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[摘 要] 解决问题是小学數学教学的重要内容，也是学习内容的难点。解决问题的关键是理解题意，找出基本数量关系。几何直观指的是利用图形描述和分析问题，帮助学生快速理解题意，找到问题解决的思路。因此，在问题解决中让学生利用画图等直观手段对数学问题进行表征，是帮助学生理解题意的有效方法，有助于培养学生的几何直观。运用几何直观理解题意需要教师的有效引导，并处理好阶段性与发展性之间的关系。
[关 键 词] 解决问题;几何直观;表征
[中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2021）34-0118-02
一、问题提出的背景
解决问题是小学数学教学的重要内容，也是学习内容的难点。对于学生而言，解决问题的难点在于解决问题呈现方式，或是语言描述，或是以情境图的形式描述。而解决问题的关键在于理解题意，找出基本的数量关系，进而获得解决问题的方法策略。一年级学生抽象思维能力弱，对于以情境图呈现的数学问题理解起来有一定的困难。几何直观指的是利用图形描述和分析问题，帮助学生快速理解题意，找到问题解决的思路。因此，在问题解决中让学生利用画图等直观手段对数学问题进行表征，是帮助学生理解题意的有效方法，有助于培养学生的几何直观。本文以一年级数学上册第五单元6、7加减法解决问题为例，思考如何运用直观表征理解题意，发展学生的几何直观素养。
二、前测了解学情，找准学生起点
为了解一年级学生是否能够运用直观表征描述数学问题，笔者在授课前选择部分班级进行了前测，旨在了解学生的学情。首先向学生描述教材中的数学问题：问题1：左边有4只小兔子，右边有3只小兔子，求一共有几只兔子。问题2：张老师有7个苹果，吃掉了2个，还剩下几个苹果？要求学生用自己喜欢的图形画一画刚才的数学问题，并且列式计算出结果。收集学生的作品进行了统计发现，学生主要采用以下几种方式进行直观表征（图1）。
前三种表征方式基本上属于同一种类型，即利用图形把已经知道了什么（条件）呈现出来，通过算式可以发现实际上学生比较明确要求的问题是什么，但在图中没有将要求的问题表示出来。主要原因在于学生受到前面学习加减法的影响，根据图形写算式或者根据算式画图等。第四种情况比较特殊，学生知道用大括号和问号的组合来表示用加法解决的数学问题，对于用减法解决的数学问题，显然学生没有用大括号和问号的组合来表征数学问题的经验。总体来说，学生对于借助画图进行直观表征还有一定经验基础作为支撑。
三、分析现行教材，明确设计意图
6、7加减法解决问题属于小学数学一年级上册第五单元的内容。教材的编排有如下三个特点：（1）第一次出现用情境图呈现数学问题的形式，情境图再配以大括号和问号，呈现了一个简单求和的数学问题，使学生初步明确两个相关的信息和一个相关的问题，构成了一个简单的数学问题。（2）教材用有层次的三句话：“图中有什么？”“怎样解答？”“解答正确吗？”对学生解决问题的过程予以指导，引导学生体会解决一个数学问题所要经历的一般步骤，学习解决问题的基本方法。（3）采用情境图的形式呈现数学问题，有利于学生将数学知识与生活实际联系起来，使学生初步学习在生活中发现并提出数学问题、解决数学问题，逐步发展学生解决简单实际问题的能力。此外，教学内容中缺少引导学生借助几何直观表征数学问题的素材。
四、基于学情、教情，落实环节设计
环节一：画图直观表征信息理解题意（加法）
1.学习材料及学习任务。学习材料为学习单1份。学习任务是让学生用自己喜欢的图形画一画，表示情境图中的数学问题。
2.学习活动及预设。学习活动是让学生用自己喜欢的图形画一画，表示数学问题。
预设1：左边画4个圆，右边画3个圆，将7个圆圈起来。
预设2：左边画4个圆，右边画3个圆，将7个圆圈起来。
预设3：左边画4个圆，右边画3个圆，用大括号和问号表示求一共有几只兔子。（图2）
3.教师及时跟进，针对性指导。
教师跟进1：分别反馈三种不同的预设情况，让学生找一找三种方式的共同点，即都是表示把两部分合在一起。
教师跟进2：预设1与预设2进行比较，找一找两种方式的不同之处，用画圆的方式表示兔子，画图更加方便。
教师跟进3：比较第一种和第三种表示方式有何不同之处。即第三种使用大括号和问号的方式表示求一共有几只小兔子更简洁清楚。
环节二：尝试画图直观表征减法问题，拓展提升（减法）
1.学习材料及学习任务。学习材料为学习单1份、情境图1张。学习任务为尝试画图表示情景图中的数学信息及问题。
2.学生活动：动手画一画表示数学信息及问题。
学生预设：
预设1：先画7个苹果，划去2个，算式7-2=5
预设2：先画7个苹果，圈上2个，算式7-2=5
预设3：画7个正方形（或其他图形）代表苹果，先划去2个或者圈掉2个，算式7-2=5
预设4：使用了大括号和问号组合的方式。从学生的实际情况来看，主要用两种情况，一种虽然用了大括号与问号组合的方式，但不能正确表征数学信息及问题，具体如下图几种情况（图3）。 五、运用几何直观促进题意理解的思考
（一）解決问题学习中运用直观表征理解题意是必要的
从前测中我们发现，学生对于画图表征数学信息与问题有一定的经验，尽管这些经验是零散的，但对学生的数学学习还是起到重要的支持作用。主要体现在学生通过画图把情境图中的数学信息与问题表征出来，帮助学生确定解决问题的思路。因此，教学中应该以学生的原有经验为基础，引导学生在解决问题的时候以直观的画图进行表征信息，进而快速理解题意，找到问题解决的策略。
低段学生的思维特点是以具体形象思维为主，也就是说学生在学习数学知识、理解题意解决问题的时候需要直观手段的支持，借助直观表征可以让学生更容易理解题意，找到解决问题的策略，进而更加直观地理解数学。
（二）解决问题学习中运用直观表征需要教师的有效引导
关于直观表征数学信息及问题，学生的已有经验是基础，这些经验具有一定的随意性，没有经过教师的有效指导，难以充分发挥支持学生理解题意的作用。首先，教师需要对学生的直观表征进行引导，指导学生能够掌握一般的规范的表征方式，让直观表征能够更加有效。其次，通过对比讨论，让学生明确用简单的几何图形代替题目中的物品进行表示更加简洁方便。最后，可以增加变式，帮助学生直观理解把两部分合起来求一共是多少的时候要用加法解决。如大括号和问号的组合方式进行变化，大括号在左边、在右边、在上边等，相应的问号位置也要进行调整。防止学生在解决问题的时候形成思维定式，不能灵活地根据直观图理解题意并解决问题。
（三）运用直观表征要处理好阶段性与发展性之间的关系
直观表征有助于发展学生的几何直观素养。几何直观指的是运用画图描述和分析问题，帮助学生快速理解题意，找到问题解决的策略。作为教师也要明确直观表征很多时候仅仅是一种手段，是帮助学生有效理解题意、寻找解决策略的手段，对于画图的要求也要适度。对于运用直观方式表征减法解决问题，学生的困难就比较大。从学生的实际作品来看，能够正确运用直观手段（运用大括号与问号组合的方式）表征减法解决问题的学生仅有极少数。因此，在一年级解决问题的教学中可以不要求学生运用大括号加问号组合的方式表征数学信息与问题。
另外，几何直观本质是模像直观，目的是帮助学生积累丰富清晰的表象，当学生积累一定的表象以后，教师要及时进行进一步的抽象讲解。如可以从几何直观上升到语言直观;直观表征的要求也要分阶段落实低段比较适合用象形图进行表征，中段可以引入线段图，到了高段还会引入结构图等等。
六、结语
总之，直观表征数学信息与问题，是学生理解题意、寻找解决问题策略的有效手段。在学生学习数学特别解决问题的学习中有重要的作用，所以在低段数学教学中引入是很有必要的。它对发展学生的解决问题能力、提升思维能力、积累解决问题的活动经验发挥了显著的作用。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]人民教育出版社、课程教材研究所、小学数学课程教材研究开发中心.义务教育教科书（数学）[M].北京：人民教育出版社出版，2012.
◎编辑 司 楠
[关 键 词] 解决问题;几何直观;表征
[中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2021）34-0118-02
一、问题提出的背景
解决问题是小学数学教学的重要内容，也是学习内容的难点。对于学生而言，解决问题的难点在于解决问题呈现方式，或是语言描述，或是以情境图的形式描述。而解决问题的关键在于理解题意，找出基本的数量关系，进而获得解决问题的方法策略。一年级学生抽象思维能力弱，对于以情境图呈现的数学问题理解起来有一定的困难。几何直观指的是利用图形描述和分析问题，帮助学生快速理解题意，找到问题解决的思路。因此，在问题解决中让学生利用画图等直观手段对数学问题进行表征，是帮助学生理解题意的有效方法，有助于培养学生的几何直观。本文以一年级数学上册第五单元6、7加减法解决问题为例，思考如何运用直观表征理解题意，发展学生的几何直观素养。
二、前测了解学情，找准学生起点
为了解一年级学生是否能够运用直观表征描述数学问题，笔者在授课前选择部分班级进行了前测，旨在了解学生的学情。首先向学生描述教材中的数学问题：问题1：左边有4只小兔子，右边有3只小兔子，求一共有几只兔子。问题2：张老师有7个苹果，吃掉了2个，还剩下几个苹果？要求学生用自己喜欢的图形画一画刚才的数学问题，并且列式计算出结果。收集学生的作品进行了统计发现，学生主要采用以下几种方式进行直观表征（图1）。
前三种表征方式基本上属于同一种类型，即利用图形把已经知道了什么（条件）呈现出来，通过算式可以发现实际上学生比较明确要求的问题是什么，但在图中没有将要求的问题表示出来。主要原因在于学生受到前面学习加减法的影响，根据图形写算式或者根据算式画图等。第四种情况比较特殊，学生知道用大括号和问号的组合来表示用加法解决的数学问题，对于用减法解决的数学问题，显然学生没有用大括号和问号的组合来表征数学问题的经验。总体来说，学生对于借助画图进行直观表征还有一定经验基础作为支撑。
三、分析现行教材，明确设计意图
6、7加减法解决问题属于小学数学一年级上册第五单元的内容。教材的编排有如下三个特点：（1）第一次出现用情境图呈现数学问题的形式，情境图再配以大括号和问号，呈现了一个简单求和的数学问题，使学生初步明确两个相关的信息和一个相关的问题，构成了一个简单的数学问题。（2）教材用有层次的三句话：“图中有什么？”“怎样解答？”“解答正确吗？”对学生解决问题的过程予以指导，引导学生体会解决一个数学问题所要经历的一般步骤，学习解决问题的基本方法。（3）采用情境图的形式呈现数学问题，有利于学生将数学知识与生活实际联系起来，使学生初步学习在生活中发现并提出数学问题、解决数学问题，逐步发展学生解决简单实际问题的能力。此外，教学内容中缺少引导学生借助几何直观表征数学问题的素材。
四、基于学情、教情，落实环节设计
环节一：画图直观表征信息理解题意（加法）
1.学习材料及学习任务。学习材料为学习单1份。学习任务是让学生用自己喜欢的图形画一画，表示情境图中的数学问题。
2.学习活动及预设。学习活动是让学生用自己喜欢的图形画一画，表示数学问题。
预设1：左边画4个圆，右边画3个圆，将7个圆圈起来。
预设2：左边画4个圆，右边画3个圆，将7个圆圈起来。
预设3：左边画4个圆，右边画3个圆，用大括号和问号表示求一共有几只兔子。（图2）
3.教师及时跟进，针对性指导。
教师跟进1：分别反馈三种不同的预设情况，让学生找一找三种方式的共同点，即都是表示把两部分合在一起。
教师跟进2：预设1与预设2进行比较，找一找两种方式的不同之处，用画圆的方式表示兔子，画图更加方便。
教师跟进3：比较第一种和第三种表示方式有何不同之处。即第三种使用大括号和问号的方式表示求一共有几只小兔子更简洁清楚。
环节二：尝试画图直观表征减法问题，拓展提升（减法）
1.学习材料及学习任务。学习材料为学习单1份、情境图1张。学习任务为尝试画图表示情景图中的数学信息及问题。
2.学生活动：动手画一画表示数学信息及问题。
学生预设：
预设1：先画7个苹果，划去2个，算式7-2=5
预设2：先画7个苹果，圈上2个，算式7-2=5
预设3：画7个正方形（或其他图形）代表苹果，先划去2个或者圈掉2个，算式7-2=5
预设4：使用了大括号和问号组合的方式。从学生的实际情况来看，主要用两种情况，一种虽然用了大括号与问号组合的方式，但不能正确表征数学信息及问题，具体如下图几种情况（图3）。 五、运用几何直观促进题意理解的思考
（一）解決问题学习中运用直观表征理解题意是必要的
从前测中我们发现，学生对于画图表征数学信息与问题有一定的经验，尽管这些经验是零散的，但对学生的数学学习还是起到重要的支持作用。主要体现在学生通过画图把情境图中的数学信息与问题表征出来，帮助学生确定解决问题的思路。因此，教学中应该以学生的原有经验为基础，引导学生在解决问题的时候以直观的画图进行表征信息，进而快速理解题意，找到问题解决的策略。
低段学生的思维特点是以具体形象思维为主，也就是说学生在学习数学知识、理解题意解决问题的时候需要直观手段的支持，借助直观表征可以让学生更容易理解题意，找到解决问题的策略，进而更加直观地理解数学。
（二）解决问题学习中运用直观表征需要教师的有效引导
关于直观表征数学信息及问题，学生的已有经验是基础，这些经验具有一定的随意性，没有经过教师的有效指导，难以充分发挥支持学生理解题意的作用。首先，教师需要对学生的直观表征进行引导，指导学生能够掌握一般的规范的表征方式，让直观表征能够更加有效。其次，通过对比讨论，让学生明确用简单的几何图形代替题目中的物品进行表示更加简洁方便。最后，可以增加变式，帮助学生直观理解把两部分合起来求一共是多少的时候要用加法解决。如大括号和问号的组合方式进行变化，大括号在左边、在右边、在上边等，相应的问号位置也要进行调整。防止学生在解决问题的时候形成思维定式，不能灵活地根据直观图理解题意并解决问题。
（三）运用直观表征要处理好阶段性与发展性之间的关系
直观表征有助于发展学生的几何直观素养。几何直观指的是运用画图描述和分析问题，帮助学生快速理解题意，找到问题解决的策略。作为教师也要明确直观表征很多时候仅仅是一种手段，是帮助学生有效理解题意、寻找解决策略的手段，对于画图的要求也要适度。对于运用直观方式表征减法解决问题，学生的困难就比较大。从学生的实际作品来看，能够正确运用直观手段（运用大括号与问号组合的方式）表征减法解决问题的学生仅有极少数。因此，在一年级解决问题的教学中可以不要求学生运用大括号加问号组合的方式表征数学信息与问题。
另外，几何直观本质是模像直观，目的是帮助学生积累丰富清晰的表象，当学生积累一定的表象以后，教师要及时进行进一步的抽象讲解。如可以从几何直观上升到语言直观;直观表征的要求也要分阶段落实低段比较适合用象形图进行表征，中段可以引入线段图，到了高段还会引入结构图等等。
六、结语
总之，直观表征数学信息与问题，是学生理解题意、寻找解决问题策略的有效手段。在学生学习数学特别解决问题的学习中有重要的作用，所以在低段数学教学中引入是很有必要的。它对发展学生的解决问题能力、提升思维能力、积累解决问题的活动经验发挥了显著的作用。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]人民教育出版社、课程教材研究所、小学数学课程教材研究开发中心.义务教育教科书（数学）[M].北京：人民教育出版社出版，2012.
◎编辑 司 楠