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摘 要： 为有效抑制传染病的传播，采用演化博弈理论研究复杂网络中初始疫苗接种免疫节点对传染病传播和个体疫苗接种策略学习的影响。在三个无权无向的网络中，利用5种初始免疫节点选择方法进行了SIR传染病模型传播和博弈策略学习的实验仿真。实验结果表明，在接种疫苗费用相同的情况下，有策略的选择初始免疫节点不仅促进网络中个体疫苗接种策略的学习，而且对传染病的传播速度和扩散规模都有一定抑制作用。
关键词： 复杂网络; 初始疫苗接种节点; 演化博弈; SIR模型
中图分类号：TP393 文献标志码：A 文章编号：1006-8228（2019）04-21-05
Abstract： In order to effectively inhibit the spread of infectious diseases， the influence of initial vaccination nodes on the spreading of diseases and individual vaccination strategy in complex networks is studied by evolutionary game theory. Five initial immune node selection methods are used to simulate SIR epidemic model propagation and game strategy learning in three weightless and undirected networks. Experimental results show that under the same vaccination cost， the strategic choice of initial immune nodes not only promotes the learning of individual vaccination strategies in the network， but also has a certain inhibition on the spread speed and scale of infectious diseases.
Key words： complex networks; initial vaccination node; evolutionary game; SIR model
0 引言
鼠疫、霍乱、埃博拉病毒、非典型肺炎等傳染病在世界各地频发，对成千上万个人的生命财产造成严重危害。对传染病发病机理、传染规律、发展趋势和防控策略的研究备受人们关注。早期的研究在人群均匀混合的假设条件下，利用易感染者-感染者-易感染者（SIS）和易感染者-感染者-恢复者（SIR）经典的仓室模型建模流行病传播规律[1-2]。模型中未考虑接触网络的拓扑结构、个体差异等对传播行为的影响，这与真实情况不一致。近年来兴起的复杂系统和复杂网络理论为疾病传播的研究提供了一种崭新的建模思想与视角[3-5]。Wu Qingchu等人创建了重叠网络上不同传播方式下的传染病模型，研究了疾病传播的阈值以及网络拓扑结构对疾病传播的影响[6]。一些学者利用网络，分析不同网络结构特性对传染病传播速度[7-9]、传播的可预测性[10-11]、传播范围[7]，确定影响传播的重要节点[12-13]，并还原传染病传播路径，寻找流行病传染源[14-15]等。为了有效地抑制传染病在网络中广泛传播，随机免疫[16]、熟人免疫[17]、目标免疫[18-19]等免疫方法相继被提出。复杂网络学科的兴起，为研究传染病传播规律和控制带来新的方向。
当前，接种疫苗是最有效的疾病预防手段，当在人群中接种疫苗的个体超过一定数量时，传染病在网络中无法传播下去，从而间接地保护未接种的个体，达到社会群体免疫的效果。但面对新的疾病，人们会预测疾病的风险、疫苗接种面临的风险和代价。个体在免疫策略选择问题上往往会有从众心理和搭便车现象，个体对待风险的态度和既往时刻的决策收益也会对其免疫行为有较大的影响。博弈论是量化个体行为决策的有效手段，参与者通过选择不同的策略来最大化自身利益。Bauch等人利用博弈动态模型，研究个体通过对周围个体的观察，考虑当前传染病的传播情况，分析不接种疫苗被感染的风险，做出一个个体最优的策略[20]。张海峰[21]等人在假设个体接种疫苗费用相同的情况下，使用SIS传播动力学模型在随机网络和无标度网络中研究了传染病的传播，结果发现自愿接种疫苗策略在无标度网络中能有效地控制疾病传播。复杂网络中的个体会依据传染病历史传播信息[22]、节点本身对疾病危险性的认识[23]等因素考虑自身的处境，决定是否免疫。基于复杂网络研究传染病传播规律，分析控制策略效果，优化防护控制，有助于指导社会对传染病的防控。因此，在抑制传染病传播的研究中，如何设计一个有效的免疫策略来预防和控制疾病在网络中蔓延至关重要[24]。
本文采用SIR模型和博弈论对个体自愿接种行为进行研究，分析无权无向网络中初始疫苗接种节点对传染病传播和个体策略学习的影响，通过分析初始随机免疫与按度、点介数中心性、接近中心性、和结构洞四种节点排序策略选择的初始疫苗接种节点对传染病的传播速度和规模以及个体免疫策略博弈演化过程的影响，探究哪种初始接种疫苗策略能有效地促进疫苗接种学习。
1 模型描述
经典的SIR模型将人群分为三类种群，易感染者S（Susceptible），即个体未被传染，并且没有免疫能力;感染者I（Infected），即个体已被传染，此时个体具有传染性;恢复者R（Recovered），即感染者被治愈，且具有一定的免疫能力。现在假设通过疫苗接种使部分易感染个体具有免疫能力，即人群将会增加一类群体——疫苗接种者V（Vaccinate）。人群最终呈现S、I、R、V四种状态，其满足的约束关系是： 2 初始接種疫苗节点的选择
人群社会关系网络结构十分复杂，要在这样的大规模网络上实现免疫优化控制，找出网络中的重要节点显得尤为重要。这里通过节点的度（Degree，D），介数中心性（Betweenness centrality， BC），接近中心性（Closeness centrality，CC）和结构洞（Structural Holes，SH）四项指标选取网络中的重要节点。其中，节点的度、介数、接近度是常见的节点结构重要度的度量指标。
3 仿真实验
由于传染病传播无法在人群中做实验，因此利用计算机仿真分析研究是当前复杂网络上传染病动力学研究的重要方法。为了比较这几种有策略选择初始接种节点对博弈学习的影响，利用计算机模拟传染病在这三个网络中的传播及博弈学习接种疫苗免疫的情况。假设单边传染概率β=0.06，恢复率γ=0.02，接种疫苗的消费c=0.6，传染病在网络中的传播时间t=200。初始时刻，按照随机以及节点度、接近中心性、介数中心性和结构洞的特性选择网络中5个初始接种免疫的节点，随机选择5节点作为感染节点，在此后的每一时间步，与一个或多个感染节点相连的易感节点以一定的λ概率被感染，被感染节点经过T（T表示最短治愈时间，假设T?8）时间后被治愈，成为具有免疫性的节点，而未被感染的节点以概率ρ向周围邻居学习。利用MATLAB进行实验的仿真，所有结果均为20次运行结果的平均值。
图1、图2表示I状态和V状态的节点在依据度（D）介数中心性（BC）、接近度中心性（CC）和结构洞（SH）和随机（rand）初始免疫的传播感染密度和疫苗接种密度;图3表示采用这5种策略后整体社会最终损耗代价。从图2、图3可以看出，有策略的初始接种免疫，促进个体之间的博弈学习，自愿疫苗接种的个体数量提高，这种自发的学习周围疫苗接种免疫行为起到了目标免疫的效果，很好的抑制了网络上的疾病传播，降低了整体社会的损失，且这种免疫效果属于个体自身自愿的行为并非强制的免疫策略。从中也可以看出，在不同的网络结构中最优初始接种策略是不相同的，在ca-HepTh网络和Adolescent health网络上依据介数中心性和结构洞选择免疫初始节点的博弈学习的结果比其他的初始免疫策略效果好，而在CollegeMsg网络上依据节点的度和结构洞选择初始免疫节点最终达到的效果比其他的策略好。
三个网络的仿真实验结果表明，疫苗接种博弈策略的学习不仅与初始免疫节点的选择有关，还与网络的拓扑结构有关系。通过这种疫苗接种的策略可以看出，有策略的选择初始个体进行接种可降低疾病在整体网络中的危害，减少了个体的经济损失，从而使整体社会的经济损失降到最低。
4 总结
个体的行为和选择每时每刻都受到周围环境的影响，在掌握大环境的信息情况下，大多数人都愿意通过比较他们与别人的收益来调整策略。制定有效的传染病控制策略，可以防止病毒大规模传播。本文只是对无权无向网络进行了模拟，在后面的研究工作中，将在加权网络中，研究初始疫苗接种免疫节点对传染病传播规律和疫苗接种策略学习的影响。
参考文献（References）：
[1] Murray J D.Mathematical biology（I）： an introduction[M].Berlin：Springer-Verlag，2005.
[2] 陈关荣，许晓鸣.复杂网络理论与应用[M].上海系统科学出版社，2008.
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[4] Albert R，Barabasi A L.Statistical mechanics of complexxnetworks[J]. Review of Modern Physi-cs，2001.74（1）：xii
[5] Boeealetti S.Latora V.Moreno Y.et a1.Complex networks：structure and dynamics[J].Physics Rep-orts，2006.424（4）：175-308
[6] Wu Q， Zhang H， Small M， et al.Threshold analysis of thesusceptible-infected-susceptible model on overlay networks[J].Communications in Nonlinea Science & Numerical Simulation，2014.19（7）：2435-2443
[7] Wang W， Tang M， Zhang H F， et al. Epidemic spreadingon complex networks with general degree and weight distributions[J]. Physical Review E Statistical Nonlinear & Soft Matter Physics，2014.90（4）：042803
[8] Xu E H W， Do Y， Tang M， et al. Suppr-essed epidemics inmulti-relational networks[J].Physical Review E Statistical Nonlinear & Soft Matter Physics，2015.92（2）：022812
[9] Cui A X， Wang W， Tang M， et al. Effici-ent allocation ofheterogeneous response times in information spreading process[J]. Chaos： An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Scie-nce， 2014.24（3）：033113 [10] Shu P， Tang M， Gong K， et al. Effects of weak ties on epidemic predictability on community networks[J]. Chaos： An Interdisci-plinary Journal of Nonlinear Science，2012.22（4）：043124
[11] Zhao Z D， Liu Y， Tang M. Epidemic variability inhierarchical geographical networks with human activity patterns[J].Chaos：An In-terdisciplinary Journal of Nonlinear Science， 2012.22（2）：023150
[12] Liu J G ， Ren Z M ， Guo Q . Ranking the spreadinginfluence in complex networks[J]. Physica A： Statistical Mechanics and its Appl-ications，2013.392（18）：4154-4159
[13] Kitsak M， Gallos L K， Havlin S， et al. Identification ofinfluential spreaders in comple-x networks[J]. Nature Physics，2010.6（11）：888-893
[14] Pinto P C ， Thiran P ， Vetterli M . Locating the Source ofDiffusion in Large-Scale Netwo-rks[J].Physical Review Letters，2012.109（6）：068702-5
[15] Chen D B， Xiao R， Zeng A . Predicting the evolution of spreading on complex network-ks[J].Scientific Reports，2014.4：6108
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[17] Pastor-Satorras R， Vespignani A. Immunization ofcomplex networks[J]. Physical Review E，2002.65（3）：036104
[18] Cohen R， Havlin S， Ben-Avraham D.Efficient immuniza-tion strategies for computer networks and populations[J]. Physical Review Letters，2003.91（24）：247901
[19] Madar N， Kalisky T， Cohen R， ben-Avraham D， HavlinS. Immunization and epidemic dyn-amics in complex networks[J]. The EuropeanPhysical Journal B-Condensed Matter and Co-mplex Systems，2004.38（2）：269-276
[20] Bauch C T. Imitation dynamics predict vacc-inatingbehaviour[J].Proceedings of the Royal Society B：Biological Sciences，2005.272（1573）：1669-1675
[21] Zhang H， Zhang J， Zhou C，et al. Hub nodes inhibit theoutbreak of epidemic under volunt-ary vaccination[J]. New Journal of Physics，2010.12（2）：281-281
[22] Yan S ， Tang S ， Pei S ， et al. Dynamical ImmunizationStrategy for Seasonal Epidemic-s[J]Phys Rev E Stat Nonlin Soft Matter Phys，2014.90（2）：022808
[23] Wang W ， Tang M ， Eugene S H ， et al. Unification oftheoretical approaches for epidemic spreading on complex networks[J]. Reports on Progress in Physics，2017.80（3）：036603
[24] Pastor-Satorras R， Castellano C， Van Miegh-em P， et al.Epidemic processes in complex networks[J]. Review of Modern Physics，2014.87（3）：120-131
[25] 羅纳德·伯特，Ronald Burt.结构洞[M].上海人民出版社，2008.
关键词： 复杂网络; 初始疫苗接种节点; 演化博弈; SIR模型
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Abstract： In order to effectively inhibit the spread of infectious diseases， the influence of initial vaccination nodes on the spreading of diseases and individual vaccination strategy in complex networks is studied by evolutionary game theory. Five initial immune node selection methods are used to simulate SIR epidemic model propagation and game strategy learning in three weightless and undirected networks. Experimental results show that under the same vaccination cost， the strategic choice of initial immune nodes not only promotes the learning of individual vaccination strategies in the network， but also has a certain inhibition on the spread speed and scale of infectious diseases.
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鼠疫、霍乱、埃博拉病毒、非典型肺炎等傳染病在世界各地频发，对成千上万个人的生命财产造成严重危害。对传染病发病机理、传染规律、发展趋势和防控策略的研究备受人们关注。早期的研究在人群均匀混合的假设条件下，利用易感染者-感染者-易感染者（SIS）和易感染者-感染者-恢复者（SIR）经典的仓室模型建模流行病传播规律[1-2]。模型中未考虑接触网络的拓扑结构、个体差异等对传播行为的影响，这与真实情况不一致。近年来兴起的复杂系统和复杂网络理论为疾病传播的研究提供了一种崭新的建模思想与视角[3-5]。Wu Qingchu等人创建了重叠网络上不同传播方式下的传染病模型，研究了疾病传播的阈值以及网络拓扑结构对疾病传播的影响[6]。一些学者利用网络，分析不同网络结构特性对传染病传播速度[7-9]、传播的可预测性[10-11]、传播范围[7]，确定影响传播的重要节点[12-13]，并还原传染病传播路径，寻找流行病传染源[14-15]等。为了有效地抑制传染病在网络中广泛传播，随机免疫[16]、熟人免疫[17]、目标免疫[18-19]等免疫方法相继被提出。复杂网络学科的兴起，为研究传染病传播规律和控制带来新的方向。
当前，接种疫苗是最有效的疾病预防手段，当在人群中接种疫苗的个体超过一定数量时，传染病在网络中无法传播下去，从而间接地保护未接种的个体，达到社会群体免疫的效果。但面对新的疾病，人们会预测疾病的风险、疫苗接种面临的风险和代价。个体在免疫策略选择问题上往往会有从众心理和搭便车现象，个体对待风险的态度和既往时刻的决策收益也会对其免疫行为有较大的影响。博弈论是量化个体行为决策的有效手段，参与者通过选择不同的策略来最大化自身利益。Bauch等人利用博弈动态模型，研究个体通过对周围个体的观察，考虑当前传染病的传播情况，分析不接种疫苗被感染的风险，做出一个个体最优的策略[20]。张海峰[21]等人在假设个体接种疫苗费用相同的情况下，使用SIS传播动力学模型在随机网络和无标度网络中研究了传染病的传播，结果发现自愿接种疫苗策略在无标度网络中能有效地控制疾病传播。复杂网络中的个体会依据传染病历史传播信息[22]、节点本身对疾病危险性的认识[23]等因素考虑自身的处境，决定是否免疫。基于复杂网络研究传染病传播规律，分析控制策略效果，优化防护控制，有助于指导社会对传染病的防控。因此，在抑制传染病传播的研究中，如何设计一个有效的免疫策略来预防和控制疾病在网络中蔓延至关重要[24]。
本文采用SIR模型和博弈论对个体自愿接种行为进行研究，分析无权无向网络中初始疫苗接种节点对传染病传播和个体策略学习的影响，通过分析初始随机免疫与按度、点介数中心性、接近中心性、和结构洞四种节点排序策略选择的初始疫苗接种节点对传染病的传播速度和规模以及个体免疫策略博弈演化过程的影响，探究哪种初始接种疫苗策略能有效地促进疫苗接种学习。
1 模型描述
经典的SIR模型将人群分为三类种群，易感染者S（Susceptible），即个体未被传染，并且没有免疫能力;感染者I（Infected），即个体已被传染，此时个体具有传染性;恢复者R（Recovered），即感染者被治愈，且具有一定的免疫能力。现在假设通过疫苗接种使部分易感染个体具有免疫能力，即人群将会增加一类群体——疫苗接种者V（Vaccinate）。人群最终呈现S、I、R、V四种状态，其满足的约束关系是： 2 初始接種疫苗节点的选择
人群社会关系网络结构十分复杂，要在这样的大规模网络上实现免疫优化控制，找出网络中的重要节点显得尤为重要。这里通过节点的度（Degree，D），介数中心性（Betweenness centrality， BC），接近中心性（Closeness centrality，CC）和结构洞（Structural Holes，SH）四项指标选取网络中的重要节点。其中，节点的度、介数、接近度是常见的节点结构重要度的度量指标。
3 仿真实验
由于传染病传播无法在人群中做实验，因此利用计算机仿真分析研究是当前复杂网络上传染病动力学研究的重要方法。为了比较这几种有策略选择初始接种节点对博弈学习的影响，利用计算机模拟传染病在这三个网络中的传播及博弈学习接种疫苗免疫的情况。假设单边传染概率β=0.06，恢复率γ=0.02，接种疫苗的消费c=0.6，传染病在网络中的传播时间t=200。初始时刻，按照随机以及节点度、接近中心性、介数中心性和结构洞的特性选择网络中5个初始接种免疫的节点，随机选择5节点作为感染节点，在此后的每一时间步，与一个或多个感染节点相连的易感节点以一定的λ概率被感染，被感染节点经过T（T表示最短治愈时间，假设T?8）时间后被治愈，成为具有免疫性的节点，而未被感染的节点以概率ρ向周围邻居学习。利用MATLAB进行实验的仿真，所有结果均为20次运行结果的平均值。
图1、图2表示I状态和V状态的节点在依据度（D）介数中心性（BC）、接近度中心性（CC）和结构洞（SH）和随机（rand）初始免疫的传播感染密度和疫苗接种密度;图3表示采用这5种策略后整体社会最终损耗代价。从图2、图3可以看出，有策略的初始接种免疫，促进个体之间的博弈学习，自愿疫苗接种的个体数量提高，这种自发的学习周围疫苗接种免疫行为起到了目标免疫的效果，很好的抑制了网络上的疾病传播，降低了整体社会的损失，且这种免疫效果属于个体自身自愿的行为并非强制的免疫策略。从中也可以看出，在不同的网络结构中最优初始接种策略是不相同的，在ca-HepTh网络和Adolescent health网络上依据介数中心性和结构洞选择免疫初始节点的博弈学习的结果比其他的初始免疫策略效果好，而在CollegeMsg网络上依据节点的度和结构洞选择初始免疫节点最终达到的效果比其他的策略好。
三个网络的仿真实验结果表明，疫苗接种博弈策略的学习不仅与初始免疫节点的选择有关，还与网络的拓扑结构有关系。通过这种疫苗接种的策略可以看出，有策略的选择初始个体进行接种可降低疾病在整体网络中的危害，减少了个体的经济损失，从而使整体社会的经济损失降到最低。
4 总结
个体的行为和选择每时每刻都受到周围环境的影响，在掌握大环境的信息情况下，大多数人都愿意通过比较他们与别人的收益来调整策略。制定有效的传染病控制策略，可以防止病毒大规模传播。本文只是对无权无向网络进行了模拟，在后面的研究工作中，将在加权网络中，研究初始疫苗接种免疫节点对传染病传播规律和疫苗接种策略学习的影响。
参考文献（References）：
[1] Murray J D.Mathematical biology（I）： an introduction[M].Berlin：Springer-Verlag，2005.
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[19] Madar N， Kalisky T， Cohen R， ben-Avraham D， HavlinS. Immunization and epidemic dyn-amics in complex networks[J]. The EuropeanPhysical Journal B-Condensed Matter and Co-mplex Systems，2004.38（2）：269-276
[20] Bauch C T. Imitation dynamics predict vacc-inatingbehaviour[J].Proceedings of the Royal Society B：Biological Sciences，2005.272（1573）：1669-1675
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