论文部分内容阅读
摘 要：《烙饼问题》属于人教版小学数学四年级上册《数学广角》中的内容，主要让学生能够感受、经历到优化思想运用的有效性，有效培养学生应用数学知识解决实际问题的意志力与能力。通过围绕优化的思想进行，在进行数学教学的时候一定要以学习的方式作为主线，研究怎样才能够得出正确的方式，进而展开教学。
关键词：研究方法；实施过程；研究缘起
一、研究缘起
《烙饼问题》属于人教版小学数学四年级上册《数学广角》中的内容，这节课我们早在2009年就做过专门的研究，时隔几年，再来审视自己的理解和以前的教学，几点疑惑再度清晰地闪现：（1）本课的核心目标是优化思想的渗透，还是规律的发现、模型的建立与应用？（2）以前的教学，老师最终都引导学生去发现一个不具有普适性的计算规律，烙饼时间=每面的时间×饼的张数，最后应用这个规律解决一些实际问题；不知这个规律的价值何在？这个规律会不会对学生的学习产生负迁移？诸多的困惑事实上都指向于目标定位与价值取向，于是我们再次仔细翻阅了教材和教参，发现实验稿与修订版居然在单元的命名上就有了较大的差异：实验稿称之为“数学广角”，而修订稿称之为“数学广角——优化”，为何要增加“优化”一词？何为“优化”？
二、研究方法的提出
为解此疑惑，我首先把这个问题抛给了我们教研组的老师：你认为《烙饼问题》的教学目标是什么？教学的重点应该放在哪里？组内共15位教师，其中只有包括我在内的4位教师认为教学的重点应该是优化，而11位教师认为優化思想固然重要，但规律的探究及时间的计算也应该是本课的一个重点，因为本课时还应该承载“提升学生解题能力”这一目标。双方各执己见，通过实践看结果当然是最有说服力的。于是我们分成不同的两组进行实施研究，研究流程如下：
第一步，了解学生起点，对两个实验班级进行前测。
第二步，用不同的教学设计对两班实施教学（目标定位是有显著差异的：一个班以优化思想统领全课，自始至终围绕策略优化展开教学；另一个班“优化思想的渗透”和“规律的发现应用”这两个目标并重。）。
第三步，对两个班级进行后测，对比前测，对数据进行整理和分析。
三、研究的实施过程
（一）在前测中了解学生基础
前测我们放了三道题，前两题是关于复印时间计算，学生明白一次复印一张还是两张，就清楚复印的总时间。第3题是关于“烙饼”的，是想了解学生对生活中统筹安排的理解及烙饼问题的认知程度等情况，以便于调整课堂教学，更好地为教学服务。三道题目如下：
1.要复印12份试卷，双面复印，每复印一面要1分钟，一次只能复印一张。共要复印多少分钟？
2.上面的题，如果每次能复印两张，这些试卷共要复印多少分鐘？
3.张阿姨烤面包。每次可以烤两个面包，每个面包要烤两面，每烤一面2分钟。烤2个面包要几分？烤3个、4个呢？（请画图说明）
经过统计发现，前两题学生理解得还不错，知道要计算总共的时间，只要计算复印的次数，再乘以每次复印的时间就可以了。所以做对的人数比较多。最后一题是想看看学生对烙饼问题到底有什么样的基础。翻阅作业发现，不知道“优化”的，烙3个、4个饼的时间一样，都是8分钟，甚至有同学是一个一个烙的。通过访谈知道，第3题做对的学生基本上是课外或家长教过的。从对的作业中可以看出：会画图的，说明他有优化意识，知道“烙饼”的策略。当然也有部分同学图画错的，时间计算对的，说明他只记住了计算公式，没有很好地弄懂“优化”的真正含义。
两个班中能够正确地画图理解的不多，不是图画错，就是时间算错，最根本的原因是不知道“优化”。大部分同学都是用“每面烙的时间×烙饼张数=总时间”来计算的，尤其是406班，这样的情况我们有理由相信：406班在课外辅导班学习的人比较多，而这些人又没有很好地理解其中的算理。所以我们要怀疑：用算式解答正确的学生对算式的含义理解吗？这种公式的套用对学习烙饼问题有多大的帮助呢？于是我们带着疑问和好奇，开始进入本次实验。
（二）在不同目标引领下实施不同的教学
根据两个班前测的数据分析和其他各种因素综合考虑，决定确定不同的教学目标在两个班里采取不同的教学方法实施教学，希望达到预期的教学目标。
方案A教学目标：
1.通过简单事例，使学生初步体会优化思想在解决问题中的应用，形成寻找解决问题最优化方案的意识，并尝试寻找解决问题的最优化方案。
2.通过观察、操作、比较、讨论、思考等活动，寻找规律，建立起烙饼问题的模型，并推广应用，解决生活中的实际问题。
方案B教学目标：
1.通过操作，使学生初步体会优化思想在解决问题中的应用，提高学生解决问题的能力。
2.认识到解决问题的策略的多样性，初步形成寻找解决问题最优化方案的意识。尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题，体会学习数学的乐趣。
方案A、B：1～7个饼的学习路径
1.激趣导入
课件呈现主题图，揭示课题。
2.自主探索，研究烙法
①探究2张饼的最优烙法。熟悉烙1张饼的时间；研究2张饼的最优烙法。
②动手操作，探究3张饼的最优烙法。
让学生说出不同的烙法，找到最优的方法，同桌合作，体验烙法。（轮流烙）。
【充分体会、思考优化的策略一：满锅】
③继续探究，研究规律。按4个饼、5个饼、6～7个饼的顺序进行探究。（思考最省时方案，画图记录，交流，记录饼数、时间列成表格）
【比较轮流烙与分组烙。优化策略二：时间相同，选易操作的，体会轮流烙是不得已之举】
方案A的后续操作： 1.找到规律，解决问题
①从第2张饼开始，每次增加一张饼，时间就加3分钟。②饼的数量×每面所需时间=最少时间。③当烙饼的张数是双数时，2张2张的烙；当烙饼的张数是单数时，先2张2张地烙，最后3张按最优烙法烙。
2.巩固应用，深化理解
尝试：平底锅上煎鱼，每次能同时煎2条鱼，两面都要煎，每面需要4分钟。现在要煎5条鱼，至少需要多少分钟？（可以画图或分组）
3.总结收获，反思体验
要求烙饼时间，可以先分组（或画图），再计算。我们找到了烙饼问题的最优方案，这就是数学中的优化思想。
方案B的后续操作：
观察找到规律，解决问题
从第2张饼开始，每次增加一张饼，时间就加3分钟；烙一面的时间×烙饼个数=烙饼总时间。
解决实际问题：平底锅煎蛋，一个锅一次最多能煎3个蛋，煎一个蛋要2分钟（正反面各1分钟），煎6个蛋至少要几分钟？【出现一次能煎3个蛋的。引发认知冲突：这样的公式在什么时候使用？】
总结收获，反思体验
今天我们学习了烙饼问题，在解决有关烙饼问题的时候，要根据实际情况来选择合适的方法。
（三）课后检测，收集数据，对比分析
1.课后检测，数据整理
实践后安排了（如下）四道题作为后测，前面两题是烙饼的基础题，目的是了解学生通过这节课的学习，对烙饼问题的最基本的优化思想的理解、掌握情况。后面两题稍作变形（一次能烙3张饼、4张饼的），看看学生的统筹优化思想是否能在后续学习中应用等。用两种不同思路上课后，学生到底会更倾向于哪种？效果如何等等。
根据后测情况，我们对两个班的正确率和应用情况作了统计，结果如下：
从统计结果看，在一只锅里同时烙两张饼的情况学生理解得不错，有的用算式，有的画图，有的用字母表示，优化策略的理解应用在这里很好地体现。后面两题的结果不是很理想，虽然他们也分组或画图了，但画对的不多。说明优化的思想还没有真正理解。
像第三题，叔叔煎小黄鱼。每条小黄鱼要煎两面，每面要煎3分钟，一次能煎3条。煎9条小黄鱼共几分钟？（请你用分一分或画一画的方法表示）
406班解題分化出了两种不同的思路：一部分用了套用公式的方法，对比这些同学的前后测发现主要是课前学过的占了很高比例；一部分同学虽然没有画图，但他知道总共要烙的次数，用（3，3，3）进行分组，所以计算总时间就没有障碍了。第四题由于一锅可煎4条鱼，10条鱼怎么轮流煎心里没底，所以画图也无法表示清楚，最后2条鱼煎2次，分组也用（4，4，2）来表示了，当然煎的次数就多。407班还有人图画对了，时间计算却用计算公式了，说明计算公式对他的印象太深了。
2.比照前测，理性分析
为了进一步弄清楚学生对这一内容的学习情况，了解他们的思维历程，对两个班的前后测进行分析对比（406班36人，407班45人），结果如下：
我们分析学生的前后测，对比发现：
①“优化”策略还没有完全理解。一次烙两个饼的，通过画图、字母或分组等，理解起来还可以，会优化。但是碰到一次烙3个、4个饼的，就没有“优化”的意识，或是还不知道如何优化。
②课前培训的负迁移。406班学生因为课前学习的计算公式已经“深入人心”，前测对后测错的学生远远超过407班，说明思维定式一时无法打破，培训班所带来的负迁移作用，在这里体现得非常突出。
从统计数据来看，两个班的差异并不明显，这样的数据不一定能说明两种教学思路的优劣，但不管怎么说，406班的学生会考虑如何进行分组优化，套用公式计算的要比407班少，说明406班同学用优化策略思考问题的能力要优于407班。
四、实践后的感悟
如何在“烙饼问题”教学中凸显优化这一数学思想？我们认为可以从以下几个方面入手。
（一）逐步抽象，优化教学思想
学生从动手操作，到动手记录、用脑思考，由经历到经验并抽象，思维在不断地提升。上面兩节课中的烙饼，从开始的图片（烙饼）到用圆片代替烙饼→用“1正”“1反”画图来记录烙饼过程→用数字2、3来表示分组烙饼→再到用数字记录，[如，7（2，2，3）]。一步一步，从具体到抽象，清晰的优化痕迹，层层递进的优化方法，不断地在学生头脑中渗透着优化意识，为学生探究烙饼的最佳方法及计算最少时间提供了支撑。
（二）层层比较，探索教学本质
学生通过不断地比较，把活动经验内化、概括，得到方法。烙1个饼、2个饼的时间一样时，经历第一次比较，知道只有让锅不空着，才会节省时间；3个饼有不同烙法时，经历第二次比较，烙3次还是4次，只有每次满锅时，时间最省；4个饼的不同烙法，时间是一样时，此时经历第三次比较，哪种烙法更符合生活实际，操作更方便；烙6个饼时，形成了（3，3）与（2，2，2）两种观点，时间是一样的，于是学生经历了第四次比较，在比较中达成共识，强化“时间相同的情况下，我们应该选择操作更为方便的”……这里学生经历了四个层次比较，通过层层比较，逐步触摸到了本课教学的本质，明白了优化的内涵：时间上要寻求优化，烙法操作上要寻求优化，优化意识贯穿了课的始终。
通过这一次的实践，对比了同一班级前测与后测、不同班级的前测、不同班级的后测，并对这些材料和数据进行了科学的分析，从中得到了很大启示，实践彻底颠覆了我们的原有认识，走出了教学的误区，原来的教学过程中我们忽视了数学教学最为本质的东西——数学思想。今天我们对这一问题有了较为深刻的认识，参与研究的老师形成了一种共识：《烙饼问题》一课教学的核心目标应该是优化意识的渗透，引导学生在解决问题的过程中尝试选择较为优化的策略，是我们在教学过程中需要牢牢抓住的主线。
参考文献：
[1]段丽莎.小学数学教材“解决问题”集中编排的比较研究[D].杭州师范大学，2013.
[2]祝玉兰.中、小学数学“情境—问题”教学策略研究[D].贵州师范大学，2004.
编辑 温雪莲
关键词：研究方法；实施过程；研究缘起
一、研究缘起
《烙饼问题》属于人教版小学数学四年级上册《数学广角》中的内容，这节课我们早在2009年就做过专门的研究，时隔几年，再来审视自己的理解和以前的教学，几点疑惑再度清晰地闪现：（1）本课的核心目标是优化思想的渗透，还是规律的发现、模型的建立与应用？（2）以前的教学，老师最终都引导学生去发现一个不具有普适性的计算规律，烙饼时间=每面的时间×饼的张数，最后应用这个规律解决一些实际问题；不知这个规律的价值何在？这个规律会不会对学生的学习产生负迁移？诸多的困惑事实上都指向于目标定位与价值取向，于是我们再次仔细翻阅了教材和教参，发现实验稿与修订版居然在单元的命名上就有了较大的差异：实验稿称之为“数学广角”，而修订稿称之为“数学广角——优化”，为何要增加“优化”一词？何为“优化”？
二、研究方法的提出
为解此疑惑，我首先把这个问题抛给了我们教研组的老师：你认为《烙饼问题》的教学目标是什么？教学的重点应该放在哪里？组内共15位教师，其中只有包括我在内的4位教师认为教学的重点应该是优化，而11位教师认为優化思想固然重要，但规律的探究及时间的计算也应该是本课的一个重点，因为本课时还应该承载“提升学生解题能力”这一目标。双方各执己见，通过实践看结果当然是最有说服力的。于是我们分成不同的两组进行实施研究，研究流程如下：
第一步，了解学生起点，对两个实验班级进行前测。
第二步，用不同的教学设计对两班实施教学（目标定位是有显著差异的：一个班以优化思想统领全课，自始至终围绕策略优化展开教学；另一个班“优化思想的渗透”和“规律的发现应用”这两个目标并重。）。
第三步，对两个班级进行后测，对比前测，对数据进行整理和分析。
三、研究的实施过程
（一）在前测中了解学生基础
前测我们放了三道题，前两题是关于复印时间计算，学生明白一次复印一张还是两张，就清楚复印的总时间。第3题是关于“烙饼”的，是想了解学生对生活中统筹安排的理解及烙饼问题的认知程度等情况，以便于调整课堂教学，更好地为教学服务。三道题目如下：
1.要复印12份试卷，双面复印，每复印一面要1分钟，一次只能复印一张。共要复印多少分钟？
2.上面的题，如果每次能复印两张，这些试卷共要复印多少分鐘？
3.张阿姨烤面包。每次可以烤两个面包，每个面包要烤两面，每烤一面2分钟。烤2个面包要几分？烤3个、4个呢？（请画图说明）
经过统计发现，前两题学生理解得还不错，知道要计算总共的时间，只要计算复印的次数，再乘以每次复印的时间就可以了。所以做对的人数比较多。最后一题是想看看学生对烙饼问题到底有什么样的基础。翻阅作业发现，不知道“优化”的，烙3个、4个饼的时间一样，都是8分钟，甚至有同学是一个一个烙的。通过访谈知道，第3题做对的学生基本上是课外或家长教过的。从对的作业中可以看出：会画图的，说明他有优化意识，知道“烙饼”的策略。当然也有部分同学图画错的，时间计算对的，说明他只记住了计算公式，没有很好地弄懂“优化”的真正含义。
两个班中能够正确地画图理解的不多，不是图画错，就是时间算错，最根本的原因是不知道“优化”。大部分同学都是用“每面烙的时间×烙饼张数=总时间”来计算的，尤其是406班，这样的情况我们有理由相信：406班在课外辅导班学习的人比较多，而这些人又没有很好地理解其中的算理。所以我们要怀疑：用算式解答正确的学生对算式的含义理解吗？这种公式的套用对学习烙饼问题有多大的帮助呢？于是我们带着疑问和好奇，开始进入本次实验。
（二）在不同目标引领下实施不同的教学
根据两个班前测的数据分析和其他各种因素综合考虑，决定确定不同的教学目标在两个班里采取不同的教学方法实施教学，希望达到预期的教学目标。
方案A教学目标：
1.通过简单事例，使学生初步体会优化思想在解决问题中的应用，形成寻找解决问题最优化方案的意识，并尝试寻找解决问题的最优化方案。
2.通过观察、操作、比较、讨论、思考等活动，寻找规律，建立起烙饼问题的模型，并推广应用，解决生活中的实际问题。
方案B教学目标：
1.通过操作，使学生初步体会优化思想在解决问题中的应用，提高学生解决问题的能力。
2.认识到解决问题的策略的多样性，初步形成寻找解决问题最优化方案的意识。尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题，体会学习数学的乐趣。
方案A、B：1～7个饼的学习路径
1.激趣导入
课件呈现主题图，揭示课题。
2.自主探索，研究烙法
①探究2张饼的最优烙法。熟悉烙1张饼的时间；研究2张饼的最优烙法。
②动手操作，探究3张饼的最优烙法。
让学生说出不同的烙法，找到最优的方法，同桌合作，体验烙法。（轮流烙）。
【充分体会、思考优化的策略一：满锅】
③继续探究，研究规律。按4个饼、5个饼、6～7个饼的顺序进行探究。（思考最省时方案，画图记录，交流，记录饼数、时间列成表格）
【比较轮流烙与分组烙。优化策略二：时间相同，选易操作的，体会轮流烙是不得已之举】
方案A的后续操作： 1.找到规律，解决问题
①从第2张饼开始，每次增加一张饼，时间就加3分钟。②饼的数量×每面所需时间=最少时间。③当烙饼的张数是双数时，2张2张的烙；当烙饼的张数是单数时，先2张2张地烙，最后3张按最优烙法烙。
2.巩固应用，深化理解
尝试：平底锅上煎鱼，每次能同时煎2条鱼，两面都要煎，每面需要4分钟。现在要煎5条鱼，至少需要多少分钟？（可以画图或分组）
3.总结收获，反思体验
要求烙饼时间，可以先分组（或画图），再计算。我们找到了烙饼问题的最优方案，这就是数学中的优化思想。
方案B的后续操作：
观察找到规律，解决问题
从第2张饼开始，每次增加一张饼，时间就加3分钟；烙一面的时间×烙饼个数=烙饼总时间。
解决实际问题：平底锅煎蛋，一个锅一次最多能煎3个蛋，煎一个蛋要2分钟（正反面各1分钟），煎6个蛋至少要几分钟？【出现一次能煎3个蛋的。引发认知冲突：这样的公式在什么时候使用？】
总结收获，反思体验
今天我们学习了烙饼问题，在解决有关烙饼问题的时候，要根据实际情况来选择合适的方法。
（三）课后检测，收集数据，对比分析
1.课后检测，数据整理
实践后安排了（如下）四道题作为后测，前面两题是烙饼的基础题，目的是了解学生通过这节课的学习，对烙饼问题的最基本的优化思想的理解、掌握情况。后面两题稍作变形（一次能烙3张饼、4张饼的），看看学生的统筹优化思想是否能在后续学习中应用等。用两种不同思路上课后，学生到底会更倾向于哪种？效果如何等等。
根据后测情况，我们对两个班的正确率和应用情况作了统计，结果如下：
从统计结果看，在一只锅里同时烙两张饼的情况学生理解得不错，有的用算式，有的画图，有的用字母表示，优化策略的理解应用在这里很好地体现。后面两题的结果不是很理想，虽然他们也分组或画图了，但画对的不多。说明优化的思想还没有真正理解。
像第三题，叔叔煎小黄鱼。每条小黄鱼要煎两面，每面要煎3分钟，一次能煎3条。煎9条小黄鱼共几分钟？（请你用分一分或画一画的方法表示）
406班解題分化出了两种不同的思路：一部分用了套用公式的方法，对比这些同学的前后测发现主要是课前学过的占了很高比例；一部分同学虽然没有画图，但他知道总共要烙的次数，用（3，3，3）进行分组，所以计算总时间就没有障碍了。第四题由于一锅可煎4条鱼，10条鱼怎么轮流煎心里没底，所以画图也无法表示清楚，最后2条鱼煎2次，分组也用（4，4，2）来表示了，当然煎的次数就多。407班还有人图画对了，时间计算却用计算公式了，说明计算公式对他的印象太深了。
2.比照前测，理性分析
为了进一步弄清楚学生对这一内容的学习情况，了解他们的思维历程，对两个班的前后测进行分析对比（406班36人，407班45人），结果如下：
我们分析学生的前后测，对比发现：
①“优化”策略还没有完全理解。一次烙两个饼的，通过画图、字母或分组等，理解起来还可以，会优化。但是碰到一次烙3个、4个饼的，就没有“优化”的意识，或是还不知道如何优化。
②课前培训的负迁移。406班学生因为课前学习的计算公式已经“深入人心”，前测对后测错的学生远远超过407班，说明思维定式一时无法打破，培训班所带来的负迁移作用，在这里体现得非常突出。
从统计数据来看，两个班的差异并不明显，这样的数据不一定能说明两种教学思路的优劣，但不管怎么说，406班的学生会考虑如何进行分组优化，套用公式计算的要比407班少，说明406班同学用优化策略思考问题的能力要优于407班。
四、实践后的感悟
如何在“烙饼问题”教学中凸显优化这一数学思想？我们认为可以从以下几个方面入手。
（一）逐步抽象，优化教学思想
学生从动手操作，到动手记录、用脑思考，由经历到经验并抽象，思维在不断地提升。上面兩节课中的烙饼，从开始的图片（烙饼）到用圆片代替烙饼→用“1正”“1反”画图来记录烙饼过程→用数字2、3来表示分组烙饼→再到用数字记录，[如，7（2，2，3）]。一步一步，从具体到抽象，清晰的优化痕迹，层层递进的优化方法，不断地在学生头脑中渗透着优化意识，为学生探究烙饼的最佳方法及计算最少时间提供了支撑。
（二）层层比较，探索教学本质
学生通过不断地比较，把活动经验内化、概括，得到方法。烙1个饼、2个饼的时间一样时，经历第一次比较，知道只有让锅不空着，才会节省时间；3个饼有不同烙法时，经历第二次比较，烙3次还是4次，只有每次满锅时，时间最省；4个饼的不同烙法，时间是一样时，此时经历第三次比较，哪种烙法更符合生活实际，操作更方便；烙6个饼时，形成了（3，3）与（2，2，2）两种观点，时间是一样的，于是学生经历了第四次比较，在比较中达成共识，强化“时间相同的情况下，我们应该选择操作更为方便的”……这里学生经历了四个层次比较，通过层层比较，逐步触摸到了本课教学的本质，明白了优化的内涵：时间上要寻求优化，烙法操作上要寻求优化，优化意识贯穿了课的始终。
通过这一次的实践，对比了同一班级前测与后测、不同班级的前测、不同班级的后测，并对这些材料和数据进行了科学的分析，从中得到了很大启示，实践彻底颠覆了我们的原有认识，走出了教学的误区，原来的教学过程中我们忽视了数学教学最为本质的东西——数学思想。今天我们对这一问题有了较为深刻的认识，参与研究的老师形成了一种共识：《烙饼问题》一课教学的核心目标应该是优化意识的渗透，引导学生在解决问题的过程中尝试选择较为优化的策略，是我们在教学过程中需要牢牢抓住的主线。
参考文献：
[1]段丽莎.小学数学教材“解决问题”集中编排的比较研究[D].杭州师范大学，2013.
[2]祝玉兰.中、小学数学“情境—问题”教学策略研究[D].贵州师范大学，2004.
编辑 温雪莲