在高三二轮或三轮复习阶段，我们常常选择一些优秀试卷让学生练习，批改后讲评是这个阶段的基本课型.教学的节奏一般控制在教师的手中，而为了适应统一的复习教学进度，老师常常面面俱到，很多题点到为止，学生也就是知道了答案，而能力无实质性的提高.我们认为这样的试题讲评课是低效的.我们首先主张几套试题中的同类问题可择其一或二重点讲评，不仅把题目本身讲清楚，同时启发同学多角度重新审视、一题多解，在各种解法的比较与联系的反思中领悟方法的本质；其次引导同学发散思维，在类比、联想中由此及彼，解一题的同时打开一类问题的解题思路，只有这样才能让试题讲评效益最大化.
　　
　　例1 已知过点P(9,3)的l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，则距离AB的最小值为.
　　分析 过P点的直线l绕P点旋转时，A，B两点分别在x轴和y轴的正半轴上移动,线段AB在变化，为了求出线段AB长的最小值，需选择适当的变量建立目标函数.我们选择不同的视角，可以从不同的角度建立相应的目标函数.
　　视角1 过点P分别向x轴和y轴作垂线，设∠BAO=θ，则AP=3sinθ，BP=9cosθ，所以AB=AP+PB=3sinθ+9cosθ0<θ<π2.
　　视角2 用直线方程的截矩式：设直线l的方程是xa+yb=1(a>9，b>3).由点P在直线l上有：9a+3b=1b=3aa-9(a>9)，所以AB=a2+b2=a2+3a2(a-9)2(a>9).
　　视角3 用直线方程的点斜式：设直线l的方程是y-3=k(x-9)(k<0).所以A9-3k，0，B(0,3-9k)，所以AB=1+1k2(9k-3)2(k<0).
　　视角4 用直线方程的参数式：设直线l的方程是x=9+tcosθ，y=3+tsinθ（t是参数，θ是直线的倾斜角，θ∈π2，π）.令y=0，得tA=-3sinθ.令x=0，得tB=-9cosθ.
　　所以AB=|tA-tB|=3sinθ-9cosθ.
　　以上，我们从四个不同的角度分别建立了目标函数，其目的是将线段（形）的长转化为目标函数（数），是从形向数的转化.这里视角1直接从形的特征入手建立目标函数，而视角2~4则是从直线方程的各种不同形式入手建立目标函数，线段AB的长实际上是直线l与曲线xy=0交点间的距离，视角4也是求直线l与一般曲线f(x,y)=0交点的常用方法.
　　视角1和4中目标函数实质上是一致的，我们以视角1中的目标函数为例求解：
　　令f(θ)=3sinθ+9cosθθ∈0,π2，则f′(θ)=-3cosθsin2θ-9(-sinθ)cos2θ=9sin3θ-3cos3θsin2θcos2θ，由f′(x)=0，得tanθ=33θ=π6，易知当θ=π6时，［f(θ)］min=fπ6=83.
　　视角2和3中目标函数实质上是一致的，我们一视角2中的目标函数为例求解：
　　令f(a)=a2+3a2(a-9)2，则f′(a)=2a+6a(a-9)2-6a2(a-9)(a-9)4,由f′(a)=0，得(a-9)3=27a=12，所以［f(a)］min=f(12)=83.
　　在视角2中，我们研究的是在a，b满足9a+3b=1(a>9,b>3)的条件下，求a2+b2的最小值，上面给出的是其中的一种解法，我们还可以从不同的角度探索其他各种解法.
　　解法二 令a2+b2=r2(r>0)，这个等式的几何背景是一个变圆.将圆的方程写成参数形式a=rcosθ，b=rsinθθ∈0,π2，则有9rcosθ+3rsinθ=1，所以r=9cosθ+3sinθθ∈0,π2，以下同视角1的解法.
　　解法二沟通了视角1与视角2中的两个不同形式的函数的联系，由此可以看出其本质的一致性.
　　解法三 从9a+3b=1(a>9,b>3)可以看出b是a的函数，于是原问题转化为求函数y=3xx-9(x>9)上的动点M(x,y)到原点O的距离的最小值.
　　又y=3xx-9(x>9)可化为y=3xx-9=3+93x-9(x>9)，它表示中心在O′(9,3)的双曲线右上方的一支.将双曲线和点O′按向量a=(-9,-3)平移，则点O′移到O(0,0)，原点O移到O″(-9,-3)，曲线方程变为y=93x（x>0）.以O″为圆心作圆与曲线y=93x（x>0）相切于Tt,93t,则两曲线在T处的公切线的斜率为k=-93t2.又kO″T=93t+3t+9=3t，由k•kO″T=-1，得t=3.因此(O″T)min就是点O″(-9,-3)到点T(3,33)的距离83.
　　解法三给关系式9a+3b=1(a>9,b>3)以形（函数图像）的解释，从形的角度看出当O″T的值最小时，以O″为圆心的圆与函数y=93x（x>0）相切且有相同的切线,从而获得点T(3,33)，问题解决.
　　实实在在地和同学透彻地研究了一道题，远远比泛泛地讲一组题效果好，选择好题，设计好引导同学的程序，可以最大限度地调动学生学习的积极性和主动性，让我们的复习课更加有效.
　　例2 已知数列{an}前n项的和是Sn.若{an}是等差数列，比较Sn+1+Sn-1(n≥2)与2Sn的大小.
　　分析 设{an}的公差是d,则Sn=na1+n(n-1)2d,于是Sn+1+Sn-1-2Sn=d(n≥2).
　　所以，当d=0时,Sn+1+Sn-1=2Sn，等价于数列{Sn}成等差数列;
　　当d>0时,Sn+1+Sn-1>2Sn;
　　当d<0时,Sn+1+Sn-1<2Sn.
　　即d≠0时，数列{Sn}不能成等差数列.
　　这里n-1,n,n+1成等差数列,推广一下有什么结论?于是有：
　　变题1 若{an}是等差数列，n　　分析 易知Sn+Sk-2Sm=(n-k)2d4,结论与原题相同.
　　将等差数列与等比数列类比又有什么结论?
　　变题2 若{an}是等比数列，n　　分析 设等比数列{an}的公比是q,数列n,m,k的公差是d.
　　则q=1时，Sn=n，SnSk-S2m=-(n-k)24<0；
　　q≠1时,Sn=a1(1-qn)1-q,设a11-q=A，则
　　Sn•Sk-S2m=A(1-qn)•A(1-qk)-A2(1-qm)2
　　=A2(-qn-qk+2qm)
　　=A2(-qn)(1+q2d-2qd)
　　=-a21qn(1-qd)2(1-q)2.
　　
　　当qn<0时，SnSk-S2m>0；当qn>0时，SnSk-S2m<0.
　　显然，数列{Sn}不能成等比数列.将数列{an}中的项作点微调便有精彩的变题：
　　变题3 若{an}满足a1=1,a2=2，anan-1=qn-2(n≥3,q>0)，若{Sn}成等比数列，求q的值.
　　分析 由条件，a1=1，a2=2，
　　当n≥3时，Sn=2n-1(q=1),1+21-q-21-q•qn-1(q≠1).
　　当q=1时，{Sn}显然不成等比数列；
　　当q≠1时，S2n+1-Sn•Sn+2=3-q1-q-21-q•qn2-3-q1-q-21-q•qn-1•3-q1-q-21-q•qn+1=2(3-q)•qn-1.
　　所以，当q=3时，SnSn+2=S2n+1，数列{Sn}是等比数列；
　　当q>0且q≠3时，显然Sn-1Sn+1≠S2n，自然又有：
　　变题4 若{an}满足a1=1,a2=2，anan-1=qn-2(n≥3,q>0)，当q满足什么条件时有SnSn+2　　变题5 若{an}满足a1=1，a2=2，anan-1=qn-2(n≥3,q>0)，当q满足什么条件时有SnSn+2>S2n+1？
　　由条件Sn>0，所以SnSn+2>S2n+1Sn+2Sn+1>Sn+1Sn，于是有：
　　变题6 若{an}满足a1=1，a2=2，anan-1=qn-2(n≥3，q>0)，数列{bn}满足bn=Sn+1Sn，若数列{bn}递增，求q的取值范围.
　　变题7 若{an}满足a1=1，a2=2,anan-1=qn-2(n≥3,q>0)，数列{bn}满足bn=Sn+1Sn，若数列{bn}递减，求q的取值范围.
　　从变题3起，每道题都是十分精彩的基本数列训练题，都可以做高三综合试卷的数列压轴题.
　　所以对于试题讲评我们不仅把题目本身讲清楚，同时启发同学多角度重新审视、一题多解，在各种解法的比较与联系的反思中领悟方法的本质，只有这样才能让试题讲评效益最大化.