究成为可能。学生的操作和记录为后面的归纳奠定了基础，帮助学生在比较分析中不断地解惑释疑，充分感受数学思想。
【参考文献】
[1]史宁中.数学的基本思想[J].数学通报，2011（1）：1-9.
[2]张奠宙.教育数学是具有教育形态的数学[J].数学教育学报，2005（3）：1-4.
[3]顾沛.数学基础教育中的“双基”如何发展为“四基”[J].数学教育学报，2012（1）：14-16.
[4]张甦，朱英.数学思想方法[M].上海：上海科学普及出版社，2009.
注：本文获2012年江苏省“教海探航”征文二等奖
（作者单位：江苏省盐城市第一小学教育集团）
【关键词】数学思想 渗透 体味 深化
小学数学教学不仅要重视显性数学知识的传授，而且应不失时机地将隐含于教材中的数学思想方法加以显现，让学生在数学思想的浸润中成长。
一、研读教材，凸显渗透数学思想的内容
数学教材是传承数学文化的载体。如何研读教材，充分发挥教材的教育功能，使渗透在教材中的数学思想在学生心里积淀下来，是数学教师最应该关注的问题；如何凸显渗透数学思想的教学内容，把静态的知识转化为承载数学思想的背景材料，让学生在思想的滋养中学到知识，是数学教师必须掌握的技能。
1.展示背景，揭示数学思想。
数学背景是对数学知识产生和发展起关键作用的数学历史情境和现实环境。数学教学活动应该在一定的背景下进行。展示了数学背景，学生才能了解数学知识的源与流，才能领悟人类在揭示某一数学事实时想出了什么、怎么想的、为什么这样想。德国数学家莱布尼兹说过，教学最好是向学生展示背景。我国数学家严士健也强调，应该从广泛的角度向学生介绍数学思想、发展规律。简单地说，就是为了让学生真正理解某一点知识，要讲清楚它的来龙去脉，讲清楚这些内容的背景。
小学生学习负数时应对其讲清楚负数产生的背景。教师在引导学生“认识负数”时，可以以温度的变化、海拔的高低、效益的盈亏等生活现象为现实背景，说明实际生活中存在着大量具有相反意义的量，进而研究如何用数来表示它们。首先，如果仍旧用以前学过的数来表示，就必须用语言来指明方向（如零上5℃、零下5℃）。显然，这种表达方式不够简洁，也不便于统计，所以要建立一个新的数来解决上述问题。由此，引进表示相反关系的一对符号“-”和“ ”。接着，师生共同归纳出负数的意义，即用以前学过的数（0除外）前面加上“-”号或“ ”号来表示相反意义的量，从而引出负数和正数。
通过上述教学情境的引导，学生不仅了解了负数产生的背景和意义，同时也为以后进一步扩充数的概念奠定了坚实的思想基础，这才是学习负数真正的落脚点。仅仅以带“-”号的数让学生认识负数，学生不可能真正地感悟到负数所蕴涵的数学思想。
2.返璞归真，突出数学思想。
众所周知，数学具有抽象性和严谨性，常常以形式化的语言和符号呈现。数学教材虽然经过加工，但主要还是以学术形态的语言编写，教材结构仍然表现出纯演绎的特征。因此，教师必须对教材进行返璞归真式的加工，进而把学术形态的数学转化为教育形态的数学。否则，就只能是照本宣科，把原本生动、有趣的数学变得枯燥、无味。
关于“方程”，教材中给出的形式化定义是：含有未知数的等式叫做方程。这样的定义没有触及方程概念的基本思想，学生虽然记住了定义，也能够解题，却不能在短时间内对方程概念有本质的理解，因此，教师教学时应予以加工，补充体现方程思想的最朴实的内容。方程的基本思想是：为了求得未知数，在已知数和未知数之间建立的一种等量关系。方程的目的就在于建立关系。事实上，这种思想在人们的生活中普遍存在。如要认识“未知”先生，必须先请“已知”先生为媒介，找到一种关系，根据关系就能认识“未知”先生了。教学中可以多列举类似的渗透方程思想的现实模型，帮助学生领会方程的形式化定义。
返璞归真，就是把渗透在抽象、严谨、形式化的数学教材中的数学思想还原出来，让学生在掌握数学知识的同时感受数学的本质。
二、注重发现，创设体味数学思想的途径
著名数学家华罗庚说过：“学习数学最好到数学家的纸篓里找材料，不要只看书上的结论。”学生学习知识的过程既是了解数学家思维活动成果的过程，也是感受数学家的思想方法的过程。所以，数学教学不能是“灌输式”的，而应该创设有利于学生发现的问题情境，引导学生细致归纳、大胆猜想，在探究中建构数学模型，形成数学思想。
1.在探索知识生成和发展的过程中渗透数学思想。
数学知识经过几千年的积淀，折射出的数学思想博大精深。在数学课堂中，教师应根据学生的年龄特点和知识原点，采用切实可行的教学方式，再现数学知识的形成过程，始终致力于把数学思想的渗透有机地贯穿于新知识的生成发展过程之中。
一年级“认数”阶段，教师出示各种各样的物体图片（小鱼和小猫等），要求学生用自己熟悉的图形来表示这些物体，并且数量要和实物同样多。有的学生用三个★表示三条小鱼，用四个○表示四只小猫，还有的学生用两种颜色的笔分别画了三根小棒和四根小棒代表小鱼和小猫……很快学生发现这样的表达方法虽然直观，但如果小动物多了就不太方便了，从而抽象出数字“3”和“4”来。又通过“小猫吃鱼够不够吃的问题”，如果“1只小猫吃1条鱼的话”，引导学生用一一对应的方法发现还差1条，不够吃，从而得出3<4。
这样的教学，学生的认知过程清晰明了，在“润物细无声”中渗透了符号思想和对应思想。人类的祖先用绳子打结的办法来表示物体的数量，后来绳子打结发展成用记号，再逐步演变成现在的阿拉伯数字。这个过程经历了漫长的岁月，不能忽略。因此教师通过教学设计，再现其过程。学生在课堂经历的过程（物体——图形代替——数字）与知识形成的漫长经历（物体——绳子打结——记号——数字）相一致。在此过程中，学生通过亲身参与，经历了数字的发生和形成过程；通过数和画图对照，感受到数字的简洁美；又通过运用一一对应的方法进行比较，体会到数字可以用来比较大小。在这里，符号起了关键性的作用，有了符号，一切变得简洁明了且方便。 2.在经历问题探究和解决的过程中感悟数学思想。
我们要借由一定问题的探究，组织恰当的教学活动，让学生参与讨论，这是形式，不是目的，这个形式是为了让学生自己想问题，为了让他跟同学们讨论，逐渐积累一种思维的方法，感悟问题中的数学思想，从而逐渐学会想问题。
在“植树问题”教学中，一位教师首先呈现问题：“在一条50米长的路的一侧，每2米栽一棵树，如果两端都栽，能栽几棵？”面对学生的困惑，教师没有急着讲解，而是引导学生思考“间隔数和棵数相等吗”，并启发学生从较短的距离开始想起。
学生独立思考并在小组里交流后开始汇报。有学生提出：把5指叉开看作5棵树，每2棵树之间有1个间隔，一共有4个间隔。从而发现，间隔数比棵数少1。又有学生提出：在桌上摆4支笔，看作4棵树，有3个间隔，也是间隔数比棵数少1。还有学生表示可以用画图的方法：画3个圆圈表示3棵树，把圆圈之间用线连起来，有2根线，就表示有2个间隔。如图所示：
，从而得出“棵数=间隔数 1”。
教师不失时机地提问：“这里有几种思考方法，都得出了它们（指板书）的关系，你更喜欢哪一种呢？”学生比较后得出画图的方法最直观、简便，而且具有代表性。这时，再用画图的方法得出“如果只栽一端，或者两端都不栽，间隔数和棵数之间的关系”就是水到渠成的事情了。
在这个问题的探讨中，我们看到，所有的结论都是由学生自己发现并表达出来的，教师总是能恰到好处地提问，然后交由学生去思考、探讨。学生充分参与并经历了从简单问题的研究中找到规律，最终来解决复杂问题的过程，感悟到了其中渗透的探索归纳、数学建模、数形结合的数学思想方法，并享受到数学“以简驭繁”带来的喜悦。
三、指导实践，构建深化数学思想的平台
“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”数学实践活动是学生习得数学知识、领悟数学思想的重要手段。在活动中获得的数学思想方法更形象、更深刻、更能实现迁移，从而使学生的学习能力、思维能力得到发展。我们要努力构建深化数学思想的活动平台，让学生不仅为理解知识而操作，更知道为什么这样操作，领悟其中的数学思想。
1.在实践引领中探索新知，形成数学思想。
新课程标准指出：学生是学习的主体，教师是学习的组织者、合作者、引导者。教师应当把教学重心放在引导学生独立自主地探索新知识上，使学生不仅学会而且会学，并把提高其“会学”的能力放在突出的地位。因此，教师要能够站在数学思想方法的高度上，引领学生在实践中探索、观察、说明、论证，在活动中形成数学思想。
《圆的认识》一课中，关于圆的形成，一位教师别出心裁地设计了学生的实践活动。首先，教师要求学生拿出一些同样长的小棒搭拼成已经学过的图形，学生很快搭出了三角形、正方形……教师提出：“能不能用小棒搭成一个圆呢？”几乎所有的学生都认为这是不可能的。有一位学生用5根小棒拼成五边形，用6根小棒拼成六边形，六边形与五边形比较更像一个圆，但大家都认为“像一个圆，但不是一个圆”。教师因势利导：“怎么样才能得到一个更加像圆的圆呢？”学生自然地想到，用7根、8根、9根……小棒去搭拼，然而随着拼得的“圆”越来越大，桌面渐渐摆不下。
教师又进一步提出：“能不能使一个六边形变成一个周长不变的圆？”学生经过探索，把每根小棒一截为二，得到12根小棒，12根小棒拼得的图形更像一个圆。如果继续下去，一截为三得到18根小棒，一截为四得到24根小棒……这说明了什么？学生很快意识到当小棒截得越来越短时，就会得到一个越来越“圆”的圆。
在这个案例中，教师通过由“直”到“曲”的转化，形成圆与已学过的平面图形的沟通，并巧妙地渗透了极限思想。极限思想比较抽象，学生不易懂。于是教师让学生一次次动手拼圆，并不断比较，在形象、直观的操作中，让学生“身临其境”地观察、感受、想象，从而感悟到：要使围成的图形更圆些，唯一的办法是将小棒截得越来越短，最终当小棒非常短，短得几乎就剩下一个点时，围成的图形就是一个圆。学生在实践中真正体验到“越来越短”和“越来越接近”的极限思想。
2.在实验支撑下解惑释疑，建立数学思想。
教学实践告诉我们：面对一个新问题时，学生需要的不仅是知识本身，还有比知识更重要的“遇惑——探究——解惑”的思考方法和学习经验。因此，在新知的教学中，教师尤其要注重使学生体验通过什么途径、运用什么方法获得新知识、解决新问题。充分利用现实背景，提供充足的感知材料，依托实验支撑，是帮助学生建立数学概念、确立数学思想的重要举措。
《三角形的认识》一课中，在认识了三角形各部分的名称后，教师让学生把准备好的吸管剪成三段，看能否围成一个三角形。学生操作后，有的如愿以偿，有的束手无策。不禁发问：这里面究竟有什么秘密？从而提出问题：怎样的三根小棒才能围成三角形？
为了帮助学生解决这个问题，教师安排了下面的教学环节。
出示材料：有4厘米、5厘米、6厘米和10厘米的小棒各一根，从中任意取三根，看能否围成三角形。
要求：同桌合作，一位学生用小棒围，另一位学生记录，填写表格。
根据操作和讨论，学生发现三角形中任意两条边的长度之和必须大于第三条边才能围成三角形。
小学生的年龄特点决定了他们认识事物只能从个别的、具体的、看得见的事物开始，不完全归纳法是小学生获得某个数学结论的常用方法。在这个教学片段中，关于“什么样的三条边可以围成三角形”，教师完全放手让学生去分析。学生脑海中已有的实践活动的经验、教师为学生准备的材料和表格让有序的探究成为可能。学生的操作和记录为后面的归纳奠定了基础，帮助学生在比较分析中不断地解惑释疑，充分感受数学思想。
【参考文献】
[1]史宁中.数学的基本思想[J].数学通报，2011（1）：1-9.
[2]张奠宙.教育数学是具有教育形态的数学[J].数学教育学报，2005（3）：1-4.
[3]顾沛.数学基础教育中的“双基”如何发展为“四基”[J].数学教育学报，2012（1）：14-16.
[4]张甦，朱英.数学思想方法[M].上海：上海科学普及出版社，2009.
注：本文获2012年江苏省“教海探航”征文二等奖
（作者单位：江苏省盐城市第一小学教育集团）