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摘要：对解决“两位数乘法计算”问题现象的调查结果表明，2～4年级学生能够较好地利用已有图形表征这样的直接经验来解决遇到的问题。使用已有图形表征解决问题，较之使用其它的表征方式有比较强的效果。在简约乘法竖式出现以后，使用其它表征来解决问题的方式被弱化。事实上，教学“乘法简约竖式”时，其它表征方式如果弱化使用或延缓一段时间使用，能更好地促进学生对多元学习表征的过渡性理解，促进多元学习表征之间的联结与转换，提升学生的数学理解水平。
关键词：图形表征;多元学习表征;联结;转换
小学生在解决诸如“12×4”和“12×14”等“两位数乘法计算”问题时是怎样思考的？存在着哪些不同的策略？2～4年级小学生面对同一内容，运用不同的表征策略解决这一计算问题，存在着怎样的差异？经历过程序式的计算学习后，这种程序化学习对今后的学习进程与能力发展是否存在一定的影响？这种影响是有益的还是个体学习过程中的一种缺失？带着疑问，我们进行了调查研究。即对2～4年级小学生在解决“两位数乘法计算”问题时运用情境、图形、表格、横式笔算、展开的乘法竖式与简约程序化的乘法竖式等不同表征策略解决问题的具体现象进行客观地实证调查。同时，通过对比，获得了建立多元学习表征联结与转换后的学习策略发展变化的数据。
依托这些数据的获得，我们得出了四个结论：一是建立多元学习表征之间的联结需要过渡期;二是多元表征的联结与转换需要找准教学起点;三是多元表征的联结与转换需要延缓符号表征的衔接;四是多元学习表征的联结与转换决定理解的水平。基于结论，我们提出了教学建议。
一、基于学习表征理论，界定具体内涵
美国学者莱什等提出五种学习表征，包括情境表征、图形表征、操作表征、符号表征和语言表征。他们认为，学生必须具有下列条件才算了解一个概念：学生必须能将此概念放入不同的表征系统之中;在给定的表征系统内，学生必须能很有弹性地处理这个概念;学生必须很精确地将此概念从一个表征系统转换到另一个表征系统。
南京大学郑毓信教授指出，按照多元表征理论，除去对于概念本质的理解，还应当帮助学生建立概念的多元表征，并能根据需要与情境，在表征的不同成分之间做出灵活的转换。美国学者赫伯特-卡朋特提出了基于认知科学观点的理解模型，他认为知识是内部表征的，而这些内部表征是有结构的。内部表征与外部表征之间具有某种关系，因此可以通过外部表征和联结来推测其内部表征。各种内部表征之间是互相联结的。各种表征之间的联结数量与强度决定了理解的水平。
基于以上的理论，我们选择了北师版《义务教育教科书·数学》三年级上册第六单元“两位数乘一位数不进位”和三年级下册第三单元“两位数乘两位数不进位”两个单元的相关内容进行调查研究，具体如下：
1.2～4年级小学生利用多元表征解决“两位数乘法计算”问题过程中，有哪些原始想法？有哪些具体的学习现象？
2.2～4年级学生在解决“两位数乘法计算”问题过程中，利用点子图、横式、表格与竖式等表征解决问题的策略差异，寻找差异产生的原因。
3.教材呈现的与学生呈现的多元学习表征对后续的学习进程有哪些影响？调查中又发现了哪些不同的学习现象？
根据调查研究的需要，讨论、界定本调查研究中涉及的具体学习表征是：情境表征，包括“蚂蚁做操”的情境和“队列表演”的情境等;图形表征，由具体情境抽象成的点子图，由点子图进一步抽象成的表格（分解），视为图形表征;符号表征，简约的乘法竖式和展开的乘法竖式视为符号表征。简约的乘法竖式，是指便于学生长期学习的最简单的乘法竖式。如，“12×4=”的简约竖式为：
[ 1 2× 4 4 8]
展开的乘法竖式指对应点子图的圈画过程和表格分解乘数相乘的过程，呈现的完整计算过程，是简约竖式理解的基础。如，“12×4= ”的展开竖式有两种主要的记录方式。第一种方式是先从高位乘起。
[ 十 个 位 位 1 2× 4 4 0+ 8 4 8]
第二种方式是先从个位乘起。
[ 十 个 位 位 1 2× 4 8+4 0 4 8]
语言表征，指乘法竖式的计算法则（规则），用规范的数学语言表述。这里暂时对操作表征不做案例研究和解释。
二、基于观察探索，了解学生已有经验
我们用了两年的时间，针对所在区域内23所普通農村小学和2所县城小学1137名学生做了调查。选取其中有代表性的、检测信度高的7个班级（3所农村学校，1所县城学校）小学生，重点是2～4年级即年龄在8～10岁之间的，兼顾五至六年级的学生做辅助研究。
这些学生当中，二年级的学生仅学习过用乘法口诀解决一位数乘法，有用点子图理解口诀的经验。三年级上学期的学生要学习运用点子图和表格等图形表征和符号表征（横式口算）解决“两位数乘一位数计算”问题，以及用多元表征（“蚂蚁做操”情境、点子图、表格、展开的乘法竖式、简约的乘法竖式等）解决“乘法计算”问题。三年级下学期的学生要学习两位数乘两位数的横式和竖式计算。四年级上学期的学生要在三年级基础上运用多元学习表征解决“两位数乘两位数乘法计算”问题。 （一）课堂观察
1.设计课堂观察量表
说明：要获得学生的试卷才能填写并比对分析前测和后测情况。“教师策略”主要记录重点环节教师采取的方式，“学生具体表现”则要通过观察填写每一个学生在重点环节教师策略下的不同反应。建议教师拍照或录小视频，听课后利用时间整理。表内（ ）均用“√”或“×”标记。
2.观察实施
全面观察：对78节相关课例进行课堂观察（用时两年的时间），对学生原始学习状态进行大数据的记录和分析。
重点观察：对四节同课异构的课堂教学进行观察。观察时，40名实验教师分10组坐在学生身边，在不干扰学生正常学习状态的情况下，录像、拍照、记录，填写观察量表。每组中两位教师分别观察两名学生，另两位教师照相和摄录学生学习全过程，对学习现象进行真实记录。
3.记录分析
观察量表记录;（记录表图略）现象的统计与分析。
以观察小组为单位，课后对学生学习现象的数据进行统计，如学生在用多元表征解决两位数乘法过程中，最原始的想法是什么？（以下简称为“数学学习的原点”）运用哪些学习表征解决问题？习惯应用哪种表征解决问题？
4.研究视角的变化
在课堂观察至调查研究的推进过程中，研究视角经历了五个阶段的变化。第一阶段关注的是学生原始、自然、本真的学习现象;第二阶段关注的是学生学习背景的分析;第三阶段关注的是如何搭建不同学习表征之间的联结;第四阶段关注的是多元学习表征的联结是否能够促进学生学习走得更远，关注教材的改进。如延缓简约竖式乘法的出现是否能够更好地建立起学生多元学习表征的联结;第五阶段关注的是寻找证据以验证多元学习表征的联结，是促进学生自主建构知识体系，形成创新思维的必要基础。如两位数乘两位数的竖式计算，在没有建立多元表征联结时，竖式计算过程出现了问题，即发现学生该方面的学习断层。
（二）问卷设计
根据研究需要，设计出相关课例的前测、中测（当堂测试）、后测和延后测的问卷，以深入了解学习现象。问卷信息采集，均来自被调查学校2～6年级的学生。问卷设计的内容随着研究的推进发生着变化，如研究开始时，问卷内容就是直接将教材内容呈现给学生。随着研究的深入，发现这样的内容没有把多元表征之间的联系呈现出来，于是我们做了相应的改进。这样的设计，体现出了以下两个特点：一是用不同的表征方式“尽可能”呈现出同一思考过程;二是不作解释和规定，使学生明确要先圈画，通过圈画，与竖式计算的思考联系起来。
此外，对刚升入五年级和六年级的学生做问卷调查即延后测，以发现和研究在两至三年后学生应用图形表征等解决乘法计算问题的现象以及策略差异的表现。
（三）个体访谈
在课堂观察、问卷的基础上，进行个别访谈，记录访谈内容。对于二年级学生，只要求尝试用点子图解决问题。在测试过程中，本班39名学生，有4人独立解决问题。课后，教师及时对4名学生进行访谈。一个学生先得到了如图1中的答案。
生：一共有（168）个圆点。[ 100+ 30 130+ 30 160+ 8 168]，100+30+30+8=168（个）。
师：能说说你为什么这样算吗？
生：我先把10个圈起来，这里有10个10，就是100。再加上这里我圈出来的30个就是130，这里也是30个，加起来是160。最后还剩下8个，一共是168个。
另外一个学生得到了如图2中的答案。
生：一共有（168）个圆点。因为7×10=70（个），7×10=70（个），4×7=28（个），70+70=140（个），所以140+28=168（个）。
师：你是怎么算出来的？
生：我先把7个圈起来，这里有十个7，我知道10个7是70。下边这个和上面的一样，所以也是70。70加70等于140，最后还有四七二十八，140加28，一共是168个。
仅有一个学生出示了如图3的算法。
生：一共有（168）个圆点。
师：你又是怎么算出来的？
生：这里是100个。（交流过程中学生标出来的数100）
师：你怎么知道这是100的呢？
生：这一行是10个，有10个10一共就是100。再加上这边的40，和下面的20等于160。最后还有8个，加起来是168。
接下来，还有一个学生出示了如图4的不同算法。
生：一共有（168）个圆点。14×12=168（个），也就是12+12+12+12+12+12+12+12+12+12+12+12+12+12=168（个）。
师：能说说你是怎么算出来的吗？
生：我是这样圈的，一排是12个，一共有14排，所以就是168。
师：你可以把过程写下来吗？
这样，在教师的提议下，大多数学生自己写出了加法算式，通过个别访谈，我们了解了学生最真实的解决问题的方法和能力。
（四）数据统计与质性分析
数据统计，便于对学生的各种表现做出量化比对。质性分析，则是通过记录师生对话和学生外在表征呈现的学习现象，结合数据统计进行判断分析与解释说明。
三、基于图形表征經验，思考多元表征联结的建立
（一）建立多元表征之间的联结需要过渡期
通过课堂观察我们发现，对于小学2～3年级的学生来说，要建立多元学习表征之间的联结，仍然是一个较难的问题，需要有一个过渡期。
结合“两位数乘两位数计算”内容，我们搜集了本区域县城及农村小学178名三年级学生的前测、中测与后测的数据，发现：最初有58.4%的学生不能建立点子图、表格、竖式即多种表征之间的联结;如果教师有意识地引导，会有48.3%学生能够发现并感受它们之间的联系，但仍然有部分学生无法建立联结，当然，这里面会涉及教师引导策略的影响因素;经历过一段时间的内化吸收后，有87.6%（包括前期已经建立联系的）学生能够较为清晰地掌握联系，但在具体应用中，部分学生仍是学习原点的表现。 （二）多元表征的联结与转换需要找准教学起点
1.学生缺乏表征联结的意识，呈现出“回归学习原点”的现象
在第一阶段对“蚂蚁做操（两位数乘一位数）”课堂观察中发现，在学生做练习14×2和12×3时，发生“回归学习原点”即圈画点子图计算的现象。
在我们对178名学生的统计中，有74.16%学生出现“回归学习原点”的现象。在后测时，教师明确任务要求以后，有19.10%学生出现“回归学习原点”现象。
通过此现象可以验证如下结论：学生自然、本真的想法占据解决问题方法的首要位置，然后才是在教师或同伴的干预下，逐渐学会改变原生想法，建立另类想法。
2.教师缺乏表征转换策略的研究，更多地关注竖式结论
我们对一线教师也做了访谈（结合“蚂蚁做操”这节课），内容摘录如下。
【问题1】您认为，本节课中学生多元表征与转换方面的表现如何？
一位教师这样认为：绝大多数学生都能够有表征转换的意识，但是不能保证转换的正确性。学生就是基于这样不断的转换形成了数学理解，最终使得数学问题得以解决。
另一位教师认为，学生有怎样的表现更多的是源于教师的教学方式。如果教师在教学过程中有针对性地引导，那么学生的表现应该会更好些。比如，本节课，我会明确提出需要点子图、表格转换成竖式形式。对于竖式，我也会明确提出竖式向点子图、表格形式转化。那么，面对相类似的数学问题，学生自然而然地想到。所以学生可能在教师强调过的问题会表现不错。
【问题2】您认为，在平常的练习中，考察哪种表征方式的数学问题会多一些？
一位教师认为，这个应该基于数学学习内容而定。比如，在数学问题解决过程中，更多地依赖于图形表征;而在解决单纯的计算题目时，则更多地倾向于使用符号表征。但是，数形结合，也就是符号表征与图形表征之间的相互转换总是会更多些。
另一位教师认为，练习题的重点基本上放置在图形表征与符号表征这两个方面，学生在这两个表征方式及其转换上最容易出现错误，即使教师平常在这方面一直强调。
【问题3】在教学中，您是否从符号、图形、语言三个角度引导学生对数学问题题意进行描述？
一位教师认为，如果这个数学问题解决依赖于多种表征方式，那么我会要求学生这么做。但并不是所有的数学问题解决都有做这一步的必要。毕竟多元表征属于隐性层面的东西，学生的层次也参差不齐，教学更多地还是以考试为导向，这些因素使得教师上课似乎不允许将时间过多地花费在这上面。
另一位教师认为，对于一些特定的数学问题可能会这么做，比如本节课中符号（竖式）到图形（点子图以及表格）表征以及语言（竖式乘法的算法）表征的转换，在教学过程中我会特意强调，更多的是要看这个数学问题是否适合用多种表征方式来解释。
从访谈中反映出这样的两种情况：一是在教学过程中，教师更多地关注结论性知识的落实，相对淡化多元学习表征之间联结的指导。二是对不同学习表征在学习过程中的重要价值，教师的观点也不尽相同，如果教学方式和学习背景出现差异，教师会具体问题具体分析，在不同的表征方式之间做权衡，而后教师会把自己认为会是最适合的表征方式教给学生以强调。
（三）多元表征的联结与转换需要延缓符号表征的衔接
在县城和乡村学校的两次尝试中，三位实验教师分别对“蚂蚁做操”这节课进行四次授课（其中一位实验教师采用两种策略上了两节同一内容的课），两次是常规授课，两次是延缓符号表征的出现。（即暂缓简约竖式乘法的出现）
在对178名学生进行的问卷调查与访谈中我们发现，采用常规授课模式，有58.42%学生能够顺应点子图和表格的计算策略，但不能在这个基础上建立与横式口算之间的联结;有46.06%学生呈现出简约竖式的形态，但并不能真正体会并说清楚其中的思维过程。
当选择延缓符号表征课堂教学后发现，有78.65%学生可以很好地建立起点子图、表格、横式口算、复杂竖式以及简约竖式之间的联结。
（四）多元表征的联结与转换决定理解的水平
延缓符号表征的出現和语言表征的叙述，搭建多元学习表征之间联结的“桥”，在联结和转换过程中给足探索的时间和空间，有助于对新问题的发现、解决与建构。
学生在第一次解决“14×12”问题时，竖式思维会出现断层。通过研究我们发现，学生在这个阶段仍然没有真正建立起点子图、表格和竖式之间的联系，点子图是“点子图”，横式计算仅仅对应“口算的思考过程”，表格虽然和横式计算、点子图有相似之处。但是，暂时还是无法通过回忆点子图、横式计算与表格建立联系，更不用说与竖式计算结合起来。这说明，由图形表征到符号表征的过渡，是一个艰难的过程。表2就是我们在研究过程中得到的一些数据，能够有效说明问题。
学习目标不明确，也是导致多元表征无法建立联结的主要因素。多元表征的学习经历，不是多种方法、策略的学习。而应该是在多元表征的认识过程中，实现用“数学的眼光”进行选择。
如建立“点子图、表格和乘法竖式之间是有联系的”这种思想，是需要在多次观察、多种比较的环境背景下，学习用不同的表征方式去解决问题，以建立问题解决的思维结构，构建起个人数学学习的完形或模型。这会为后续在新问题解决中独立寻找方法和路径提供好的经验与思维架构。因此，教师应设计、引领和指导学生明确指向多元表征建立联结的这一学习目标，在学习过程中有意识地实现多元表征的联结。
四、基于多元表征的联结与转换，探索教学策略
（一）教材内容的呈现与教学要求应更利于多元表征的联结与转换
在教材内容呈现上，北师版数学教材强调利用点子图（圈画）和表格（分解）解决“12×4”问题，给学生留有个性化解决问题的机会，注重了图形表征在该阶段学习的地位。
在小学阶段的教材内容呈现上，不应过分强调简约乘法竖式的唯一价值。在教学评价、课程标准要求上，将几种学习表征放在同等价位上去认识，对多元学习表征进行整体研究与平等对待，这样有助于后续更好地建立多元表征之间的联结与转换。
（二）图形表征作为一种学习策略应在提高现有地位的同时重视多元表征的联结
当学生理解了用表格解决乘法计算问题后，在点子图和表格的选择上，学生会习惯于用表格解决乘法计算问题。这说明，用表格解决乘法计算，对于初学超出乘法口诀直接计算以外的乘法计算的三年级学生来说，更简便、更易于操作，理解起来也更易接受。
展开的乘法竖式，是点子图、横式口算（笔算）和表格三种表征形式的进一步抽象。最初，学生能够用展开的乘法竖式和其他表征建立联结。但是，当简约的乘法竖式出现，并形成程序化学习之后，学生很难再现展开的乘法竖式的心象，同时放弃了利用点子图解决类似12×4乘法问题的表征过程。这种因程序化学习掩盖图形表征解决问题的现象，在四年级有所升高，5～6年级甚至忘记了图形表征解决问题的策略，这是数学学习过程的一种缺失。
图形表征应该是小学阶段问题解决的一个基本策略，其作为问题解决的策略之一，不能只是起到辅助理解算理的作用，应该作为一种基本技能掌握。同时，应在学习过程中重视多元表征的联结，这可以为学生后续的学习打下很好的基础。
（三）思维的发展方面应该关注学生的“学习原点”
学生每一阶段学习过程中原始、自然的想法即“学习原点”，是受前置学习经验影响的，与个体的学习背景有直接关系。要改变学生的原生想法，让学习走得更远，让思考力更广，需要教师和同伴的一定的干预，需要通过独立观察、比较、分析、反思，以实现概念化的自我建构。
教师更应在学习路径设计上，关注“学习原点”的同时关注每一阶段多元表征呈现的方式及其相互联结的价值，促进儿童在学习过程中能够更好地迁移前置经验，发展数学思维。
参考文献：
[1]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.
[2]郑毓信.多元学习表征理论与概念教学[J].小学数学教育，2011（10）.
（责任编辑：杨强）
关键词：图形表征;多元学习表征;联结;转换
小学生在解决诸如“12×4”和“12×14”等“两位数乘法计算”问题时是怎样思考的？存在着哪些不同的策略？2～4年级小学生面对同一内容，运用不同的表征策略解决这一计算问题，存在着怎样的差异？经历过程序式的计算学习后，这种程序化学习对今后的学习进程与能力发展是否存在一定的影响？这种影响是有益的还是个体学习过程中的一种缺失？带着疑问，我们进行了调查研究。即对2～4年级小学生在解决“两位数乘法计算”问题时运用情境、图形、表格、横式笔算、展开的乘法竖式与简约程序化的乘法竖式等不同表征策略解决问题的具体现象进行客观地实证调查。同时，通过对比，获得了建立多元学习表征联结与转换后的学习策略发展变化的数据。
依托这些数据的获得，我们得出了四个结论：一是建立多元学习表征之间的联结需要过渡期;二是多元表征的联结与转换需要找准教学起点;三是多元表征的联结与转换需要延缓符号表征的衔接;四是多元学习表征的联结与转换决定理解的水平。基于结论，我们提出了教学建议。
一、基于学习表征理论，界定具体内涵
美国学者莱什等提出五种学习表征，包括情境表征、图形表征、操作表征、符号表征和语言表征。他们认为，学生必须具有下列条件才算了解一个概念：学生必须能将此概念放入不同的表征系统之中;在给定的表征系统内，学生必须能很有弹性地处理这个概念;学生必须很精确地将此概念从一个表征系统转换到另一个表征系统。
南京大学郑毓信教授指出，按照多元表征理论，除去对于概念本质的理解，还应当帮助学生建立概念的多元表征，并能根据需要与情境，在表征的不同成分之间做出灵活的转换。美国学者赫伯特-卡朋特提出了基于认知科学观点的理解模型，他认为知识是内部表征的，而这些内部表征是有结构的。内部表征与外部表征之间具有某种关系，因此可以通过外部表征和联结来推测其内部表征。各种内部表征之间是互相联结的。各种表征之间的联结数量与强度决定了理解的水平。
基于以上的理论，我们选择了北师版《义务教育教科书·数学》三年级上册第六单元“两位数乘一位数不进位”和三年级下册第三单元“两位数乘两位数不进位”两个单元的相关内容进行调查研究，具体如下：
1.2～4年级小学生利用多元表征解决“两位数乘法计算”问题过程中，有哪些原始想法？有哪些具体的学习现象？
2.2～4年级学生在解决“两位数乘法计算”问题过程中，利用点子图、横式、表格与竖式等表征解决问题的策略差异，寻找差异产生的原因。
3.教材呈现的与学生呈现的多元学习表征对后续的学习进程有哪些影响？调查中又发现了哪些不同的学习现象？
根据调查研究的需要，讨论、界定本调查研究中涉及的具体学习表征是：情境表征，包括“蚂蚁做操”的情境和“队列表演”的情境等;图形表征，由具体情境抽象成的点子图，由点子图进一步抽象成的表格（分解），视为图形表征;符号表征，简约的乘法竖式和展开的乘法竖式视为符号表征。简约的乘法竖式，是指便于学生长期学习的最简单的乘法竖式。如，“12×4=”的简约竖式为：
[ 1 2× 4 4 8]
展开的乘法竖式指对应点子图的圈画过程和表格分解乘数相乘的过程，呈现的完整计算过程，是简约竖式理解的基础。如，“12×4= ”的展开竖式有两种主要的记录方式。第一种方式是先从高位乘起。
[ 十 个 位 位 1 2× 4 4 0+ 8 4 8]
第二种方式是先从个位乘起。
[ 十 个 位 位 1 2× 4 8+4 0 4 8]
语言表征，指乘法竖式的计算法则（规则），用规范的数学语言表述。这里暂时对操作表征不做案例研究和解释。
二、基于观察探索，了解学生已有经验
我们用了两年的时间，针对所在区域内23所普通農村小学和2所县城小学1137名学生做了调查。选取其中有代表性的、检测信度高的7个班级（3所农村学校，1所县城学校）小学生，重点是2～4年级即年龄在8～10岁之间的，兼顾五至六年级的学生做辅助研究。
这些学生当中，二年级的学生仅学习过用乘法口诀解决一位数乘法，有用点子图理解口诀的经验。三年级上学期的学生要学习运用点子图和表格等图形表征和符号表征（横式口算）解决“两位数乘一位数计算”问题，以及用多元表征（“蚂蚁做操”情境、点子图、表格、展开的乘法竖式、简约的乘法竖式等）解决“乘法计算”问题。三年级下学期的学生要学习两位数乘两位数的横式和竖式计算。四年级上学期的学生要在三年级基础上运用多元学习表征解决“两位数乘两位数乘法计算”问题。 （一）课堂观察
1.设计课堂观察量表
说明：要获得学生的试卷才能填写并比对分析前测和后测情况。“教师策略”主要记录重点环节教师采取的方式，“学生具体表现”则要通过观察填写每一个学生在重点环节教师策略下的不同反应。建议教师拍照或录小视频，听课后利用时间整理。表内（ ）均用“√”或“×”标记。
2.观察实施
全面观察：对78节相关课例进行课堂观察（用时两年的时间），对学生原始学习状态进行大数据的记录和分析。
重点观察：对四节同课异构的课堂教学进行观察。观察时，40名实验教师分10组坐在学生身边，在不干扰学生正常学习状态的情况下，录像、拍照、记录，填写观察量表。每组中两位教师分别观察两名学生，另两位教师照相和摄录学生学习全过程，对学习现象进行真实记录。
3.记录分析
观察量表记录;（记录表图略）现象的统计与分析。
以观察小组为单位，课后对学生学习现象的数据进行统计，如学生在用多元表征解决两位数乘法过程中，最原始的想法是什么？（以下简称为“数学学习的原点”）运用哪些学习表征解决问题？习惯应用哪种表征解决问题？
4.研究视角的变化
在课堂观察至调查研究的推进过程中，研究视角经历了五个阶段的变化。第一阶段关注的是学生原始、自然、本真的学习现象;第二阶段关注的是学生学习背景的分析;第三阶段关注的是如何搭建不同学习表征之间的联结;第四阶段关注的是多元学习表征的联结是否能够促进学生学习走得更远，关注教材的改进。如延缓简约竖式乘法的出现是否能够更好地建立起学生多元学习表征的联结;第五阶段关注的是寻找证据以验证多元学习表征的联结，是促进学生自主建构知识体系，形成创新思维的必要基础。如两位数乘两位数的竖式计算，在没有建立多元表征联结时，竖式计算过程出现了问题，即发现学生该方面的学习断层。
（二）问卷设计
根据研究需要，设计出相关课例的前测、中测（当堂测试）、后测和延后测的问卷，以深入了解学习现象。问卷信息采集，均来自被调查学校2～6年级的学生。问卷设计的内容随着研究的推进发生着变化，如研究开始时，问卷内容就是直接将教材内容呈现给学生。随着研究的深入，发现这样的内容没有把多元表征之间的联系呈现出来，于是我们做了相应的改进。这样的设计，体现出了以下两个特点：一是用不同的表征方式“尽可能”呈现出同一思考过程;二是不作解释和规定，使学生明确要先圈画，通过圈画，与竖式计算的思考联系起来。
此外，对刚升入五年级和六年级的学生做问卷调查即延后测，以发现和研究在两至三年后学生应用图形表征等解决乘法计算问题的现象以及策略差异的表现。
（三）个体访谈
在课堂观察、问卷的基础上，进行个别访谈，记录访谈内容。对于二年级学生，只要求尝试用点子图解决问题。在测试过程中，本班39名学生，有4人独立解决问题。课后，教师及时对4名学生进行访谈。一个学生先得到了如图1中的答案。
生：一共有（168）个圆点。[ 100+ 30 130+ 30 160+ 8 168]，100+30+30+8=168（个）。
师：能说说你为什么这样算吗？
生：我先把10个圈起来，这里有10个10，就是100。再加上这里我圈出来的30个就是130，这里也是30个，加起来是160。最后还剩下8个，一共是168个。
另外一个学生得到了如图2中的答案。
生：一共有（168）个圆点。因为7×10=70（个），7×10=70（个），4×7=28（个），70+70=140（个），所以140+28=168（个）。
师：你是怎么算出来的？
生：我先把7个圈起来，这里有十个7，我知道10个7是70。下边这个和上面的一样，所以也是70。70加70等于140，最后还有四七二十八，140加28，一共是168个。
仅有一个学生出示了如图3的算法。
生：一共有（168）个圆点。
师：你又是怎么算出来的？
生：这里是100个。（交流过程中学生标出来的数100）
师：你怎么知道这是100的呢？
生：这一行是10个，有10个10一共就是100。再加上这边的40，和下面的20等于160。最后还有8个，加起来是168。
接下来，还有一个学生出示了如图4的不同算法。
生：一共有（168）个圆点。14×12=168（个），也就是12+12+12+12+12+12+12+12+12+12+12+12+12+12=168（个）。
师：能说说你是怎么算出来的吗？
生：我是这样圈的，一排是12个，一共有14排，所以就是168。
师：你可以把过程写下来吗？
这样，在教师的提议下，大多数学生自己写出了加法算式，通过个别访谈，我们了解了学生最真实的解决问题的方法和能力。
（四）数据统计与质性分析
数据统计，便于对学生的各种表现做出量化比对。质性分析，则是通过记录师生对话和学生外在表征呈现的学习现象，结合数据统计进行判断分析与解释说明。
三、基于图形表征經验，思考多元表征联结的建立
（一）建立多元表征之间的联结需要过渡期
通过课堂观察我们发现，对于小学2～3年级的学生来说，要建立多元学习表征之间的联结，仍然是一个较难的问题，需要有一个过渡期。
结合“两位数乘两位数计算”内容，我们搜集了本区域县城及农村小学178名三年级学生的前测、中测与后测的数据，发现：最初有58.4%的学生不能建立点子图、表格、竖式即多种表征之间的联结;如果教师有意识地引导，会有48.3%学生能够发现并感受它们之间的联系，但仍然有部分学生无法建立联结，当然，这里面会涉及教师引导策略的影响因素;经历过一段时间的内化吸收后，有87.6%（包括前期已经建立联系的）学生能够较为清晰地掌握联系，但在具体应用中，部分学生仍是学习原点的表现。 （二）多元表征的联结与转换需要找准教学起点
1.学生缺乏表征联结的意识，呈现出“回归学习原点”的现象
在第一阶段对“蚂蚁做操（两位数乘一位数）”课堂观察中发现，在学生做练习14×2和12×3时，发生“回归学习原点”即圈画点子图计算的现象。
在我们对178名学生的统计中，有74.16%学生出现“回归学习原点”的现象。在后测时，教师明确任务要求以后，有19.10%学生出现“回归学习原点”现象。
通过此现象可以验证如下结论：学生自然、本真的想法占据解决问题方法的首要位置，然后才是在教师或同伴的干预下，逐渐学会改变原生想法，建立另类想法。
2.教师缺乏表征转换策略的研究，更多地关注竖式结论
我们对一线教师也做了访谈（结合“蚂蚁做操”这节课），内容摘录如下。
【问题1】您认为，本节课中学生多元表征与转换方面的表现如何？
一位教师这样认为：绝大多数学生都能够有表征转换的意识，但是不能保证转换的正确性。学生就是基于这样不断的转换形成了数学理解，最终使得数学问题得以解决。
另一位教师认为，学生有怎样的表现更多的是源于教师的教学方式。如果教师在教学过程中有针对性地引导，那么学生的表现应该会更好些。比如，本节课，我会明确提出需要点子图、表格转换成竖式形式。对于竖式，我也会明确提出竖式向点子图、表格形式转化。那么，面对相类似的数学问题，学生自然而然地想到。所以学生可能在教师强调过的问题会表现不错。
【问题2】您认为，在平常的练习中，考察哪种表征方式的数学问题会多一些？
一位教师认为，这个应该基于数学学习内容而定。比如，在数学问题解决过程中，更多地依赖于图形表征;而在解决单纯的计算题目时，则更多地倾向于使用符号表征。但是，数形结合，也就是符号表征与图形表征之间的相互转换总是会更多些。
另一位教师认为，练习题的重点基本上放置在图形表征与符号表征这两个方面，学生在这两个表征方式及其转换上最容易出现错误，即使教师平常在这方面一直强调。
【问题3】在教学中，您是否从符号、图形、语言三个角度引导学生对数学问题题意进行描述？
一位教师认为，如果这个数学问题解决依赖于多种表征方式，那么我会要求学生这么做。但并不是所有的数学问题解决都有做这一步的必要。毕竟多元表征属于隐性层面的东西，学生的层次也参差不齐，教学更多地还是以考试为导向，这些因素使得教师上课似乎不允许将时间过多地花费在这上面。
另一位教师认为，对于一些特定的数学问题可能会这么做，比如本节课中符号（竖式）到图形（点子图以及表格）表征以及语言（竖式乘法的算法）表征的转换，在教学过程中我会特意强调，更多的是要看这个数学问题是否适合用多种表征方式来解释。
从访谈中反映出这样的两种情况：一是在教学过程中，教师更多地关注结论性知识的落实，相对淡化多元学习表征之间联结的指导。二是对不同学习表征在学习过程中的重要价值，教师的观点也不尽相同，如果教学方式和学习背景出现差异，教师会具体问题具体分析，在不同的表征方式之间做权衡，而后教师会把自己认为会是最适合的表征方式教给学生以强调。
（三）多元表征的联结与转换需要延缓符号表征的衔接
在县城和乡村学校的两次尝试中，三位实验教师分别对“蚂蚁做操”这节课进行四次授课（其中一位实验教师采用两种策略上了两节同一内容的课），两次是常规授课，两次是延缓符号表征的出现。（即暂缓简约竖式乘法的出现）
在对178名学生进行的问卷调查与访谈中我们发现，采用常规授课模式，有58.42%学生能够顺应点子图和表格的计算策略，但不能在这个基础上建立与横式口算之间的联结;有46.06%学生呈现出简约竖式的形态，但并不能真正体会并说清楚其中的思维过程。
当选择延缓符号表征课堂教学后发现，有78.65%学生可以很好地建立起点子图、表格、横式口算、复杂竖式以及简约竖式之间的联结。
（四）多元表征的联结与转换决定理解的水平
延缓符号表征的出現和语言表征的叙述，搭建多元学习表征之间联结的“桥”，在联结和转换过程中给足探索的时间和空间，有助于对新问题的发现、解决与建构。
学生在第一次解决“14×12”问题时，竖式思维会出现断层。通过研究我们发现，学生在这个阶段仍然没有真正建立起点子图、表格和竖式之间的联系，点子图是“点子图”，横式计算仅仅对应“口算的思考过程”，表格虽然和横式计算、点子图有相似之处。但是，暂时还是无法通过回忆点子图、横式计算与表格建立联系，更不用说与竖式计算结合起来。这说明，由图形表征到符号表征的过渡，是一个艰难的过程。表2就是我们在研究过程中得到的一些数据，能够有效说明问题。
学习目标不明确，也是导致多元表征无法建立联结的主要因素。多元表征的学习经历，不是多种方法、策略的学习。而应该是在多元表征的认识过程中，实现用“数学的眼光”进行选择。
如建立“点子图、表格和乘法竖式之间是有联系的”这种思想，是需要在多次观察、多种比较的环境背景下，学习用不同的表征方式去解决问题，以建立问题解决的思维结构，构建起个人数学学习的完形或模型。这会为后续在新问题解决中独立寻找方法和路径提供好的经验与思维架构。因此，教师应设计、引领和指导学生明确指向多元表征建立联结的这一学习目标，在学习过程中有意识地实现多元表征的联结。
四、基于多元表征的联结与转换，探索教学策略
（一）教材内容的呈现与教学要求应更利于多元表征的联结与转换
在教材内容呈现上，北师版数学教材强调利用点子图（圈画）和表格（分解）解决“12×4”问题，给学生留有个性化解决问题的机会，注重了图形表征在该阶段学习的地位。
在小学阶段的教材内容呈现上，不应过分强调简约乘法竖式的唯一价值。在教学评价、课程标准要求上，将几种学习表征放在同等价位上去认识，对多元学习表征进行整体研究与平等对待，这样有助于后续更好地建立多元表征之间的联结与转换。
（二）图形表征作为一种学习策略应在提高现有地位的同时重视多元表征的联结
当学生理解了用表格解决乘法计算问题后，在点子图和表格的选择上，学生会习惯于用表格解决乘法计算问题。这说明，用表格解决乘法计算，对于初学超出乘法口诀直接计算以外的乘法计算的三年级学生来说，更简便、更易于操作，理解起来也更易接受。
展开的乘法竖式，是点子图、横式口算（笔算）和表格三种表征形式的进一步抽象。最初，学生能够用展开的乘法竖式和其他表征建立联结。但是，当简约的乘法竖式出现，并形成程序化学习之后，学生很难再现展开的乘法竖式的心象，同时放弃了利用点子图解决类似12×4乘法问题的表征过程。这种因程序化学习掩盖图形表征解决问题的现象，在四年级有所升高，5～6年级甚至忘记了图形表征解决问题的策略，这是数学学习过程的一种缺失。
图形表征应该是小学阶段问题解决的一个基本策略，其作为问题解决的策略之一，不能只是起到辅助理解算理的作用，应该作为一种基本技能掌握。同时，应在学习过程中重视多元表征的联结，这可以为学生后续的学习打下很好的基础。
（三）思维的发展方面应该关注学生的“学习原点”
学生每一阶段学习过程中原始、自然的想法即“学习原点”，是受前置学习经验影响的，与个体的学习背景有直接关系。要改变学生的原生想法，让学习走得更远，让思考力更广，需要教师和同伴的一定的干预，需要通过独立观察、比较、分析、反思，以实现概念化的自我建构。
教师更应在学习路径设计上，关注“学习原点”的同时关注每一阶段多元表征呈现的方式及其相互联结的价值，促进儿童在学习过程中能够更好地迁移前置经验，发展数学思维。
参考文献：
[1]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.
[2]郑毓信.多元学习表征理论与概念教学[J].小学数学教育，2011（10）.
（责任编辑：杨强）