论文部分内容阅读
这是一个天才中的天才。
就不说他三岁指出父亲账本的错误，不说他22岁获得博士学位，也不说他25岁当选院士，更不说他精通六七种语言。
只说他19岁的时候就想出了正十七边形的尺规画法。在他之前的所有大数学家，包括牛顿在内，都没能想出这方法来。当然，我知道，您大概跟我一样，对这什么什么边形没什么概念。正好网上可以搜到画这个正十七边形的动画，您自个儿看一下就能感受到了。我的意思是，别说19岁了，就算你我学到29岁，这画法咱都未必能学会。
这个人您大概猜出来了，他叫高斯，法国人，人送外号“数学小王子”。
高斯一生获得了无数荣誉，无论是社会地位还是学术地位都很高。但是他在数学上有一项重大的发现，却因为害怕社会压力一直没有发表，直到他去世以后，人们才从他的书信和笔记中知道了这个发现。
到底是什么数学发现让已经名扬天下的高斯如此恐惧呢？
1826年，在俄罗斯的喀山，一位叫罗巴切夫斯基的数学家发表了一篇古怪的演讲。在严肃的学术会议上，他突然谈起什么平行线可以相交、三角形内角之和不等于180度等等古怪的定理。这正是高斯不敢发表的那些发现。事实证明高斯的谨慎是对的，就是因为说出了这些发现，罗巴切夫斯基一生遭到了各种压力，攻击和嘲讽接踵而来，晚年的时候连大学教职都被剥夺了。
他到底发现了什么呢？
罗巴切夫斯基其实没想这么叛逆。我们前面讲欧氏几何里有五条公设，其中第五条公设非常复杂，很多数学家都想通过前四条公设证出第五条来，结果都没有做到。罗巴切夫斯基也想这么做，但是他别的办法不用，非要用归谬法。归谬法是什么意思呢？就是先假设第五公设不成立，然后只要能推出不成立的第五公设和其他公设有矛盾，就可以证明第五公设是多余的了。
罗巴切夫斯基假设第五公设不成立以后，他使劲地证啊证，越证越不对劲儿，为啥所有的结论都和前四个公设不矛盾呢？结果罗巴切夫斯基发现，嘿，把第五公设改了以后，新的第五公设和前四个公设竟然还是相容的，这不就形成一个全新的几何体系了吗？而且这个几何体系和欧氏几何的各种定理全都不一样。后来这个体系就被称为非欧几何学。这可真是数学界的一大发现！罗巴切夫斯基很激动地发表了自己的看法，结果却换来数学界的一片嘲笑。
这是为什么呢？
我就问大家一句话，朋友们，你们能想象出平行线相交的情况吗？
假如你在上中学数学课的时候，举手问老师说：“老师，为什么平行线不能相交呢？”
老师多半会回答说：“大哥呀，平行线的定义就是‘在平面内两条不相交的直线’——再捣乱就给我出去！”
你看，一般人根本没法想象什么叫“平行线相交”，这话完全是没意义的嘛，罗巴切夫斯基时代的很多数学家也是这样，所以都不理解罗巴切夫斯基的想法。
另一个研究非欧几何学的法国人黎曼，也没从这发现中得到多少好处。黎曼也是个天才型的数学家，受到过高斯的高度评价。但即便如此，黎曼在当上大学教授之前非常贫苦，时常要饿肚子。他建立的黎曼几何学并没能给他带来财富。因为贫病交加，黎曼39岁就去世了。
在黎曼去世50年后，爱因斯坦创立了震惊世界的相对论。爱因斯坦证明，牛顿描述的世界不够准确，相对论才描述了世界的真实样子。
然而，爱因斯坦有物理理论却找不到数学工具来表达它。为此爱因斯坦苦苦思索了三年也没有结果，直到他的一位数学家朋友从旧纸堆中发现了黎曼的著作，并惊喜地发现，这理论能完美地表达相对论。
从此，学术界才意识到，非欧几何学不是疯人的臆想，反倒能揭示世界的真相。
在小学数学课上，常常有孩子这么问老师：
“老师，什么叫公理？”
大部分老师都会严肃地回答：
“大家公认的道理就是公理。”
但如果你此时已经继承了苏格拉底的怀疑精神，那么你就应该反问道：“那么老师，到底有多少人公认才算是公理呢？我承认有用吗？”
老师说：“废话，你是小孩，你承不承认有个屁用！”
你又说：“那大人承认有用吗？公理应该让全民投票吗？要是全民投票，布鲁诺不还是应该被烧死吗？”
老师说：“只要数学家都承认就可以了。”
你又说：“那什么样的人才能算数学家呢？是根据考试产生吗？还是投票产生呢？抑或是根据学历吗？再说，数学家之间也投票吗？哪边人多哪边就正确吗？那会不会是这样的场景呀——某个礼拜天的早晨，剑桥大学数学系里人声鼎沸，如同证券交易所一般。负责接听电话的助教兴奋地大喊：‘就差一票啦！就差一票就可以压过牛津那帮孙子啦！’数学系教授们焦急地互相询问：‘谁？谁还没投票？’只有罗素沉着地说：‘快把维特根斯坦叫起来，丫一定在赖床，每次投票他都缺席！’呃……老师，是这样的吗？”
于是老师只能说：“你給我出去！”
今天我们知道，老师们这么回答其实是蛮不讲理。
公理不是什么公认的道理，公理是硬性规定的。
但是在非欧几何出现之前，大部分知识分子对几何公理的看法和咱们老师的说法差不多。谁能认为平行线还可以相交呢？
因此我们前面说，理性主义者相信这世上存在着某种先验的真理，根据之一就是欧氏几何的存在。哲学家们觉得，欧氏几何中的图形不存在于任何一个日常事物中，但是却可以概括世间的一切平面形状，这不是表明世间存在着某种神秘秩序吗？但是非欧几何的出现说明，欧氏几何并没有什么超然的独特性，不过是我们对世界众多描述方式中易用的一种罢了。因而哲学家们对先验理性存在的信心也就降低了。
就不说他三岁指出父亲账本的错误，不说他22岁获得博士学位，也不说他25岁当选院士，更不说他精通六七种语言。
只说他19岁的时候就想出了正十七边形的尺规画法。在他之前的所有大数学家，包括牛顿在内，都没能想出这方法来。当然，我知道，您大概跟我一样，对这什么什么边形没什么概念。正好网上可以搜到画这个正十七边形的动画，您自个儿看一下就能感受到了。我的意思是，别说19岁了，就算你我学到29岁，这画法咱都未必能学会。
这个人您大概猜出来了，他叫高斯，法国人，人送外号“数学小王子”。
高斯一生获得了无数荣誉，无论是社会地位还是学术地位都很高。但是他在数学上有一项重大的发现，却因为害怕社会压力一直没有发表，直到他去世以后，人们才从他的书信和笔记中知道了这个发现。
到底是什么数学发现让已经名扬天下的高斯如此恐惧呢？
1826年，在俄罗斯的喀山，一位叫罗巴切夫斯基的数学家发表了一篇古怪的演讲。在严肃的学术会议上，他突然谈起什么平行线可以相交、三角形内角之和不等于180度等等古怪的定理。这正是高斯不敢发表的那些发现。事实证明高斯的谨慎是对的，就是因为说出了这些发现，罗巴切夫斯基一生遭到了各种压力，攻击和嘲讽接踵而来，晚年的时候连大学教职都被剥夺了。
他到底发现了什么呢？
罗巴切夫斯基其实没想这么叛逆。我们前面讲欧氏几何里有五条公设，其中第五条公设非常复杂，很多数学家都想通过前四条公设证出第五条来，结果都没有做到。罗巴切夫斯基也想这么做，但是他别的办法不用，非要用归谬法。归谬法是什么意思呢？就是先假设第五公设不成立，然后只要能推出不成立的第五公设和其他公设有矛盾，就可以证明第五公设是多余的了。
罗巴切夫斯基假设第五公设不成立以后，他使劲地证啊证，越证越不对劲儿，为啥所有的结论都和前四个公设不矛盾呢？结果罗巴切夫斯基发现，嘿，把第五公设改了以后，新的第五公设和前四个公设竟然还是相容的，这不就形成一个全新的几何体系了吗？而且这个几何体系和欧氏几何的各种定理全都不一样。后来这个体系就被称为非欧几何学。这可真是数学界的一大发现！罗巴切夫斯基很激动地发表了自己的看法，结果却换来数学界的一片嘲笑。
这是为什么呢？
我就问大家一句话，朋友们，你们能想象出平行线相交的情况吗？
假如你在上中学数学课的时候，举手问老师说：“老师，为什么平行线不能相交呢？”
老师多半会回答说：“大哥呀，平行线的定义就是‘在平面内两条不相交的直线’——再捣乱就给我出去！”
你看，一般人根本没法想象什么叫“平行线相交”，这话完全是没意义的嘛，罗巴切夫斯基时代的很多数学家也是这样，所以都不理解罗巴切夫斯基的想法。
另一个研究非欧几何学的法国人黎曼，也没从这发现中得到多少好处。黎曼也是个天才型的数学家，受到过高斯的高度评价。但即便如此，黎曼在当上大学教授之前非常贫苦，时常要饿肚子。他建立的黎曼几何学并没能给他带来财富。因为贫病交加，黎曼39岁就去世了。
在黎曼去世50年后，爱因斯坦创立了震惊世界的相对论。爱因斯坦证明，牛顿描述的世界不够准确，相对论才描述了世界的真实样子。
然而，爱因斯坦有物理理论却找不到数学工具来表达它。为此爱因斯坦苦苦思索了三年也没有结果，直到他的一位数学家朋友从旧纸堆中发现了黎曼的著作，并惊喜地发现，这理论能完美地表达相对论。
从此，学术界才意识到，非欧几何学不是疯人的臆想，反倒能揭示世界的真相。
在小学数学课上，常常有孩子这么问老师：
“老师，什么叫公理？”
大部分老师都会严肃地回答：
“大家公认的道理就是公理。”
但如果你此时已经继承了苏格拉底的怀疑精神，那么你就应该反问道：“那么老师，到底有多少人公认才算是公理呢？我承认有用吗？”
老师说：“废话，你是小孩，你承不承认有个屁用！”
你又说：“那大人承认有用吗？公理应该让全民投票吗？要是全民投票，布鲁诺不还是应该被烧死吗？”
老师说：“只要数学家都承认就可以了。”
你又说：“那什么样的人才能算数学家呢？是根据考试产生吗？还是投票产生呢？抑或是根据学历吗？再说，数学家之间也投票吗？哪边人多哪边就正确吗？那会不会是这样的场景呀——某个礼拜天的早晨，剑桥大学数学系里人声鼎沸，如同证券交易所一般。负责接听电话的助教兴奋地大喊：‘就差一票啦！就差一票就可以压过牛津那帮孙子啦！’数学系教授们焦急地互相询问：‘谁？谁还没投票？’只有罗素沉着地说：‘快把维特根斯坦叫起来，丫一定在赖床，每次投票他都缺席！’呃……老师，是这样的吗？”
于是老师只能说：“你給我出去！”
今天我们知道，老师们这么回答其实是蛮不讲理。
公理不是什么公认的道理，公理是硬性规定的。
但是在非欧几何出现之前，大部分知识分子对几何公理的看法和咱们老师的说法差不多。谁能认为平行线还可以相交呢？
因此我们前面说，理性主义者相信这世上存在着某种先验的真理，根据之一就是欧氏几何的存在。哲学家们觉得，欧氏几何中的图形不存在于任何一个日常事物中，但是却可以概括世间的一切平面形状，这不是表明世间存在着某种神秘秩序吗？但是非欧几何的出现说明，欧氏几何并没有什么超然的独特性，不过是我们对世界众多描述方式中易用的一种罢了。因而哲学家们对先验理性存在的信心也就降低了。