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【摘要】小学数学课程中，“数的整除”是个比较重要的概念，也是学生容易混淆的两个概念，笔者运用教学经验把这一概念区分为几个层次，使之明了透彻。
【关键词】数的整除；教学构思
【中图分类号】G623.5【文献标识码】B【文章编号】1001-4128(2011)02-0158-02
小学数学课程中，“数的整除”是比较重要的概念。在教学内容中，“整除”、“除尽”是学生最容易混淆的两个概念，应尽量采用多种形式，让学生通过观察、分析、抽象、概括和应用等一系列活动，形成和掌握这一概念，那么怎样才能使学生牢固的掌握“数的整除”这一部分的教学内容呢？
1 提供具体、丰富的材料
出示几道除法算式：
（1）24÷3=8
（2）180÷12=15
（3）7÷2=3.5
（4）3÷0.5=6
（5）25÷3=8……1
（6）1.2÷0.6=2
引导学生分析，比较各个除法算式的异同。这样做是因为概念的形成，是学生依靠直接经验，从大量的具体例子出发，从实际经验的肯定例证中，概括它们的共同属性，提出共同属性的各种假设加以验证，从而获得初级概念，再把这一概念的本质属性推广到同一类事物当中，并用符号加以表示。所以，让学生分组讨论，并说出讨论后的结果。
教师概括如下：（1）（2）题的被除数、除数和商都是整数，而且没有余数（或者说余数是零）。（3）（4）（6）题的被除数、除数和商并不都是整数。（5）题的被除数、除数和商虽然都是整数，但是有余数。这就要求提供的感性材料应是“丰富”的，要包括能反映所要准备得到概念的所有对象的典型事例，为学生学习新课做好准备，提高教学效果，促使学生思维的积极性和学习的主动性，使学生处于最佳的学习状态。
2 进行抽象概括，正确表述“整除、除尽、除不尽”的定义
这是教学过程中不容忽视的问题，应尽量让学生多思、多想、多议、多讲。所谓多思、多想就是教师在讲课时，要精心设问，让学生有问题可思、有时间可想。“多议”就是让学生各抒己见，发表自己不同的见解，从而使教师及时的对学生感到困难的难点和关键处进行突破，而且对学生提出的问题或不同的见解和解法给予总结。“多讲”就是要学生经过思考能讲得出的算法，都要让学生讲。讲能使学生更好思考，进而培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。所以，首先请学生尝试着用自己的话概括出可以理解的意义，知道除尽、除不尽的区别，教师再揭示整除的意义——“数a除以数b，出得的商正好是整数而没有余数，就说a能被b整除”。“除尽”是在除法算式中，只要除到某一位时余数为零，不管被除数、除数和商是整数还是小数，都可以说是除尽。“除不尽”是在除法算式中，出现相同的数的余数，并不断重复出现时，商就是除不尽。“整除”是整数范围内的一个概念。在整数范围内，一道除法算式总有能整除与不能整除之分。能整除的除法叫做没有余数（或余数为0）除法，不能整除的除法叫做有余数的除法。
3 使概念教学具体化，加深理解、巩固
在“数的整除”教学中，它们的概念既有联系又有区别，而这些概念都不是孤立存在的。如果分不清同类概念的联系和区别，就会使学生在运用概念判断时产生错误。如：给出学生一些除法算式，让学生判断，哪些除法算式属于整除、除尽或除不尽。在进行判断时，发现部分学生认为“53÷4=13……1”是属于“除不尽”的情况。而大部分学生认为“53÷4=13.25”，是属于“除尽”的情况。他们各抒己见，争论不决，互相合作讨论也决定不下来。显然，说“53÷4”“除不尽”是不正确的。为什么会认为“53÷4”“除不尽”呢？这就是小学生在学习了0和自然数以后，就已经可以学习“整除”的概念，区别能整除与不能整除的情况，直到引入小数以后，才出现“除尽”与“除不尽”的概念。但是，由于小学数学教材是引入小数以后才出现整除的概念，并且同时也出现了除尽、除不尽的概念。这样，在一堂课中，就需要把能整除、不能整除，以及除尽、除不尽的情况全部同时出现，如果单独出现学生容易感到头绪纷繁，搞不清楚了；所以，我认为在教学时，应该考虑先在整数范围内分清整除与不能整除。如：观察下面几个除法算式：
（1）15÷3=5
(2)7÷2=3……1
(3)6÷6=1
(4)18÷7=2……4
（5）0÷8=0
请学生再由尝试学法去主动第二次试做，学生的答案大致是这样的。（1）（3）（5）是能整除的，（2）（4）是不能整除的。从而由学生自己归纳出整除的意义。然后，继续比较7÷2=3……1与18÷7=2……4，这两道题是有余数的除法算式。我们已经学习了小数，可以得出7÷2=3.5，而18÷7=2.571428……。使学生看到，前者是能除尽的，而后者是除不尽的。接着，又通过比较、讨论，使学生认识到，能整除当然能除尽，所以“整除”是包含在“除尽”里面的特殊情况。最后，再列举“6÷0.5=12”,“4.8÷1.2=4”这样的算式，指出在这些算式中，或被除数、除数、或商是小数（即被除数、除数、商不全是整数），它们就属于除尽。引导学生归纳出，像这样的整数除以整数，商也是整数，没有余数，我们就说一个数能被另一个数整除。接着，用两种方法叙述两个数之间的整除关系。如：15÷3=5，我们可以说15能被3整除，也可以说3能整除15.讲过后设计这样的选择题：根据140÷4判断下列五种讲法哪种对？
（1）140能被整除
（2）140能整除4
（3）4能被140整除
（4）4不能整除140
（5）4能整除140
验证学生对刚才学过的概念是否会应用。在设计判断题时必须具有针对性，紧紧抓住新旧知识转换的连结点。尽可能地显示新旧知识的矛盾冲突，使学生的思维集中于新旧矛盾的焦点，迅速展开探究活动。抓住对学生难于发现、起关键作用的语言，如“能被”“能整除”来突出概念教学具体化；并注意学生的最初判断，因为它将直接影响着其他学生的从众行为。如果让被试先说出自己的最初判断，会使从众率下降，因此，我要求每个学生用手势表示出来，尽可能地让学生都能表达自己的意见。打完手势后再开展讨论。学生如遇到与自己不相同的意见时，认真听取别人的意见。教师要尽量找出意见不一样的学生，以促使其他学生从中去思考、辨析，防止一些模糊认识掩盖在一边倒的“同意”声中，加深对整除概念的理解。
4 在练习中对基础知识用心处理，使学生对基础知识产生更高层次的认识
从心理学角度看，一般来说是要借助于趣味性来理解新概念。正如瑞士著名的心理学家皮亚杰所说：“所有智力方面的工作都要依赖于兴趣”。而兴趣又是建立在“新奇”和“陌生面孔”基础上的。这就要求练习题必须具有新的角度，蕴含创造思维，而对学生产生“挑逗”和“激发”作用。如板书：21÷7=3，21能被7整除，或7能整除21，21就叫7的倍数，7就叫做21的约数。同桌练习，说一说下面每组数中哪一个数是另一个数的倍数？哪一个数是另一个数的约数，并说明理由。
（1）72和9
（2）42和210
（3）288和36
（4）8和56
（5）36和8
讨论：下面的说法对不对？为什么？
（1）36是倍数
（2）9是约数
【关键词】数的整除；教学构思
【中图分类号】G623.5【文献标识码】B【文章编号】1001-4128(2011)02-0158-02
小学数学课程中，“数的整除”是比较重要的概念。在教学内容中，“整除”、“除尽”是学生最容易混淆的两个概念，应尽量采用多种形式，让学生通过观察、分析、抽象、概括和应用等一系列活动，形成和掌握这一概念，那么怎样才能使学生牢固的掌握“数的整除”这一部分的教学内容呢？
1 提供具体、丰富的材料
出示几道除法算式：
（1）24÷3=8
（2）180÷12=15
（3）7÷2=3.5
（4）3÷0.5=6
（5）25÷3=8……1
（6）1.2÷0.6=2
引导学生分析，比较各个除法算式的异同。这样做是因为概念的形成，是学生依靠直接经验，从大量的具体例子出发，从实际经验的肯定例证中，概括它们的共同属性，提出共同属性的各种假设加以验证，从而获得初级概念，再把这一概念的本质属性推广到同一类事物当中，并用符号加以表示。所以，让学生分组讨论，并说出讨论后的结果。
教师概括如下：（1）（2）题的被除数、除数和商都是整数，而且没有余数（或者说余数是零）。（3）（4）（6）题的被除数、除数和商并不都是整数。（5）题的被除数、除数和商虽然都是整数，但是有余数。这就要求提供的感性材料应是“丰富”的，要包括能反映所要准备得到概念的所有对象的典型事例，为学生学习新课做好准备，提高教学效果，促使学生思维的积极性和学习的主动性，使学生处于最佳的学习状态。
2 进行抽象概括，正确表述“整除、除尽、除不尽”的定义
这是教学过程中不容忽视的问题，应尽量让学生多思、多想、多议、多讲。所谓多思、多想就是教师在讲课时，要精心设问，让学生有问题可思、有时间可想。“多议”就是让学生各抒己见，发表自己不同的见解，从而使教师及时的对学生感到困难的难点和关键处进行突破，而且对学生提出的问题或不同的见解和解法给予总结。“多讲”就是要学生经过思考能讲得出的算法，都要让学生讲。讲能使学生更好思考，进而培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。所以，首先请学生尝试着用自己的话概括出可以理解的意义，知道除尽、除不尽的区别，教师再揭示整除的意义——“数a除以数b，出得的商正好是整数而没有余数，就说a能被b整除”。“除尽”是在除法算式中，只要除到某一位时余数为零，不管被除数、除数和商是整数还是小数，都可以说是除尽。“除不尽”是在除法算式中，出现相同的数的余数，并不断重复出现时，商就是除不尽。“整除”是整数范围内的一个概念。在整数范围内，一道除法算式总有能整除与不能整除之分。能整除的除法叫做没有余数（或余数为0）除法，不能整除的除法叫做有余数的除法。
3 使概念教学具体化，加深理解、巩固
在“数的整除”教学中，它们的概念既有联系又有区别，而这些概念都不是孤立存在的。如果分不清同类概念的联系和区别，就会使学生在运用概念判断时产生错误。如：给出学生一些除法算式，让学生判断，哪些除法算式属于整除、除尽或除不尽。在进行判断时，发现部分学生认为“53÷4=13……1”是属于“除不尽”的情况。而大部分学生认为“53÷4=13.25”，是属于“除尽”的情况。他们各抒己见，争论不决，互相合作讨论也决定不下来。显然，说“53÷4”“除不尽”是不正确的。为什么会认为“53÷4”“除不尽”呢？这就是小学生在学习了0和自然数以后，就已经可以学习“整除”的概念，区别能整除与不能整除的情况，直到引入小数以后，才出现“除尽”与“除不尽”的概念。但是，由于小学数学教材是引入小数以后才出现整除的概念，并且同时也出现了除尽、除不尽的概念。这样，在一堂课中，就需要把能整除、不能整除，以及除尽、除不尽的情况全部同时出现，如果单独出现学生容易感到头绪纷繁，搞不清楚了；所以，我认为在教学时，应该考虑先在整数范围内分清整除与不能整除。如：观察下面几个除法算式：
（1）15÷3=5
(2)7÷2=3……1
(3)6÷6=1
(4)18÷7=2……4
（5）0÷8=0
请学生再由尝试学法去主动第二次试做，学生的答案大致是这样的。（1）（3）（5）是能整除的，（2）（4）是不能整除的。从而由学生自己归纳出整除的意义。然后，继续比较7÷2=3……1与18÷7=2……4，这两道题是有余数的除法算式。我们已经学习了小数，可以得出7÷2=3.5，而18÷7=2.571428……。使学生看到，前者是能除尽的，而后者是除不尽的。接着，又通过比较、讨论，使学生认识到，能整除当然能除尽，所以“整除”是包含在“除尽”里面的特殊情况。最后，再列举“6÷0.5=12”,“4.8÷1.2=4”这样的算式，指出在这些算式中，或被除数、除数、或商是小数（即被除数、除数、商不全是整数），它们就属于除尽。引导学生归纳出，像这样的整数除以整数，商也是整数，没有余数，我们就说一个数能被另一个数整除。接着，用两种方法叙述两个数之间的整除关系。如：15÷3=5，我们可以说15能被3整除，也可以说3能整除15.讲过后设计这样的选择题：根据140÷4判断下列五种讲法哪种对？
（1）140能被整除
（2）140能整除4
（3）4能被140整除
（4）4不能整除140
（5）4能整除140
验证学生对刚才学过的概念是否会应用。在设计判断题时必须具有针对性，紧紧抓住新旧知识转换的连结点。尽可能地显示新旧知识的矛盾冲突，使学生的思维集中于新旧矛盾的焦点，迅速展开探究活动。抓住对学生难于发现、起关键作用的语言，如“能被”“能整除”来突出概念教学具体化；并注意学生的最初判断，因为它将直接影响着其他学生的从众行为。如果让被试先说出自己的最初判断，会使从众率下降，因此，我要求每个学生用手势表示出来，尽可能地让学生都能表达自己的意见。打完手势后再开展讨论。学生如遇到与自己不相同的意见时，认真听取别人的意见。教师要尽量找出意见不一样的学生，以促使其他学生从中去思考、辨析，防止一些模糊认识掩盖在一边倒的“同意”声中，加深对整除概念的理解。
4 在练习中对基础知识用心处理，使学生对基础知识产生更高层次的认识
从心理学角度看，一般来说是要借助于趣味性来理解新概念。正如瑞士著名的心理学家皮亚杰所说：“所有智力方面的工作都要依赖于兴趣”。而兴趣又是建立在“新奇”和“陌生面孔”基础上的。这就要求练习题必须具有新的角度，蕴含创造思维，而对学生产生“挑逗”和“激发”作用。如板书：21÷7=3，21能被7整除，或7能整除21，21就叫7的倍数，7就叫做21的约数。同桌练习，说一说下面每组数中哪一个数是另一个数的倍数？哪一个数是另一个数的约数，并说明理由。
（1）72和9
（2）42和210
（3）288和36
（4）8和56
（5）36和8
讨论：下面的说法对不对？为什么？
（1）36是倍数
（2）9是约数