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摘 要：本文，我們给出了关于时间的分数阶K-S方程的一个精确解。这里的分数阶导数是在局部分数阶导数的意义下讨论的。这种解对于物理学家解释相关物理现象具有重要意义。
关键词：Kuramoto-Sivashinsky（K-S）方程；局部分数阶导数；精确解
1 引言
考虑下面的分数阶Kuramoto——Sivashinsky（K-S）方程：
（1）
这里Du表示局部分数阶导数。
K-S方程有很强的物理背景，已有大量作者进行了研究（[1、3、5]）。
本文，我们在文献[1]研究的基础上，研究方程（1）的精确解. 这对于物理学家探讨物理现象具有重要意义。
2 预备知识
最近，由于局部分数阶导数在描述物理现象方面的优势，已经吸引了大量研究者的注意[8]。这里，我们仅给出局部分数阶导数的定义和它的链锁求导法则。
定义：函数f（x）在x0处的局部α阶导数D■■f（x）定义为[8]：
这里 ， 为著名的伽马函数。
这种导数具有下面简单的链锁求导法则：
3 主要结果
设 ， 使用局部导数的链锁法则，将它们代入方程（1），我们可得：
上面的方程可用tanh-sech[6]方法求解. 我们可求得：
从而我们得到方程（1）的精确解：
这里我们使用了 这个奇函数性质。
4 结论
本文，我们给出了关于时间的分数阶K-S方程的一个精确解. 这里的分数阶导数是在局部分数阶导数的意义下讨论的. 这种解对于物理学家解释相关物理现象具有重要意义。
参考文献
[1]Sahoo S， Ray S S. New approach to find exact solutions of time-fractional Kuramoto-Sivashinsky equation[J]. Physica A Statistical Mechanics & Its Applications， 2015， 434：240-245.
[2]A.H. Khater， R.S. Temsah， Numerical solutions of the generalized Kuramoto-Sivashinsky equation by Chebyshev spectral collocation methods， Comput.Math. Appl. 56（2008）1465-1472.
[3]A.M. Wazwaz， New solitary wave solutions to the Kuramoto-Sivashinsky and the Kawahara equations， Appl. Math. Comput. 182（2006）1642-1650.
[4]M. Kurulay， A. Secer， M.A. Akinlar， A new approximate analytical solution of Kuramoto-Sivashinsky equation using homotopy analysis method， Appl.Math. Inf. Sci. 7 （1） （2013） 267-271.
[5]L. Debnath， Nonlinear Partial Differential Equations for Scientists and Engineers， second ed.， Birkh？usher， Boston， USA， 2005.
[6]J.D.M. Rademacher， R.W.Wattenberg， Viscous shocks in the destabilized Kuramoto-Sivashinsky equation， J. Comput. Nonlinear Dyn. 1（2006）336-347.
[7]A.M. Wazwaz， The tanh method： solitons and periodic solutions for the Dodd-Bullough-Mikhailov and the Tzitzeica-Dodd-Bullough equations， Chaos Solitons Fractals 25（2005）55-63.2013（97）（2013）1-8.
[8]G. Jumarie， Modified Riemann-Liouville derivative and fractional Taylor series of nondifferentiable functions further results， Comput. Math. Appl. 51（2006）1367-1376.
[9]Li， X.， Essex， C.， and Davison， M.， A Local Fractional Derivative， （2003）， Pro-ceedings of the First Symposium on Fractional Derivatives and Their Applications，American Society of Mechanical Engineering， Sep 2-6， 2003.
关键词：Kuramoto-Sivashinsky（K-S）方程；局部分数阶导数；精确解
1 引言
考虑下面的分数阶Kuramoto——Sivashinsky（K-S）方程：
（1）
这里Du表示局部分数阶导数。
K-S方程有很强的物理背景，已有大量作者进行了研究（[1、3、5]）。
本文，我们在文献[1]研究的基础上，研究方程（1）的精确解. 这对于物理学家探讨物理现象具有重要意义。
2 预备知识
最近，由于局部分数阶导数在描述物理现象方面的优势，已经吸引了大量研究者的注意[8]。这里，我们仅给出局部分数阶导数的定义和它的链锁求导法则。
定义：函数f（x）在x0处的局部α阶导数D■■f（x）定义为[8]：
这里 ， 为著名的伽马函数。
这种导数具有下面简单的链锁求导法则：
3 主要结果
设 ， 使用局部导数的链锁法则，将它们代入方程（1），我们可得：
上面的方程可用tanh-sech[6]方法求解. 我们可求得：
从而我们得到方程（1）的精确解：
这里我们使用了 这个奇函数性质。
4 结论
本文，我们给出了关于时间的分数阶K-S方程的一个精确解. 这里的分数阶导数是在局部分数阶导数的意义下讨论的. 这种解对于物理学家解释相关物理现象具有重要意义。
参考文献
[1]Sahoo S， Ray S S. New approach to find exact solutions of time-fractional Kuramoto-Sivashinsky equation[J]. Physica A Statistical Mechanics & Its Applications， 2015， 434：240-245.
[2]A.H. Khater， R.S. Temsah， Numerical solutions of the generalized Kuramoto-Sivashinsky equation by Chebyshev spectral collocation methods， Comput.Math. Appl. 56（2008）1465-1472.
[3]A.M. Wazwaz， New solitary wave solutions to the Kuramoto-Sivashinsky and the Kawahara equations， Appl. Math. Comput. 182（2006）1642-1650.
[4]M. Kurulay， A. Secer， M.A. Akinlar， A new approximate analytical solution of Kuramoto-Sivashinsky equation using homotopy analysis method， Appl.Math. Inf. Sci. 7 （1） （2013） 267-271.
[5]L. Debnath， Nonlinear Partial Differential Equations for Scientists and Engineers， second ed.， Birkh？usher， Boston， USA， 2005.
[6]J.D.M. Rademacher， R.W.Wattenberg， Viscous shocks in the destabilized Kuramoto-Sivashinsky equation， J. Comput. Nonlinear Dyn. 1（2006）336-347.
[7]A.M. Wazwaz， The tanh method： solitons and periodic solutions for the Dodd-Bullough-Mikhailov and the Tzitzeica-Dodd-Bullough equations， Chaos Solitons Fractals 25（2005）55-63.2013（97）（2013）1-8.
[8]G. Jumarie， Modified Riemann-Liouville derivative and fractional Taylor series of nondifferentiable functions further results， Comput. Math. Appl. 51（2006）1367-1376.
[9]Li， X.， Essex， C.， and Davison， M.， A Local Fractional Derivative， （2003）， Pro-ceedings of the First Symposium on Fractional Derivatives and Their Applications，American Society of Mechanical Engineering， Sep 2-6， 2003.