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【摘 要】周长的教学是几何教学的一个起点，是今后学习各种图形周长和面积的一个开始，因此在这一单元中培养学生的周长概念和空间观念就显得尤为重要。可是面对学生在作业当中出现的一些错误，我们是就题论题去解决问题呢，还是去思考错误背后的根源呢？一个错题体现的是某一个知识体系的缺失，如果我们能将错题整合，深度分析原因，改进教学的策略，或许就能提升学生对周长的进一步认识。
【关键词】错题整合 拓展 周长 数学活动
周长的教学是学生学习几何类图形的开始，是学生学习的重点。当学生进行单独的周长学习时，学生总觉得非常简单易学，而一旦进入深度学习之后，各种各样的错误便暴露出来了。笔者根据自己的教学实践，对长方形周长的深度拓展来谈一些自己的思考和改进方法。
一、直面错题——在错题的困惑中起步
下面是教材中的一道练习题：一张长方形的纸，长30厘米，宽21厘米。从这张纸上剪下一个最大的正方形，正方形的周长是多少厘米？剩下的图形周长是多少厘米？
求剩下图形的周长，学生的错解：
（30 21）×2-21×4=18（厘米）
21×4=84（厘米）
（30-21）×2=18（厘米）
在学生的错解中我们不难发现：第一种情况学生是在用大周长减小周长的方法，曲解了对周长本质的理解；第二种情况是学生算成正方形的面积了；第三种情况是根本不理解题意，对题目本身的要求不清楚。
周长的教学是我们几何教学的一个起点，是今后学习各种图形周长和面积的一个开始，因此在这一单元中让学生掌握周长概念和培养空间观念就显得尤为重要。可是面对学生在作业当中出现的一些错误，我们是就题论题去解决问题呢，还是去思考错误背后的根源呢？一个错题体现的是某一个知识体系的缺失，如果我们能将错题进行整合，深度分析原因，改进教学策略，或许就能提升学生对周长的进一步认识。
二、深度解读——在错题的类聚中提炼
一般情况下，作为教师首先想到的是对题目进行详细讲解，然后进行一定题量的训练。可是在以后的练习中我们不难发现，学生还是会错，要么拼错图形，要么不知道怎么拼、怎么剪，要么用减法来求剩余图形的周长、用加法来求合并后图形的周长。从有些学生的解答上来看，好像是学生由于审题不清导致的解答错误，但是在粗心的背后，也反映出了学生认知上的某些缺失和障碍。即使有些学生会解题了，但题目本身所蕴含的数学思想学生就没有想得那么多了，因为他们没有从根本上理解图形拼剪后周长的变化规律，所以这不仅仅是因为题目偏难学生不会做，也不仅仅是因为学生审题不清。其实任何知识的偏漏，都有它基础构建的缺失，笔者认为主要的原因不外乎以下三点。
1.对周长概念的建立不够透彻，即周长教学时概念的外延不够丰富，特别是变式呈现缺失。错误的解答通常不是由于错误的审题所致，也不是教师没有教过这方面的内容，错误的解答常常有着理论的支撑，如果要理解题目，那么了解学生的理解就显得非常重要。学生为什么会用减法来求剩余图形的周长、用加法来求合并后图形的周长，就是没能很好地理解“封闭图形一周的长度”这个概念。对于这种组合图形，当周长以变化的方式呈现以后，学生就更加找不到周长了。因此，“周长”概念的建立是学生学习的一个重点，很多错误都与周长概念建立的不扎实有关。
2.学生由于缺乏动手操作的机会，导致由形象到抽象的空间想象能力不够。在课堂教学中，出现最多的就是就题论题，学生的经验无非就是用求周长的方法来指导解题，因此学生的思维也就停留在较浅的思维层次，对于一些稍复杂的思维题学生就束手无策了。这是因为在面对文字表述的问题时，未能在大脑中形成相应的空间图形，由于在平时的课堂中缺乏相应的操作建立的一种表象，故而也就无法抽象出剪拼后对图形周长的理解。即使有学生有意识地在大脑（草稿纸上或借助实物）中对图形进行拼割，也很难完成拼割的过程，可见学生对图形的空间想象能力是相当缺乏的。
3.学生数形结合意识的缺失。面对这些拼割问题，学生仅停留在数与数之间的运算状态，缺少形的指导并与形有效对接，学生就无法抽象出对题意的理解。即使学生有以形指导的意识但未能在形的基础上找出相应的数据，这样的情况下解题还是有一定困难的。可见数形结合意识的缺失不但是学生数学发展上的一个障碍，也是我们教师在教学过程中的一个薄弱点。
三、活动整改——在操作活动中发展
（一）解读题型
錯例中的题目和教材中的题目都是通过剪拼来呈现的，这几道题不仅是为了巩固长方形和正方形周长的计算，更是为了发展学生的空间观念，在剪拼过程中立体地感受周长。如果单一地分析题目，学生很难从题目当中立体地呈现周长的变化，周长的增加和周长的减少其实是同一个系列的变化，它们同属于对周长知识的一次拓展和提升，巩固和发展对周长的理解有着举足轻重的作用。
（二）活动意图
综观这些易错题，要想将里面所蕴含的空间想象和数学思想在新课教学当中马上落实，这是有一定困难的，这需要学生有一个积累和成熟的过程。但是如果分解在不同的时段里教学，又会将题目本身所蕴含的数学思想分解得支离破碎。本着对错误资源的充分利用和对教材的整合，既减轻学生的学习负担，又能拓展学生对周长的深度思考，所以本次教学改进将在利用错题资源的基础上整合教材，以数学活动课的形式呈现。设想在教学中体现：①周长概念外延的拓展和变式的呈现，在活动课中重点突破“加减法意义”的负迁移，拓展学生对周长的立体思考。②通过实物操作、画图操作、想象操作三个层次的活动培养学生的空间意识。③在数学教学中有意识地进行数形结合思想的渗透和培养。力求在资源的整合中，进一步发展学生的空间想象能力和空间观念。
（三）活动方案
1.复习引入。
师：同学们，这是一张长方形纸，它的周长在哪里，你能描出来吗？（学生说，老师在黑板上描） 师：老师告诉你们这个长方形的长和宽分别是18厘米和12厘米，请你算出它的周长。板书：（18 12）×2=60（cm）。
2.探究。
（1）探究大图形变成几个小图形后周长的变化规律。
①取最大的正方形。
猜：你能在这个长方形中剪出一个最大的正方形吗？你觉得最大的正方形边长应是多少？为什么？
折：这个最大的正方形你能把它折好并撕下来吗？（用同样的方法描到黑板上）
算：请算一算这个最大正方形的周长。板书：12×4=48（cm）。
②求剩下小长方形的周长。
你能根据前面的计算结果直接口算出这个小长方形的周长是多少吗？你是怎样想的？
学生可能的答案：60-48=12 （总周长—正方形周长） 还有没有不同意见呢？让学生充分表达自己的想法。
（这是教学的关键处，可充分让学生思辨。在此关注学生的错误，暴露学生的思维，并适时进行教学改进。）
验证学生的想法：量或算剩下小长方形的长和宽并得出结果。
（12 6）×2=36（cm）
③重点讨论为什么不是12而变成36呢？（这和学生的生活及数学学习经验，求剩下只要直接相减的原有认知产生强烈的冲突）
教师顺势用课件展示周长的变化过程，让学生清晰看到剪下后多出两条边。
小结：大长方形变成一正一长后，虽然它们的大小没变，但周长却变化了，增加了两条边，这就是本节课共同讨论的内容。（板书课题：周长的变化）
④提升认识：（课件展示继续剪的情况）从大长方形图中每剪一次多出了两条边。
（2）探究几个小图形变成大图形后周长的变化规律。
①拼两个小长方形。
现在大家的手中都有一个小长方形。请同桌的两个小长方形拼一拼，你能拼成什么图形？
学生讨论拼的情况，先猜想周长是多少再计算。（请学生在黑板上画示意图，试拼并计算）
横拼或叠加两种。根据学生回答板书。
（24 6）×2=60 12×4=48
重点交流：周长为何从2个36减少到了60或48了呢？两种拼法的周长为何又不一样呢？
深化认识：如果我们把四个同学的小长方形拼起来，周长又是多少呢？五个呢？借助课件帮助学生深化认识。
②拼正方形。
那个撕下的正方形，你也会拼吗？（小组合作）
a. b. c.
把拼后的示意图画下来，描出所求图形的周长，并说说会出现怎样的情况。
（這样做既可以使学生获得丰富的表象，发展空间观念，又可使学生学好抽象的数学知识，把抽象思维与形象思维紧密结合起来，利于发展学生的思维能力。）
你能用不同的方法来计算周长吗？
a.数边计算 b.套用公式计算 c.周长总和减减少的边
③提升。
在拼的时候，我们不管用怎样的方法计算，最后周长总会比单个周长总和要减少。
得出结论：每拼一次，隐去两条边。
（3）每课一得：这节课你有什么新的收获？
结论：合拼周长减两边；分拆周长增两边。
（4）在练习中深化学生对周长变化规律的认识。
刚才我们在大长方形中剪了一个最大的正方形，如果我们只要求剪出剩下的那个小长方形，只有一种剪法吗？试着剪一剪，并比较剩下图形的周长和原图形周长的大小变化。
通过练习，让学生明白图2周长变小，图3周长相等，图4至图6周长变大。
[图1][图2][图3][图4][图5][图6] 总之，在操作过程中，各种拼剪后的图形在学生脑中建立了表象，有效提升了学生的空间想象能力，可以说能够为今后进一步学习几何图形打下了一定空间想象基础。学生通过拼剪，感受到了周长的变化规律，为今后的面积学习在变和不变的规律中寻求知识的支点。尽管这一次的数学活动的尝试，对于部分学生来讲加大了教学的难度，但是既要拓展学生的认知空间又要处理好重点的把握和难度的跨越，这两者之间也有一个矛盾的结合体，于是我们也只能在两者之间寻找一个平衡的支点，即使戴着“镣铐”也别忘自己是个舞者。
（浙江省绍兴市柯桥区实验小学 312000）
【关键词】错题整合 拓展 周长 数学活动
周长的教学是学生学习几何类图形的开始，是学生学习的重点。当学生进行单独的周长学习时，学生总觉得非常简单易学，而一旦进入深度学习之后，各种各样的错误便暴露出来了。笔者根据自己的教学实践，对长方形周长的深度拓展来谈一些自己的思考和改进方法。
一、直面错题——在错题的困惑中起步
下面是教材中的一道练习题：一张长方形的纸，长30厘米，宽21厘米。从这张纸上剪下一个最大的正方形，正方形的周长是多少厘米？剩下的图形周长是多少厘米？
求剩下图形的周长，学生的错解：
（30 21）×2-21×4=18（厘米）
21×4=84（厘米）
（30-21）×2=18（厘米）
在学生的错解中我们不难发现：第一种情况学生是在用大周长减小周长的方法，曲解了对周长本质的理解；第二种情况是学生算成正方形的面积了；第三种情况是根本不理解题意，对题目本身的要求不清楚。
周长的教学是我们几何教学的一个起点，是今后学习各种图形周长和面积的一个开始，因此在这一单元中让学生掌握周长概念和培养空间观念就显得尤为重要。可是面对学生在作业当中出现的一些错误，我们是就题论题去解决问题呢，还是去思考错误背后的根源呢？一个错题体现的是某一个知识体系的缺失，如果我们能将错题进行整合，深度分析原因，改进教学策略，或许就能提升学生对周长的进一步认识。
二、深度解读——在错题的类聚中提炼
一般情况下，作为教师首先想到的是对题目进行详细讲解，然后进行一定题量的训练。可是在以后的练习中我们不难发现，学生还是会错，要么拼错图形，要么不知道怎么拼、怎么剪，要么用减法来求剩余图形的周长、用加法来求合并后图形的周长。从有些学生的解答上来看，好像是学生由于审题不清导致的解答错误，但是在粗心的背后，也反映出了学生认知上的某些缺失和障碍。即使有些学生会解题了，但题目本身所蕴含的数学思想学生就没有想得那么多了，因为他们没有从根本上理解图形拼剪后周长的变化规律，所以这不仅仅是因为题目偏难学生不会做，也不仅仅是因为学生审题不清。其实任何知识的偏漏，都有它基础构建的缺失，笔者认为主要的原因不外乎以下三点。
1.对周长概念的建立不够透彻，即周长教学时概念的外延不够丰富，特别是变式呈现缺失。错误的解答通常不是由于错误的审题所致，也不是教师没有教过这方面的内容，错误的解答常常有着理论的支撑，如果要理解题目，那么了解学生的理解就显得非常重要。学生为什么会用减法来求剩余图形的周长、用加法来求合并后图形的周长，就是没能很好地理解“封闭图形一周的长度”这个概念。对于这种组合图形，当周长以变化的方式呈现以后，学生就更加找不到周长了。因此，“周长”概念的建立是学生学习的一个重点，很多错误都与周长概念建立的不扎实有关。
2.学生由于缺乏动手操作的机会，导致由形象到抽象的空间想象能力不够。在课堂教学中，出现最多的就是就题论题，学生的经验无非就是用求周长的方法来指导解题，因此学生的思维也就停留在较浅的思维层次，对于一些稍复杂的思维题学生就束手无策了。这是因为在面对文字表述的问题时，未能在大脑中形成相应的空间图形，由于在平时的课堂中缺乏相应的操作建立的一种表象，故而也就无法抽象出剪拼后对图形周长的理解。即使有学生有意识地在大脑（草稿纸上或借助实物）中对图形进行拼割，也很难完成拼割的过程，可见学生对图形的空间想象能力是相当缺乏的。
3.学生数形结合意识的缺失。面对这些拼割问题，学生仅停留在数与数之间的运算状态，缺少形的指导并与形有效对接，学生就无法抽象出对题意的理解。即使学生有以形指导的意识但未能在形的基础上找出相应的数据，这样的情况下解题还是有一定困难的。可见数形结合意识的缺失不但是学生数学发展上的一个障碍，也是我们教师在教学过程中的一个薄弱点。
三、活动整改——在操作活动中发展
（一）解读题型
錯例中的题目和教材中的题目都是通过剪拼来呈现的，这几道题不仅是为了巩固长方形和正方形周长的计算，更是为了发展学生的空间观念，在剪拼过程中立体地感受周长。如果单一地分析题目，学生很难从题目当中立体地呈现周长的变化，周长的增加和周长的减少其实是同一个系列的变化，它们同属于对周长知识的一次拓展和提升，巩固和发展对周长的理解有着举足轻重的作用。
（二）活动意图
综观这些易错题，要想将里面所蕴含的空间想象和数学思想在新课教学当中马上落实，这是有一定困难的，这需要学生有一个积累和成熟的过程。但是如果分解在不同的时段里教学，又会将题目本身所蕴含的数学思想分解得支离破碎。本着对错误资源的充分利用和对教材的整合，既减轻学生的学习负担，又能拓展学生对周长的深度思考，所以本次教学改进将在利用错题资源的基础上整合教材，以数学活动课的形式呈现。设想在教学中体现：①周长概念外延的拓展和变式的呈现，在活动课中重点突破“加减法意义”的负迁移，拓展学生对周长的立体思考。②通过实物操作、画图操作、想象操作三个层次的活动培养学生的空间意识。③在数学教学中有意识地进行数形结合思想的渗透和培养。力求在资源的整合中，进一步发展学生的空间想象能力和空间观念。
（三）活动方案
1.复习引入。
师：同学们，这是一张长方形纸，它的周长在哪里，你能描出来吗？（学生说，老师在黑板上描） 师：老师告诉你们这个长方形的长和宽分别是18厘米和12厘米，请你算出它的周长。板书：（18 12）×2=60（cm）。
2.探究。
（1）探究大图形变成几个小图形后周长的变化规律。
①取最大的正方形。
猜：你能在这个长方形中剪出一个最大的正方形吗？你觉得最大的正方形边长应是多少？为什么？
折：这个最大的正方形你能把它折好并撕下来吗？（用同样的方法描到黑板上）
算：请算一算这个最大正方形的周长。板书：12×4=48（cm）。
②求剩下小长方形的周长。
你能根据前面的计算结果直接口算出这个小长方形的周长是多少吗？你是怎样想的？
学生可能的答案：60-48=12 （总周长—正方形周长） 还有没有不同意见呢？让学生充分表达自己的想法。
（这是教学的关键处，可充分让学生思辨。在此关注学生的错误，暴露学生的思维，并适时进行教学改进。）
验证学生的想法：量或算剩下小长方形的长和宽并得出结果。
（12 6）×2=36（cm）
③重点讨论为什么不是12而变成36呢？（这和学生的生活及数学学习经验，求剩下只要直接相减的原有认知产生强烈的冲突）
教师顺势用课件展示周长的变化过程，让学生清晰看到剪下后多出两条边。
小结：大长方形变成一正一长后，虽然它们的大小没变，但周长却变化了，增加了两条边，这就是本节课共同讨论的内容。（板书课题：周长的变化）
④提升认识：（课件展示继续剪的情况）从大长方形图中每剪一次多出了两条边。
（2）探究几个小图形变成大图形后周长的变化规律。
①拼两个小长方形。
现在大家的手中都有一个小长方形。请同桌的两个小长方形拼一拼，你能拼成什么图形？
学生讨论拼的情况，先猜想周长是多少再计算。（请学生在黑板上画示意图，试拼并计算）
横拼或叠加两种。根据学生回答板书。
（24 6）×2=60 12×4=48
重点交流：周长为何从2个36减少到了60或48了呢？两种拼法的周长为何又不一样呢？
深化认识：如果我们把四个同学的小长方形拼起来，周长又是多少呢？五个呢？借助课件帮助学生深化认识。
②拼正方形。
那个撕下的正方形，你也会拼吗？（小组合作）
a. b. c.
把拼后的示意图画下来，描出所求图形的周长，并说说会出现怎样的情况。
（這样做既可以使学生获得丰富的表象，发展空间观念，又可使学生学好抽象的数学知识，把抽象思维与形象思维紧密结合起来，利于发展学生的思维能力。）
你能用不同的方法来计算周长吗？
a.数边计算 b.套用公式计算 c.周长总和减减少的边
③提升。
在拼的时候，我们不管用怎样的方法计算，最后周长总会比单个周长总和要减少。
得出结论：每拼一次，隐去两条边。
（3）每课一得：这节课你有什么新的收获？
结论：合拼周长减两边；分拆周长增两边。
（4）在练习中深化学生对周长变化规律的认识。
刚才我们在大长方形中剪了一个最大的正方形，如果我们只要求剪出剩下的那个小长方形，只有一种剪法吗？试着剪一剪，并比较剩下图形的周长和原图形周长的大小变化。
通过练习，让学生明白图2周长变小，图3周长相等，图4至图6周长变大。
（浙江省绍兴市柯桥区实验小学 312000）