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【摘 要】类比是一种重要的思想，以线段中点和角平分线的计算题为载体，找出解题方法背后的数学思想，探索方法背后的实质，以期达到提高思维水平和发展学生的学习能力。
【关键词】类比；线段中点；角平分线
【中图分类号】G634.6 【文献标识码】A
【文章编号】2095-3089（2019）02-0295-01
著名数学家乔治﹒波利亚曾说过：“类比是一个伟大的引路人”；“类比可在不同水平使用。”[1]很多教师从线段和角的习题入手，概括出很多相类似的结论。笔者在线段中点和角平分线的计算中，通过研究背后所蕴含的数学思想，重新梳理两者之间的相似之处。
一、类比计算
例题1：线段AB上有任意点C，M、N分别是AC、BC的中点。AB=14 cm，求MN。
类比1：直线AB上任意一点O作射线OC，OE和OF分别是∠AOC和∠BOC的平分线，求∠EOF。
思想方法一：整体法思想
求MN的长，最常见的思路是求出MC、NC，然后相加；或者求出AM和NB，然后用AB减去即可。但是这两种思路，都不能得出所求线段的长度，那如何解答呢？
此题是不可能求出各个分线段的长度的，可以考虑从整体上把握，通过转化，将未知的部分线段转化为已知的整体线段，从而达到求解的目的。为了体现类比的思想，在角平分线的习题中介绍第二种思想方法。
思想方法二：方程思想
要求解∠EOF，在类比例题1时，学生提出了一个新问题。为何不可以写∠EOF=∠EOA+∠FOB？作为教师，可以告诉他这样做不出来，所以这种方法不可取，但是并没有从根本上解决疑惑。所以介绍方程思想，来解答学生疑惑。
思路方法三：特殊值法
根据已知条件求解线段的长度或者角的度数，从本质上来讲，都是求解定值的过程。所以目标线段的长度或者目标角度结果总是一个常数。如果将题型设计成填空题，不需要详细的解题过程，可以选用特殊值法来进行解题。如第一题中，取AM=4，则可以得到MC=4，CN=3，NB=3，可以直接得到答案是7。为了验证结果是否正确，可以再取一组特殊值，也可以得到答案是7。因为结果是定值，所以只要满足AB的总长度等于14，求解出的结果都是7。在求解目标角度时，也可以类比此方法。而且特殊值法从根本上来讲是一个从一般到特殊的过程，在解答题求解步骤中即使不可以直接使用，也可以借助于特殊值法来进行验算。
二、类比推理
例题2：线段AB，O是AB的中点，P为线段AO上一点，BP比AP长6厘米，求OP。
类比2：OB是∠AOD的平分线，OC是∠DOB内的一条射线，∠AOC比∠COD大14°，求∠BOC。
在课堂教学中，很多学生认为BP比AP多一个OP，直接得OP=6cm。受限于缜密的逻辑思维尚未完全形成，所以学生很难真正理解BP应该比AP多两个OP这一正确结论，那借助于什么方法帮助学生来理解呢？利用字母代数，可以方便学生进行推理，让学生可以明晰不同线段、不同角度之间的关系，可以让学生在推理的过程中少了许多不同量之间的转化关系，提高学生的理解水平。
对于点与线段的位置关系，点C可以在线段AB上或在线段AB的延长线上。类比到角中，射线OC也可以在角的内部，也可以在角的外部[3]。对于不同的情况，要进行分类讨论。如何涵盖所有可能性的情况而不遗漏？选择合适的分类维度是首先要考虑的问题。
思想方法：数形结合+分类讨论
在例题3中，确定点C的位置的时候，若说点C可以位于线段AB上，也可以位于AB的延长线上，有学生就提出一个疑问，为什么点C不可以位于线段AB的反向延长线上，那么分类讨论的情况应该有三种。
在老师看来，一个很简单的问题，其实学生在认识的时候还是存在偏差的。在教学中引导学生自己作图，发现点C不可能位于AB的反向延长线上。追问何时点C位于AB的反向延长线上，发现只有BC大于AB时才能成立。经过这一过程，学生加深了对于分类讨论的理解。在类比3角平分线的习题中，射线OC的分类标准是以OB为起始边，按照顺时针方向旋转还是按照逆时针方向旋转的问题，射线OC可以出现在角的内部或外部（当∠BOC比∠AOB来的小），或者都出现在角的外部（当∠BOC比∠AOB来的大）。所以学生的画图就显得必不可少。
現代建构主义的理论认为，学生建构出的知识可能和老师讲解的大相径庭，所以让学生多动手操作，多注意学生的新想法，敏锐地抓住其中的教育契机。通过师生对话生成问题，学生学习的有效性会明显不同。
参考文献
[1][美]乔治波利亚.数学与猜想（一、二卷）[M].李心灿，王日爽，李志尧译.北京：科学出版社，1984.
[2]覃玉梅.角与线段的类比[J].初中数学教育学，2011，2（19）：39-41.
[3]赵国瑞.用类比的方法学习线段和角[J].初中辅导数学，2015，11：44-48.
【关键词】类比；线段中点；角平分线
【中图分类号】G634.6 【文献标识码】A
【文章编号】2095-3089（2019）02-0295-01
著名数学家乔治﹒波利亚曾说过：“类比是一个伟大的引路人”；“类比可在不同水平使用。”[1]很多教师从线段和角的习题入手，概括出很多相类似的结论。笔者在线段中点和角平分线的计算中，通过研究背后所蕴含的数学思想，重新梳理两者之间的相似之处。
一、类比计算
例题1：线段AB上有任意点C，M、N分别是AC、BC的中点。AB=14 cm，求MN。
类比1：直线AB上任意一点O作射线OC，OE和OF分别是∠AOC和∠BOC的平分线，求∠EOF。
思想方法一：整体法思想
求MN的长，最常见的思路是求出MC、NC，然后相加；或者求出AM和NB，然后用AB减去即可。但是这两种思路，都不能得出所求线段的长度，那如何解答呢？
此题是不可能求出各个分线段的长度的，可以考虑从整体上把握，通过转化，将未知的部分线段转化为已知的整体线段，从而达到求解的目的。为了体现类比的思想，在角平分线的习题中介绍第二种思想方法。
思想方法二：方程思想
要求解∠EOF，在类比例题1时，学生提出了一个新问题。为何不可以写∠EOF=∠EOA+∠FOB？作为教师，可以告诉他这样做不出来，所以这种方法不可取，但是并没有从根本上解决疑惑。所以介绍方程思想，来解答学生疑惑。
思路方法三：特殊值法
根据已知条件求解线段的长度或者角的度数，从本质上来讲，都是求解定值的过程。所以目标线段的长度或者目标角度结果总是一个常数。如果将题型设计成填空题，不需要详细的解题过程，可以选用特殊值法来进行解题。如第一题中，取AM=4，则可以得到MC=4，CN=3，NB=3，可以直接得到答案是7。为了验证结果是否正确，可以再取一组特殊值，也可以得到答案是7。因为结果是定值，所以只要满足AB的总长度等于14，求解出的结果都是7。在求解目标角度时，也可以类比此方法。而且特殊值法从根本上来讲是一个从一般到特殊的过程，在解答题求解步骤中即使不可以直接使用，也可以借助于特殊值法来进行验算。
二、类比推理
例题2：线段AB，O是AB的中点，P为线段AO上一点，BP比AP长6厘米，求OP。
类比2：OB是∠AOD的平分线，OC是∠DOB内的一条射线，∠AOC比∠COD大14°，求∠BOC。
在课堂教学中，很多学生认为BP比AP多一个OP，直接得OP=6cm。受限于缜密的逻辑思维尚未完全形成，所以学生很难真正理解BP应该比AP多两个OP这一正确结论，那借助于什么方法帮助学生来理解呢？利用字母代数，可以方便学生进行推理，让学生可以明晰不同线段、不同角度之间的关系，可以让学生在推理的过程中少了许多不同量之间的转化关系，提高学生的理解水平。
对于点与线段的位置关系，点C可以在线段AB上或在线段AB的延长线上。类比到角中，射线OC也可以在角的内部，也可以在角的外部[3]。对于不同的情况，要进行分类讨论。如何涵盖所有可能性的情况而不遗漏？选择合适的分类维度是首先要考虑的问题。
思想方法：数形结合+分类讨论
在例题3中，确定点C的位置的时候，若说点C可以位于线段AB上，也可以位于AB的延长线上，有学生就提出一个疑问，为什么点C不可以位于线段AB的反向延长线上，那么分类讨论的情况应该有三种。
在老师看来，一个很简单的问题，其实学生在认识的时候还是存在偏差的。在教学中引导学生自己作图，发现点C不可能位于AB的反向延长线上。追问何时点C位于AB的反向延长线上，发现只有BC大于AB时才能成立。经过这一过程，学生加深了对于分类讨论的理解。在类比3角平分线的习题中，射线OC的分类标准是以OB为起始边，按照顺时针方向旋转还是按照逆时针方向旋转的问题，射线OC可以出现在角的内部或外部（当∠BOC比∠AOB来的小），或者都出现在角的外部（当∠BOC比∠AOB来的大）。所以学生的画图就显得必不可少。
現代建构主义的理论认为，学生建构出的知识可能和老师讲解的大相径庭，所以让学生多动手操作，多注意学生的新想法，敏锐地抓住其中的教育契机。通过师生对话生成问题，学生学习的有效性会明显不同。
参考文献
[1][美]乔治波利亚.数学与猜想（一、二卷）[M].李心灿，王日爽，李志尧译.北京：科学出版社，1984.
[2]覃玉梅.角与线段的类比[J].初中数学教育学，2011，2（19）：39-41.
[3]赵国瑞.用类比的方法学习线段和角[J].初中辅导数学，2015，11：44-48.