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在历年高考中，证明方法是常考内容，考查的主要方式是对其原理的理解和用法，难度多为中、高档题. 从考查的形式上看，主要以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程、数列等知识为载体，考查综合法、分析法和反证法等方法. 下面举例说明，供同学们参考.
综合法
高考的热点问题，也是必考问题之一. 通常在解答题中某一问出现，一般为中、高档题，高考对综合法的考查常有以下三个命题角度：（1）三角函数、数列证明题；（2）几何证明题；（3）与函数、方程、不等式结合的证明题.
例1 （1）设数列[{an}]的各项都为正数，其前[n]项和为[Sn]，已知对任意[n∈N*，][Sn]是[a2n]和[an]的等差中项.
①证明数列[{an}]为等差数列，并求数列[{an}]的通项公式；
②证明：[1S1+1S2+…+1Sn<2].
（2）设[f（x）=lnx+x-1，]证明：当[x>1]时，[f（x）<][32（x-1）.]
解析 （1）①由已知得，[2Sn=a2n+an，]且[an>0.]
当[n=1]时，[2a1=a21+a1，]解得[a1=1][（a1=0舍去）.]
当[n≥2]时，有[2Sn-1=a2n-1+an-1.]
于是[2Sn-2Sn-1=a2n-a2n-1+an-an-1，]
即[2an=a2n-a2n-1+an-an-1].
于是[a2n-a2n-1=an+an-1，]
即[（an+an-1）（an-an-1）=an+an-1.]
因为[an+an-1>0，]所以[an-an-1=1（n≥2）.]
故数列[{an}]是首项为1，公差为1的等差数列，
所以数列[{an}]的通项公式为[an=n.]
②证明：因为[an=n，]所以[Sn=n（n+1）2，]
则[1Sn=2n（n+1）=21n-1n+1，]
所以[1S1+1S2+…+1Sn]
[=21-12+12-13+…+1n-1n+1]
[=21-1n+1<2].
（2）证明：法一：记[g（x）=lnx+x-1-32（x-1），]
则当[x>1]时，[g（x）=1x+12x-32<0].
又[g（1）=0，]所以[g（x）<0，]即[f（x）<32（x-1）.]
法二：由均值不等式知，当[x>1]时，[2x 故[x 令[k（x）=ln x-x+1，]则[k（1）=0，k（x）=1x-1<0，]
故[k（x）<0，]即[ln x 由①②得，当[x>1]时，[f（x）<32（x-1）].
点拨 （1）综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性. 用综合法证明时的逻辑关系是：[A?B1?B2?…?Bn?B]（[A]为已知条件或数学定义、定理、公理，[B]为要证结论），它的常见书面表达是“∵，∴”或“?”；（2）利用综合法证不等式时，是以基本不等式为基础，以不等式的性质为依据，进行推理论证的.因此，关键是找到与要证结论相匹配的基本不等式及其不等式的性质.
分析法
分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，逆向分析，寻找结论成立的充分条件.应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件.
例2 分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设[a>b>c，]且[a+b+c=0，]求证：[b2-ac<3a]”索的因应是（ ）
A. [a-b>0] B. [a-c>0]
C. [（a-b）（a-c）>0] D. [（a-b）（a-c）<0]
解析 [b2-ac<3a?b2-ac<3a2，]
[?（a+c）2-ac<3a2?a2+2ac+c2-ac-3a2<0，]
[?-2a2+ac+c2<0?2a2-ac-c2>0，]
[?（a-c）（2a+c）>0?（a-c）（a-b）>0].
答案 C
例3 已知[n≥0，]试用分析法证明：[n+2-n+1][ 证明 要证原不等式成立，需证[n+2+n<2n+1，]
只需证[（n+2+n）2<（2n+1）2]，只需证[n+1>][n2+2n]，
只需证[（n+1）2>n2+2n，]即[n2+2n+1>n2+2n，]
只需证[1>0，]显然成立，
所以原不等式成立.
点拨 当要证的不等式较复杂、两端差异难以消除或者已知条件信息量太少、已知与待证间的联系不明显时，一般可采用分析法. 分析法解决问题的关键：逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找结论成立的充分条件，注意把握转化方向.
反证法
反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立. 反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是[A]，或者是非[A]，即在同一讨论过程中，[A]和非[A]有且仅有一个是正确的，不能有第三种情况出现.
例4 用反证法证明命题：“设[a，b]为实数，则方程[x3+ax+b=0]至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）
A. 方程[x3+ax+b=0]没有实根
B. 方程[x3+ax+b=0]至多有一个实根 C. 方程[x3+ax+b=0]至多有两个实根
D. 方程[x3+ax+b=0]恰好有两个实根
解析 依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定. 方程[x3+ax+b=0]至少有一个实根的反面是方程[x3+ax+b=0]没有实根.
答案 A
例5 设[a，b]是两个实数，给出下列条件：①[a+b>1；]②[a+b=2；]③[a+b>2；]④[a2+b2>2；]⑤[ab>1].其中能推出：“[a，b]中至少有一个大于1”的条件是 .（填序号）
解析 若[a=12，b=23，]则[a+b>1，]但[a<1，b<1，]故①推不出；
若[a=b=1，]则[a+b=2，]故②推不出；
若[a=-2，b=-3，]则[a2+b2>2，]故④推不出；
若[a=-2，b=-3，]则[ab>1，]故⑤推不出；
对于③，即[a+b>2，]则[a，b]中至少有一个大于1，
反证法：假设[a≤1]且[b≤1，]则[a+b≤2]与[a+b>2]矛盾，因此假设不成立，故[a，b]中至少有一个大于1.
答案 ③
点拨 否定性命题，惟一性命题，至多、至少型命题，或直接从正面入手难以寻觅解题突破口的问题，宜考虑采用反证法. 注意：推导出的矛盾可能多种多样，但必须是明显的. 有的与已知条件矛盾，有的与已有公理、定理、定义矛盾，有的与假设矛盾等.
练 习
1. 已知数列[{An}：a1，a2，…，an.]如果数列[{Bn}：b1，][b2，…，bn]满足[b1=an，][bk=ak-1+ak-bk-1，]其中[k=2，3，…，n，]则称[{Bn}]为[{An}]的“衍生数列”.
（1）写出数列[{A4}：2，1，4，5]的“衍生数列”[{B4}].
（2）若[n]为偶数，且[{An}]的“衍生数列”是[{Bn}，]证明：[bn=a1].
（3）若[n]为奇数，且[{An}]的“衍生数列”是[{Bn}，][{Bn}，]的“衍生数列”是[{Cn}，]…，依次将数列[{An}，{Bn}，{Cn}，…]首项取出，构成数列[{Ω}：a1，b1，c1，…，]证明：[{Ω}]是等差数列.
2. （1）如果[a，b]都是正数，且[a≠b，]求证：[a6+b6>a4b2+a2b4.]
（2）设[a，b，c]为[△ABC]的三条边，求证：[（a+b+c）2][<4（ab+bc+ca）.]
综合法
高考的热点问题，也是必考问题之一. 通常在解答题中某一问出现，一般为中、高档题，高考对综合法的考查常有以下三个命题角度：（1）三角函数、数列证明题；（2）几何证明题；（3）与函数、方程、不等式结合的证明题.
例1 （1）设数列[{an}]的各项都为正数，其前[n]项和为[Sn]，已知对任意[n∈N*，][Sn]是[a2n]和[an]的等差中项.
①证明数列[{an}]为等差数列，并求数列[{an}]的通项公式；
②证明：[1S1+1S2+…+1Sn<2].
（2）设[f（x）=lnx+x-1，]证明：当[x>1]时，[f（x）<][32（x-1）.]
解析 （1）①由已知得，[2Sn=a2n+an，]且[an>0.]
当[n=1]时，[2a1=a21+a1，]解得[a1=1][（a1=0舍去）.]
当[n≥2]时，有[2Sn-1=a2n-1+an-1.]
于是[2Sn-2Sn-1=a2n-a2n-1+an-an-1，]
即[2an=a2n-a2n-1+an-an-1].
于是[a2n-a2n-1=an+an-1，]
即[（an+an-1）（an-an-1）=an+an-1.]
因为[an+an-1>0，]所以[an-an-1=1（n≥2）.]
故数列[{an}]是首项为1，公差为1的等差数列，
所以数列[{an}]的通项公式为[an=n.]
②证明：因为[an=n，]所以[Sn=n（n+1）2，]
则[1Sn=2n（n+1）=21n-1n+1，]
所以[1S1+1S2+…+1Sn]
[=21-12+12-13+…+1n-1n+1]
[=21-1n+1<2].
（2）证明：法一：记[g（x）=lnx+x-1-32（x-1），]
则当[x>1]时，[g（x）=1x+12x-32<0].
又[g（1）=0，]所以[g（x）<0，]即[f（x）<32（x-1）.]
法二：由均值不等式知，当[x>1]时，[2x
故[k（x）<0，]即[ln x
点拨 （1）综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性. 用综合法证明时的逻辑关系是：[A?B1?B2?…?Bn?B]（[A]为已知条件或数学定义、定理、公理，[B]为要证结论），它的常见书面表达是“∵，∴”或“?”；（2）利用综合法证不等式时，是以基本不等式为基础，以不等式的性质为依据，进行推理论证的.因此，关键是找到与要证结论相匹配的基本不等式及其不等式的性质.
分析法
分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，逆向分析，寻找结论成立的充分条件.应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件.
例2 分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设[a>b>c，]且[a+b+c=0，]求证：[b2-ac<3a]”索的因应是（ ）
A. [a-b>0] B. [a-c>0]
C. [（a-b）（a-c）>0] D. [（a-b）（a-c）<0]
解析 [b2-ac<3a?b2-ac<3a2，]
[?（a+c）2-ac<3a2?a2+2ac+c2-ac-3a2<0，]
[?-2a2+ac+c2<0?2a2-ac-c2>0，]
[?（a-c）（2a+c）>0?（a-c）（a-b）>0].
答案 C
例3 已知[n≥0，]试用分析法证明：[n+2-n+1][
只需证[（n+2+n）2<（2n+1）2]，只需证[n+1>][n2+2n]，
只需证[（n+1）2>n2+2n，]即[n2+2n+1>n2+2n，]
只需证[1>0，]显然成立，
所以原不等式成立.
点拨 当要证的不等式较复杂、两端差异难以消除或者已知条件信息量太少、已知与待证间的联系不明显时，一般可采用分析法. 分析法解决问题的关键：逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找结论成立的充分条件，注意把握转化方向.
反证法
反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立. 反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是[A]，或者是非[A]，即在同一讨论过程中，[A]和非[A]有且仅有一个是正确的，不能有第三种情况出现.
例4 用反证法证明命题：“设[a，b]为实数，则方程[x3+ax+b=0]至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）
A. 方程[x3+ax+b=0]没有实根
B. 方程[x3+ax+b=0]至多有一个实根 C. 方程[x3+ax+b=0]至多有两个实根
D. 方程[x3+ax+b=0]恰好有两个实根
解析 依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定. 方程[x3+ax+b=0]至少有一个实根的反面是方程[x3+ax+b=0]没有实根.
答案 A
例5 设[a，b]是两个实数，给出下列条件：①[a+b>1；]②[a+b=2；]③[a+b>2；]④[a2+b2>2；]⑤[ab>1].其中能推出：“[a，b]中至少有一个大于1”的条件是 .（填序号）
解析 若[a=12，b=23，]则[a+b>1，]但[a<1，b<1，]故①推不出；
若[a=b=1，]则[a+b=2，]故②推不出；
若[a=-2，b=-3，]则[a2+b2>2，]故④推不出；
若[a=-2，b=-3，]则[ab>1，]故⑤推不出；
对于③，即[a+b>2，]则[a，b]中至少有一个大于1，
反证法：假设[a≤1]且[b≤1，]则[a+b≤2]与[a+b>2]矛盾，因此假设不成立，故[a，b]中至少有一个大于1.
答案 ③
点拨 否定性命题，惟一性命题，至多、至少型命题，或直接从正面入手难以寻觅解题突破口的问题，宜考虑采用反证法. 注意：推导出的矛盾可能多种多样，但必须是明显的. 有的与已知条件矛盾，有的与已有公理、定理、定义矛盾，有的与假设矛盾等.
练 习
1. 已知数列[{An}：a1，a2，…，an.]如果数列[{Bn}：b1，][b2，…，bn]满足[b1=an，][bk=ak-1+ak-bk-1，]其中[k=2，3，…，n，]则称[{Bn}]为[{An}]的“衍生数列”.
（1）写出数列[{A4}：2，1，4，5]的“衍生数列”[{B4}].
（2）若[n]为偶数，且[{An}]的“衍生数列”是[{Bn}，]证明：[bn=a1].
（3）若[n]为奇数，且[{An}]的“衍生数列”是[{Bn}，][{Bn}，]的“衍生数列”是[{Cn}，]…，依次将数列[{An}，{Bn}，{Cn}，…]首项取出，构成数列[{Ω}：a1，b1，c1，…，]证明：[{Ω}]是等差数列.
2. （1）如果[a，b]都是正数，且[a≠b，]求证：[a6+b6>a4b2+a2b4.]
（2）设[a，b，c]为[△ABC]的三条边，求证：[（a+b+c）2][<4（ab+bc+ca）.]