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近年来各地的中考数学题中出现了设计新颖、富有创新意识的方案设计型试题，综合考察了同学们应用数学的意识，以及分析、解决实际问题的能力.
一、用几何知识解决
例1(2006年，内蒙古鄂尔多斯市)高为12米的教学楼ED前有一棵大树AB，如图1(a)．
(1)某一时刻测得大树AB、教学楼ED在阳光下的投影长分别是BC=2．5米，DF=7．5米，求大树AB的高度；
(2)现有皮尺和高为h米的测角仪，请你设计另一种测量大树AB的高度的方案，要求：①在图1(b)中，画出你设计的测量方案示意图，并将应测量的数据标记在图上(长度用字母m，n……表示，角度用希腊字母α，β……表示)；②根据你所画出的示意图和标注的数据，求出大树的高度(用字母表示)．
二、用不等式(组)知识解决
例2(2006年，广东省湛江市)某工厂现有甲种原料280kg，乙种原料190kg，计划用这两种原料生产A、B两种产品50件，已知生产一件A产品需甲种原料7kg、乙种原料3kg，可获利400元；生产一件B产品需甲种原料3kg、乙种原料5kg，可获利350元．
(1)请问工厂有哪几种生产方案?
(2)选择哪种方案可获利最大？最大利润是多少?
分析：本题从字面上看，找不出明显的不等关系，但从实际意义上考虑，生产50件产品所用的原料应不超过原有的原料，这里隐含着不等关系，可列出不等式(组).
解：(1)设生产A产品x件，生产B产品(50-x)件，则
7x+3(50-x)≤280,3x+5(50-x)≤190.
解得：30≤x≤32．5．
∵ x为正整数，∴ x可取30，31，32．
当x=30时，50-x=20，当x=31时，50-x=19，当x=32时，50-x=18.
所以工厂可有三种生产方案，分别为：
方案一：生产A产品30件，生产B产品20件；
方案二：生产A产品31件，生产B产品19件；
方案三：生产A产品32件，生产B产品18件.
(2)方案一的利润为：30×400+20
×350=19000（元）；
方案二的利润为：31×400+19
×350=19050（元）；
方案三的利润为：32×400+18
×350=19100（元）．
因此选择方案三可获利最多，最大利润为19100元．
三、用函数知识解决
例3 (2006年，辽宁省沈阳市)某企业信息部进行市场调研发现：
信息一：如果单独投资A种产品，则所获利润yA(万元)与投资金额 x(万元)之间存在正比例函数关系：yA=kx，并且当投资5万元时，可获利润2万元；
信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润yB(万元)与投资金额 x(万元)之间存在二次函数关系：yB=ax2+bx，并且当投资2万元时，可获利润2．4万元；当投资4万元，可获利润3．2万元.
(1)请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；
(2)如果企业同时对A、B两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少.
分析：第(1)小题根据题意用待定系数法即可求出两函数表达式；第(2)小题要建立利润和投资额之间的函数关系，进而根据函数的性质设计一个能获得最大利润的投资方案.
解：(1)当x=5时，yA=2，得2=5k，解得k=0．4，∴yA=0．4x.当x=2时， yB=2．4； 当x=4时， yB=3．2，
∴2.4=4a+2b,3.2=16a+4b, 解得a=-0.2，b=1.6.
∴yB=-0．2x2+1．6x．
(2)设企业对B种产品投资x万元，则企业对A种产品投资(10-x)万元，获得利润为W万元，根据题意得 W=-0．2x2+1．6x+0．4(10-x)=-0．2x2
+1．2x+4=-0．2(x-3)2+5．8.
∴当x=3时，W取最大值，最大值为5．8，故企业对A种产品投资7万元，对B种产品投资3万元，这样投资可以获得最大利润5．8万元．
四、用概率知识解决
例4 (2006年，四川省内江市)小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别为2m和3m的同心圆(如图3)，蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影小红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算，你来当裁判.
(1)你认为游戏公平吗?为什么?
(2)游戏结束，小明边走边想，“反过来，能否用频率估计概率的方法，来估算非规则图形的面积呢?”请你设计方案，解决这一问题.(要求画出图形，说明设计步骤、原理，写出公式)
分析：本题是以游戏为载体的概率试题，寓游戏于考试之中，创意新颖，设计巧妙．解决本题的关键是应用面积比与概率之间的关系.
解：(1)不公平.
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一、用几何知识解决
例1(2006年，内蒙古鄂尔多斯市)高为12米的教学楼ED前有一棵大树AB，如图1(a)．
(1)某一时刻测得大树AB、教学楼ED在阳光下的投影长分别是BC=2．5米，DF=7．5米，求大树AB的高度；
(2)现有皮尺和高为h米的测角仪，请你设计另一种测量大树AB的高度的方案，要求：①在图1(b)中，画出你设计的测量方案示意图，并将应测量的数据标记在图上(长度用字母m，n……表示，角度用希腊字母α，β……表示)；②根据你所画出的示意图和标注的数据，求出大树的高度(用字母表示)．
二、用不等式(组)知识解决
例2(2006年，广东省湛江市)某工厂现有甲种原料280kg，乙种原料190kg，计划用这两种原料生产A、B两种产品50件，已知生产一件A产品需甲种原料7kg、乙种原料3kg，可获利400元；生产一件B产品需甲种原料3kg、乙种原料5kg，可获利350元．
(1)请问工厂有哪几种生产方案?
(2)选择哪种方案可获利最大？最大利润是多少?
分析：本题从字面上看，找不出明显的不等关系，但从实际意义上考虑，生产50件产品所用的原料应不超过原有的原料，这里隐含着不等关系，可列出不等式(组).
解：(1)设生产A产品x件，生产B产品(50-x)件，则
7x+3(50-x)≤280,3x+5(50-x)≤190.
解得：30≤x≤32．5．
∵ x为正整数，∴ x可取30，31，32．
当x=30时，50-x=20，当x=31时，50-x=19，当x=32时，50-x=18.
所以工厂可有三种生产方案，分别为：
方案一：生产A产品30件，生产B产品20件；
方案二：生产A产品31件，生产B产品19件；
方案三：生产A产品32件，生产B产品18件.
(2)方案一的利润为：30×400+20
×350=19000（元）；
方案二的利润为：31×400+19
×350=19050（元）；
方案三的利润为：32×400+18
×350=19100（元）．
因此选择方案三可获利最多，最大利润为19100元．
三、用函数知识解决
例3 (2006年，辽宁省沈阳市)某企业信息部进行市场调研发现：
信息一：如果单独投资A种产品，则所获利润yA(万元)与投资金额 x(万元)之间存在正比例函数关系：yA=kx，并且当投资5万元时，可获利润2万元；
信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润yB(万元)与投资金额 x(万元)之间存在二次函数关系：yB=ax2+bx，并且当投资2万元时，可获利润2．4万元；当投资4万元，可获利润3．2万元.
(1)请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；
(2)如果企业同时对A、B两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少.
分析：第(1)小题根据题意用待定系数法即可求出两函数表达式；第(2)小题要建立利润和投资额之间的函数关系，进而根据函数的性质设计一个能获得最大利润的投资方案.
解：(1)当x=5时，yA=2，得2=5k，解得k=0．4，∴yA=0．4x.当x=2时， yB=2．4； 当x=4时， yB=3．2，
∴2.4=4a+2b,3.2=16a+4b, 解得a=-0.2，b=1.6.
∴yB=-0．2x2+1．6x．
(2)设企业对B种产品投资x万元，则企业对A种产品投资(10-x)万元，获得利润为W万元，根据题意得 W=-0．2x2+1．6x+0．4(10-x)=-0．2x2
+1．2x+4=-0．2(x-3)2+5．8.
∴当x=3时，W取最大值，最大值为5．8，故企业对A种产品投资7万元，对B种产品投资3万元，这样投资可以获得最大利润5．8万元．
四、用概率知识解决
例4 (2006年，四川省内江市)小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别为2m和3m的同心圆(如图3)，蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影小红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算，你来当裁判.
(1)你认为游戏公平吗?为什么?
(2)游戏结束，小明边走边想，“反过来，能否用频率估计概率的方法，来估算非规则图形的面积呢?”请你设计方案，解决这一问题.(要求画出图形，说明设计步骤、原理，写出公式)
分析：本题是以游戏为载体的概率试题，寓游戏于考试之中，创意新颖，设计巧妙．解决本题的关键是应用面积比与概率之间的关系.
解：(1)不公平.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”