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摘 要：本文借助喻平的数学关键能力评价指标框架和鲍建生的综合难度模型，分析高考试题中所蕴含的核心素养水平和试题的难度，以及它们之间的关系。最终得出高考试题的综合素养水平和综合难度之间有密切联系，基于此，提出了几点建议。
关键词：数学核心素养;难度;高考试题
中图分类号：G633 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2021）07-0101-05
1 问题的提出
2014年3月，“核心素养”一词被正式提出，引发了社会的高度关注。数学课程目标中，含有对数学学科核心素养的要求，一些数学试题设计的理念也包含数学核心素养，这就意味着在数学学习中教师要注意培养学生的核心素养。随着核心素养的提出，试题的难度也在发生变化，并且核心素养的测评是以区分度为依据的，而区分度和难度之间又有重要联系[1]。基于此，考虑核心素养和试题难度之间的关系。
本文以2020年高考全国卷Ⅰ理科数学试题为例，来探讨高考试题中所蕴含的核心素养和其难度之间的联系。
2 研究设计
2.1 数学核心素养的量化
2.1.1 数学关键能力评价指标框架
由于六大核心素养本身含义具有抽象性，很难对数学试题进行六大核心素养水平的划分。于是，本文采用了喻平的数学关键能力评价指标[2]。他给出了六个核心素养三级水平的操作性定义，如表1所示。
2.1.2 综合素养水平
为了更直观地分析出每道题的综合素养水平和难度之间的关系，需要對每道题的所蕴含的核心素养进行量化。每道试题所蕴含的核心素养经过量化之后称为每道试题的综合素养水平[3]。为了得到每道试题的综合素养水平，首先，需要对表1中核心素养的每级水平进行赋值，在赋值时要考虑试题的区分度，还要体现每道题所蕴含的核心素养水平越高，其综合素养水平也越高，因此，给表1中每个核心素养的一、二、三级水平分别赋予1、3、7的分值。然后，参考刘清等人的综合素养水平计算公式，计算每道题的综合素养水平，综合素养水平计算公式定义为：。其中，d代表综合素养水平，dij代表核心素养i的第j级水平的赋值，ni代表蕴含核心素养i的题目个数，n代表题目总个数[4]。比如，一道大题中含有三个小问，第一、二小问都处在逻辑推理和数学运算的第一级水平，第三小问处在数学抽象的第二级水平、逻辑推理的第二级水平，以及数学运算的第一级水平。根据上面计算公式，得到这道试题的综合素养水平为：。
2.2 综合难度模型
试题的综合难度是指在正式测试之前由学科专家根据自身以往经验对试题进行综合评估得到的。
在量化试题的综合难度时，为了较好地反映出数学试题的难度水平以及概括出学生数学完整的活动过程，本文采用鲍建生教授的综合难度模型。此综合难度模型包含五个难度因素，每个难度因素下面细分了多种水平[5]。该模型如表2所示。
模型计算公式di=nij=n，i=1，2，…），其中，di（i=1，2，3，4，5）表示5个不同的维度，nij表示题目中处在第i个维度中的第j个水平的题目的个数，dij为第i个维度中的第j个水平的权重（依水平分别取1，2，3，…），n代表题目总个数。根据模型计算公式可得出每道题在五个难度因素量化后的取值[5]。比如一道综合题有两问，第一问无背景，数学认知方面属于理解层面，运算方面属于简单符号运算，推理方面是简单推理，含有两个知识点;第二问无背景，数学认知方面属于应用，运算方面属于简单符号运算，推理是复杂推理，含有两个知识点。则根据模型计算公式，这道题在五个难度因素上的取值依次为1，2.5，3，2.5，2。由此得出刻画试题综合难度的雷达图。
3 数学试题综合素养水平和综合难度分析
2020年高考全国卷Ⅰ理科数学试题中设有选择题、填空题、解答题，对答案中没有详细解答过程的题型，在水平划分时，要避免一些解题技巧，采用一般的解法进行划分[6]。全国卷Ⅰ中的第22、23题为选做题，本文对此不进行研究，排除这两道题，对试卷中的其他题目，按照数学关键能力评价指标框架给出的操作性定义，对试题进行核心素养水平划分。
3.1 高考试题综合素养水平具体分析
采用上文提到的核心素养量化方法，列出2020年高考全国卷Ⅰ理科数学试题关键能力双向细目表，并根据综合素养模型公式在表中列出每道题的综合素养水平（用d表示），如表3所示。
2020年高考全国卷Ⅰ理科数学试题总题量为21道。有3道题里面含有数学抽象，并集中在一、二级水平，在第三级水平没有分布;有15道题里面含有逻辑推理，在一、二、三级水平都有分布，主要集中在第一级水平，在第三级水平的题目分别是选择题的11题，解答题的19、20、21题的最后一问;有2道题里面含有数学建模，且都处于第一级水平;有15道题里面含有直观想象，在一、二、三级水平都有分布，主要集中在第一级水平，在第三级水平的题目填空题的第16题;有21道题里面含有数学运算，在第三级水平有20、21题的最后一问;有3道题里面含有数据分析，在第三级水平没有分布。
从横向观察，选择题第10题至第12题，填空题的第16题，以及解答题的18题至21题，“√”明显增多，由此可以发现这几个题所蕴含的数学核心素养的个数是比较多的，也就是综合素养水平比较高。
表3的最后一列代表每道题的综合素养水平，从数字看出，在选择题、填空题、解答题三个题型的各个部分分值是递增的。结合题目所处的位置，不难得出，高考压轴题的综合素养水平是比较高的。
总体来看，“√”大多分布在数学计算、逻辑推理和直观想象部分，也就是几乎每道高考题都蕴含着数学计算、直观想象和逻辑推理的数学核心素养，正如罗素所说：“数学是符号加逻辑”，而在分析高考题的过程中也发现，大多数的题目意在考察学生的符号运算及证明，由此可以看出高考试题非常注重对这三种数学核心素养的考查。 3.2 高考试题综合难度具体分析
采用鲍建生的综合难度模型，列出2020年高考全国卷Ⅰ理科数学试题综合难度双向细目表，并在表中用各维度和的形式列出每道题的总难度系数（用f表示），如表4所示。
2020年高考全国卷Ⅰ理科数学试题总题量为21道。在“数学认知”维度，“识记”层面的有2道，“理解”层面的有7道，“应用”层面的有8道，“探究”层面的有4道，大部分题目集中在“探究”层面。考查学生在实践的情境中转化和应用知识的能力。
在“背景”维度，“无背景”层面的有18道，“个人生活”层面的有2个，“科学情境”层面的有1个，大部分题目没有问题背景，直接考察学生对于知识点的掌握和运用情况。
在“运算”维度，“无运算”层面的有1道，“数值运算”层面的有2个，“简单符号运算”层面有13个，“复杂符号运算”层面的有1个。题目大部分集中在“符号运算”层面。而且在分析试题中也发现，大多数的计算，更加偏重于符号的运算，单纯考查学生纯数值计算的题目很少。
在“推理”维度，“无推理”层面的有3个，“简单推理”层面的有11个，“复杂推理”层面的有3个。大部分题目中含有简单推理，也就是要求学生能够在思考之后，选择合适的知识和方法，进行作答。
在“知识含量”维度，“一个知识点”层面的有6个，“两个知识点”层面的有7个，“多个知识点”层面的有6个。大部分题目都注重两个或两个以上知识点的考查，也就是考查多个知识点相互融合的题目。
从横向观察，可以看出本卷中有几个难度系数较高的题目，分别是选择题的第12、13题，填空题的16题，和解答题的20、21题。这些题都在各类题型的最后两道，这与表3中综合素养水平的呈现趋势是一样的。
3.3 2020年全国卷Ⅰ综合素养水平和试题综合难度对比分析
为了更加直观地分析本卷综合素养水平和综合难度系数之间的关系，下面绘制关于综合素养水平和综合难度系数的折线图。以题号作为横坐标，以每道题的综合素养水平和其对应的综合难度系数作为纵坐标。
从图2中可以看出，两条曲线的走势大致相同，两者出现的峰值位置和低谷位置也大致相同，异常点仅出现在第5、13题，这说明一道题的综合难度系数和它的综合素养水平有很大关系。从图中还可以发现，高峰值出现在选择题的后两道、填空题的后两道以及解答题的后两道，也就是我们所说的“压轴题”的位置，由此说明高考题的设置遵循先易后难的顺序，这有利于广大考生合理的安排自己的做题时间和顺序，合理的运用自己的答题策略，以便获取更加理想的分数。
4 结论和建议
4.1 结论
通过本文分析，可以得出，在高考卷中，一道試题的综合素养水平和综合难度系数有密切联系，即一道试题的综合素养水平和综合难度系数呈正比关系，两者互相影响。并且，高考卷中的压轴题一般都在各类题型（选择题、填空题、解答题）的后两道，压轴题的综合素养水平和难度系数都是最高的，这与我们传统的想法相一致。
4.2 建议
4.2.1 设置试题“背景”
在分析试题难度时，“背景”这一维度引起了我们的关注，只有三个题设置了题目背景，即第3题以考生熟知的金字塔为背景设置问题，解答题第18题设置了圆锥背景，第19题以熟悉的羽毛球比赛为背景设置了相对容易的概率问题。其他试题没有任何实际背景，单纯考查高中一些主要知识点。
在高考命题时，除了一些“个人生活”“公共常识”，还可以多设置一些“科学情境”类的背景，但是，要注意在试题中不要盲目地加入背景，要注意加入的背景和题目的有机联系，不要因为有背景的加入而使得问题空洞，让学生产生厌烦的情绪。
4.2.2 均衡考查六大核心素养
在分析高考试题时，发现试题中仍然有一些不合理的地方。试题中蕴含关于数学运算、逻辑推理、数学建模、直观想象的题目数量居多，而含有数据分析和数学抽象的题目却很少，这样的命题会使学生自身发展不均衡，不利于培养学生的综合能力。
核心素养是学生经过知识的学习之后所能剩下来、带得走、可再生的东西[9]。高考不应该只成为选拔人才的工具，还应有提高全民数学核心素养的目的。在命制试题时，注意相对均衡地考查学生的核心素养水平，切莫只关注分数的高低。
4.2.3 把控试卷难度
从试题分析可知，试卷整体难度比较大，要平衡试卷的整体难度，又不影响压轴题的区分度，就要在试卷的其他试题下手，降低难度，可以通过改变其他试题的综合素养水平，来达到降低难度的目的，主要的方法有：降低其他试题所考查的核心素养个数及核心素养水平的等级;提高压轴题所考查的核心素养个数以及提高每个核心素养的等级水平。
4.2.4 完善核心素养的测评体系
本文在对试题所蕴含的数学核心素养进行量化时，采用的是喻平的数学关键能力评价框架，在此框架中对六个数学核心素养进行了知识理解、知识迁移、知识创新的三级水平划分，这三个水平要求依次提高，由此发现框架本身可能受难度因素的些许影响。若要刨除这部分影响，进一步对结论进行验证，还需对核心素养的测评体系进行完善，从而能更有效地使核心素养不断融入高考试题。
参考文献：
〔1〕雷新勇.大规模教育考试科学属性之理论和实践思考[J].教育与考试，2007，24（01）：31-37.
〔2〕喻平.数学核心素养评价的一个框架[J].数学教育学报，2017，26（02）：19-23+59.
〔3〕喻平.基于核心素养的高中数学课程目标与学业评价[J].课程·教材·教法，2018，38（01）：80-85.
〔4〕刘清，胡典顺，张莘钿.核心素养视角下的高考试题难度探析——以2019年高考数学全国卷（理科）为例[J].数学通报，2020，59（12）：34-40.
〔5〕鲍建生.中英两国初中数学期望课程综合难度的比较[J].全球教育展望，2002，31（09）：48-52.
〔6〕薛欢，杜剑南，路江江.2016—2020年高考数学（理科）全国卷“统计与概率”试题探析——基于综合难度模型[J].教育测量与评价，2020，13（12）：30-40.
关键词：数学核心素养;难度;高考试题
中图分类号：G633 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2021）07-0101-05
1 问题的提出
2014年3月，“核心素养”一词被正式提出，引发了社会的高度关注。数学课程目标中，含有对数学学科核心素养的要求，一些数学试题设计的理念也包含数学核心素养，这就意味着在数学学习中教师要注意培养学生的核心素养。随着核心素养的提出，试题的难度也在发生变化，并且核心素养的测评是以区分度为依据的，而区分度和难度之间又有重要联系[1]。基于此，考虑核心素养和试题难度之间的关系。
本文以2020年高考全国卷Ⅰ理科数学试题为例，来探讨高考试题中所蕴含的核心素养和其难度之间的联系。
2 研究设计
2.1 数学核心素养的量化
2.1.1 数学关键能力评价指标框架
由于六大核心素养本身含义具有抽象性，很难对数学试题进行六大核心素养水平的划分。于是，本文采用了喻平的数学关键能力评价指标[2]。他给出了六个核心素养三级水平的操作性定义，如表1所示。
2.1.2 综合素养水平
为了更直观地分析出每道题的综合素养水平和难度之间的关系，需要對每道题的所蕴含的核心素养进行量化。每道试题所蕴含的核心素养经过量化之后称为每道试题的综合素养水平[3]。为了得到每道试题的综合素养水平，首先，需要对表1中核心素养的每级水平进行赋值，在赋值时要考虑试题的区分度，还要体现每道题所蕴含的核心素养水平越高，其综合素养水平也越高，因此，给表1中每个核心素养的一、二、三级水平分别赋予1、3、7的分值。然后，参考刘清等人的综合素养水平计算公式，计算每道题的综合素养水平，综合素养水平计算公式定义为：。其中，d代表综合素养水平，dij代表核心素养i的第j级水平的赋值，ni代表蕴含核心素养i的题目个数，n代表题目总个数[4]。比如，一道大题中含有三个小问，第一、二小问都处在逻辑推理和数学运算的第一级水平，第三小问处在数学抽象的第二级水平、逻辑推理的第二级水平，以及数学运算的第一级水平。根据上面计算公式，得到这道试题的综合素养水平为：。
2.2 综合难度模型
试题的综合难度是指在正式测试之前由学科专家根据自身以往经验对试题进行综合评估得到的。
在量化试题的综合难度时，为了较好地反映出数学试题的难度水平以及概括出学生数学完整的活动过程，本文采用鲍建生教授的综合难度模型。此综合难度模型包含五个难度因素，每个难度因素下面细分了多种水平[5]。该模型如表2所示。
模型计算公式di=nij=n，i=1，2，…），其中，di（i=1，2，3，4，5）表示5个不同的维度，nij表示题目中处在第i个维度中的第j个水平的题目的个数，dij为第i个维度中的第j个水平的权重（依水平分别取1，2，3，…），n代表题目总个数。根据模型计算公式可得出每道题在五个难度因素量化后的取值[5]。比如一道综合题有两问，第一问无背景，数学认知方面属于理解层面，运算方面属于简单符号运算，推理方面是简单推理，含有两个知识点;第二问无背景，数学认知方面属于应用，运算方面属于简单符号运算，推理是复杂推理，含有两个知识点。则根据模型计算公式，这道题在五个难度因素上的取值依次为1，2.5，3，2.5，2。由此得出刻画试题综合难度的雷达图。
3 数学试题综合素养水平和综合难度分析
2020年高考全国卷Ⅰ理科数学试题中设有选择题、填空题、解答题，对答案中没有详细解答过程的题型，在水平划分时，要避免一些解题技巧，采用一般的解法进行划分[6]。全国卷Ⅰ中的第22、23题为选做题，本文对此不进行研究，排除这两道题，对试卷中的其他题目，按照数学关键能力评价指标框架给出的操作性定义，对试题进行核心素养水平划分。
3.1 高考试题综合素养水平具体分析
采用上文提到的核心素养量化方法，列出2020年高考全国卷Ⅰ理科数学试题关键能力双向细目表，并根据综合素养模型公式在表中列出每道题的综合素养水平（用d表示），如表3所示。
2020年高考全国卷Ⅰ理科数学试题总题量为21道。有3道题里面含有数学抽象，并集中在一、二级水平，在第三级水平没有分布;有15道题里面含有逻辑推理，在一、二、三级水平都有分布，主要集中在第一级水平，在第三级水平的题目分别是选择题的11题，解答题的19、20、21题的最后一问;有2道题里面含有数学建模，且都处于第一级水平;有15道题里面含有直观想象，在一、二、三级水平都有分布，主要集中在第一级水平，在第三级水平的题目填空题的第16题;有21道题里面含有数学运算，在第三级水平有20、21题的最后一问;有3道题里面含有数据分析，在第三级水平没有分布。
从横向观察，选择题第10题至第12题，填空题的第16题，以及解答题的18题至21题，“√”明显增多，由此可以发现这几个题所蕴含的数学核心素养的个数是比较多的，也就是综合素养水平比较高。
表3的最后一列代表每道题的综合素养水平，从数字看出，在选择题、填空题、解答题三个题型的各个部分分值是递增的。结合题目所处的位置，不难得出，高考压轴题的综合素养水平是比较高的。
总体来看，“√”大多分布在数学计算、逻辑推理和直观想象部分，也就是几乎每道高考题都蕴含着数学计算、直观想象和逻辑推理的数学核心素养，正如罗素所说：“数学是符号加逻辑”，而在分析高考题的过程中也发现，大多数的题目意在考察学生的符号运算及证明，由此可以看出高考试题非常注重对这三种数学核心素养的考查。 3.2 高考试题综合难度具体分析
采用鲍建生的综合难度模型，列出2020年高考全国卷Ⅰ理科数学试题综合难度双向细目表，并在表中用各维度和的形式列出每道题的总难度系数（用f表示），如表4所示。
2020年高考全国卷Ⅰ理科数学试题总题量为21道。在“数学认知”维度，“识记”层面的有2道，“理解”层面的有7道，“应用”层面的有8道，“探究”层面的有4道，大部分题目集中在“探究”层面。考查学生在实践的情境中转化和应用知识的能力。
在“背景”维度，“无背景”层面的有18道，“个人生活”层面的有2个，“科学情境”层面的有1个，大部分题目没有问题背景，直接考察学生对于知识点的掌握和运用情况。
在“运算”维度，“无运算”层面的有1道，“数值运算”层面的有2个，“简单符号运算”层面有13个，“复杂符号运算”层面的有1个。题目大部分集中在“符号运算”层面。而且在分析试题中也发现，大多数的计算，更加偏重于符号的运算，单纯考查学生纯数值计算的题目很少。
在“推理”维度，“无推理”层面的有3个，“简单推理”层面的有11个，“复杂推理”层面的有3个。大部分题目中含有简单推理，也就是要求学生能够在思考之后，选择合适的知识和方法，进行作答。
在“知识含量”维度，“一个知识点”层面的有6个，“两个知识点”层面的有7个，“多个知识点”层面的有6个。大部分题目都注重两个或两个以上知识点的考查，也就是考查多个知识点相互融合的题目。
从横向观察，可以看出本卷中有几个难度系数较高的题目，分别是选择题的第12、13题，填空题的16题，和解答题的20、21题。这些题都在各类题型的最后两道，这与表3中综合素养水平的呈现趋势是一样的。
3.3 2020年全国卷Ⅰ综合素养水平和试题综合难度对比分析
为了更加直观地分析本卷综合素养水平和综合难度系数之间的关系，下面绘制关于综合素养水平和综合难度系数的折线图。以题号作为横坐标，以每道题的综合素养水平和其对应的综合难度系数作为纵坐标。
从图2中可以看出，两条曲线的走势大致相同，两者出现的峰值位置和低谷位置也大致相同，异常点仅出现在第5、13题，这说明一道题的综合难度系数和它的综合素养水平有很大关系。从图中还可以发现，高峰值出现在选择题的后两道、填空题的后两道以及解答题的后两道，也就是我们所说的“压轴题”的位置，由此说明高考题的设置遵循先易后难的顺序，这有利于广大考生合理的安排自己的做题时间和顺序，合理的运用自己的答题策略，以便获取更加理想的分数。
4 结论和建议
4.1 结论
通过本文分析，可以得出，在高考卷中，一道試题的综合素养水平和综合难度系数有密切联系，即一道试题的综合素养水平和综合难度系数呈正比关系，两者互相影响。并且，高考卷中的压轴题一般都在各类题型（选择题、填空题、解答题）的后两道，压轴题的综合素养水平和难度系数都是最高的，这与我们传统的想法相一致。
4.2 建议
4.2.1 设置试题“背景”
在分析试题难度时，“背景”这一维度引起了我们的关注，只有三个题设置了题目背景，即第3题以考生熟知的金字塔为背景设置问题，解答题第18题设置了圆锥背景，第19题以熟悉的羽毛球比赛为背景设置了相对容易的概率问题。其他试题没有任何实际背景，单纯考查高中一些主要知识点。
在高考命题时，除了一些“个人生活”“公共常识”，还可以多设置一些“科学情境”类的背景，但是，要注意在试题中不要盲目地加入背景，要注意加入的背景和题目的有机联系，不要因为有背景的加入而使得问题空洞，让学生产生厌烦的情绪。
4.2.2 均衡考查六大核心素养
在分析高考试题时，发现试题中仍然有一些不合理的地方。试题中蕴含关于数学运算、逻辑推理、数学建模、直观想象的题目数量居多，而含有数据分析和数学抽象的题目却很少，这样的命题会使学生自身发展不均衡，不利于培养学生的综合能力。
核心素养是学生经过知识的学习之后所能剩下来、带得走、可再生的东西[9]。高考不应该只成为选拔人才的工具，还应有提高全民数学核心素养的目的。在命制试题时，注意相对均衡地考查学生的核心素养水平，切莫只关注分数的高低。
4.2.3 把控试卷难度
从试题分析可知，试卷整体难度比较大，要平衡试卷的整体难度，又不影响压轴题的区分度，就要在试卷的其他试题下手，降低难度，可以通过改变其他试题的综合素养水平，来达到降低难度的目的，主要的方法有：降低其他试题所考查的核心素养个数及核心素养水平的等级;提高压轴题所考查的核心素养个数以及提高每个核心素养的等级水平。
4.2.4 完善核心素养的测评体系
本文在对试题所蕴含的数学核心素养进行量化时，采用的是喻平的数学关键能力评价框架，在此框架中对六个数学核心素养进行了知识理解、知识迁移、知识创新的三级水平划分，这三个水平要求依次提高，由此发现框架本身可能受难度因素的些许影响。若要刨除这部分影响，进一步对结论进行验证，还需对核心素养的测评体系进行完善，从而能更有效地使核心素养不断融入高考试题。
参考文献：
〔1〕雷新勇.大规模教育考试科学属性之理论和实践思考[J].教育与考试，2007，24（01）：31-37.
〔2〕喻平.数学核心素养评价的一个框架[J].数学教育学报，2017，26（02）：19-23+59.
〔3〕喻平.基于核心素养的高中数学课程目标与学业评价[J].课程·教材·教法，2018，38（01）：80-85.
〔4〕刘清，胡典顺，张莘钿.核心素养视角下的高考试题难度探析——以2019年高考数学全国卷（理科）为例[J].数学通报，2020，59（12）：34-40.
〔5〕鲍建生.中英两国初中数学期望课程综合难度的比较[J].全球教育展望，2002，31（09）：48-52.
〔6〕薛欢，杜剑南，路江江.2016—2020年高考数学（理科）全国卷“统计与概率”试题探析——基于综合难度模型[J].教育测量与评价，2020，13（12）：30-40.