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摘 要：理解数学、理解学生、理解教学是重要的教育教学理念。其中，理解数学是数学教学的本质；理解学生是数学教学的前提；理解教学是数学教学的保障，也是理解数学和理解学生的最终表现。分数定义教学，应基于“三个理解”，把握分数概念本质，透视分数学习难点，构建分数教学课堂。
关键词：理解数学 理解学生 理解教学 分数定义
章建跃博士在《中学数学课改的十个论题》一文中提出了“理解数学，理解学生，理解教学”的教育教学理念。其中，“理解数学”是数学教学的本质，具体要求是：了解数学知识背景，把握数学知识内在本质，体会数学思想方法，挖掘潜在应用价值；“理解学生”是数学教学的前提，具体要求是：遵循学生认知规律，透视学生学习难点；“理解教学”是数学教学的保障，也是“理解数学”和“理解学生”的最终表现，具体要求是：创造性地使用和整合课程资源，构建学为中心、学教统一、师生共同发展的有效课堂。这一理念同样适用于小学数学领域。本文基于“三个理解”，立足人教版小学数学教材探讨分数定义教学的具体实施。
一、理解数学——把握概念本质
分数是小学数学学习的重点和难点，理解分数的定义对于小学生发展数的概念有着重要意义和作用。近年来，一些学者对分数定义做了研究。张奠宙教授认为，应该从份数、商、比、公理化四个不同层次来定义分数。“在小学第二阶段对分数的学习，必须明确地给分数一个定义。分数的定义只有一个，就是两个自然数相除（除数不为0）的商。所谓份数定义，只是初步认识时的过渡说法。至于比定义，则是商定义的引申。”史宁中教授指出：“就整个中小学数学来说，分数主要有两个作用：一个是作为有理数出现的一种数，它能和其他的数一样参与运算；另一个是以比的形式出现的数。而后者是小学分数教学的重点。”巩子坤、杨玉东教授认为：“分数作为一种数，其本身既表达一个绝对的量，又表示一个相对的量；分数作为一个相对的量，其意义的表征模型既有离散的，又有连续的；分数作为一个概念，既表达动态的运算操作（过程性），又表达运算操作的结果（对象性）。”西方学者T.E.Kieren强调从部分与整体的关系、商、测量、运算、比这五种不同意义理解分数。
通过对文献的梳理，不难发现，众多学者基于数学本质和教学的角度，谈了分数的不同意义，他们基本都有相似的观点：就历史发展而言，分数产生的现实背景有测量、分物、比较等；就数学本身而言，分数是为保证运算的封闭性而进行的数系扩充。因此，对小学阶段分数的理解，应做到：
1.在实物分割、测量或几何模型的直观情境下，揭示部分与整体数量关系的份数定义。
2.由直观到抽象，逐步认识分数与除法的关系，理解分数是两个整数相除（除数不为0）的商。
3.理解分数是两个整数的比，加强比与除法、分数的联系，完善对分数的理解。
4.初步感受分数产生的数学本质源于整数的除法运算不受限制。
二、理解学生——透视学习难点
郑毓信教授认为，分数正是数学思维真正进入小学数学的地方，分数也是一些小学生在数学学习中表现出真正困难的实际起点，并因此在小学生中出现了两极分化。而分数之所以成为学生学习的难点，主要有以下两个方面原因。
（一）知识层面
1.分数相对于自然数而言，生活中的直接应用较少，缺乏现实情境的支撑和强化，学生自然认为分数十分抽象。
2.分数的四则运算法则在计算方法上与自然数、小数也存在区别，在算理上稍显复杂，所以也加大了学生理解和掌握的难度。
3.“分数是学生需要认识的最早的不能依赖数数算法的数字系统”，而作为十进位制数的自然数无论是计数还是数的大小比较，学生都更容易接受和理解。同时，学生对整数知识掌握的牢固性也一定程度影响了学生对分数的学习。
4.从书写角度而言，分数包含分子、分母和分数线，涉及两个自然数和数学符号的书写，较之于自然数，也更为复杂，这也从一定程度上影响了学生对分数的学习。
（二）认知层面
按照瑞士心理学家皮亚杰的理论，小学三年级的学生正处于具体运算阶段，开始进行心理运算，“能在头脑中依靠动作的格式对事物的关系系统进行逆反、互反、传递等可逆运算”。但这种能力表现还并不成熟，思维也往往具有局限性。
就分数的份数定义而言，大部分学生能够通过具体实物的分割感受平均分后其中一份（或几份）是整体的几分之一（或几分之几）。但若始终停留在分物层面上，也会限制学生对分数的认识，导致将分数看成是“先平分，再取其中一份或几份”的操作。事实上，分数表面上是“一份或几份”，实则表示的是部分与整体之比。尽管并不要求这一阶段的学生从比的角度解释分数，但他们应该要明确分数就是部分在整体中所占有的份额，是一种相对的关系，只有充分认识到这种相对关系，才不会困惑于“苹果的12”和“操场的12”中的分数表达。同时值得注意的是，无论生活中还是数学上，更多的情境是在无法预知分割方式的前提下，直接判断或求解部分与整体的数量关系。
比如，人教版小学数学三年级上册第94页习题1：能用13表示图1中的涂色部分吗？学生很容易观察出图中三部分不是平均分的结果，因此不能用13表示。但涂色部分应该选择哪一个分数表示或者能否用分数表示，由于学生拘泥于“先分后取”的操作，理解这类逆反问题就存在思维障碍。
同时，学生对整体的理解较为局限、片面，他们往往能接受的整体就是1个圆、1个苹果、1篮鸡蛋等，即表示整体的数量修饰一定要是“一”或“1”。如果是“将12个苹果平均分给3个同学，问：每个同学分得的苹果是总苹果的几分之几？”学生的答案就可能有123、13、14等不同答案。
又如王笑晖等老师对学生解答“用阴影部分在图2中表示出25平方分米”一题做过调研，该题的本质可理解为“将2平方分米的长方形平均分成5份后，取一份的大小”，但有学生非得先将长方形一分为二，目的是要构造平均分的“整体”——1平方分米的长方形，然后再将其平均分割成5份，取其中的两份。由此看来，从“整体是一个物体”到“整体可以是多个物体”的理解，是学生的思维难点。唯有突破這一难点，学生才能抓住问题的本质：无论将“整体”平均分成几份，每份总是占整体的几分之一。所谓“整体”，可以是生活实物（如1个苹果、1筐苹果、已知具体个数的苹果等），也可以是几何模型（如1个圆形、10厘米的线段、面积为2平方分米的长方形等）或纯粹的数。 对于分数的商定义，是把对分数意义的关注点由部分与整体的关系扩展到了数与数的关系，由具有现实背景的问题过渡到纯粹数量关系的问题，蕴含着数的发展和数系扩充的代数思想。郑毓信教授认为，由过程向对象的转变（这就是所谓的“凝聚”）则可看成算术（或代数）思维的基本形式。而小学生的代数思维尚未真正形成，若要他们将分数真正视作一个数学对象，还需一定时间的引导和强化。即使对于小学五、六年级的学生，虽然他们已经步入前运算阶段的中后期，在推理、问题解决和逻辑方面已较大地超过了前运算阶段前期的儿童，但其抽象逻辑思维在很大程度上仍需要直观形象思维的支撑。这就意味着学生对商定义的学习仍要借助实物或几何直观。比如，很多教学设计直接从1除以3的角度引出分数的商定义，试图以更快的方式给学生揭示分数定义的本质。但受自然数除法的影响，学生更为关注的是1除以3的商究竟是什么，而无“心思”体会分数产生的必要性以及用分数表达结果的合理性。因此，如何帮助学生逐步适应由过程转向对象这样一种思维方式，这就是分数教学的一个真正难点。
三、理解教学——构建有效课堂
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（下文简称“课程标准”）指出：“课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系；要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系。”下文在把握课程标准所提出的这几个关系的基础上，谈谈对分数的份数定义、商定义分阶段教学的思考。
（一）处理好过程与结果的关系
张奠宙教授认为，“份数定义显示过程，商定义表示结果。”教学中，为了自然、顺畅地通向分数的本质定义，实现分数不同意义的有效衔接与适当整合，教师首先应思考的是：小学分数学习的起始阶段——“分数的初步认识”，“初步认识”究竟应由哪种定义引出？“初步”到什么程度？如何衔接好下一阶段分数的学习？使得整个分数定义的学习是充满活力、富有内涵、蕴含思想、积累经验的数学活动过程，而并非单一强调结果的教学。
我国《说文解字》中对“分”的解释是：“分，别也。从八，从刀，刀以分别物也。”拉丁文的分数源于“frangere”，原意为“分割、断裂”；法文的分数“nombre romprer”，原意为“折断的数”。由此看来，尽管语言文化的背景不同，但“分数”都蕴含“分割”的意思。因此，教材是从具有现实背景的分物出发，由份数定义展开学习，这样的安排符合分数产生的现实背景和小学生的认知特征。这一阶段对分数的学习，重点把握分数表示部分与整体的数量比，有如下两方面要求：
要求1：已知整体量和平均分的份数，能用分数表示其中一份（或几份）所占的份额。
要求2：已知整体量和平均分后其中一份（或几份）的量，能用分数表示已知部分占整体的份额。
从数学角度理解，上述两类问题就是用分数来表示“有多少”和“占多少”的问题。这两类平均分问题都不可偏废，否则必然影响学生对分数意义的理解。而且后者的学习，更能体现分数本质，尤其在非平均分的情况下，要表示部分与整体或部分与部分的数量比，是需要进行实际测量或计算的，这恰恰就是分数产生的现实背景。当然，无论是要求1还是要求2都是为第二阶段商定义的学习作铺垫。因为掌握了分数与除法的关系后，解决下列两类问题就比较简单了：
问题1：已知整体量和平均分的份数，能求其中一份（或几份）的大小。例如：一个3 m2的花坛，种5种花，每种花平均占地多少平方米？
问题2：已知一部分与另一部分（可以是整体，也可以是部分）的量，能求这两部分的数量比。例如：小新家養鹅7只，养鸭10只，养鸡20只。鹅的只数是鸭的几分之几？鸡的只数是鸭的多少倍？
问题1已将分数表示部分与整体的数量关系过渡到了分数也可以表示一个纯粹的数量，它同自然数一样，能表示实物的大小；问题2打破了分数表示部分与整体之比的局限，可以表示部分与部分之比，并进一步抽象到自然数与自然数的数量关系。这不仅沟通了分数与比的关系，也将分数的范围从小于1的真分数扩充到可以大于或等于1的假分数。
这里要说明的是，考虑学生的认知特征，初学阶段不宜过度拔高。对于要求2，建议平均分的方式不要过于复杂，学生根据已知要能容易推出分割方式，重在理解份额的分数表示。若不是平均分割情形，初学阶段只需学生能判断用给定分数能否表示已知部分，更为复杂的情形可待学生系统掌握了分数的不同意义后，开展适当的探究活动。
当然，通过分数的份数定义的学习，学生还不能将分数认作一个客观的数学对象，如果此时直接学习分数的商定义，对学生的认知而言是存在难度的。基于这一点，教材为了搭建循序渐进、承上启下的数学活动平台，做了学习内容的增补。在“分数的初步认识”单元，增加了“分数的简单应用”小节，该小节主要强调两个学习内容：
内容1：把一些物体看作一个整体平均分成若干份，其中的一份或几份也可以用分数来表示。
内容2：求一个数的几分之一或几分之几。
内容1的学习，可拓宽对“整体”的理解，衔接第二阶段分数意义的学习；内容2的学习，则是对“整体”概念的强化和应用。通过结合已有的整数除法知识解决实际问题，连接了分数与除法的关系，为分数的商定义铺路搭桥。
总之，从三年级分数的份数定义的学习到五年级分数的商定义的学习，教材为学生保留了充足的理解和思考的时间。教学活动中，切忌揠苗助长，应在宽松的数学学习活动中，让学生感受分数的发展，感悟数学的思想和方法，积累一定的活动经验，为充分理解分数的本质定义做好平稳而扎实的准备。
（二）处理好直观与抽象的关系
数学的抽象性是数学的本质特征之一，也是数学与其他学科的一个显著区别。波利亚曾说：“抽象的道理是重要的，但要用一切办法使它们看得见、摸得着。”的确，数学直观与抽象并非对立，它们甚至是数学发展的左膀右臂。因此，考虑到学生学习分数知识的可接受性和心理适应性，分数定义也应由具体情境的直观实物支撑，逐步走向数学语言和符号语言的抽象描述。 1.分数的份数定义：由实物直观到几何直观，再到线段模型的半抽象。
借助“分月饼”等实物直观引出对分数的认识，符合小学生的认知特点。但重复生活情境化的教学模式，也将限制学生数学思维的发展，反而使数学课堂“去数学化”了。因此，还要逐渐由实物直观进一步演变成几何直观，通过几何图形的分割或组合，让学生在数学图形的观察中思考分数的意义。
比如，观察同一几何图形不同的平均分割结果可以发现，平均分割方式不同，所形成的每份图形的大小也不同；分的份数越多，每一份反而越小。因此，不同分法下每份占总体的分数表达也可能不同，并且可以根据分割结果比较分数大小。
又如，人教版小学数学三年级上册第95页习题8：如图3，涂色部分是整个图形的几分之几？图中涂色部分包含两种形状的图形，从表面看不属于平均分的情形，但只要适当旋转两个涂色的扇形，就可得到平均分的一份，即一个“大扇形”，从而得到涂色部分是整体的24。如果继续将右下角这个“大扇形”逆时针旋转到右上角位置，则涂色部分又可以组合成一个“半圆”，涂色部分是整体的12。通过图形的旋转、重组，学生能直观感受部分与整体的相对关系，促进对不同分数表达结果的理解。
再如，人教版小学数学三年级上册第94页习题2：□是一个图形的14。这个图形可能是什么形状？你能在方格纸上画出这个图形吗？该题属于开放题，不仅考查学生对分数定义的理解，也考查学生的空间想象能力。教学中，为充分体现从直观到抽象的过程，需把握两点：第一，所谓的平均分只要求各部分的地位（比如面积、长度、重量等）相同，并非一定要有相同的外观，因此，可以对一个“□”进行不同的表征，如“□”可看作两个“⊿”的组合。第二，作为平均分割的整体，可以是一个完整的图形或实物，也可以是由多个图形或实物组合的一个新整体，因此，可以将“□”或其等价表征形式进行不同位置的摆放，甚至还能突破平面限制，从折叠展开的角度抽象出空间立体图形。
由此可见，在完善数学概念的过程中，几何直观显然能带来一些实物所达不到的好处和效果。但如果对分数的份数定义学习的几何直观就关注于此，那学生必定是浅尝辄止，必然会影响其对分数本质的理解。史宁中教授认为：“数的本质是‘多与少’或者‘大与小’，从而过渡到数的顺序。”因此，教学中还需在几何模型的基础上进行再抽象，这就要用到线段模型。人教版小学数学教材在这方面也有充分考虑，教材例题、习题中多次要求学生用分数表示线段中的标记部分，比如图4，看图写分数，并比较大小。线段模型是圆模型和其他平面模型的再抽象，可以充当分数的份数定义向商定义过渡的几何载体。实际教学中，可以反复使用线段模型这一良好素材。比如利用人教版小学数学三年级上册第110页习题3的“分数墙”，将“分数墙”上每一层墙的均分“界线”转移到同一条线段上，这也是数轴的重要雏形，从而让学生直观感受数的大小、有序，使得对分数的认识从实物直观过渡到图形抽象，又将数学抽象转到图形直观。
2.分数的商定义：从实物直观走向数学抽象。
课程标准在第二学段对分数学习的要求是：“结合具体情境，理解分数的意义；会进行小数、分数和百分数的转化（不包括将循环小数化为分数）；能比较分数的大小；能进行简单的分数（不含带分数）的加、减、乘、除运算及混合运算；能解决分数的简单实际问题。”尽管课程标准没有明确强调学习分数的各种意义，但仍然要求先在具体情境中学习，然后再逐渐脱离具体情境，能从数学的角度理解分数作为一个数学对象参与运算。
以“3÷4”为例说明。前文已经分析过，考虑小学生的认知特点，教学不可能一开始就告訴学生因为3不能被4整除，所以要引入分数去表达除法结果。因此，还是要借助实物直观：“将3个月饼平均分给4个人，每人分得多少个？”学生经过实际操作或作图演示，可得如下一些操作方式——
方式1：先将第一个月饼平均分成四份，然后分给每人1块；再用同样的分割、分配方式处理第二、三个月饼，最终每人得到3块14个月饼，把它们拼在一起，每人分得34个月饼。
方式2：按照课本上的方法，将3个月饼摞在一起，平均分成4份，再把每份的3块14个月饼重新组合，每人分得34个月饼。
方式3：先将2个月饼摞在一起，平均分成2份，相当于得到4个12，每人分得其中1块；再将第3个月饼平分成4份，每人再分得1块，将两次所得拼在一起，也分得34个月饼。
无论哪种分割方式，最后每个人都分得一部分月饼，由于分得的月饼又不足一个，无法用学过的整数表达，此时学生必然存在困惑。教学中，很多教师都采用这样一种引导方式：每人分得的月饼是实实在在存在的，依据平均分的原理，就应该是3÷4所得的商，是一个客观存在的量。但这是以前没有接触过的除法类型，因此为了描述这个客观存在的量，就有必要介绍“新朋友”——分数。有了分数这个“新朋友”，除法就不再局限于除数小、被除数大的类型了，任意两个整数的除法都可以“合法”进行了。通过这样的引导，学生在具体情境下，可以接受用“新”数表示客观存在的月饼大小，但这也只能表示学生认同分数产生的一种现实情境——分物，至于分数与除法的关系则不能理解。为了解决这个思维过渡的问题，就需要在上述引导的基础上再将实物情境数学化了。
首先，在线段模型上感知分数表示客观的数学对象。将上述三种分割方式体现在线段上（如图5），学生能直观感受到3÷4的结果确实是一个介于0与1之间的“新”数，而且与1更接近。加深对分数作为一种“新”数的认同后，理解分数与除法的关系就又近了一步。再将实际问题转化为数学表达：把3平均分成4份，每份是多少？以方式1为例，就是先将1平均分成4份，其中一份就是14。所以将3平均分成4份，每份就是3个14，即34。由此提升到算法：3÷4=3×（1÷4）=3×14=34。因此，自然过渡到3÷4=34，即3÷4的结果可以用分数来表达，分数的引入正是为解决在整数集合里除法不是总能实施的矛盾。最后，明确给出分数的商定义：分数是两个整数相除（除数不为0）的商，其数学符号语言表达为ab（a，b为整数，b≠0）。 对于五年级的学生而言，数学的抽象逻辑思维正逐步发展，我们应尝试从更数学化的角度表征分数定义，让学生感受操作背后蕴含的数学内涵。正如范·希尔强调的：“我认为唯一诚实的做法就是告诉学生，引入分数就是为了使算术运算的适用范围不受限制。这是一种抽象的导出概念，几乎不受实际需要的影响。”
总之，教学过程中，既要重视实物、几何直观，也要提升学生的数学抽象思维能力，这也是培养学生核心素养的重要途径之一。
（三）处理好直接经验与间接经验的关系
在当前的数学教育理论中，一个普遍认同的观点是：一方面，学生的数学认识不是通过被动接受建立的，而是通过自己的经验主动构建起来的；另一方面，在学习数学间接经验的同时，学生也在发展自己的直接经验，特别是通过打好知识基础，掌握学习方法，学生具有了主动面对生活和社会去拓展自我直接经验的能力，这正是数学学习的发展性所要求的目标。对于分数的学习，教学中也应有计划地组织多样化的数学活动，让学生在“分一分”“量一量”“涂一涂”“比一比”等具体操作中，感受分数产生的现实背景，积累活动经验，从而能够独立解决与分数有关的简单实际问题。这里要强调的是，无论是哪一阶段的分数学习，教材中的素材都以分物情境居多，但从数学发展史上看，分数正是为了比较精确地测量可以分割的量而引入的。因此，教学中要重视分数产生的这一现实背景，如组织学生测量实际物体的长度：用一根作为单位的绳子（米尺）去量花坛边墙的长度。假设量了4次还有一段边墙，这时就可以说花坛边墙的长度大概是4米多。如果需要更精确的数据，就须把给定的单位等分为更小的单位。比如，将1米的单位五等分后，用其中两份刚好度量完，则说明余下边墙的长度为2个15米，即25米，最终测得花坛的边墙长度就为425米。当然，并不都是只需一次细分单位就可以完成测量，有时还要经过多次细分或调整。甚至存在无论如何等分单位，都无法用整数个单位去测量剩余部分的情况，这时就有了另外的“新”数（无理数）产生的背景。尽管小学阶段不涉及无理数，但通过实际测量对学生理解分数单位、理解分数为形如ab的数都有积极作用。同时，也能让学生积累丰富的直接经验，对学生了解数的发展和理解数的意义有着重要作用。
此外，考虑到分数定义本身就是人们长期数学活动加以总结的结果，仅仅通过简单实物操作活动，是不可能完全了解的，还需进一步完善分数的数学解释，因此，教师应创造性地设计教学，引导学生在有限的时间内系统地学习分数意义。比如，有教师设计了关于“分数表”的教学案例来促进学生对分数的理解。此类拓展训练课，不仅激发了学生的兴趣，也引发了他们的数学思考。学生在探究中发现规律、悟出结论、积累自身直接经验的同时，对分数的认识也更全面、更系统。
人们对分数的认识经历了长久的历史发展、演变。教学中所讨论的分数的各种不同意义，其实也是基于不同背景下分数产生、发展的历史缩影。教师唯有全面、系统地把握分数的意义，结合学生的认知规律和思维发展的阶段性，通过分数产生的历史背景、现实情境让学生感受分数产生的必要性，再进一步脱离具体情境理解分数的数学本质，将分数的不同意义进行有效衔接与适当整合，才能引导学生循序渐进地靠近分数的定义本质，螺旋上升地感受数系扩充的代数内涵。
参考文献：
[1]章建跃.中学数学课改的十个论题[J].中学数学教学参考月刊，2010（1）.
[2]張奠宙.分数的定义[J].小学教学（数学版），2010（1）.
[3]张奠宙.“分数”教学中需要澄清的几个数学问题[J].小学教学（数学版），2010（1）.
[4]史宁中，孔凡哲，杨树春.从分数的本质看小学数学教师的专业素养——数学教育热点问题系列访谈录[J].小学青年教师，2005 （1）.
[5]巩子坤，杨玉东.错误仅仅是粗心所致吗[J].上海教育科研，2007（9）.
[6]郑毓信.分数的教学与数学思维[J].小学教学（数学版），2010（5）.
[7]章勤琼，徐文彬.论小学数学中分数的多层级理解及其教学[J].课程·教材·教法，2016（3）.
[8]林永伟，叶立军.数学史与数学教育[M].杭州：浙江大学出版社，2004.
[9]刘加霞.通过“分”与“数（shǔ）”，分数是个“数（shù）”？——兼评华应龙老师执教的“分数的意义”[J].人民教育，2011（6）.
关键词：理解数学 理解学生 理解教学 分数定义
章建跃博士在《中学数学课改的十个论题》一文中提出了“理解数学，理解学生，理解教学”的教育教学理念。其中，“理解数学”是数学教学的本质，具体要求是：了解数学知识背景，把握数学知识内在本质，体会数学思想方法，挖掘潜在应用价值；“理解学生”是数学教学的前提，具体要求是：遵循学生认知规律，透视学生学习难点；“理解教学”是数学教学的保障，也是“理解数学”和“理解学生”的最终表现，具体要求是：创造性地使用和整合课程资源，构建学为中心、学教统一、师生共同发展的有效课堂。这一理念同样适用于小学数学领域。本文基于“三个理解”，立足人教版小学数学教材探讨分数定义教学的具体实施。
一、理解数学——把握概念本质
分数是小学数学学习的重点和难点，理解分数的定义对于小学生发展数的概念有着重要意义和作用。近年来，一些学者对分数定义做了研究。张奠宙教授认为，应该从份数、商、比、公理化四个不同层次来定义分数。“在小学第二阶段对分数的学习，必须明确地给分数一个定义。分数的定义只有一个，就是两个自然数相除（除数不为0）的商。所谓份数定义，只是初步认识时的过渡说法。至于比定义，则是商定义的引申。”史宁中教授指出：“就整个中小学数学来说，分数主要有两个作用：一个是作为有理数出现的一种数，它能和其他的数一样参与运算；另一个是以比的形式出现的数。而后者是小学分数教学的重点。”巩子坤、杨玉东教授认为：“分数作为一种数，其本身既表达一个绝对的量，又表示一个相对的量；分数作为一个相对的量，其意义的表征模型既有离散的，又有连续的；分数作为一个概念，既表达动态的运算操作（过程性），又表达运算操作的结果（对象性）。”西方学者T.E.Kieren强调从部分与整体的关系、商、测量、运算、比这五种不同意义理解分数。
通过对文献的梳理，不难发现，众多学者基于数学本质和教学的角度，谈了分数的不同意义，他们基本都有相似的观点：就历史发展而言，分数产生的现实背景有测量、分物、比较等；就数学本身而言，分数是为保证运算的封闭性而进行的数系扩充。因此，对小学阶段分数的理解，应做到：
1.在实物分割、测量或几何模型的直观情境下，揭示部分与整体数量关系的份数定义。
2.由直观到抽象，逐步认识分数与除法的关系，理解分数是两个整数相除（除数不为0）的商。
3.理解分数是两个整数的比，加强比与除法、分数的联系，完善对分数的理解。
4.初步感受分数产生的数学本质源于整数的除法运算不受限制。
二、理解学生——透视学习难点
郑毓信教授认为，分数正是数学思维真正进入小学数学的地方，分数也是一些小学生在数学学习中表现出真正困难的实际起点，并因此在小学生中出现了两极分化。而分数之所以成为学生学习的难点，主要有以下两个方面原因。
（一）知识层面
1.分数相对于自然数而言，生活中的直接应用较少，缺乏现实情境的支撑和强化，学生自然认为分数十分抽象。
2.分数的四则运算法则在计算方法上与自然数、小数也存在区别，在算理上稍显复杂，所以也加大了学生理解和掌握的难度。
3.“分数是学生需要认识的最早的不能依赖数数算法的数字系统”，而作为十进位制数的自然数无论是计数还是数的大小比较，学生都更容易接受和理解。同时，学生对整数知识掌握的牢固性也一定程度影响了学生对分数的学习。
4.从书写角度而言，分数包含分子、分母和分数线，涉及两个自然数和数学符号的书写，较之于自然数，也更为复杂，这也从一定程度上影响了学生对分数的学习。
（二）认知层面
按照瑞士心理学家皮亚杰的理论，小学三年级的学生正处于具体运算阶段，开始进行心理运算，“能在头脑中依靠动作的格式对事物的关系系统进行逆反、互反、传递等可逆运算”。但这种能力表现还并不成熟，思维也往往具有局限性。
就分数的份数定义而言，大部分学生能够通过具体实物的分割感受平均分后其中一份（或几份）是整体的几分之一（或几分之几）。但若始终停留在分物层面上，也会限制学生对分数的认识，导致将分数看成是“先平分，再取其中一份或几份”的操作。事实上，分数表面上是“一份或几份”，实则表示的是部分与整体之比。尽管并不要求这一阶段的学生从比的角度解释分数，但他们应该要明确分数就是部分在整体中所占有的份额，是一种相对的关系，只有充分认识到这种相对关系，才不会困惑于“苹果的12”和“操场的12”中的分数表达。同时值得注意的是，无论生活中还是数学上，更多的情境是在无法预知分割方式的前提下，直接判断或求解部分与整体的数量关系。
比如，人教版小学数学三年级上册第94页习题1：能用13表示图1中的涂色部分吗？学生很容易观察出图中三部分不是平均分的结果，因此不能用13表示。但涂色部分应该选择哪一个分数表示或者能否用分数表示，由于学生拘泥于“先分后取”的操作，理解这类逆反问题就存在思维障碍。
同时，学生对整体的理解较为局限、片面，他们往往能接受的整体就是1个圆、1个苹果、1篮鸡蛋等，即表示整体的数量修饰一定要是“一”或“1”。如果是“将12个苹果平均分给3个同学，问：每个同学分得的苹果是总苹果的几分之几？”学生的答案就可能有123、13、14等不同答案。
又如王笑晖等老师对学生解答“用阴影部分在图2中表示出25平方分米”一题做过调研，该题的本质可理解为“将2平方分米的长方形平均分成5份后，取一份的大小”，但有学生非得先将长方形一分为二，目的是要构造平均分的“整体”——1平方分米的长方形，然后再将其平均分割成5份，取其中的两份。由此看来，从“整体是一个物体”到“整体可以是多个物体”的理解，是学生的思维难点。唯有突破這一难点，学生才能抓住问题的本质：无论将“整体”平均分成几份，每份总是占整体的几分之一。所谓“整体”，可以是生活实物（如1个苹果、1筐苹果、已知具体个数的苹果等），也可以是几何模型（如1个圆形、10厘米的线段、面积为2平方分米的长方形等）或纯粹的数。 对于分数的商定义，是把对分数意义的关注点由部分与整体的关系扩展到了数与数的关系，由具有现实背景的问题过渡到纯粹数量关系的问题，蕴含着数的发展和数系扩充的代数思想。郑毓信教授认为，由过程向对象的转变（这就是所谓的“凝聚”）则可看成算术（或代数）思维的基本形式。而小学生的代数思维尚未真正形成，若要他们将分数真正视作一个数学对象，还需一定时间的引导和强化。即使对于小学五、六年级的学生，虽然他们已经步入前运算阶段的中后期，在推理、问题解决和逻辑方面已较大地超过了前运算阶段前期的儿童，但其抽象逻辑思维在很大程度上仍需要直观形象思维的支撑。这就意味着学生对商定义的学习仍要借助实物或几何直观。比如，很多教学设计直接从1除以3的角度引出分数的商定义，试图以更快的方式给学生揭示分数定义的本质。但受自然数除法的影响，学生更为关注的是1除以3的商究竟是什么，而无“心思”体会分数产生的必要性以及用分数表达结果的合理性。因此，如何帮助学生逐步适应由过程转向对象这样一种思维方式，这就是分数教学的一个真正难点。
三、理解教学——构建有效课堂
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（下文简称“课程标准”）指出：“课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系；要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系。”下文在把握课程标准所提出的这几个关系的基础上，谈谈对分数的份数定义、商定义分阶段教学的思考。
（一）处理好过程与结果的关系
张奠宙教授认为，“份数定义显示过程，商定义表示结果。”教学中，为了自然、顺畅地通向分数的本质定义，实现分数不同意义的有效衔接与适当整合，教师首先应思考的是：小学分数学习的起始阶段——“分数的初步认识”，“初步认识”究竟应由哪种定义引出？“初步”到什么程度？如何衔接好下一阶段分数的学习？使得整个分数定义的学习是充满活力、富有内涵、蕴含思想、积累经验的数学活动过程，而并非单一强调结果的教学。
我国《说文解字》中对“分”的解释是：“分，别也。从八，从刀，刀以分别物也。”拉丁文的分数源于“frangere”，原意为“分割、断裂”；法文的分数“nombre romprer”，原意为“折断的数”。由此看来，尽管语言文化的背景不同，但“分数”都蕴含“分割”的意思。因此，教材是从具有现实背景的分物出发，由份数定义展开学习，这样的安排符合分数产生的现实背景和小学生的认知特征。这一阶段对分数的学习，重点把握分数表示部分与整体的数量比，有如下两方面要求：
要求1：已知整体量和平均分的份数，能用分数表示其中一份（或几份）所占的份额。
要求2：已知整体量和平均分后其中一份（或几份）的量，能用分数表示已知部分占整体的份额。
从数学角度理解，上述两类问题就是用分数来表示“有多少”和“占多少”的问题。这两类平均分问题都不可偏废，否则必然影响学生对分数意义的理解。而且后者的学习，更能体现分数本质，尤其在非平均分的情况下，要表示部分与整体或部分与部分的数量比，是需要进行实际测量或计算的，这恰恰就是分数产生的现实背景。当然，无论是要求1还是要求2都是为第二阶段商定义的学习作铺垫。因为掌握了分数与除法的关系后，解决下列两类问题就比较简单了：
问题1：已知整体量和平均分的份数，能求其中一份（或几份）的大小。例如：一个3 m2的花坛，种5种花，每种花平均占地多少平方米？
问题2：已知一部分与另一部分（可以是整体，也可以是部分）的量，能求这两部分的数量比。例如：小新家養鹅7只，养鸭10只，养鸡20只。鹅的只数是鸭的几分之几？鸡的只数是鸭的多少倍？
问题1已将分数表示部分与整体的数量关系过渡到了分数也可以表示一个纯粹的数量，它同自然数一样，能表示实物的大小；问题2打破了分数表示部分与整体之比的局限，可以表示部分与部分之比，并进一步抽象到自然数与自然数的数量关系。这不仅沟通了分数与比的关系，也将分数的范围从小于1的真分数扩充到可以大于或等于1的假分数。
这里要说明的是，考虑学生的认知特征，初学阶段不宜过度拔高。对于要求2，建议平均分的方式不要过于复杂，学生根据已知要能容易推出分割方式，重在理解份额的分数表示。若不是平均分割情形，初学阶段只需学生能判断用给定分数能否表示已知部分，更为复杂的情形可待学生系统掌握了分数的不同意义后，开展适当的探究活动。
当然，通过分数的份数定义的学习，学生还不能将分数认作一个客观的数学对象，如果此时直接学习分数的商定义，对学生的认知而言是存在难度的。基于这一点，教材为了搭建循序渐进、承上启下的数学活动平台，做了学习内容的增补。在“分数的初步认识”单元，增加了“分数的简单应用”小节，该小节主要强调两个学习内容：
内容1：把一些物体看作一个整体平均分成若干份，其中的一份或几份也可以用分数来表示。
内容2：求一个数的几分之一或几分之几。
内容1的学习，可拓宽对“整体”的理解，衔接第二阶段分数意义的学习；内容2的学习，则是对“整体”概念的强化和应用。通过结合已有的整数除法知识解决实际问题，连接了分数与除法的关系，为分数的商定义铺路搭桥。
总之，从三年级分数的份数定义的学习到五年级分数的商定义的学习，教材为学生保留了充足的理解和思考的时间。教学活动中，切忌揠苗助长，应在宽松的数学学习活动中，让学生感受分数的发展，感悟数学的思想和方法，积累一定的活动经验，为充分理解分数的本质定义做好平稳而扎实的准备。
（二）处理好直观与抽象的关系
数学的抽象性是数学的本质特征之一，也是数学与其他学科的一个显著区别。波利亚曾说：“抽象的道理是重要的，但要用一切办法使它们看得见、摸得着。”的确，数学直观与抽象并非对立，它们甚至是数学发展的左膀右臂。因此，考虑到学生学习分数知识的可接受性和心理适应性，分数定义也应由具体情境的直观实物支撑，逐步走向数学语言和符号语言的抽象描述。 1.分数的份数定义：由实物直观到几何直观，再到线段模型的半抽象。
借助“分月饼”等实物直观引出对分数的认识，符合小学生的认知特点。但重复生活情境化的教学模式，也将限制学生数学思维的发展，反而使数学课堂“去数学化”了。因此，还要逐渐由实物直观进一步演变成几何直观，通过几何图形的分割或组合，让学生在数学图形的观察中思考分数的意义。
比如，观察同一几何图形不同的平均分割结果可以发现，平均分割方式不同，所形成的每份图形的大小也不同；分的份数越多，每一份反而越小。因此，不同分法下每份占总体的分数表达也可能不同，并且可以根据分割结果比较分数大小。
又如，人教版小学数学三年级上册第95页习题8：如图3，涂色部分是整个图形的几分之几？图中涂色部分包含两种形状的图形，从表面看不属于平均分的情形，但只要适当旋转两个涂色的扇形，就可得到平均分的一份，即一个“大扇形”，从而得到涂色部分是整体的24。如果继续将右下角这个“大扇形”逆时针旋转到右上角位置，则涂色部分又可以组合成一个“半圆”，涂色部分是整体的12。通过图形的旋转、重组，学生能直观感受部分与整体的相对关系，促进对不同分数表达结果的理解。
再如，人教版小学数学三年级上册第94页习题2：□是一个图形的14。这个图形可能是什么形状？你能在方格纸上画出这个图形吗？该题属于开放题，不仅考查学生对分数定义的理解，也考查学生的空间想象能力。教学中，为充分体现从直观到抽象的过程，需把握两点：第一，所谓的平均分只要求各部分的地位（比如面积、长度、重量等）相同，并非一定要有相同的外观，因此，可以对一个“□”进行不同的表征，如“□”可看作两个“⊿”的组合。第二，作为平均分割的整体，可以是一个完整的图形或实物，也可以是由多个图形或实物组合的一个新整体，因此，可以将“□”或其等价表征形式进行不同位置的摆放，甚至还能突破平面限制，从折叠展开的角度抽象出空间立体图形。
由此可见，在完善数学概念的过程中，几何直观显然能带来一些实物所达不到的好处和效果。但如果对分数的份数定义学习的几何直观就关注于此，那学生必定是浅尝辄止，必然会影响其对分数本质的理解。史宁中教授认为：“数的本质是‘多与少’或者‘大与小’，从而过渡到数的顺序。”因此，教学中还需在几何模型的基础上进行再抽象，这就要用到线段模型。人教版小学数学教材在这方面也有充分考虑，教材例题、习题中多次要求学生用分数表示线段中的标记部分，比如图4，看图写分数，并比较大小。线段模型是圆模型和其他平面模型的再抽象，可以充当分数的份数定义向商定义过渡的几何载体。实际教学中，可以反复使用线段模型这一良好素材。比如利用人教版小学数学三年级上册第110页习题3的“分数墙”，将“分数墙”上每一层墙的均分“界线”转移到同一条线段上，这也是数轴的重要雏形，从而让学生直观感受数的大小、有序，使得对分数的认识从实物直观过渡到图形抽象，又将数学抽象转到图形直观。
2.分数的商定义：从实物直观走向数学抽象。
课程标准在第二学段对分数学习的要求是：“结合具体情境，理解分数的意义；会进行小数、分数和百分数的转化（不包括将循环小数化为分数）；能比较分数的大小；能进行简单的分数（不含带分数）的加、减、乘、除运算及混合运算；能解决分数的简单实际问题。”尽管课程标准没有明确强调学习分数的各种意义，但仍然要求先在具体情境中学习，然后再逐渐脱离具体情境，能从数学的角度理解分数作为一个数学对象参与运算。
以“3÷4”为例说明。前文已经分析过，考虑小学生的认知特点，教学不可能一开始就告訴学生因为3不能被4整除，所以要引入分数去表达除法结果。因此，还是要借助实物直观：“将3个月饼平均分给4个人，每人分得多少个？”学生经过实际操作或作图演示，可得如下一些操作方式——
方式1：先将第一个月饼平均分成四份，然后分给每人1块；再用同样的分割、分配方式处理第二、三个月饼，最终每人得到3块14个月饼，把它们拼在一起，每人分得34个月饼。
方式2：按照课本上的方法，将3个月饼摞在一起，平均分成4份，再把每份的3块14个月饼重新组合，每人分得34个月饼。
方式3：先将2个月饼摞在一起，平均分成2份，相当于得到4个12，每人分得其中1块；再将第3个月饼平分成4份，每人再分得1块，将两次所得拼在一起，也分得34个月饼。
无论哪种分割方式，最后每个人都分得一部分月饼，由于分得的月饼又不足一个，无法用学过的整数表达，此时学生必然存在困惑。教学中，很多教师都采用这样一种引导方式：每人分得的月饼是实实在在存在的，依据平均分的原理，就应该是3÷4所得的商，是一个客观存在的量。但这是以前没有接触过的除法类型，因此为了描述这个客观存在的量，就有必要介绍“新朋友”——分数。有了分数这个“新朋友”，除法就不再局限于除数小、被除数大的类型了，任意两个整数的除法都可以“合法”进行了。通过这样的引导，学生在具体情境下，可以接受用“新”数表示客观存在的月饼大小，但这也只能表示学生认同分数产生的一种现实情境——分物，至于分数与除法的关系则不能理解。为了解决这个思维过渡的问题，就需要在上述引导的基础上再将实物情境数学化了。
首先，在线段模型上感知分数表示客观的数学对象。将上述三种分割方式体现在线段上（如图5），学生能直观感受到3÷4的结果确实是一个介于0与1之间的“新”数，而且与1更接近。加深对分数作为一种“新”数的认同后，理解分数与除法的关系就又近了一步。再将实际问题转化为数学表达：把3平均分成4份，每份是多少？以方式1为例，就是先将1平均分成4份，其中一份就是14。所以将3平均分成4份，每份就是3个14，即34。由此提升到算法：3÷4=3×（1÷4）=3×14=34。因此，自然过渡到3÷4=34，即3÷4的结果可以用分数来表达，分数的引入正是为解决在整数集合里除法不是总能实施的矛盾。最后，明确给出分数的商定义：分数是两个整数相除（除数不为0）的商，其数学符号语言表达为ab（a，b为整数，b≠0）。 对于五年级的学生而言，数学的抽象逻辑思维正逐步发展，我们应尝试从更数学化的角度表征分数定义，让学生感受操作背后蕴含的数学内涵。正如范·希尔强调的：“我认为唯一诚实的做法就是告诉学生，引入分数就是为了使算术运算的适用范围不受限制。这是一种抽象的导出概念，几乎不受实际需要的影响。”
总之，教学过程中，既要重视实物、几何直观，也要提升学生的数学抽象思维能力，这也是培养学生核心素养的重要途径之一。
（三）处理好直接经验与间接经验的关系
在当前的数学教育理论中，一个普遍认同的观点是：一方面，学生的数学认识不是通过被动接受建立的，而是通过自己的经验主动构建起来的；另一方面，在学习数学间接经验的同时，学生也在发展自己的直接经验，特别是通过打好知识基础，掌握学习方法，学生具有了主动面对生活和社会去拓展自我直接经验的能力，这正是数学学习的发展性所要求的目标。对于分数的学习，教学中也应有计划地组织多样化的数学活动，让学生在“分一分”“量一量”“涂一涂”“比一比”等具体操作中，感受分数产生的现实背景，积累活动经验，从而能够独立解决与分数有关的简单实际问题。这里要强调的是，无论是哪一阶段的分数学习，教材中的素材都以分物情境居多，但从数学发展史上看，分数正是为了比较精确地测量可以分割的量而引入的。因此，教学中要重视分数产生的这一现实背景，如组织学生测量实际物体的长度：用一根作为单位的绳子（米尺）去量花坛边墙的长度。假设量了4次还有一段边墙，这时就可以说花坛边墙的长度大概是4米多。如果需要更精确的数据，就须把给定的单位等分为更小的单位。比如，将1米的单位五等分后，用其中两份刚好度量完，则说明余下边墙的长度为2个15米，即25米，最终测得花坛的边墙长度就为425米。当然，并不都是只需一次细分单位就可以完成测量，有时还要经过多次细分或调整。甚至存在无论如何等分单位，都无法用整数个单位去测量剩余部分的情况，这时就有了另外的“新”数（无理数）产生的背景。尽管小学阶段不涉及无理数，但通过实际测量对学生理解分数单位、理解分数为形如ab的数都有积极作用。同时，也能让学生积累丰富的直接经验，对学生了解数的发展和理解数的意义有着重要作用。
此外，考虑到分数定义本身就是人们长期数学活动加以总结的结果，仅仅通过简单实物操作活动，是不可能完全了解的，还需进一步完善分数的数学解释，因此，教师应创造性地设计教学，引导学生在有限的时间内系统地学习分数意义。比如，有教师设计了关于“分数表”的教学案例来促进学生对分数的理解。此类拓展训练课，不仅激发了学生的兴趣，也引发了他们的数学思考。学生在探究中发现规律、悟出结论、积累自身直接经验的同时，对分数的认识也更全面、更系统。
人们对分数的认识经历了长久的历史发展、演变。教学中所讨论的分数的各种不同意义，其实也是基于不同背景下分数产生、发展的历史缩影。教师唯有全面、系统地把握分数的意义，结合学生的认知规律和思维发展的阶段性，通过分数产生的历史背景、现实情境让学生感受分数产生的必要性，再进一步脱离具体情境理解分数的数学本质，将分数的不同意义进行有效衔接与适当整合，才能引导学生循序渐进地靠近分数的定义本质，螺旋上升地感受数系扩充的代数内涵。
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