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摘 要：由用场强表示的静电场总能量公式推导出带电体的电荷分布分别为体分布、面分布、线分布、点分布时，用电荷分布表示的静电场总能量公式，并由此归纳得出用电荷分布表示的静电场总能量的一般表达式.
关键词：静电场;电荷分布;电势;能量公式
一、引言
静电场能量密度：
用场强表示的静电场总能量公式为
（1）在静电情形下，电场与电荷相联系，静电场既可用场强描述也可用电荷分布来描述，因而静电场的总能量W除了用场强表示外，还可以用电荷分布表示.由式（1）导出用电荷分布表示的静电场总能量公式为
（2）式（2）中的电荷分布只为体分布.对于电荷分布为面分布的情形，是将式（2）中的变为，dV变为dS而得，即
用式（1）对电荷分布分别为体分布、面分布、线分布、点分布情形，导出用电荷分布表示的静电场总能量公式，从而归纳得出静电场总能量的一般形式为
指出线分布，点分布是由体分布情形变形而得，即线分布、点分布是体分布的特殊情形，电荷分布为线分布、点分布情形时的静电场总能量公式可用式（1）表示;面分布情形的静电场总能量公式的推导应用了静电场的边值关系，不是由体分布情形变形而得，即面分布不是体分布的特殊情形，因而电荷分布为面分布情形时的静电场总能量公式不可用式（1）表示.
二、电荷分布为体分布的静电场总能量公式
带电体电荷分布仅是体分布，其体密度为，分布在有限区域V，由式（1）推导出用电荷分布表示的该带电体在空间激发静电场的总能量公式.
由和得
代入式（1） （3）
把式（3）右边第二项体积分化为面积分
所以式（3）可以写成
（4）
对于静电场总能量而言，考虑的是分布在整个空间的静电场，则式（1）的体积分是对整个空间进行的，而整个空间的边界面在无限远处，边界面无限大.当电荷分布在有限区域且电量有限时，空间电场的随而变，D随而变，经过r处的闭合面的面积随r2而变，因此当r趋向无限远时，式（4）右边第二项对整个空间的边界面的积分为零，即
代入式（4）得
（5）
式（5）就是电荷分布为体分布的静电场总能量公式，由式（1）导出的用电荷分布表示的静电场总能量公式式（2）一致.
三、电荷分布为面分布的静电场总能量公式
带电体电荷分布仅为面分布.设带电体的体积为V（V的大小有限），电荷连续分布在带电体的表面S上，即电荷分布在V的边界面S上，电荷面密度为，此带电体没有电荷体密度，即，那么式（4）右边的第一项也就为零，即
因此，式（3）就可以写成
（6）
将整个空间分成两部分，一部分为带电体所占的空间区域 ，另一部分为除带电体外的空间区域（），因此式（6）可以写成
把体积分变成面积分上式可写成
（7）
上式右边第一项对整个空间的边界面上的积分为零，即
式（7）就可以写成
（8）
由边值关系
式（8）可写成
（9）
式（9）就是电荷分布为面分布的静电场总能量公式.
以上推导应用了静电场的边值关系，电荷分布为面分布的静电场总能量公式不是由体分布情形下用电荷分布表示的静电场总能量公式推导得来的，所以电荷分布为面分布的情形不是体分布的特殊情形，电荷分布为面分布的静电场总能量公式不可用式（5）表示.
四、电荷分布为线分布的静电场总能量公式
带电体的电荷分布为线分布.设电荷连续分布在长为为的线上，其电荷线密度为 .电荷线分布是一理想模型，是当场点与带电体的距离比带电体截面尺大得多时，忽略截面大小而得.用dS来表示横截面积，那么有，则，代入式（5），就可以得到
（10）
由电荷线密度的定义
式（10）可写成
（11）
式（11）就是电荷分布为线分布的静电场总能量公式.
以上推导是由式（5）----电荷分布为体分布的静电场总能量公式推导得到的，所以电荷分布为线分布的情形是体分布的特殊情形，电荷分布为线分布的静电场总能量公式可用式（5）表示.
五、电荷分布为点分布的静电场总能量公式
若电荷分布为点分布，即带电体大小和形状的影响可以忽略，把带电体上的电荷看成是集中在一个几何点上.取x为场点位矢，x0为源点位矢，借助于函数
点电荷的电荷密度可用 函数来描述.电量为 的点电荷，其电荷密度分布函数为
式（5）就可以写成
（12）
设空间电场由N个点电荷激发.上式对整个空间进行积分，用来表示所有的点电荷在qi处产生的电势，这样就得到静电场总能量公式为
（13）
式（13）从电荷做功和功能原理出发推导得出的静电场总能量公式一致.
由以上可知，式（13）是由式（5） 推导而得，即电荷分布为点分布的静电场总能量公式是由电荷分布为体分布的静电场总能量公式推导而得，所以式（13）与式（5）都可以用来表示电荷分布为点分布的静电场总能量公式.电荷分布为点分布的情形是体分布的特殊情形，一般情况下，电荷分布为点分布的静电场总能量公式可用式（5）表示.
六、小结
对于电荷分布为线分布，点分布情形，由于电荷分布为线分布，点分布情形就是体分布的一种特殊情形，两情形用电荷分布表示的静电场总能量公式都是由电荷分布为体分布的静电场总能量公式推导而得，因而一般情况下，两情形用电荷分布表示的静电场总能量公式均可用电荷分布为体分布的静电场总能量公式式（5）表示;而对于电荷分布为面分布情形，其用电荷分布表示的静电场总能量公式的推导过程中应用了静电场的边值关系，而不是由电荷分布为体分布的静电场总能量公式推导而得，需要的条件与线分布和点分布不一样，所以面分布不是体分布的特殊情形，电荷分布为面分布的静电场总能量公式只能用式（9）表示.
一般情况下，电荷分布除了体分布外，还有面分布，用电荷分布表示的静电场总能量公式就应该用体分布和面分布一起来表示，因此一般情况下用电荷分布表示的静电场总能量的表达式为
（19）
式（19）在除了体分布的电荷外，还有面分布的电荷，表示电荷系的总静电能的式（1.7-10）一致，但没有对式（1.7-10）作出推导.
关键词：静电场;电荷分布;电势;能量公式
一、引言
静电场能量密度：
用场强表示的静电场总能量公式为
（1）在静电情形下，电场与电荷相联系，静电场既可用场强描述也可用电荷分布来描述，因而静电场的总能量W除了用场强表示外，还可以用电荷分布表示.由式（1）导出用电荷分布表示的静电场总能量公式为
（2）式（2）中的电荷分布只为体分布.对于电荷分布为面分布的情形，是将式（2）中的变为，dV变为dS而得，即
用式（1）对电荷分布分别为体分布、面分布、线分布、点分布情形，导出用电荷分布表示的静电场总能量公式，从而归纳得出静电场总能量的一般形式为
指出线分布，点分布是由体分布情形变形而得，即线分布、点分布是体分布的特殊情形，电荷分布为线分布、点分布情形时的静电场总能量公式可用式（1）表示;面分布情形的静电场总能量公式的推导应用了静电场的边值关系，不是由体分布情形变形而得，即面分布不是体分布的特殊情形，因而电荷分布为面分布情形时的静电场总能量公式不可用式（1）表示.
二、电荷分布为体分布的静电场总能量公式
带电体电荷分布仅是体分布，其体密度为，分布在有限区域V，由式（1）推导出用电荷分布表示的该带电体在空间激发静电场的总能量公式.
由和得
代入式（1） （3）
把式（3）右边第二项体积分化为面积分
所以式（3）可以写成
（4）
对于静电场总能量而言，考虑的是分布在整个空间的静电场，则式（1）的体积分是对整个空间进行的，而整个空间的边界面在无限远处，边界面无限大.当电荷分布在有限区域且电量有限时，空间电场的随而变，D随而变，经过r处的闭合面的面积随r2而变，因此当r趋向无限远时，式（4）右边第二项对整个空间的边界面的积分为零，即
代入式（4）得
（5）
式（5）就是电荷分布为体分布的静电场总能量公式，由式（1）导出的用电荷分布表示的静电场总能量公式式（2）一致.
三、电荷分布为面分布的静电场总能量公式
带电体电荷分布仅为面分布.设带电体的体积为V（V的大小有限），电荷连续分布在带电体的表面S上，即电荷分布在V的边界面S上，电荷面密度为，此带电体没有电荷体密度，即，那么式（4）右边的第一项也就为零，即
因此，式（3）就可以写成
（6）
将整个空间分成两部分，一部分为带电体所占的空间区域 ，另一部分为除带电体外的空间区域（），因此式（6）可以写成
把体积分变成面积分上式可写成
（7）
上式右边第一项对整个空间的边界面上的积分为零，即
式（7）就可以写成
（8）
由边值关系
式（8）可写成
（9）
式（9）就是电荷分布为面分布的静电场总能量公式.
以上推导应用了静电场的边值关系，电荷分布为面分布的静电场总能量公式不是由体分布情形下用电荷分布表示的静电场总能量公式推导得来的，所以电荷分布为面分布的情形不是体分布的特殊情形，电荷分布为面分布的静电场总能量公式不可用式（5）表示.
四、电荷分布为线分布的静电场总能量公式
带电体的电荷分布为线分布.设电荷连续分布在长为为的线上，其电荷线密度为 .电荷线分布是一理想模型，是当场点与带电体的距离比带电体截面尺大得多时，忽略截面大小而得.用dS来表示横截面积，那么有，则，代入式（5），就可以得到
（10）
由电荷线密度的定义
式（10）可写成
（11）
式（11）就是电荷分布为线分布的静电场总能量公式.
以上推导是由式（5）----电荷分布为体分布的静电场总能量公式推导得到的，所以电荷分布为线分布的情形是体分布的特殊情形，电荷分布为线分布的静电场总能量公式可用式（5）表示.
五、电荷分布为点分布的静电场总能量公式
若电荷分布为点分布，即带电体大小和形状的影响可以忽略，把带电体上的电荷看成是集中在一个几何点上.取x为场点位矢，x0为源点位矢，借助于函数
点电荷的电荷密度可用 函数来描述.电量为 的点电荷，其电荷密度分布函数为
式（5）就可以写成
（12）
设空间电场由N个点电荷激发.上式对整个空间进行积分，用来表示所有的点电荷在qi处产生的电势，这样就得到静电场总能量公式为
（13）
式（13）从电荷做功和功能原理出发推导得出的静电场总能量公式一致.
由以上可知，式（13）是由式（5） 推导而得，即电荷分布为点分布的静电场总能量公式是由电荷分布为体分布的静电场总能量公式推导而得，所以式（13）与式（5）都可以用来表示电荷分布为点分布的静电场总能量公式.电荷分布为点分布的情形是体分布的特殊情形，一般情况下，电荷分布为点分布的静电场总能量公式可用式（5）表示.
六、小结
对于电荷分布为线分布，点分布情形，由于电荷分布为线分布，点分布情形就是体分布的一种特殊情形，两情形用电荷分布表示的静电场总能量公式都是由电荷分布为体分布的静电场总能量公式推导而得，因而一般情况下，两情形用电荷分布表示的静电场总能量公式均可用电荷分布为体分布的静电场总能量公式式（5）表示;而对于电荷分布为面分布情形，其用电荷分布表示的静电场总能量公式的推导过程中应用了静电场的边值关系，而不是由电荷分布为体分布的静电场总能量公式推导而得，需要的条件与线分布和点分布不一样，所以面分布不是体分布的特殊情形，电荷分布为面分布的静电场总能量公式只能用式（9）表示.
一般情况下，电荷分布除了体分布外，还有面分布，用电荷分布表示的静电场总能量公式就应该用体分布和面分布一起来表示，因此一般情况下用电荷分布表示的静电场总能量的表达式为
（19）
式（19）在除了体分布的电荷外，还有面分布的电荷，表示电荷系的总静电能的式（1.7-10）一致，但没有对式（1.7-10）作出推导.