美妙的“雪花曲线”

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  同学们都以为数学是很一门很古老的科学,有着悠久的历史。其实,数学也像其他科目一样,是在不断更新和发展的。其中,分形数学(Fractal Math)就是最近发展起来的一门新的数学分支,到目前为止约有20年的历史,它第一次引起公众注意的是1985年的《科学美国人》上关于Mandelbrot集的一篇文章,自那以后,分形在表现形式和分形几何的理解等方面得到更大进展。
  下面就是几个美丽的分形图形:
  
  雪花曲线是这样的:
  由图1那样的等边三角形开始。然后把三角形的每条边三等分,并在每条边三分后的中段向外作新的等边三角形,但要像图2那样去掉与原三角形叠合的边。接着对每个等边三角形尖出的部分继续上述过程,即在每条边三分后的中段,像图3那样向外画新的尖形。不断重复这样的过程,便产生了雪花曲线。
  雪花曲线令人惊异的性质是:它具有有限的面积,但却有着无限的周长要说明它的面积的有限性,要用到高中极限的知识,但是我们可以这样想,在一张纸上画雪花曲线,不管生长多少次,它都不会超过一张纸的,所以说它的面积是有限的。经过研究,由三角形分形后形成的雪花,其面积等于原三角形面积的1.6倍。而雪花曲线的周长则可以持续增加而没有界限,所以说它的周长是无限的。
  上面我们作的雪花曲线是向外作正三角形,如果我们向内作正三角形,则相应地得到如下图所标示的另一系列的雪花曲线,称之为反雪花曲线。
  像雪花曲线那样,反雪花曲线也有无限的周长和有限的面积。
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