论文部分内容阅读
摘 要 高中数学在高考中的重要性不言而喻，学好高中数学不仅需要扎实的基础知识，掌握好的解题方法对于学好数学能起到事倍功半的作用。高中数学的解题方法众多，而联想法作为其中最为简单易学的一种备受学生青睐，本文就针对联想法这种高中数学中应用最广的解题方法做一个系统的探讨，供大家参考。
关键词 高中学生 解题方法 联想法
一、引言
数学解题的本质就是寻找问题与答案之间的内在逻辑关系，解题的整个思维过程实际就是一系列联想推理的过程，所以有意识的运用联想法，符合数学解题过程的思维习惯。就具体数学解题而言，联想就是从一个问题想到另一个问题的心理活动，其实质上也就是把解决某特殊问题的原则方法等“移植”到相近的问题上面去，从而迅速地找到解题的方案。联想法又可分为化归联想法、构造联想法和类比联想法等，下面将结合具体事例一一介绍。
二、化归联想法
化归联想法的思想是将陌生的问题转化为熟悉的问题（例1、例2），复杂的问题转化为简单的问题（例3），抽象的问题转化为直观的问题（例4），从而使问题得到解决。以下举例说明：
例1：已知a、b、c是三角形的三边， 求证： 方程
b2x 2 + （ b2 + c2 - a2） x + c2 = 0 没有实数根。
解题思路： 此题从题设条件和形式来看， 是涉及几何与代数的综合题。就其实质而言， 它与二次方程、二次不等式、二次函数和二次曲线等都有联系。要证明的结论， 是以字母为系数的一元二次方程没有实数根。联想一元二次方程没有实数根的条件， 此题实际上是要证明一元二次方程根的判别式△= （ b2 + c2 - a2） 2 - 4b2c2 < 0 成立。由此又联想到因式分解， 将判别式分解成因式的连乘积， 再联想三角形三边之间的关系来判别连乘积的符号， 便得证命题。
例2：不等式2x-1>m（x2-1）对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立，则实数x 的取值范围是___________。
解析：本题等价关于m的不等式（x2-1）m-2x+1<0对|m|≤2恒成立，故只需转化为求f（m）=（x2-1）m-2x+1，m∈[-2，2]的最大值都比0小即可，由于f（m）是关于m的一次函数，所以只需f（-2）<0，同时f（2）<0即可。
例3：已知n为自然数，实数a>1，解关于x 的不等式：logax-4loga2x+121oga3xn（-2）n-1loganx >loga（x2-a）
思路分析：初看此题，表达式令人望而却步．其原因主要是对不等式左边的结构识别不清，因而不能进行有效的化简。为此，不妨考虑：
n=l时，不等式化为：logax>loga （x2 一a）；
n=2时，不等式化为：logax n=3时，不等式化为：logax 由此联想，运用换底公式，原不等式一定可化为：
logax >loga（x2-a）
从而只须讨论n为偶数，n为奇数两种情况即可解决此问题．
例4：设x>0，y>0，z >0 求证：
+ >
证明：注意到x>0，y>0，z>0，且，此式表示以x ，y为边，夹角为60。的三角形的第三边。同理，也有类似的意义．因此构造如下图所示的多面体O-ABC，
使∠AOB=∠BOC=∠COA =60。 。设OA=x ，OB=y，OC=z．则AB=，同理，BC=CA=
由在三角形ABC中有AB+BC>AC，即证得题设不等式成立．
三、构造联想法
所谓构造法联想法，就是利用已知条件和相关的数学关系式，在思维中构造出满足条件或结论的数学对象，即构造一个辅助问题。从而，使原问题中隐讳不清的关系和性质在这个“模型”上清楚的表现出来，并借助该辅助问題间接的解决原数学问题的方法。常用的构造联想法有构造数列联想法（例5）、构造方程联想法（例6）和构造函数联想法（例7）。以下举例说明：
例5：据报道，我国森林覆盖率逐年提高，现已达国土面积的14%，某林场去年底森林木材储存量为a立方米，若树林以每年25%的增长率生长，计划从今年起，每年冬天要砍伐的木材量为立方米，为了实现经过20年木材储存量翻两番的目标，问每年砍伐的木材量的最大值是多少？
解：设从今年起的每年年底木材储存量组成的数列为则
依次类推可归纳出
根据题意
利用可计算出代入得
即每年砍伐的木材量的最大值是去年储存量的
说明an本题通项也可以不通过类推得出，如用递推公式an+1
可得
这表明数列{an-4x}是以a1-4x为首项，以为公比的等比数列，那么
当在归纳的基础上作出合理猜想的同时，考虑问题的特征，寻找不同条件下的一般化处理方法，这一切应注意数学上的推理与变形.
例6：△ABC已知三内角A、B、C的大小成等差数列，且，求A、B、C的大小。
由题知，联想到，由A、B、C成等差数列，得，故。
∴tanA、tanC是方程的两根，得。当AC时，tanC=1，得
由根与系数的关系来构造一元二次方程是最常见的思路，不可忽视。
例7：（1）在实数范围内解
（2）解不等式
方程与不等式都是高次的，展开求解是不现实的。根据其自身特点，分别作适当的变形，然后构造函数，再利用函数的有关性质求解。
（1）原方程变形为。
设函数f（t）=t5+4t，上述方程即为f（x2-x+1）=f（x）。
由于f（t）在t∈R上是单调增函数，故若f（t1）=f（t2），则必有成立。因此x2-x+1=x，即，故原方程有唯一解x=1。
（2）设，x∈R，易证f（x）在区间[0，+∞]上为增函数。
，
∴f（x）为奇函数，从而f（x）在（-∞，+∞）区间上为增函数，
∴原不等式可化为，f（x）+f（x+1）>0即f（x+1）>-f（x）=f（-x），即。
四、类比联想法
根据命题的具体情况， 从具有与命题内容相近或相反特点的数、式和图形的对比联想起， 从而寻求解题方法。常用的类比联想法有概念类比联想法、方法类比联想法、结论类比联想法。
所谓概念类比联想法，就是类比某些熟悉的概念产生的类比推理型试题，在求解时可以借助原概念所涉及的基本方法与基本思路。举例说明（例8）：
例8：若实数x，y满足x2 一8x+5=0，y2一8y+5=0（x≠y）．求： 的值．
解题思路：若分别求解关于x、y的方程，再用代入求值的常规方法将不胜其繁．如联想到根的概念可知x，y是方程Z2一8z+5=0的两根．
解：由方程根的定义可知，x，y是方程Z2一8z+5=0的两根．
由韦达定理可，
得
则 =20.
所谓方法类比联想法，就是有一些处理问题的方法具有类比性，结合这些方法产生的问题，在求解时要注意知识的迁移。
五、结语
联想法作为高中数学解题方法中应用最普通的一种，还有其他许多巧妙用法，在此不一一列举。联想法帮助我们将一些较陌生的问题转化为熟悉的问题，或把常规解法转化为最佳解法，对于解题过程有很大帮助，当然，联想法的使用还必须结合本人的知识积累情况，按实际情况灵活运用，才能达到最佳效果。
关键词 高中学生 解题方法 联想法
一、引言
数学解题的本质就是寻找问题与答案之间的内在逻辑关系，解题的整个思维过程实际就是一系列联想推理的过程，所以有意识的运用联想法，符合数学解题过程的思维习惯。就具体数学解题而言，联想就是从一个问题想到另一个问题的心理活动，其实质上也就是把解决某特殊问题的原则方法等“移植”到相近的问题上面去，从而迅速地找到解题的方案。联想法又可分为化归联想法、构造联想法和类比联想法等，下面将结合具体事例一一介绍。
二、化归联想法
化归联想法的思想是将陌生的问题转化为熟悉的问题（例1、例2），复杂的问题转化为简单的问题（例3），抽象的问题转化为直观的问题（例4），从而使问题得到解决。以下举例说明：
例1：已知a、b、c是三角形的三边， 求证： 方程
b2x 2 + （ b2 + c2 - a2） x + c2 = 0 没有实数根。
解题思路： 此题从题设条件和形式来看， 是涉及几何与代数的综合题。就其实质而言， 它与二次方程、二次不等式、二次函数和二次曲线等都有联系。要证明的结论， 是以字母为系数的一元二次方程没有实数根。联想一元二次方程没有实数根的条件， 此题实际上是要证明一元二次方程根的判别式△= （ b2 + c2 - a2） 2 - 4b2c2 < 0 成立。由此又联想到因式分解， 将判别式分解成因式的连乘积， 再联想三角形三边之间的关系来判别连乘积的符号， 便得证命题。
例2：不等式2x-1>m（x2-1）对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立，则实数x 的取值范围是___________。
解析：本题等价关于m的不等式（x2-1）m-2x+1<0对|m|≤2恒成立，故只需转化为求f（m）=（x2-1）m-2x+1，m∈[-2，2]的最大值都比0小即可，由于f（m）是关于m的一次函数，所以只需f（-2）<0，同时f（2）<0即可。
例3：已知n为自然数，实数a>1，解关于x 的不等式：logax-4loga2x+121oga3xn（-2）n-1loganx >loga（x2-a）
思路分析：初看此题，表达式令人望而却步．其原因主要是对不等式左边的结构识别不清，因而不能进行有效的化简。为此，不妨考虑：
n=l时，不等式化为：logax>loga （x2 一a）；
n=2时，不等式化为：logax
logax >loga（x2-a）
从而只须讨论n为偶数，n为奇数两种情况即可解决此问题．
例4：设x>0，y>0，z >0 求证：
+ >
证明：注意到x>0，y>0，z>0，且，此式表示以x ，y为边，夹角为60。的三角形的第三边。同理，也有类似的意义．因此构造如下图所示的多面体O-ABC，
使∠AOB=∠BOC=∠COA =60。 。设OA=x ，OB=y，OC=z．则AB=，同理，BC=CA=
由在三角形ABC中有AB+BC>AC，即证得题设不等式成立．
三、构造联想法
所谓构造法联想法，就是利用已知条件和相关的数学关系式，在思维中构造出满足条件或结论的数学对象，即构造一个辅助问题。从而，使原问题中隐讳不清的关系和性质在这个“模型”上清楚的表现出来，并借助该辅助问題间接的解决原数学问题的方法。常用的构造联想法有构造数列联想法（例5）、构造方程联想法（例6）和构造函数联想法（例7）。以下举例说明：
例5：据报道，我国森林覆盖率逐年提高，现已达国土面积的14%，某林场去年底森林木材储存量为a立方米，若树林以每年25%的增长率生长，计划从今年起，每年冬天要砍伐的木材量为立方米，为了实现经过20年木材储存量翻两番的目标，问每年砍伐的木材量的最大值是多少？
解：设从今年起的每年年底木材储存量组成的数列为则
依次类推可归纳出
根据题意
利用可计算出代入得
即每年砍伐的木材量的最大值是去年储存量的
说明an本题通项也可以不通过类推得出，如用递推公式an+1
可得
这表明数列{an-4x}是以a1-4x为首项，以为公比的等比数列，那么
当在归纳的基础上作出合理猜想的同时，考虑问题的特征，寻找不同条件下的一般化处理方法，这一切应注意数学上的推理与变形.
例6：△ABC已知三内角A、B、C的大小成等差数列，且，求A、B、C的大小。
由题知，联想到，由A、B、C成等差数列，得，故。
∴tanA、tanC是方程的两根，得。当A
由根与系数的关系来构造一元二次方程是最常见的思路，不可忽视。
例7：（1）在实数范围内解
（2）解不等式
方程与不等式都是高次的，展开求解是不现实的。根据其自身特点，分别作适当的变形，然后构造函数，再利用函数的有关性质求解。
（1）原方程变形为。
设函数f（t）=t5+4t，上述方程即为f（x2-x+1）=f（x）。
由于f（t）在t∈R上是单调增函数，故若f（t1）=f（t2），则必有成立。因此x2-x+1=x，即，故原方程有唯一解x=1。
（2）设，x∈R，易证f（x）在区间[0，+∞]上为增函数。
，
∴f（x）为奇函数，从而f（x）在（-∞，+∞）区间上为增函数，
∴原不等式可化为，f（x）+f（x+1）>0即f（x+1）>-f（x）=f（-x），即。
四、类比联想法
根据命题的具体情况， 从具有与命题内容相近或相反特点的数、式和图形的对比联想起， 从而寻求解题方法。常用的类比联想法有概念类比联想法、方法类比联想法、结论类比联想法。
所谓概念类比联想法，就是类比某些熟悉的概念产生的类比推理型试题，在求解时可以借助原概念所涉及的基本方法与基本思路。举例说明（例8）：
例8：若实数x，y满足x2 一8x+5=0，y2一8y+5=0（x≠y）．求： 的值．
解题思路：若分别求解关于x、y的方程，再用代入求值的常规方法将不胜其繁．如联想到根的概念可知x，y是方程Z2一8z+5=0的两根．
解：由方程根的定义可知，x，y是方程Z2一8z+5=0的两根．
由韦达定理可，
得
则 =20.
所谓方法类比联想法，就是有一些处理问题的方法具有类比性，结合这些方法产生的问题，在求解时要注意知识的迁移。
五、结语
联想法作为高中数学解题方法中应用最普通的一种，还有其他许多巧妙用法，在此不一一列举。联想法帮助我们将一些较陌生的问题转化为熟悉的问题，或把常规解法转化为最佳解法，对于解题过程有很大帮助，当然，联想法的使用还必须结合本人的知识积累情况，按实际情况灵活运用，才能达到最佳效果。