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例1 （2017·无锡）已知，如图1，平行四边形ABCD中，E是BC边的中点，连DE并延长交AB的延长线于点F，求证：AB=BF.
【来源分析】本题与苏科版《数学》八（下）第72页第3道習题的图形翻折变换后很相近.
【解题思路】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是寻找三角形全等的条件.根据平行四边形的性质得到CD=AB，CD∥AB，从而将问题转化为证明BF=CD，BF、CD分别在△FEB和△DEC中，从而通过证明△DEC≌△FEB得到结论.
【解答过程】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，A、B、F共线，
∴CD∥AF，CD=AB，∴∠CDE=∠BFE，
又∵E是BC的中点，∴EB=EC.
在△DEC和△FEB中，
[∠CDE=∠BFE，∠DEC=∠FEB，EC=EB，]
∴△DEC≌△FEB（AAS），∴BF=CD，
又∵CD=AB，∴AB=BF.
【方法归纳】平行线与线段中点的条件组合，可以得到“8字”全等三角形基本图形.
例2 （2017·南京）如图2，在?ABCD中，点E，F分别在AD、BC上，且AE=CF，EF、BD相交于点O.求证：OE=OF.
【来源分析】本题源自苏科版《数学》八（下）第72页第6道习题的变式.
【解题思路】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定.解题的关键是结合已知寻找出三角形全等的条件.本题解答时可以先利用平行四边形的性质得到DE=BF，∠ADB=∠CBD，进而可证明△DOE与△BOF全等，即可得到OE=OF.
【解答过程一】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=CB，∴∠EDO=∠FBO，
又∵AE=CF，
∴AD-AE=CB-CF，即DE=BF，
在△DOE和△BOF中，
[∠EDO=∠FBO，∠DOE=∠BOF，DE=BF，]
∴△DOE≌△BOF（AAS），
∴OE=OF.
【一题多解】本题也可以运用平行四边形的性质与判定，证明出四边形BEDF是平行四边形，再运用平行四边形的对角线互相平分这一性质，即可证得OE=OF.
【解答过程二】证明：如图3，连接BE，DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵AE=CF，∴DE=BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴OE=OF.
例3 （2017·兰州）如图4，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.
（1）求证：△BDF是等腰三角形.
（2）如图5，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.
①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；
②若AB=6，AD=8，求FG的长.
图4 图5
【来源分析】本题与苏科版《数学》八（下）第95页第21题的变式相近.
【解题思路】本题综合考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、勾股定理，解题的关键是利用（1）及（2）①的结论作跳板，解决（2）②.（1）根据平行线得到内错角相等及根据折叠的性质判断；（2）①根据两组对边分别平行证平行四边形，然后利用第一问证得邻边相等判断；②根据矩形性质求BD的长，根据BF=DF利用勾股定理列方程求BF，然后利用勾股定理求FO，最后利用菱形性质得FG的长.
【解答过程】（1）证明：由折叠得，
△BDC≌△BDE，∴∠DBC=∠DBE.
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∴∠DBC=∠FDB，
∴∠DBE=∠FDB，∴DF=BF，
∴△BDF是等腰三角形.
（2）①四边形BFDG是菱形.理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，∴FD∥BG.
∵DG∥BE，
∴四边形BFDG是平行四边形.
∵DF=BF，∴?BFDG是菱形.
②解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°.
∴BD=[AB2 AD2]=[62 82]=10.
∵四边形BFDG是菱形，
∴GF⊥BD，FG=2OF，OB=OD=[12]BD=5.
设DF=BF=x，则AF=AD-DF=8-x，
在Rt△ABF中，AB2 AF2=BF2，
即62 （8-x）2=x2，
解得x=[254]，∴FB=[254].
在Rt△FOB中，
FO=[BF2-OB2]=[2542-52]=[154]，
∴FG=2FO=[152].
【方法归纳】一般在特殊四边形或者特殊三角形的折叠问题中求线段长度时，通常将所给条件转化，最终集中到一个直角三角形中，利用勾股定理建立方程求解.
例4 （2017·河北）如图6，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离，于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使AM=AC，BN=BC，测得MN=200m，则A，B之间的距离为 m.
【来源分析】本题与苏科版《数学》八（下）第87页练习题第2题的变式类似.
【解题思路】本题考查了三角形的中位线的应用，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理.由实际问题转化为数学问题可知，在△MNC中，点A，B分别是CM，CN的中点，由三角形的中位线定义知，AB是△MNC的中位线，进而可求出AB的长.
【解答过程】解：∵AM=AC，BN=BC，
∴AB=[12]MN.
又∵MN=200，∴AB=100.
【方法归纳】三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.在三角形中已知一边的中点，一般情况下可以寻找另外一边的中点，构成中位线解题.
（作者单位：扬州大学附属中学东部分校）
【来源分析】本题与苏科版《数学》八（下）第72页第3道習题的图形翻折变换后很相近.
【解题思路】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是寻找三角形全等的条件.根据平行四边形的性质得到CD=AB，CD∥AB，从而将问题转化为证明BF=CD，BF、CD分别在△FEB和△DEC中，从而通过证明△DEC≌△FEB得到结论.
【解答过程】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，A、B、F共线，
∴CD∥AF，CD=AB，∴∠CDE=∠BFE，
又∵E是BC的中点，∴EB=EC.
在△DEC和△FEB中，
[∠CDE=∠BFE，∠DEC=∠FEB，EC=EB，]
∴△DEC≌△FEB（AAS），∴BF=CD，
又∵CD=AB，∴AB=BF.
【方法归纳】平行线与线段中点的条件组合，可以得到“8字”全等三角形基本图形.
例2 （2017·南京）如图2，在?ABCD中，点E，F分别在AD、BC上，且AE=CF，EF、BD相交于点O.求证：OE=OF.
【来源分析】本题源自苏科版《数学》八（下）第72页第6道习题的变式.
【解题思路】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定.解题的关键是结合已知寻找出三角形全等的条件.本题解答时可以先利用平行四边形的性质得到DE=BF，∠ADB=∠CBD，进而可证明△DOE与△BOF全等，即可得到OE=OF.
【解答过程一】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=CB，∴∠EDO=∠FBO，
又∵AE=CF，
∴AD-AE=CB-CF，即DE=BF，
在△DOE和△BOF中，
[∠EDO=∠FBO，∠DOE=∠BOF，DE=BF，]
∴△DOE≌△BOF（AAS），
∴OE=OF.
【一题多解】本题也可以运用平行四边形的性质与判定，证明出四边形BEDF是平行四边形，再运用平行四边形的对角线互相平分这一性质，即可证得OE=OF.
【解答过程二】证明：如图3，连接BE，DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵AE=CF，∴DE=BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴OE=OF.
例3 （2017·兰州）如图4，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.
（1）求证：△BDF是等腰三角形.
（2）如图5，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.
①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；
②若AB=6，AD=8，求FG的长.
图4 图5
【来源分析】本题与苏科版《数学》八（下）第95页第21题的变式相近.
【解题思路】本题综合考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、勾股定理，解题的关键是利用（1）及（2）①的结论作跳板，解决（2）②.（1）根据平行线得到内错角相等及根据折叠的性质判断；（2）①根据两组对边分别平行证平行四边形，然后利用第一问证得邻边相等判断；②根据矩形性质求BD的长，根据BF=DF利用勾股定理列方程求BF，然后利用勾股定理求FO，最后利用菱形性质得FG的长.
【解答过程】（1）证明：由折叠得，
△BDC≌△BDE，∴∠DBC=∠DBE.
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∴∠DBC=∠FDB，
∴∠DBE=∠FDB，∴DF=BF，
∴△BDF是等腰三角形.
（2）①四边形BFDG是菱形.理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，∴FD∥BG.
∵DG∥BE，
∴四边形BFDG是平行四边形.
∵DF=BF，∴?BFDG是菱形.
②解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°.
∴BD=[AB2 AD2]=[62 82]=10.
∵四边形BFDG是菱形，
∴GF⊥BD，FG=2OF，OB=OD=[12]BD=5.
设DF=BF=x，则AF=AD-DF=8-x，
在Rt△ABF中，AB2 AF2=BF2，
即62 （8-x）2=x2，
解得x=[254]，∴FB=[254].
在Rt△FOB中，
FO=[BF2-OB2]=[2542-52]=[154]，
∴FG=2FO=[152].
【方法归纳】一般在特殊四边形或者特殊三角形的折叠问题中求线段长度时，通常将所给条件转化，最终集中到一个直角三角形中，利用勾股定理建立方程求解.
例4 （2017·河北）如图6，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离，于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使AM=AC，BN=BC，测得MN=200m，则A，B之间的距离为 m.
【来源分析】本题与苏科版《数学》八（下）第87页练习题第2题的变式类似.
【解题思路】本题考查了三角形的中位线的应用，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理.由实际问题转化为数学问题可知，在△MNC中，点A，B分别是CM，CN的中点，由三角形的中位线定义知，AB是△MNC的中位线，进而可求出AB的长.
【解答过程】解：∵AM=AC，BN=BC，
∴AB=[12]MN.
又∵MN=200，∴AB=100.
【方法归纳】三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.在三角形中已知一边的中点，一般情况下可以寻找另外一边的中点，构成中位线解题.
（作者单位：扬州大学附属中学东部分校）