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当当当！一阵急促的敲门声把大兵老师从睡梦中惊醒。他揉揉惺忪的睡眼看了一眼墙上的钟表，喃喃自语道：“谁呀？大中午敲门。”说罢打着哈欠走去开门。
“老师好！”两个身影嗖地一下蹿了进来，还没等大兵老师反应过来，两人已经坐到了客厅沙发上。转回头，大兵老师才看清是壮壮和小菲。他们俩是星空小学的四年级学生，经常来找大兵老师问一些稀奇古怪的问题。
大兵老师：你们中午跑来有什么事吗？
壮壮：我们在看一本航天书时被一个词难住了，所以赶紧跑来向您请教。
小菲：书里说，为了给我国发射的月球探测器“嫦娥四号”提供在月球背面着陆的通信支持，航天工程师们特意在地月系统的拉格朗日点L2附近布置了“鹊桥”中继卫星……
壮壮：拉格……什么点，到底是什么意思？
小菲：是拉格朗日点！
大兵老师：哈哈，你们想了解拉格朗日点得先知道拉格朗日。
小菲：拉格朗日是人名还是地名？
壮壮：当然是地名了，不是说“鹊桥”中继卫星就在那里嘛！
大兵老师：壮壮说错了，拉格朗日真的是个人名哟！
大兵老师：拉格朗日是位非常伟大的数学家，同时他在物理学和天文学方面也做出了巨大贡献。他的全名叫约瑟夫·路易斯·拉格朗日。
壮壮：名字这么长！
小菲：英语老师不是讲过西方很多人名都是分好几节的吗？一般前面是名，最后一节是姓。
大兵老师：是啊，拉格朗日拥有意大利和法国血统，他的祖父本来是法国军人，他的祖母是意大利人，二人结婚后定居在意大利。拉格朗日小的时候家境很好，但是自从他的父亲经商破产后，家里的日子就难过多了。
拉格朗日没有按照父亲的愿望成为一名律师，而是迷上了数学。他18岁时就写出了一篇关于微积分的数学论文。19岁那年，他就成了都灵皇家炮兵学校的教授。
壮壮：才19岁就当上教授了呀！我们19岁时最多也就上到大学二年级吧。
小菲：那你还得先考上大学再说。
大兵老师：你们才上小学就已经懂这么多航空航天知识了，考大学不成问题！言归正传，介绍完拉格朗日，我们要说说拉格朗日点了。
大兵老师：在讲拉格朗日点之前，我要先问你们一个问：题——你们知道万有引力定律吗？
小菲：我知道！万有引力定律是牛顿提出的，它是说任何两个物体间都存在引力，而且距离越近引力越大。
大兵老师：小菲说得差不多了，不过万有引力的大小还与两个物体的质量有关，质量越大，引力就越大。地球和月亮之间就存在万有引力，如果在地球和月球周围的空间中放一艘无动力的宇宙飞船，我们能不能让这艘宇宙飞船相对于地球和月球来说静止不动呢？
壮壮：那就像拔河一样呗，得在地球和月球中间找到一个点，在这个点上，地球和月球对宇宙飞船的引力刚好相等，那它就可以停在这个点上不动了。
大兵老师：壮壮回答得非常好！你已經找到一个拉格朗日点了！
小菲：壮壮厉害呀，时隔两分钟，当刮目相看！
壮壮：那是！不过，我找到“一个”？难道还有其他拉格朗日点吗？
大兵老师：对，在拉格朗日之前，他的老师欧拉就已经计算出三个这样的点。后来，拉格朗日又计算出两个点，并在一篇名为《论三体问题》的论文中把这五个点列举出来，后人就把这五个点称为拉格朗日点，并用L1、L2、L3、L4和L5进行区分。大家可以看我电脑上的这张图。
小菲：如果这个黄点代表地球，蓝点代表月球的话，那么我们把宇宙飞船放在任意一个红点处，它都可以静止不动吗？
壮壮：不对啊！我刚才说的那个位置应该是L1吧。宇宙飞船在这里的时候，地球向左拉，月球向右拉，引力相等飞船就不动了。但是L2这个点在月球轨道外侧呀，飞船在这里的话，地球和月球都向左拉它，那它肯定会向左移动撞向月球，怎么可能静止不动呢？
大兵老师：这个问题问得好！不过，这也说明你还没有理解“相对静止”这个概念。其实，宇宙飞船在拉格朗日点上所谓的静止，并非完全不动，而是地球、月球和宇宙飞船这三个物体之间的位置关系保持不变，也就是说它们可以是同时旋转着的。当它们同时旋转起来的话，即使地球和月球对宇宙飞船的引力并未相互抵消，它也不一定会靠近月球，因为引力还为飞船提供了旋转的向心力。
见壮壮和小菲“两脸困惑”，大兵老师拿出一个粘着棉线的乒乓球放在桌子上。
大兵老师：我们来做个实验吧。小菲你拿着线的一头儿，让乒乓球在桌面上匀速旋转起来。
小菲按照这个方法旋转着乒乓球。
大兵老师：手的位置保持不动，速度加快一点儿！你感觉到什么了？
小菲：我感觉到乒乓球在向外拉线。
大兵老师：对，乒乓球在向外拉线，同时你的手也通过线在向中心拉乒乓球，这就是向心力。有了这个力乒乓球才能匀速旋转。 壮壮：我明白了！如果把乒乓球换成宇宙飞船的话，地球和月球对它的引力正好会让它绕着一个点旋转。
小菲：但是地球和月球也必须同时绕着它们之间的一个点旋转，一直保持转速和飞船一致才有可能让引力方向也跟着转。
大兵老师：非常好！回去以后你们可以再想一想其他几个拉格朗日点是如何平衡的。现在你们应该明白，为了保证“嫦娥四号”探测器在月球背面着陆，航天工程师们把“鹊桥”中继卫星放在L2点的原因了吧？首先，只有把中继卫星放在拉格朗日点上，它才能乖乖待在轨道上工作，不会到处乱跑。其次，在五个拉格朗日点中，只有L2位于月球背面，最有利于承担“嫦娥四号”在月球背面着陆的信号传输任务。
小菲：除了地球一月球系统，其他天体之间也存在拉格朗日点吗？
大兵老师：理论上，在每个由两大天体构成的系統中都有五个拉格朗日点，但其中只有两个是稳定的。每个稳定点同两大天体可以构成一个等边三角形。
壮壮：原来是这样啊，怪不得在《三体》这部小说中程心和云天明会相约在太阳一地球拉格朗日点见面！
大兵老师：对了，还要提醒大家一句，一定要注意L3那个点并不在月球运行的那条虚线轨道上，而是在非常靠近那条线的地方！
小菲：除了可以放“鹊桥”中继卫星，拉格朗日点还有其他用处吗？
大兵老师：由于在拉格朗日点附近的航天器自己就能保持相对静止状态，所以，地面控制中心的工程师们只要每隔一段时间为航天器修正一下位置就可以了，省事又节省燃料。刚才我们说的“鹊桥”中继卫星是在地球-月球系统的L2点附近，而太阳一地球系统的L2点更适合布置太空望远镜。
小菲：这是为什么呢？
壮壮：我觉得可能是因为天文观测需要在天黑的时候，而在太阳-地球这个系统的L2点上，地球的身体刚好挡住了太阳光，这样位于L2点上的太空望远镜就可以24小时观测夜空了。
小菲：有道理，但是地球挡住了太阳光，这里会不会很冷啊？
大兵老师：你们说得非常好。事实上，著名的哈勃太空望远镜、盖亚太空望远镜和即将发射的詹姆斯·韦伯太空望远镜都布置在太阳一地球系统的L2点附近，当然它们的抗寒能力也必须强。而负责观测太阳的SOHO卫星不但不能躲着太阳，还要天天对着太阳，所以它的位置就要在太阳一地球系统的L1点附近。近年来，太阳-地球系统的L1点附近热闹极了，SOHO卫星、太阳风探测器WIND、先进成分太阳风预警探测器ACE、深空地球环境观测器DSCOVR和激光干涉空间天线开路者号LISA都欢聚在这里。
当然，另外几个拉格朗日点也具有潜在的利用价值。木星轨道上的很多小行星早已经入驻了太阳一木星系统的拉格朗日点，根据观测，在太阳一木星系统中的L4、L5点上各存在至少一千多颗小行星，它们年复一年地在木星轨道上围绕太阳旋转。你们可以思考一下人类的太空探索可以怎样利用L3、L4和L5吗？
壮壮和小菲陷入了沉思。突然，小菲看了一眼大兵老师家墙上的时钟，惊叫道：“哎呀，不好了！快到L2点了！我们要回学校了！”说完大家哈哈大笑……
“老师好！”两个身影嗖地一下蹿了进来，还没等大兵老师反应过来，两人已经坐到了客厅沙发上。转回头，大兵老师才看清是壮壮和小菲。他们俩是星空小学的四年级学生，经常来找大兵老师问一些稀奇古怪的问题。
大兵老师：你们中午跑来有什么事吗？
壮壮：我们在看一本航天书时被一个词难住了，所以赶紧跑来向您请教。
小菲：书里说，为了给我国发射的月球探测器“嫦娥四号”提供在月球背面着陆的通信支持，航天工程师们特意在地月系统的拉格朗日点L2附近布置了“鹊桥”中继卫星……
壮壮：拉格……什么点，到底是什么意思？
小菲：是拉格朗日点！
大兵老师：哈哈，你们想了解拉格朗日点得先知道拉格朗日。
小菲：拉格朗日是人名还是地名？
壮壮：当然是地名了，不是说“鹊桥”中继卫星就在那里嘛！
大兵老师：壮壮说错了，拉格朗日真的是个人名哟！
谁是拉格朗日
大兵老师：拉格朗日是位非常伟大的数学家，同时他在物理学和天文学方面也做出了巨大贡献。他的全名叫约瑟夫·路易斯·拉格朗日。
壮壮：名字这么长！
小菲：英语老师不是讲过西方很多人名都是分好几节的吗？一般前面是名，最后一节是姓。
大兵老师：是啊，拉格朗日拥有意大利和法国血统，他的祖父本来是法国军人，他的祖母是意大利人，二人结婚后定居在意大利。拉格朗日小的时候家境很好，但是自从他的父亲经商破产后，家里的日子就难过多了。
拉格朗日没有按照父亲的愿望成为一名律师，而是迷上了数学。他18岁时就写出了一篇关于微积分的数学论文。19岁那年，他就成了都灵皇家炮兵学校的教授。
壮壮：才19岁就当上教授了呀！我们19岁时最多也就上到大学二年级吧。
小菲：那你还得先考上大学再说。
大兵老师：你们才上小学就已经懂这么多航空航天知识了，考大学不成问题！言归正传，介绍完拉格朗日，我们要说说拉格朗日点了。
什么是拉格朗日点
大兵老师：在讲拉格朗日点之前，我要先问你们一个问：题——你们知道万有引力定律吗？
小菲：我知道！万有引力定律是牛顿提出的，它是说任何两个物体间都存在引力，而且距离越近引力越大。
大兵老师：小菲说得差不多了，不过万有引力的大小还与两个物体的质量有关，质量越大，引力就越大。地球和月亮之间就存在万有引力，如果在地球和月球周围的空间中放一艘无动力的宇宙飞船，我们能不能让这艘宇宙飞船相对于地球和月球来说静止不动呢？
壮壮：那就像拔河一样呗，得在地球和月球中间找到一个点，在这个点上，地球和月球对宇宙飞船的引力刚好相等，那它就可以停在这个点上不动了。
大兵老师：壮壮回答得非常好！你已經找到一个拉格朗日点了！
小菲：壮壮厉害呀，时隔两分钟，当刮目相看！
壮壮：那是！不过，我找到“一个”？难道还有其他拉格朗日点吗？
大兵老师：对，在拉格朗日之前，他的老师欧拉就已经计算出三个这样的点。后来，拉格朗日又计算出两个点，并在一篇名为《论三体问题》的论文中把这五个点列举出来，后人就把这五个点称为拉格朗日点，并用L1、L2、L3、L4和L5进行区分。大家可以看我电脑上的这张图。
小菲：如果这个黄点代表地球，蓝点代表月球的话，那么我们把宇宙飞船放在任意一个红点处，它都可以静止不动吗？
壮壮：不对啊！我刚才说的那个位置应该是L1吧。宇宙飞船在这里的时候，地球向左拉，月球向右拉，引力相等飞船就不动了。但是L2这个点在月球轨道外侧呀，飞船在这里的话，地球和月球都向左拉它，那它肯定会向左移动撞向月球，怎么可能静止不动呢？
大兵老师：这个问题问得好！不过，这也说明你还没有理解“相对静止”这个概念。其实，宇宙飞船在拉格朗日点上所谓的静止，并非完全不动，而是地球、月球和宇宙飞船这三个物体之间的位置关系保持不变，也就是说它们可以是同时旋转着的。当它们同时旋转起来的话，即使地球和月球对宇宙飞船的引力并未相互抵消，它也不一定会靠近月球，因为引力还为飞船提供了旋转的向心力。
见壮壮和小菲“两脸困惑”，大兵老师拿出一个粘着棉线的乒乓球放在桌子上。
大兵老师：我们来做个实验吧。小菲你拿着线的一头儿，让乒乓球在桌面上匀速旋转起来。
小菲按照这个方法旋转着乒乓球。
大兵老师：手的位置保持不动，速度加快一点儿！你感觉到什么了？
小菲：我感觉到乒乓球在向外拉线。
大兵老师：对，乒乓球在向外拉线，同时你的手也通过线在向中心拉乒乓球，这就是向心力。有了这个力乒乓球才能匀速旋转。 壮壮：我明白了！如果把乒乓球换成宇宙飞船的话，地球和月球对它的引力正好会让它绕着一个点旋转。
小菲：但是地球和月球也必须同时绕着它们之间的一个点旋转，一直保持转速和飞船一致才有可能让引力方向也跟着转。
大兵老师：非常好！回去以后你们可以再想一想其他几个拉格朗日点是如何平衡的。现在你们应该明白，为了保证“嫦娥四号”探测器在月球背面着陆，航天工程师们把“鹊桥”中继卫星放在L2点的原因了吧？首先，只有把中继卫星放在拉格朗日点上，它才能乖乖待在轨道上工作，不会到处乱跑。其次，在五个拉格朗日点中，只有L2位于月球背面，最有利于承担“嫦娥四号”在月球背面着陆的信号传输任务。
小菲：除了地球一月球系统，其他天体之间也存在拉格朗日点吗？
大兵老师：理论上，在每个由两大天体构成的系統中都有五个拉格朗日点，但其中只有两个是稳定的。每个稳定点同两大天体可以构成一个等边三角形。
壮壮：原来是这样啊，怪不得在《三体》这部小说中程心和云天明会相约在太阳一地球拉格朗日点见面！
大兵老师：对了，还要提醒大家一句，一定要注意L3那个点并不在月球运行的那条虚线轨道上，而是在非常靠近那条线的地方！
拉格朗日点有什么用
小菲：除了可以放“鹊桥”中继卫星，拉格朗日点还有其他用处吗？
大兵老师：由于在拉格朗日点附近的航天器自己就能保持相对静止状态，所以，地面控制中心的工程师们只要每隔一段时间为航天器修正一下位置就可以了，省事又节省燃料。刚才我们说的“鹊桥”中继卫星是在地球-月球系统的L2点附近，而太阳一地球系统的L2点更适合布置太空望远镜。
小菲：这是为什么呢？
壮壮：我觉得可能是因为天文观测需要在天黑的时候，而在太阳-地球这个系统的L2点上，地球的身体刚好挡住了太阳光，这样位于L2点上的太空望远镜就可以24小时观测夜空了。
小菲：有道理，但是地球挡住了太阳光，这里会不会很冷啊？
大兵老师：你们说得非常好。事实上，著名的哈勃太空望远镜、盖亚太空望远镜和即将发射的詹姆斯·韦伯太空望远镜都布置在太阳一地球系统的L2点附近，当然它们的抗寒能力也必须强。而负责观测太阳的SOHO卫星不但不能躲着太阳，还要天天对着太阳，所以它的位置就要在太阳一地球系统的L1点附近。近年来，太阳-地球系统的L1点附近热闹极了，SOHO卫星、太阳风探测器WIND、先进成分太阳风预警探测器ACE、深空地球环境观测器DSCOVR和激光干涉空间天线开路者号LISA都欢聚在这里。
当然，另外几个拉格朗日点也具有潜在的利用价值。木星轨道上的很多小行星早已经入驻了太阳一木星系统的拉格朗日点，根据观测，在太阳一木星系统中的L4、L5点上各存在至少一千多颗小行星，它们年复一年地在木星轨道上围绕太阳旋转。你们可以思考一下人类的太空探索可以怎样利用L3、L4和L5吗？
壮壮和小菲陷入了沉思。突然，小菲看了一眼大兵老师家墙上的时钟，惊叫道：“哎呀，不好了！快到L2点了！我们要回学校了！”说完大家哈哈大笑……