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摘 要：通过在课堂教学、解题训练和学生自主学习中培养学生的反思意识，可以使学生深化对问题的理解，优化思维过程，完善认知结构，提高学生的数学综合素养。
关键词：现象；反思意识；培养
仔细反思我们的教学，不难发现在我们的教学中更多关注的是教学进度和教学环节，在课堂的知识讲解和解题教学中冷落了“回味”和“反思”。缺乏反思的学习和缺乏反思的教学同样不利于学生的学习，不利于学生思维能力的培养和提高。“授之以鱼，不如授之以渔。”让学生学会学习是数学教学的根本目标，让学生在学习中主动地探求知识，不断地发现问题，提出问题是一种主动探索的创新性学习，是新课程的核心理念。这就需要教师在教学中注重学生反思意识的培养，优化思维品质，提高学生的数学自主学习能力。
一、培养反思意识的目的和意义
数学课程标准提出：“初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果，初步形成评价与反思的意识。”
反思是对思维结果进行检验和再认识的过程，是自觉地对数学知识进行观察、分析、总结、评价、调控的过程，是学生调控学习的基础，是认知过程中强化自我意识，进行自我监控、自我调节的主要形式。荷兰数学教育家弗莱登塔尔指出：“反思是数学思维活动的核心和动力。”引导学生进行反思能有效地帮助其从新的角度、多层次、多侧面地对问题及解决问题的思维过程进行全面地思考。学生通过反思可以提高其数学意识，优化其思维品质；学生通过反思可以沟通新旧知识的联系，促进知识的同化和迁移，从而提高学习效率；学生通过反思可以拓宽思路，优化解法，完善思维过程；学生通过反思可以深化对知识的理解，并探究新的发现，从而培养学生勇于探索，勇于创新的思维品质。
二、数学反思意识的培养
（一）课堂教学中培养学生的反思意识
课堂教学是数学教学的主阵地。在教学中对有关的概念、公式、性质、思想方法和解题方法等，教师要不断引导学生进行反思。
如在进行反比例函数教学中，为了培养学生的反思意识笔者特设计如下的例题：
反比例函数y=-■的图像上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1 A.y1 C.y1>y2 D.y1与y2之间的大小关系不能确定
很多学生都会选C。显然C是错误的。通过反思，学生了解到问题出在他们没有完整地掌握反比例函数的增减性，忘记了必须在每个象限内这个条件。正确应选D。
引导学生积极反思,进一步熟悉了反比例函数增减性的条件。同时，也培养了学生思维的严密性、完整性，达到培养学生形成较强的逻辑思维习惯的目的。
（二）在解题训练中培养学生的反思意识
在解题过程中，会萌发出各种各样的解题策略。在解题受阻时，要引导学生及时反思，考虑解题策略的正确性、可行性，及时调整，少走弯路；在解题失败时，要引导学生反思，寻找失败原因，是方法错还是运算错误；在获得顺利求解时，更要引导学生反思，需要对题目再审视，对解题过程再检查，通过再探索，从偶然到必然，寻找其中蕴含的内在规律，得到从特殊到一般的解题方法。总之，问题的解决并不意味着解题思维的结束，而是深入认识的开始，从感性提升到理性，反思在其间充当重要的桥梁作用。
1.解题之后思本质
[例1] 如图1，在正方形ABCD中，边长为4，E是AB边的中点，P是对角线AC上的动点，求PB+PE的最小值。
解题说明：连接PD，则易证△PBC≌△PDC，可得PB=PD，所以PB+PE=PD+PE。显然PD+PE的最小值为DE，所以PB+PE的最小值为DE的长，计算可得2■。
在解题之后，引导学生反思习题本质（考查的主要知识、思想方法）及构成（条件的组合关系、题目背景），抓住题目的核心模型（在已知直线上确定一点，使它到直线同侧两已知点的距离之和最小），弄清题目形成的背景是什么（轴对称图形）。学生有了这些认识，在新情境中解决问题就会比较流畅，甚至可以自编题目（用不同的轴对称图形来替换问题的背景，如等腰梯形、圆等）。
解题后对问题本质进行重新分析，在将思维由个别推向一般的过程中使问题深化，使问题的抽象程度不断提高。
■
2.解题之后思规律
做完习题后，反思一下所用解题方法中有无规律可循，解题方法是否严谨、有新意。让学生通过几道习题的求解，引出一类习题的解法，可以更加有效地强化解题能力，提高解题效率，同时激发学生的创新意识。
[例2] 如图2，在?荀ABCD中，EF∥AD，GH∥CD，EF、GH相交于点O，则图中共有多少个平行四边形?
多数学生不难给出正确答案，解答后可以提出如下反思问题：（1）你是如何得到结论的？（2）如果对边之间的平行线增至2条、3条或更多条，你又如何解决?
在此题中的第（1）问是让学生反思后并说出自己的做法，第（2）问让学生思考问题的规律性，直至掌握一般性结论：平行四边形的个数等于两邻边上线段条数之积。
3．解题之后思推广
[例3] 如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E是BC边上的两点，∠DAE=45°，则DE2=BD2+CE2.
■
说明：将△ABD绕点A旋转90°，至△ACF，连接EF，易证△ADE≌△AFE，△CEF是直角三角形，故结论正确。我们注意到，D、E在BC上的位置是不确定的，它们是动点（这往往是题目的生长点），那么我们可以对本题做如下变式。
变式1：如图4，当点D在CB的延长线上，点E在线段BC上时，其他条件不变，是否有类似的结论成立？（原结论成立，证法同上）
■
变式2：如图5，当点E在CB的延长线上时，其他条件不变，是否有类似的结论成立？（事实上，因为∠DAE=45°，所以当点E在CB的延长线上时。点D则不在CB的延长线上了，这时DA的延长线与BC的延长线相交于点C，则有EG2=BG2+CE2成立。（原结论成立，证法同上）
由上例可以看出，通过解题后反思题目的条件与结论的关系，可以将题目变化引申，推广变通，提升学生的探究能力。习题的推广、变式的意义，不仅在于每一种变式有利于激发和培养学生的探索精神，学生的思维广阔性得到发展，更在于各种变式之间的共性与个性的交融、结论的相似、解法的相通，在于变式线索本身揭示了事物的内在联系以及数学问题的美。
4．解题之后思解法
反思解题方法的优劣，优化解题过程。学生在解题时往往满足于做出题目的答案，而对自己的解题方法的优劣却几乎不加以评价，作业中经常出现思路狭窄、方法单一等不足，这是学生思维缺少灵活性、批判性的表现。因此，教师必须引导学生评价自己的解题方法，努力寻找解决问题的最佳方案。
■
[例4] 如图6，在△ABC中，D是AB边的中点，∠ACB=90°，E、F是AC、BC上边的点，且∠EDF=90°，则EF2=AE2+BF2。
说明：延长ED至点G，使DG=DE，连接FG、BG，易证AE=BG，EF=GF，∠GBF=90°，则FG2=BG2+BF2，即EF2=AE2+BF2。反思解法后可知，辅助线的作用就是将AE、EF、BF构成一个直角三角形，那么是否还有其他的方法将这三边构成一个三角形呢?如图7，以DE、DF为轴，将△ADE、△BDF折起，折叠之后结论显而易见（∠EDF=90°，D是BC的中点，保证DA、DB折叠后能够重合）。
更多的时候，解题之初的想法并不是最优的，所以，我们应在解题的过程中不断地改进既定方案，改善、丰富解题策略。反思解法，抓住问题的关键，优化解题过程，使学生思维的发散性、灵活性得到培养，创新能力得到彰显。
5．解题之后思错漏
[例5] 如图8，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°,AB=6，CD=4，AD=2，在梯形中做一个矩形AEFG，使点E在AB上，点G在AD上。
（1）设EF=x，试把矩形AEFG的面积y表示成关于x的函数；
（2）求出当EF取何值时，矩形面积y有最大值，并求出这个最大值。
■
易得y=-x2+6x=-（x-3）2+9，由二次函数的性质可得：当x=3，即EF=3时，y有最大值为9。但此时忽略了隐含条件“函数自变量x的取值范围”，（下转第62页）（上接第21页）在0≤x≤2内取不到x=3，x最大值为2，所以，矩形AEFG面积的最大值为8。通过此题的反思训练，使学生领悟到—定要注意对隐含条件的挖掘。
6．解题之后思成败
习题做完之后，教师应引导学生从多个层次反思。例如，反思解题过程，想想解题所采用的方法；反思解题思路是如何形成的，想解题依据的原理；反思解题有无其他方法，哪种方法更好，培养求异思维；反思能否变通一下题目而变成另一道习题，想一题多变，促使思维发散。当然，如果发生错解或百思不解，更应进行反思错解或思路受阻的根源是什么，是知识问题、是方法问题还是策略问题，解答同类问题应注意哪些事项，做到“吃一堑，长一智”，不断完善自己。
7．解题之后思交流
每个人都以自己的经验为背景建构对事物的理解，可能导致认识的狭窄和有限。在解题之后，教师应组织学生交流彼此的解法。例如，向他人宣讲自己的解法，倾听同学的解法，把各种解法放在一起对比、评价，取长补短，促使学生在交流的过程中学会合作、学会交流。
（三）在学生的自主学习中培养学生反思的习惯
只有当学生的反思意识转化为自身良好的反思习惯时，学生才能在自主学习中自觉的进行反思。培养反思习惯需要教师在教学中努力创设课堂教学情境，引发学生产生强烈的认知冲突，激发学生的反思意识。从学生的思维角度出发，展示整个思维的过程，从学生忽视的环节提炼问题，环环相扣，逐层深入。在反思中提高，让学生能体验到反思带来成功乐趣。
在学习中，要求学生理清有关的数学概念、公式、定理等知识点的内涵和外延，提示其本质。解题时要把题做透，养成自我完善、优化探索的良好反思习惯，避免“一讲就会，一做就错”的不良习惯。在知识学习中要探索解题方法是如何得到的，与什么知识相关，有哪些应用。在解题后，也要学会自我提问，“如何求解的？” “为什么可以这样做？”“这是最好的方法吗？”通过这样反复的培养和训练，可以让学生的思维向更深更高的层次发展，从而达到数学教学的最终目的，使学生的数学能力在反思中得到发展和升华。
总而言之，反思学习是学生“学会学习”的一种有效途径。作为教师要更新教育观念，不能认为自己是知识的权威和传播者，在了解知识习得的科学规律的基础上，让学生把反思学习养成一种习惯，使之成为人生发展的一种基本技能。
[参 考 文 献]
1．熊川武.反思性教学[M].上海：华东师范大学出版社，1999.
2．顾越岭.数学解题通论[M].南宁：广西教育出版社，2000.
（责任编辑：张华伟）
关键词：现象；反思意识；培养
仔细反思我们的教学，不难发现在我们的教学中更多关注的是教学进度和教学环节，在课堂的知识讲解和解题教学中冷落了“回味”和“反思”。缺乏反思的学习和缺乏反思的教学同样不利于学生的学习，不利于学生思维能力的培养和提高。“授之以鱼，不如授之以渔。”让学生学会学习是数学教学的根本目标，让学生在学习中主动地探求知识，不断地发现问题，提出问题是一种主动探索的创新性学习，是新课程的核心理念。这就需要教师在教学中注重学生反思意识的培养，优化思维品质，提高学生的数学自主学习能力。
一、培养反思意识的目的和意义
数学课程标准提出：“初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果，初步形成评价与反思的意识。”
反思是对思维结果进行检验和再认识的过程，是自觉地对数学知识进行观察、分析、总结、评价、调控的过程，是学生调控学习的基础，是认知过程中强化自我意识，进行自我监控、自我调节的主要形式。荷兰数学教育家弗莱登塔尔指出：“反思是数学思维活动的核心和动力。”引导学生进行反思能有效地帮助其从新的角度、多层次、多侧面地对问题及解决问题的思维过程进行全面地思考。学生通过反思可以提高其数学意识，优化其思维品质；学生通过反思可以沟通新旧知识的联系，促进知识的同化和迁移，从而提高学习效率；学生通过反思可以拓宽思路，优化解法，完善思维过程；学生通过反思可以深化对知识的理解，并探究新的发现，从而培养学生勇于探索，勇于创新的思维品质。
二、数学反思意识的培养
（一）课堂教学中培养学生的反思意识
课堂教学是数学教学的主阵地。在教学中对有关的概念、公式、性质、思想方法和解题方法等，教师要不断引导学生进行反思。
如在进行反比例函数教学中，为了培养学生的反思意识笔者特设计如下的例题：
反比例函数y=-■的图像上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1
很多学生都会选C。显然C是错误的。通过反思，学生了解到问题出在他们没有完整地掌握反比例函数的增减性，忘记了必须在每个象限内这个条件。正确应选D。
引导学生积极反思,进一步熟悉了反比例函数增减性的条件。同时，也培养了学生思维的严密性、完整性，达到培养学生形成较强的逻辑思维习惯的目的。
（二）在解题训练中培养学生的反思意识
在解题过程中，会萌发出各种各样的解题策略。在解题受阻时，要引导学生及时反思，考虑解题策略的正确性、可行性，及时调整，少走弯路；在解题失败时，要引导学生反思，寻找失败原因，是方法错还是运算错误；在获得顺利求解时，更要引导学生反思，需要对题目再审视，对解题过程再检查，通过再探索，从偶然到必然，寻找其中蕴含的内在规律，得到从特殊到一般的解题方法。总之，问题的解决并不意味着解题思维的结束，而是深入认识的开始，从感性提升到理性，反思在其间充当重要的桥梁作用。
1.解题之后思本质
[例1] 如图1，在正方形ABCD中，边长为4，E是AB边的中点，P是对角线AC上的动点，求PB+PE的最小值。
解题说明：连接PD，则易证△PBC≌△PDC，可得PB=PD，所以PB+PE=PD+PE。显然PD+PE的最小值为DE，所以PB+PE的最小值为DE的长，计算可得2■。
在解题之后，引导学生反思习题本质（考查的主要知识、思想方法）及构成（条件的组合关系、题目背景），抓住题目的核心模型（在已知直线上确定一点，使它到直线同侧两已知点的距离之和最小），弄清题目形成的背景是什么（轴对称图形）。学生有了这些认识，在新情境中解决问题就会比较流畅，甚至可以自编题目（用不同的轴对称图形来替换问题的背景，如等腰梯形、圆等）。
解题后对问题本质进行重新分析，在将思维由个别推向一般的过程中使问题深化，使问题的抽象程度不断提高。
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2.解题之后思规律
做完习题后，反思一下所用解题方法中有无规律可循，解题方法是否严谨、有新意。让学生通过几道习题的求解，引出一类习题的解法，可以更加有效地强化解题能力，提高解题效率，同时激发学生的创新意识。
[例2] 如图2，在?荀ABCD中，EF∥AD，GH∥CD，EF、GH相交于点O，则图中共有多少个平行四边形?
多数学生不难给出正确答案，解答后可以提出如下反思问题：（1）你是如何得到结论的？（2）如果对边之间的平行线增至2条、3条或更多条，你又如何解决?
在此题中的第（1）问是让学生反思后并说出自己的做法，第（2）问让学生思考问题的规律性，直至掌握一般性结论：平行四边形的个数等于两邻边上线段条数之积。
3．解题之后思推广
[例3] 如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E是BC边上的两点，∠DAE=45°，则DE2=BD2+CE2.
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说明：将△ABD绕点A旋转90°，至△ACF，连接EF，易证△ADE≌△AFE，△CEF是直角三角形，故结论正确。我们注意到，D、E在BC上的位置是不确定的，它们是动点（这往往是题目的生长点），那么我们可以对本题做如下变式。
变式1：如图4，当点D在CB的延长线上，点E在线段BC上时，其他条件不变，是否有类似的结论成立？（原结论成立，证法同上）
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变式2：如图5，当点E在CB的延长线上时，其他条件不变，是否有类似的结论成立？（事实上，因为∠DAE=45°，所以当点E在CB的延长线上时。点D则不在CB的延长线上了，这时DA的延长线与BC的延长线相交于点C，则有EG2=BG2+CE2成立。（原结论成立，证法同上）
由上例可以看出，通过解题后反思题目的条件与结论的关系，可以将题目变化引申，推广变通，提升学生的探究能力。习题的推广、变式的意义，不仅在于每一种变式有利于激发和培养学生的探索精神，学生的思维广阔性得到发展，更在于各种变式之间的共性与个性的交融、结论的相似、解法的相通，在于变式线索本身揭示了事物的内在联系以及数学问题的美。
4．解题之后思解法
反思解题方法的优劣，优化解题过程。学生在解题时往往满足于做出题目的答案，而对自己的解题方法的优劣却几乎不加以评价，作业中经常出现思路狭窄、方法单一等不足，这是学生思维缺少灵活性、批判性的表现。因此，教师必须引导学生评价自己的解题方法，努力寻找解决问题的最佳方案。
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[例4] 如图6，在△ABC中，D是AB边的中点，∠ACB=90°，E、F是AC、BC上边的点，且∠EDF=90°，则EF2=AE2+BF2。
说明：延长ED至点G，使DG=DE，连接FG、BG，易证AE=BG，EF=GF，∠GBF=90°，则FG2=BG2+BF2，即EF2=AE2+BF2。反思解法后可知，辅助线的作用就是将AE、EF、BF构成一个直角三角形，那么是否还有其他的方法将这三边构成一个三角形呢?如图7，以DE、DF为轴，将△ADE、△BDF折起，折叠之后结论显而易见（∠EDF=90°，D是BC的中点，保证DA、DB折叠后能够重合）。
更多的时候，解题之初的想法并不是最优的，所以，我们应在解题的过程中不断地改进既定方案，改善、丰富解题策略。反思解法，抓住问题的关键，优化解题过程，使学生思维的发散性、灵活性得到培养，创新能力得到彰显。
5．解题之后思错漏
[例5] 如图8，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°,AB=6，CD=4，AD=2，在梯形中做一个矩形AEFG，使点E在AB上，点G在AD上。
（1）设EF=x，试把矩形AEFG的面积y表示成关于x的函数；
（2）求出当EF取何值时，矩形面积y有最大值，并求出这个最大值。
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易得y=-x2+6x=-（x-3）2+9，由二次函数的性质可得：当x=3，即EF=3时，y有最大值为9。但此时忽略了隐含条件“函数自变量x的取值范围”，（下转第62页）（上接第21页）在0≤x≤2内取不到x=3，x最大值为2，所以，矩形AEFG面积的最大值为8。通过此题的反思训练，使学生领悟到—定要注意对隐含条件的挖掘。
6．解题之后思成败
习题做完之后，教师应引导学生从多个层次反思。例如，反思解题过程，想想解题所采用的方法；反思解题思路是如何形成的，想解题依据的原理；反思解题有无其他方法，哪种方法更好，培养求异思维；反思能否变通一下题目而变成另一道习题，想一题多变，促使思维发散。当然，如果发生错解或百思不解，更应进行反思错解或思路受阻的根源是什么，是知识问题、是方法问题还是策略问题，解答同类问题应注意哪些事项，做到“吃一堑，长一智”，不断完善自己。
7．解题之后思交流
每个人都以自己的经验为背景建构对事物的理解，可能导致认识的狭窄和有限。在解题之后，教师应组织学生交流彼此的解法。例如，向他人宣讲自己的解法，倾听同学的解法，把各种解法放在一起对比、评价，取长补短，促使学生在交流的过程中学会合作、学会交流。
（三）在学生的自主学习中培养学生反思的习惯
只有当学生的反思意识转化为自身良好的反思习惯时，学生才能在自主学习中自觉的进行反思。培养反思习惯需要教师在教学中努力创设课堂教学情境，引发学生产生强烈的认知冲突，激发学生的反思意识。从学生的思维角度出发，展示整个思维的过程，从学生忽视的环节提炼问题，环环相扣，逐层深入。在反思中提高，让学生能体验到反思带来成功乐趣。
在学习中，要求学生理清有关的数学概念、公式、定理等知识点的内涵和外延，提示其本质。解题时要把题做透，养成自我完善、优化探索的良好反思习惯，避免“一讲就会，一做就错”的不良习惯。在知识学习中要探索解题方法是如何得到的，与什么知识相关，有哪些应用。在解题后，也要学会自我提问，“如何求解的？” “为什么可以这样做？”“这是最好的方法吗？”通过这样反复的培养和训练，可以让学生的思维向更深更高的层次发展，从而达到数学教学的最终目的，使学生的数学能力在反思中得到发展和升华。
总而言之，反思学习是学生“学会学习”的一种有效途径。作为教师要更新教育观念，不能认为自己是知识的权威和传播者，在了解知识习得的科学规律的基础上，让学生把反思学习养成一种习惯，使之成为人生发展的一种基本技能。
[参 考 文 献]
1．熊川武.反思性教学[M].上海：华东师范大学出版社，1999.
2．顾越岭.数学解题通论[M].南宁：广西教育出版社，2000.
（责任编辑：张华伟）