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【摘 要】 介绍关于SIA-SmaartLive?测量平台上所使用的快速傅里叶变换（FFT）技术性实践分析报告的概况，从而了 解SmaartLive基于FFT测量的基本概念，进而理解其测量参数、步骤以及所得数据。
【关键词】 音频测量；SmaartLive；快速傅里叶变换；传递函数；脉冲响应
文章编号： 10.3969/j.issn.1674-8239.2017.01.004
The Fundamentals of FFT-Based Audio Measurements in SmaartLive
Original/[USA]Paul D. Henderson Translate/HE Kai-chen1， JI Xiang1
（1. The Communication University of China， Beijing 100024， China）
【Abstract】This article serves as summary of the Fast-Fourier Transform （FFT） analysis techniques implemented in the SIA-SmaartLive measurement platform. By reading through this document， you will receive an understanding of the fundamental concepts in FFT-based measurements， providing you with insights to better comprehend the measurement parameters， procedures， and resulting data.
【Key Words】audio measurement； SmaartLive； fast fourier transform； transfer function； impulse response
本文是关于SIA-SmaartLive? 测量平台上所使用的快速傅里叶变换（FFT）技术性实践分析报告的摘要。通过阅读这一文章，将会了解到SmaartLive基于FFT测量的基本概念，进而对测量参数、步骤以及所得数据有更好地理解。
1 时域采样：将信号送入SmaartLive
一般来说，声信号和电信号都是连续的，它们在每个时间点上都有一个确定的值，故可以使用测量仪器来测量声压和模拟电压这类连续信号。然而，为了能够通过SmaartLive这种基于计算机的测量系统来分析这些连续信号，必须把它们转换为一系列数字样本，且每个数字样本能够代表一个在特定时间点上与被测信号成一定比例的有效数值。这一过程被称为采样：即把时间上连续的信号转换为时间上分离的信号。
用于SmaartLive测量（及其他数字音频应用）的采样过程在均匀间隔的时间点上产生数据。每秒的采样数值就是大家熟悉的采样率，缩写为SR（Sample Rate），单位为Hz。采样率直接影响计算机中能够分析的最高频率，即“尼奎斯特限定频率（fmax）”，它等于采样率的一半。对于电声信号和电声系统的测量，通常信号所处的频段约在20 Hz到20 kHz之间。因此，在大部分的测量中，最好选择声卡和SmaartLive能够同时兼容的最高采样率。一般情况下，48 kHz和44.1 kHz都能够提供一个至少为20 kHz的测量带宽。
采样周期是一个与采样频率反相关的参数，它表示的是采样之间的时间间隔（以s为单位），测量精度在时间上与采样周期T相等，见图1。这就意味着不能从持续时间短于这个精度的信号中分辨出任何的细节。例如，如果利用SmaartLive，通过寻找脉冲响应峰值的方法来测量信号延时，则无法测得小于T的延时量。
除了选择理想的采样率之外，在设置测量系统时也必须要考虑模数转换器的字长。对于每一个采样而言，模数转换器必须指定一个确切的数字比特模式来代表其振幅。实际上，模数转换的字长越长，或每个采样的比特数越长，测量的动态范围就会越大。更为重要的是，字长的增加会提高所测量振幅精度，因为信号振幅上的采样点被分配在了更小的间隔中。与采样率相同，在保证与硬件兼容的前提下，应将SmaartLive中的字长设为最大值。
2 FFT分析：观察频域信息
虽然在部分情况下，在时域进行测量是很实用的，但是大多数的音频测量需要频谱信息，了解音频信号及整个系统的频率内容和特征。幸运的是，目前已经存在一个特定的技术将数据从时域转换到频域。傅里叶变换能够将一个时序信号转换为复杂的频域信息，它包含了构成信号的正弦波分量的振幅和相位信息。另外，傅里叶变换提供了一个反向变换，在不丢失任何信息的情况下，把复杂的频域信号数据转换为时域信号。所以，时域数据和频域数据是相同的：它仅仅提供了观察同一信号的不同视角，详见图2。
3 傅里叶理论
19世纪，法国数学家Jean Baptiste Joseph Fourier 提出一个概念，把任何时间信号表达为若干基本频率的函数。傅里叶理论认为，任何复杂的时序信号，无论是噪声、语音还是音乐，都可以看作是一系列不同频率、振幅和相位的正弦波的组合。有了这一基本概念，可以通过数学的方式将信號在时域和频域之间进行转换。
为了把连续信号x（t）转换为它所对应的频域X （jw），用到前面提到的傅里叶变换：
（公式1）
也可以通过反向傅里叶变换，在不丢失任何信息的情况下将上述过程进行逆向转化：
（公式2）
值得注意的是，在最为严格的条件下，傅里叶变换需要一个完整的时间历史（无限长的时间）和无限数量的正弦频率分量来充分地描述一个信号。显然，这对于测量来说并无实际意义。为了利用计算机来进行傅里叶变换，必须使用时间窗将对信号的观察限制在一个有限的时间范围内。这是基于采样信号数据运行的离散式傅里叶变换（DFT：Discrete Fourier Transform），或通过计算机运算的离散式傅里叶变换，即快速傅里叶变换（FFT： Fast Fourier Transform）。 SmaartLive应用了快速傅里叶变换（FFT）将傅里叶变换进行了数字化，这是一种通过计算机来进行的高效方法。FFT的工作基于有限長度的采样数据块（被称作FFT数据窗）。一般使用NFFT为符号，以采样（或采样点）为单位来描述FFT数据窗的长度。通过这一数值，并利用采样率，可以很容易地计算出单位时间FFT时间窗的长度。这一数值称为时间常数（TC），它代表了每个FFT数据窗所观测的连续输入信号的时长。观测信号时，更高的TC数值能够提供一个更长的时间“窗口”，但它同时也增加了FFT频谱在更新过程当中所需要的时间以及系统必须处理的数据量。
（公式3）
作为一个与频率相关的函数，FFT所产生的频域数据是以线性间隔排列的，这与以对数方式感知频率的听觉系统有所不同。时间常数TC与频谱数据的频率精度FR（Frequency Resolution）成反比。FFT频谱中包含复杂的频率数据（振幅和相位）以频率精度为间隔分布在从0 Hz（直流）到尼奎斯特频率的范围中。在这一概念下，很容易看出精度在时域和频域中是如何反向相关的。使用较长的FFT（窗口）尺寸能够提供更高的数据精度，但是时间响应会更加“迟缓”，而较短的FFT（窗口）尺寸能够提供较低的频谱精度，但响应时间更快。图3以图形的方式描述了FFT参数的改变所导致的频域数据精度的变化。当在一个对数轴上以线性的方式排列FFT数据时，便不难看出过短的FFT可能会造成低频数据精度的不足，而过长的FFT则可能会导致高频数据精度过高。
（公式4）
幸运的是，上述参数并不需要进行手动计算。SmaartLive中的FFT参数功能容许对采样率、FFT窗口尺寸、时间常数和频率精度分别进行设置。任何一个参数的变化都会立即引起其他相关参数的改变，这就使得使用者可以着眼于所得数值的含义而不是它们的计算，见图4。
4 不同频谱视图的观测体验
通过快速傅里叶变换获得的频域数据被分布在一个连续的、拥有线性间隔的频率轴上。如果均匀地将FFT数据分布在一个图表上的话，需要采用等间隔的频率轴，即每个赫兹之间的间隔相等。相比之下，听觉系统是根据等频率比（Equal Frequency Ratios）的方式来感知乐音音高的，这导致与之相符的频率轴成对数规律分布（每倍频程之间等间隔）。显然，如果将线性排列的FFT数据分布在一个对数频率轴上，则该频率轴所呈现的精度无法保持一致，可能会在较低的倍频程出现精度不足，而在较高的倍频程上出现不适宜的高精度（如图3所示）。可以通过增加FFT窗口的尺寸来使低频分辨率最大化，然而这会导致一个更长时间常数，以及更长的时间响应。另外，对于传递函数的测量，增大时间窗会将多余的房间反射引入到测量结果中，进而有可能导致响应曲线中细节的模糊。显然，需要一种额外的方式来观测FFT数据，让图表数据与人耳听觉特性更加一致。
为了改变FFT数据在对数频率轴上的观测体验，SmaartLive 提供了若干种方法，可以针对不同的分析任务进行相应的选择。对于频谱模式下的数据，可以使用改变频域横坐标轴的分布（Banding）的方法，这一方法将数据等间距地分布在分数倍频程上，例如1、1/3、1/6、1/12或1/24倍频程。图5以一个输入信号为例，将对数分布的FFT频谱和分数倍频程分布的频谱进行比较。其中，图5（a）显示了原始的FFT频谱数据分布在一个对数频率轴上；图5（b）显示了频谱数据在倍频程带宽下；图5（c）显示了频谱数据在1/24倍频程带宽下。
5 分数倍频程
频谱模式下的频率轴分布（Banding）技术提供了一个基于FFT的滤波器，它近似于模拟实时分析仪（RTA）所使用的滤波器，通过电子手段将输入信号分配到不同的频带上，然后以均方根电平的方式进行显示。SmaartLive 中的频率轴分布（Banding）观察方式提供了以对数方式划分的各频段能量的总和（这与硬件实时分析仪十分相似），这样，在各倍频程当中具有相等能量的信号（如粉红噪声）将会呈现出一个平坦的频谱分布，如图6。在每赫兹上具有相等能量的信号（如白噪声）所呈现出的频谱分布规律为每倍频程提升3 dB。这种频率分布（Banding）的观察模式对于判断输入信号的频率内容十分有效，同时它也有助于查看回授频率和房间噪声的情况。
注意，在窄带对数频谱图当中呈现出明显下降趋势的信号在以对数方式划分的分数倍频程模式下呈现出平直的响应。在这种情况下，分数倍频程观察模式能够更加准确地反映出人们对信号音色的实际感知。
除了通过频率轴分布的方式来处理频谱模式的信号以外，在SmaartLive中还使用了每倍频程固定点FPPO（Fixed-Point per Octave）的技术来计算以对数方式分布的传递函数（频率响应）数据。这种技术等同于使用了一个随频率而变化的测量时间窗，在低频部分使用一个较长的时间窗（为了获得精确的频率精度），随着频率的上升，时间窗的长度也变得越来越短。这种方法有两种主要作用：一是可变时间窗与人而听觉感知机制所定义的扬声器在一个房间内的“感知频谱质量”（Perceived Spectral Quality）能够进行良好的匹配；这种可变的分析时间窗的长度为频域数据在每个倍频程内提供了相等的密度，在上述例子当中，是每倍频程24个数据点。
对于在SmaartLive中绝大多数传递函数的测量，尤其是那些包含了一些声学路径的情况（例如扬声器系统的测量），FPPO的观察方式能够提供系统响应函数的最佳呈现结果。除了固有的低频优势之外，FPPO技术还能够提供更加简单易读的高频曲线，而非由于过高的高频精度造成的FFT数据模糊的现象，如图7。其中，图7（a）是一个小型扬声器的传递函数，使用标准的32k采样点FFT数据精度；图7（b）是同一扬声器的测量结果，使用FPPO技术进行观察。 在SmaartLive的传递函数模式下，还有一种选项可以通过定义若干个数据点的方式将传递函数曲线变得更加平滑。實际上，这一平滑功能是一个在频率上可移动的求平均滤波器，它被施加在传递函数数据之上，在数据被最终显示之前，将数据曲线的起伏和不连续性进行最小化。可以选择3、5、7或9个数据点的平滑深度，这一数值定义了使用多少个相邻FFT数据点来进行平均处理来以获得实际显示数值。更高的数值能够获得视觉上更加连续的曲线。图8展示了平滑功能应用于一个小型扬声器的传递函数测量的例子，其中图8（a）对小型扬声器进行测量，测量结果未进行平滑处理；图8（b）则是同样的数据通过9点平滑的方式进行显示。曲线平滑功能可以同时用于标准FFT尺寸和FPPO曲线。
6 对FFT时间窗进行平均以改善数据曲线的有效性
虽然每个FFT时间窗内的信号仅能在有限时间内（时间常数TC）被观察，可以通过使用时间窗平均化技术来控制测量的时间响应。实际上，求平均能够使得当前显示的FFT数据有效地反映出当前数据与前序FFT时间窗内数据的平均累加情况。通过调整平均化的程度和功能，可以获得时间响应测量结果的显著改变。
在SmaartLive的频谱模式下，有几种选项可以用来对测量的平均化进行设置。频谱模式包含针对先进先出FIFO（First-in/First-out）平均化的若干选项，可以选择将2、4、8、16、32、64或128个FFT窗口通过等加权的方式进行平均。结果如图9所示，显示曲线来自于前N个FFT时间窗的平均曲线函数。这些模式容许使用者根据测量任务和输入信号的特点对平均化程度进行微调：更高的平均化时间窗数值造成了更慢的时间响应，较低的平均数值能够更好地反映信号的瞬时特性。频谱模式也包含了指数平均技术，它们被标记为快（Fast）、慢（Slow）和指数的（Exp）。Fast和Slow的设置反映了声级计在综合模式下的标准阻尼，它能够有效地用于可重复的标准化测量。Exp模式容许对指数平均化的半周期进行人为设定，使用者可以根据具体的测量任务对指数平均模式进行优化。无限（Inf）设置容许观察一个输入信号在无限长度内进行平均的情况，它在上一个缓冲周期未被释放前，针对所有FFT数据窗提供了一个动态的、等加权的平均功能。这一技术广泛应用于总体噪声级分析，及影院优化等场合。值得注意的是，频谱模式的平均化被体现在输入信号的能量频谱上。
同样地，SmaartLive的传递函数模式具有平均化的功能，这一功能有两种主要的用途：（1）提供一个可变的时间响应（与频谱模式下的特性相同）；（2）提供一种能够提高传递函数可信度和信噪比的机制。通过对某一时间段内的传递函数测量进行平均，可以减少进入系统的随机噪声，进而估算精度也会增加。当使用基于FIFO的平均化机制时，当求平均次数增加一倍时，测量的信噪比提升3 dB。除了基本的平均深度选项之外，传递函数模式容许用户选择均方根（RMS）或矢量（Vector）平均模式。这两种模式的区别在于被平均的传递函数测量种类；在RMS模式下，传递函数的振幅响应以几何平均的方式被处理，然而在Vector模式下，包括相位响应在内的复杂传递函数也进行了求平均的操作。Vector模式为相不变/时不变的情况，提供了最为可靠的求平均技术，在这种情况要求整个测量环境没有风力的梯度渐变或快速改变。然而，对于大多数测量来说，RMS平均为提高传递函数测量的有效性提供了一种合理有效方法，这种方法减少了测量系统对上述问题的敏感程度。
SmaartLive的脉冲响应模式使用了基于RMS的平均技术，它仅运行在FIFO条件下的FFT数据窗缓存当中。在传递函数模式下，求平均的次数增加一倍，就对应3 dB的信噪比提升。在脉冲响应模式下，平均化的唯一目的就是提高数据的有效性并且减少测量噪声的影响，尽管在这个模式下，更高的平均深度将会直接对应更长的采集时间。
7 测量时间窗
前文已经提到，对于实际的测量，FFT仅能够在一段有限的时间内对信号进行观察，称之为测量时间窗。除了基本的观察之外，仅能够从这一时间片段内的信号中得出结论，这个操作可能引起频域上的异常，进而导致频谱观测时出现错误。
图10描述了FFT频谱中不同时间窗对正弦（单频）输入信号的作用，其中（a）一个无限的时间窗，（b）一个有限的矩形时间窗，（c）一个有限的Hanning时间窗。一个稳定状态下的正弦信号的能量只存在于一个特定的频率上，所以经过傅里叶变换产生的理想化频谱应为在这一频率上的一条无限狭窄的竖线，如图10（a）所示。假如能够对信号做无限时常的纪录，傅里叶变换就可以准确地还原频谱。然而，如果把对信号的观察缩短至一个有限长度的FFT时间窗内，相当于把时间信号与矩形窗口进行复合，如图10（b）所示。这一窗口运行在频域上的效果是很明显的，就相当于能量被分散至一个单一的主瓣和多个旁瓣（被称作频谱泄漏）。旁瓣模式是矩形窗的产物，它主要由窗口边缘处的突变和不连续性造成。相比主瓣来说，这些旁瓣所具有的较高电平有可能导致其他重要的频谱信息被隐藏或掩蔽。然而如果应用了一个有限但边缘相对缓和的时间窗函数，如图10（c）所示，这种时间窗可以将波形的两端逐渐降低至0，进而显著地降低旁瓣的电平。这一方式的副作用是导致主瓣的宽度增加，它也有可能掩盖相邻频率成分的频谱细节。
8 SmaartLive理想的FFT参数设置
这一部分将会为如何针对测量任务进行理想的FFT参数设置提供一些建议。由于每个参数都高度可调，笔者在此提出一些优化测量系统的基本准则，使用者可以根据所需的时间和频率频谱精度来对这些参数进行调整。在大多数情况下，一旦针对某一测量任务设定了最佳参数，那么后续测量也应使用同样的设置。
8.1 频谱模式
对于大多数频谱模式中的实时分析测量来说，主要考虑三个标准：适合测量目标的频谱精度，合适的时间响应特征，以及（数据呈现）与人耳听觉感知特征的匹配。可以通过这些基本原则在该模式下进行FFT参数的选择。 在频谱模式下，FFT尺寸的选择应该在低频精度和时间響应之间做出权衡。16k的FFT窗口可能是一个良好的起点，它能够提供在保证可接受频率精度的前提下提供350 ms左右的时间常数（SR=48 kHz时），这是一个合理的时间响应特征。为了检测信号的动态变化，Fast平均化模式是有用的，而Slow模式则更加适合分析性测量（如噪声的测量等）。
对于这一模式下大多数测量来说，总是希望选择一个经过频带划分（Banding）的显示方式；对于大多数的测量而言，1/3倍频程显示是一个好的开始，因为它与人耳对大多数复杂信号的感知的关键频带相一致。更高精度的显示可以被用来观测更加精确的频谱细节，例如反馈中心频率等。
8.2 传递函数模式
大多数的传递函数测量都可以归为两类：对设备（如均衡器等）进行电子传递函数测量，或对一套系统（如扬声器、音响系统等）进行电声传递函数测量。对于大多数的电子测量来说，选择一个标准线性间隔的FFT往往是一个不错的开始。注意，如果要对低频滤波器进行正确测量，FFT参数的选择应该有足够高的频率精度（以16k或32k为起点设置FFT窗口尺寸）。电子测量本身能够提供一个极高的信噪比，因此，可以使用较短的平均时间（8～16的平均深度或Fast响应模式）来获得更大动态的时间响应。
当进行电声测量时，通常使用FPPO模式来获得最好的结果。对于绝大多数电声系统而言，FPPO能够在最大程度上将听觉对频谱的感知与测量数据匹配起来，相比标准的FFT而言，数据在自然的分数倍频程上分布，使人更加易于进行诠释。相比电子测量来说，电声测量更容易受到噪声和时变因素的影响。因此，建议使用一个长的平均时间（64及以上的平均深度或者Slow响应特性）。除了这些参数之外，传递函数模式还包含一致性和振幅阈值的设定，它们可被用来保证数据的有效性。当进行电声测量时，对这些参数的常规设置为：一致性阈值为10%～15%，振幅阈值为35%～55%。
8.3 脉冲响应模式
在SmaartLive中，为脉冲模式选择合适的FFT参数在某种程度上比为其他模式更加直接。有两个主要的标准：测量脉冲响应的衰减时间和测量的有效信噪比。为了获得有效的脉冲响应测量，时间常数TC必须大于被测系统的总衰减时间，这样才能够保证数据的有效性。
在进行脉冲响应测量时，通常很难获得一个可接受的信噪比对系统的整体衰减做完整的观察。传递函数测量相同，增加数据平均的次数会增加测量的有效信噪比。同样，增加时间常数TC这种简单的方法也能够获得同样的效果；它相当于增加了对系统进行观测的时间，进而提高了信噪比。其他用于降低本底噪声的方法，例如提高测试信号的声压级，或者选择适宜的测试信号类型（如使用同步正弦扫频Synchronized Sinusoidal Sweep信号），也能够获得良好的效果。
注释：
①考虑到行文连贯性问题，在不破坏原文结构和含义的基础上，译文对原文略有删节。
【关键词】 音频测量；SmaartLive；快速傅里叶变换；传递函数；脉冲响应
文章编号： 10.3969/j.issn.1674-8239.2017.01.004
The Fundamentals of FFT-Based Audio Measurements in SmaartLive
Original/[USA]Paul D. Henderson Translate/HE Kai-chen1， JI Xiang1
（1. The Communication University of China， Beijing 100024， China）
【Abstract】This article serves as summary of the Fast-Fourier Transform （FFT） analysis techniques implemented in the SIA-SmaartLive measurement platform. By reading through this document， you will receive an understanding of the fundamental concepts in FFT-based measurements， providing you with insights to better comprehend the measurement parameters， procedures， and resulting data.
【Key Words】audio measurement； SmaartLive； fast fourier transform； transfer function； impulse response
本文是关于SIA-SmaartLive? 测量平台上所使用的快速傅里叶变换（FFT）技术性实践分析报告的摘要。通过阅读这一文章，将会了解到SmaartLive基于FFT测量的基本概念，进而对测量参数、步骤以及所得数据有更好地理解。
1 时域采样：将信号送入SmaartLive
一般来说，声信号和电信号都是连续的，它们在每个时间点上都有一个确定的值，故可以使用测量仪器来测量声压和模拟电压这类连续信号。然而，为了能够通过SmaartLive这种基于计算机的测量系统来分析这些连续信号，必须把它们转换为一系列数字样本，且每个数字样本能够代表一个在特定时间点上与被测信号成一定比例的有效数值。这一过程被称为采样：即把时间上连续的信号转换为时间上分离的信号。
用于SmaartLive测量（及其他数字音频应用）的采样过程在均匀间隔的时间点上产生数据。每秒的采样数值就是大家熟悉的采样率，缩写为SR（Sample Rate），单位为Hz。采样率直接影响计算机中能够分析的最高频率，即“尼奎斯特限定频率（fmax）”，它等于采样率的一半。对于电声信号和电声系统的测量，通常信号所处的频段约在20 Hz到20 kHz之间。因此，在大部分的测量中，最好选择声卡和SmaartLive能够同时兼容的最高采样率。一般情况下，48 kHz和44.1 kHz都能够提供一个至少为20 kHz的测量带宽。
采样周期是一个与采样频率反相关的参数，它表示的是采样之间的时间间隔（以s为单位），测量精度在时间上与采样周期T相等，见图1。这就意味着不能从持续时间短于这个精度的信号中分辨出任何的细节。例如，如果利用SmaartLive，通过寻找脉冲响应峰值的方法来测量信号延时，则无法测得小于T的延时量。
除了选择理想的采样率之外，在设置测量系统时也必须要考虑模数转换器的字长。对于每一个采样而言，模数转换器必须指定一个确切的数字比特模式来代表其振幅。实际上，模数转换的字长越长，或每个采样的比特数越长，测量的动态范围就会越大。更为重要的是，字长的增加会提高所测量振幅精度，因为信号振幅上的采样点被分配在了更小的间隔中。与采样率相同，在保证与硬件兼容的前提下，应将SmaartLive中的字长设为最大值。
2 FFT分析：观察频域信息
虽然在部分情况下，在时域进行测量是很实用的，但是大多数的音频测量需要频谱信息，了解音频信号及整个系统的频率内容和特征。幸运的是，目前已经存在一个特定的技术将数据从时域转换到频域。傅里叶变换能够将一个时序信号转换为复杂的频域信息，它包含了构成信号的正弦波分量的振幅和相位信息。另外，傅里叶变换提供了一个反向变换，在不丢失任何信息的情况下，把复杂的频域信号数据转换为时域信号。所以，时域数据和频域数据是相同的：它仅仅提供了观察同一信号的不同视角，详见图2。
3 傅里叶理论
19世纪，法国数学家Jean Baptiste Joseph Fourier 提出一个概念，把任何时间信号表达为若干基本频率的函数。傅里叶理论认为，任何复杂的时序信号，无论是噪声、语音还是音乐，都可以看作是一系列不同频率、振幅和相位的正弦波的组合。有了这一基本概念，可以通过数学的方式将信號在时域和频域之间进行转换。
为了把连续信号x（t）转换为它所对应的频域X （jw），用到前面提到的傅里叶变换：
（公式1）
也可以通过反向傅里叶变换，在不丢失任何信息的情况下将上述过程进行逆向转化：
（公式2）
值得注意的是，在最为严格的条件下，傅里叶变换需要一个完整的时间历史（无限长的时间）和无限数量的正弦频率分量来充分地描述一个信号。显然，这对于测量来说并无实际意义。为了利用计算机来进行傅里叶变换，必须使用时间窗将对信号的观察限制在一个有限的时间范围内。这是基于采样信号数据运行的离散式傅里叶变换（DFT：Discrete Fourier Transform），或通过计算机运算的离散式傅里叶变换，即快速傅里叶变换（FFT： Fast Fourier Transform）。 SmaartLive应用了快速傅里叶变换（FFT）将傅里叶变换进行了数字化，这是一种通过计算机来进行的高效方法。FFT的工作基于有限長度的采样数据块（被称作FFT数据窗）。一般使用NFFT为符号，以采样（或采样点）为单位来描述FFT数据窗的长度。通过这一数值，并利用采样率，可以很容易地计算出单位时间FFT时间窗的长度。这一数值称为时间常数（TC），它代表了每个FFT数据窗所观测的连续输入信号的时长。观测信号时，更高的TC数值能够提供一个更长的时间“窗口”，但它同时也增加了FFT频谱在更新过程当中所需要的时间以及系统必须处理的数据量。
（公式3）
作为一个与频率相关的函数，FFT所产生的频域数据是以线性间隔排列的，这与以对数方式感知频率的听觉系统有所不同。时间常数TC与频谱数据的频率精度FR（Frequency Resolution）成反比。FFT频谱中包含复杂的频率数据（振幅和相位）以频率精度为间隔分布在从0 Hz（直流）到尼奎斯特频率的范围中。在这一概念下，很容易看出精度在时域和频域中是如何反向相关的。使用较长的FFT（窗口）尺寸能够提供更高的数据精度，但是时间响应会更加“迟缓”，而较短的FFT（窗口）尺寸能够提供较低的频谱精度，但响应时间更快。图3以图形的方式描述了FFT参数的改变所导致的频域数据精度的变化。当在一个对数轴上以线性的方式排列FFT数据时，便不难看出过短的FFT可能会造成低频数据精度的不足，而过长的FFT则可能会导致高频数据精度过高。
（公式4）
幸运的是，上述参数并不需要进行手动计算。SmaartLive中的FFT参数功能容许对采样率、FFT窗口尺寸、时间常数和频率精度分别进行设置。任何一个参数的变化都会立即引起其他相关参数的改变，这就使得使用者可以着眼于所得数值的含义而不是它们的计算，见图4。
4 不同频谱视图的观测体验
通过快速傅里叶变换获得的频域数据被分布在一个连续的、拥有线性间隔的频率轴上。如果均匀地将FFT数据分布在一个图表上的话，需要采用等间隔的频率轴，即每个赫兹之间的间隔相等。相比之下，听觉系统是根据等频率比（Equal Frequency Ratios）的方式来感知乐音音高的，这导致与之相符的频率轴成对数规律分布（每倍频程之间等间隔）。显然，如果将线性排列的FFT数据分布在一个对数频率轴上，则该频率轴所呈现的精度无法保持一致，可能会在较低的倍频程出现精度不足，而在较高的倍频程上出现不适宜的高精度（如图3所示）。可以通过增加FFT窗口的尺寸来使低频分辨率最大化，然而这会导致一个更长时间常数，以及更长的时间响应。另外，对于传递函数的测量，增大时间窗会将多余的房间反射引入到测量结果中，进而有可能导致响应曲线中细节的模糊。显然，需要一种额外的方式来观测FFT数据，让图表数据与人耳听觉特性更加一致。
为了改变FFT数据在对数频率轴上的观测体验，SmaartLive 提供了若干种方法，可以针对不同的分析任务进行相应的选择。对于频谱模式下的数据，可以使用改变频域横坐标轴的分布（Banding）的方法，这一方法将数据等间距地分布在分数倍频程上，例如1、1/3、1/6、1/12或1/24倍频程。图5以一个输入信号为例，将对数分布的FFT频谱和分数倍频程分布的频谱进行比较。其中，图5（a）显示了原始的FFT频谱数据分布在一个对数频率轴上；图5（b）显示了频谱数据在倍频程带宽下；图5（c）显示了频谱数据在1/24倍频程带宽下。
5 分数倍频程
频谱模式下的频率轴分布（Banding）技术提供了一个基于FFT的滤波器，它近似于模拟实时分析仪（RTA）所使用的滤波器，通过电子手段将输入信号分配到不同的频带上，然后以均方根电平的方式进行显示。SmaartLive 中的频率轴分布（Banding）观察方式提供了以对数方式划分的各频段能量的总和（这与硬件实时分析仪十分相似），这样，在各倍频程当中具有相等能量的信号（如粉红噪声）将会呈现出一个平坦的频谱分布，如图6。在每赫兹上具有相等能量的信号（如白噪声）所呈现出的频谱分布规律为每倍频程提升3 dB。这种频率分布（Banding）的观察模式对于判断输入信号的频率内容十分有效，同时它也有助于查看回授频率和房间噪声的情况。
注意，在窄带对数频谱图当中呈现出明显下降趋势的信号在以对数方式划分的分数倍频程模式下呈现出平直的响应。在这种情况下，分数倍频程观察模式能够更加准确地反映出人们对信号音色的实际感知。
除了通过频率轴分布的方式来处理频谱模式的信号以外，在SmaartLive中还使用了每倍频程固定点FPPO（Fixed-Point per Octave）的技术来计算以对数方式分布的传递函数（频率响应）数据。这种技术等同于使用了一个随频率而变化的测量时间窗，在低频部分使用一个较长的时间窗（为了获得精确的频率精度），随着频率的上升，时间窗的长度也变得越来越短。这种方法有两种主要作用：一是可变时间窗与人而听觉感知机制所定义的扬声器在一个房间内的“感知频谱质量”（Perceived Spectral Quality）能够进行良好的匹配；这种可变的分析时间窗的长度为频域数据在每个倍频程内提供了相等的密度，在上述例子当中，是每倍频程24个数据点。
对于在SmaartLive中绝大多数传递函数的测量，尤其是那些包含了一些声学路径的情况（例如扬声器系统的测量），FPPO的观察方式能够提供系统响应函数的最佳呈现结果。除了固有的低频优势之外，FPPO技术还能够提供更加简单易读的高频曲线，而非由于过高的高频精度造成的FFT数据模糊的现象，如图7。其中，图7（a）是一个小型扬声器的传递函数，使用标准的32k采样点FFT数据精度；图7（b）是同一扬声器的测量结果，使用FPPO技术进行观察。 在SmaartLive的传递函数模式下，还有一种选项可以通过定义若干个数据点的方式将传递函数曲线变得更加平滑。實际上，这一平滑功能是一个在频率上可移动的求平均滤波器，它被施加在传递函数数据之上，在数据被最终显示之前，将数据曲线的起伏和不连续性进行最小化。可以选择3、5、7或9个数据点的平滑深度，这一数值定义了使用多少个相邻FFT数据点来进行平均处理来以获得实际显示数值。更高的数值能够获得视觉上更加连续的曲线。图8展示了平滑功能应用于一个小型扬声器的传递函数测量的例子，其中图8（a）对小型扬声器进行测量，测量结果未进行平滑处理；图8（b）则是同样的数据通过9点平滑的方式进行显示。曲线平滑功能可以同时用于标准FFT尺寸和FPPO曲线。
6 对FFT时间窗进行平均以改善数据曲线的有效性
虽然每个FFT时间窗内的信号仅能在有限时间内（时间常数TC）被观察，可以通过使用时间窗平均化技术来控制测量的时间响应。实际上，求平均能够使得当前显示的FFT数据有效地反映出当前数据与前序FFT时间窗内数据的平均累加情况。通过调整平均化的程度和功能，可以获得时间响应测量结果的显著改变。
在SmaartLive的频谱模式下，有几种选项可以用来对测量的平均化进行设置。频谱模式包含针对先进先出FIFO（First-in/First-out）平均化的若干选项，可以选择将2、4、8、16、32、64或128个FFT窗口通过等加权的方式进行平均。结果如图9所示，显示曲线来自于前N个FFT时间窗的平均曲线函数。这些模式容许使用者根据测量任务和输入信号的特点对平均化程度进行微调：更高的平均化时间窗数值造成了更慢的时间响应，较低的平均数值能够更好地反映信号的瞬时特性。频谱模式也包含了指数平均技术，它们被标记为快（Fast）、慢（Slow）和指数的（Exp）。Fast和Slow的设置反映了声级计在综合模式下的标准阻尼，它能够有效地用于可重复的标准化测量。Exp模式容许对指数平均化的半周期进行人为设定，使用者可以根据具体的测量任务对指数平均模式进行优化。无限（Inf）设置容许观察一个输入信号在无限长度内进行平均的情况，它在上一个缓冲周期未被释放前，针对所有FFT数据窗提供了一个动态的、等加权的平均功能。这一技术广泛应用于总体噪声级分析，及影院优化等场合。值得注意的是，频谱模式的平均化被体现在输入信号的能量频谱上。
同样地，SmaartLive的传递函数模式具有平均化的功能，这一功能有两种主要的用途：（1）提供一个可变的时间响应（与频谱模式下的特性相同）；（2）提供一种能够提高传递函数可信度和信噪比的机制。通过对某一时间段内的传递函数测量进行平均，可以减少进入系统的随机噪声，进而估算精度也会增加。当使用基于FIFO的平均化机制时，当求平均次数增加一倍时，测量的信噪比提升3 dB。除了基本的平均深度选项之外，传递函数模式容许用户选择均方根（RMS）或矢量（Vector）平均模式。这两种模式的区别在于被平均的传递函数测量种类；在RMS模式下，传递函数的振幅响应以几何平均的方式被处理，然而在Vector模式下，包括相位响应在内的复杂传递函数也进行了求平均的操作。Vector模式为相不变/时不变的情况，提供了最为可靠的求平均技术，在这种情况要求整个测量环境没有风力的梯度渐变或快速改变。然而，对于大多数测量来说，RMS平均为提高传递函数测量的有效性提供了一种合理有效方法，这种方法减少了测量系统对上述问题的敏感程度。
SmaartLive的脉冲响应模式使用了基于RMS的平均技术，它仅运行在FIFO条件下的FFT数据窗缓存当中。在传递函数模式下，求平均的次数增加一倍，就对应3 dB的信噪比提升。在脉冲响应模式下，平均化的唯一目的就是提高数据的有效性并且减少测量噪声的影响，尽管在这个模式下，更高的平均深度将会直接对应更长的采集时间。
7 测量时间窗
前文已经提到，对于实际的测量，FFT仅能够在一段有限的时间内对信号进行观察，称之为测量时间窗。除了基本的观察之外，仅能够从这一时间片段内的信号中得出结论，这个操作可能引起频域上的异常，进而导致频谱观测时出现错误。
图10描述了FFT频谱中不同时间窗对正弦（单频）输入信号的作用，其中（a）一个无限的时间窗，（b）一个有限的矩形时间窗，（c）一个有限的Hanning时间窗。一个稳定状态下的正弦信号的能量只存在于一个特定的频率上，所以经过傅里叶变换产生的理想化频谱应为在这一频率上的一条无限狭窄的竖线，如图10（a）所示。假如能够对信号做无限时常的纪录，傅里叶变换就可以准确地还原频谱。然而，如果把对信号的观察缩短至一个有限长度的FFT时间窗内，相当于把时间信号与矩形窗口进行复合，如图10（b）所示。这一窗口运行在频域上的效果是很明显的，就相当于能量被分散至一个单一的主瓣和多个旁瓣（被称作频谱泄漏）。旁瓣模式是矩形窗的产物，它主要由窗口边缘处的突变和不连续性造成。相比主瓣来说，这些旁瓣所具有的较高电平有可能导致其他重要的频谱信息被隐藏或掩蔽。然而如果应用了一个有限但边缘相对缓和的时间窗函数，如图10（c）所示，这种时间窗可以将波形的两端逐渐降低至0，进而显著地降低旁瓣的电平。这一方式的副作用是导致主瓣的宽度增加，它也有可能掩盖相邻频率成分的频谱细节。
8 SmaartLive理想的FFT参数设置
这一部分将会为如何针对测量任务进行理想的FFT参数设置提供一些建议。由于每个参数都高度可调，笔者在此提出一些优化测量系统的基本准则，使用者可以根据所需的时间和频率频谱精度来对这些参数进行调整。在大多数情况下，一旦针对某一测量任务设定了最佳参数，那么后续测量也应使用同样的设置。
8.1 频谱模式
对于大多数频谱模式中的实时分析测量来说，主要考虑三个标准：适合测量目标的频谱精度，合适的时间响应特征，以及（数据呈现）与人耳听觉感知特征的匹配。可以通过这些基本原则在该模式下进行FFT参数的选择。 在频谱模式下，FFT尺寸的选择应该在低频精度和时间響应之间做出权衡。16k的FFT窗口可能是一个良好的起点，它能够提供在保证可接受频率精度的前提下提供350 ms左右的时间常数（SR=48 kHz时），这是一个合理的时间响应特征。为了检测信号的动态变化，Fast平均化模式是有用的，而Slow模式则更加适合分析性测量（如噪声的测量等）。
对于这一模式下大多数测量来说，总是希望选择一个经过频带划分（Banding）的显示方式；对于大多数的测量而言，1/3倍频程显示是一个好的开始，因为它与人耳对大多数复杂信号的感知的关键频带相一致。更高精度的显示可以被用来观测更加精确的频谱细节，例如反馈中心频率等。
8.2 传递函数模式
大多数的传递函数测量都可以归为两类：对设备（如均衡器等）进行电子传递函数测量，或对一套系统（如扬声器、音响系统等）进行电声传递函数测量。对于大多数的电子测量来说，选择一个标准线性间隔的FFT往往是一个不错的开始。注意，如果要对低频滤波器进行正确测量，FFT参数的选择应该有足够高的频率精度（以16k或32k为起点设置FFT窗口尺寸）。电子测量本身能够提供一个极高的信噪比，因此，可以使用较短的平均时间（8～16的平均深度或Fast响应模式）来获得更大动态的时间响应。
当进行电声测量时，通常使用FPPO模式来获得最好的结果。对于绝大多数电声系统而言，FPPO能够在最大程度上将听觉对频谱的感知与测量数据匹配起来，相比标准的FFT而言，数据在自然的分数倍频程上分布，使人更加易于进行诠释。相比电子测量来说，电声测量更容易受到噪声和时变因素的影响。因此，建议使用一个长的平均时间（64及以上的平均深度或者Slow响应特性）。除了这些参数之外，传递函数模式还包含一致性和振幅阈值的设定，它们可被用来保证数据的有效性。当进行电声测量时，对这些参数的常规设置为：一致性阈值为10%～15%，振幅阈值为35%～55%。
8.3 脉冲响应模式
在SmaartLive中，为脉冲模式选择合适的FFT参数在某种程度上比为其他模式更加直接。有两个主要的标准：测量脉冲响应的衰减时间和测量的有效信噪比。为了获得有效的脉冲响应测量，时间常数TC必须大于被测系统的总衰减时间，这样才能够保证数据的有效性。
在进行脉冲响应测量时，通常很难获得一个可接受的信噪比对系统的整体衰减做完整的观察。传递函数测量相同，增加数据平均的次数会增加测量的有效信噪比。同样，增加时间常数TC这种简单的方法也能够获得同样的效果；它相当于增加了对系统进行观测的时间，进而提高了信噪比。其他用于降低本底噪声的方法，例如提高测试信号的声压级，或者选择适宜的测试信号类型（如使用同步正弦扫频Synchronized Sinusoidal Sweep信号），也能够获得良好的效果。
注释：
①考虑到行文连贯性问题，在不破坏原文结构和含义的基础上，译文对原文略有删节。