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【中图分类号】G633.4 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）12-0123-02
在我校一青年教师的公开课《完全平方公式》上，在授课阶段的教学中，按照老师的预设，教学过程显得非常的顺利，对于完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2，老师还编成顺口溜“头平方，尾平方，积的两倍在中间”帮助学生进行记忆，学生的学习兴趣盎然，教学效果似乎不错，但在随后的练习反馈中，却有不少学生不会应用这个公式，反而使用了“（a±b）2=a2±b2”这一错误等式，课堂上老师随即进行了纠正。然而，在当天的作业巩固中，情况并没有好转，竟有更多的人误用“（a±b）2=a2±b2”这一错误等式。其实，这种情况是我们平时教学中一个较为普遍的现象，是不少教师、学生及家长的困惑。不少学生都反应，老师上课讲的内容我都“听得懂”，可是我自己去做却“不会做”！“听得懂”就是课堂上学生对教师所授知识和方法能听明白，无认知障碍，“不会做”就是学生对书本上的习题、教师布置的课外作业、教辅资料上的习题和考试试题不会做。“一听就懂，一做就错，一考就倒”是不少学生数学学习状态的生动写照！教学中还发现一些看似很聪明、特别自信的学生，每次进考场前都信心满满，然后每次的成绩都不甚理想，自我分析时总是说考试时自己粗心、笔误、看错题或是计算错了，对“考不好”还很不服气，自认为“其实我是会做的”。那么究竟是什么原因使学生懂了又忘，懂了又错，甚至懂了又不会做呢？笔者对此留心多年，现将点滴体会作一介绍，仅供同行参考。
1.是否真懂
由于教与学两方面的原因，常使学生自以为已懂，但知之不多，知之不深，浮于表面，似是而非。
1.1 所谓教的原因，一方面教师备课不够深入，没有对教学内容进行深入的研究，没有充分考虑到学生已有的基础知识和思维能力，对学生的基础与能力估计过高，致使课堂教学缺乏针对性。其二，没有设计合理的教学过程，老师讲课时，没有诱发学生的学习兴趣与学习动机，而是采取灌输的方式，老师把所有的步骤、思路都讲出来了，却没能深刻地提示本质特征，不能让学生充分地理解知识的内涵，更不能从“所以然”的角度进行思考。学生根本不知道为什么要这样想、为什么会想到这方面去，学生没有主动地参与教与学活动，造成学生的“懂”仅停留在“听”的层面上，教师照本宣科，学生就依样画葫芦。有时，当教师提出一个问题后，如果教室里一时鸦雀无声没有反应，加上教师又担心教学时间不够，这时教师往往把解题方法的谜底都“启发”出来了，由于得到教师的暗示，此时教师要是问学生“这个问题懂不懂？”，学生的“懂”字就会回答得格外响亮；也可能由于反应快的学生大声喊出了方法，此时不懂的学生经过几秒钟的愣神，也忽然明白了过来；也可能由于某位同学的提醒，而出现了听者的频频点头；或者稍微想不起来就放弃独立思考，马上毫不研究地照搬书本资料上的答案，而使自己快速产生“弄懂”题目的快感，当然谈不上运用知识解题。
1.2所谓学的原因，一方面是学习者浅尝辄止、不求甚解，往往听懂一点点就不想继续听下去，认为自己什么都懂了，不去深入地领悟所学知识，属于“浮燥型”学习心理。如在学习平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2时，自认为很简单，不愿多听多想，对公式中的a、b既可以代表单个数、字母，也可以代表单项式或多项式没有真正领会，结果在练习时就出现了（2x+1）（2x-1）=2x2-1的错误，其二，有的学生过分依赖课本和老师，缺乏独立思考的习惯，课堂上不积极思考、主动探索。练习、作业时做一步比照一次书本或老师的解答，做一道题看一次公式，或是经同学提示、拿他人已经完成的作业作“参考”、看书本或资料上的答案，而间接想起解题答案。如果离开了课本和老师，他们什么都不会做，也不敢做，属于“依赖型”学习心理。三是不去追根求源，解这类题为什么要用这种方法？从上一步到下一步的依据是什么？为什么这样做是错误？错在哪里？诸如此类的问题没有进行过思考，记忆不求活、理解不求深、辨析不求详，没有一种深入钻研的学习习惯。
例1.如图1所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？
对于此题，关键在于理解作图的依据，然而很多同学只是学样把图形做出来，对于为什么这么做就不深究，那么，下次遇到类似的题型他仍旧是不会的，或是对一些看似一样实则完全不同的题目，他也采用一样的做法，那就必错无疑，如把此题改成“奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离相等？”，作图方法就与原题完全不同。
2.是怎样弄懂的
学生都说，课上听得懂。然而，学生自认为的“懂”往往只是机械记忆、表面理解和程式化的模仿，是一种不稳定的心理特征。平常说的“会做”，也往往是模仿性的做，一法一题地做，老师课上讲什么，课下你就做什么，有法可依，有章可循。而考试则不然，考题一般不指明该题属于什么类型，要用什么方法，，考题涉及的知识面广，常常有一定的综合性，需要考生对知识和方法的掌握比较牢固，能举一反三，融会贯通，做到“真懂”、“真会”。那就应该在知识的探索、群体的讨论中通过深层次的研究，将知识内化为自己的认知结构，形成分析问题解决问题的能力。因而在教学中应注意：
2.1 要真正落实主体地位，切实创造“真会”空间。对知识的“假懂”到“真会”，不能仅停留在听的层次上，要经过自己的大脑将其想懂。从这个意义上讲，教者应负主要责任。课堂上为什么总是由你讲呢？为什么不给学生提供一点提出问题的时间和机会呢？一帆风顺的课未见的是好课。充分暴露学生思维过程，甚至是错误的思路是非常必要的。尽管这可能很费时间，但它确实是使学生真正弄懂，并从根本上理解和掌握的有效途径。只有在比较、探索、讨论，甚至争论的过程中领会的东西才是真正的懂，也才会掌握得牢。
如在学习《能得到直角三角形吗》这一节时，安排有如下练习： 例2.一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？
学生对于解决该问题的依据大都不会觉到困难，然而在格式书写上是一个难点，于是笔者就先让学生完成。相当多同学都是这样写的：
从学生的解题叙述中，可以发现学生对勾股定理的逆定理并没有真正理解，对“逆定理”中的题设与条件混淆了。在教学中，我不是直接告诉学生哪儿错了，而是由学生自己来找错，并分析出错的原因。这样一来，通过自主纠错这一环节，学生对“逆定理”的内涵有了更深刻的认识，就能更好理解“勾股定理”与“逆定理”间的不同。在作业反馈中可以看出，学生对“逆定理”的理解是到位的，做到了“真懂”、“会用”。
2.2 要努力完善知识结构，充分奠定“真会”基础。在学习新概念、新知识时，学生由于知识水平有限，或是受到旧有相近、易混淆知识的影响，或是受到旧有思维习惯的影响，都会对他们的学习产生负迁移，导致学生对所学新知看似“已懂”，当教师要求学生叙述概念、定理时，他们往往能够给予流利而圆满的回答，但却经常不能正确地运用它们解决有关问题。如在学习“平方根”时，对于问题“81的平方根等于多少？”，相当多的同学回答是“9”，然而学生对“一个正数有两个平方根，它们互为相反数”这一性质都能完整叙述。正确而流利的回答恰恰掩盖了学生并不理解的本质。因此在教学中，要通过精心合理地设计问题，揭示数学概念的内涵和外延，保证对概念的理解到位，才能进行抽象概念和判断推理，从而提高分析问题和解决问题的能力。同时，在教学中要注意知识的类比，尽可能把同类和相似的内容联系起来讲解，启发学生自己比较它们的异同，从而对所学内容理解透彻，不断完善知识结构。真正掌握所学的新知识，做到“真懂”、“真会”。
如笔者在教授《平方差公式》时，安排了如下练习：
通过这组练习，帮助学生进一步体会能应用平方差公式计算的式子应具备的特征；同时，对公式中的a、b所代表的意义有了更明确的认真。只有这样，学生熟悉了公式的结构特征，会快速判断一个式子是否符合公式特点了，才能应用它进行简化计算。才是真正的“懂”。
2.3 要指导学习方法，提供“真会”钥匙。很多学生对老师有很强的依赖性，课本、资料上的习题从不主动解答，等待老师讲解，对自己不负责任，学习上的消极情绪严重。有一位学生说：“我上课没记笔记，老师讲课时只管听，且听得头头是道，课后却找不着方向，原以为听懂了就记住了，没有把知识变成自己的，时间稍久就会忘记。” 加强学法指导，让学生学会学习，是学生能达到“真会”的突破口，要培养学生养成良好的学习习惯，在课堂上要求学生“专心听、勤于思、认真记”，切忌只听不记或只记不听。笔记要简明扼要，有选择性。着重记老师讲的要点、提纲、归纳、补充及老师对概念、定理阐述中的见解和题解分析的思路点拨等；记自己没有听懂的知识点、疑难处及突现的灵感等；记同学在课堂上交流的新概念、新思路、新方法及独到的见解和有代表性的问题，然后通过课后的整理和钻研将之内化到自己的认知结构中。
在我校一青年教师的公开课《完全平方公式》上，在授课阶段的教学中，按照老师的预设，教学过程显得非常的顺利，对于完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2，老师还编成顺口溜“头平方，尾平方，积的两倍在中间”帮助学生进行记忆，学生的学习兴趣盎然，教学效果似乎不错，但在随后的练习反馈中，却有不少学生不会应用这个公式，反而使用了“（a±b）2=a2±b2”这一错误等式，课堂上老师随即进行了纠正。然而，在当天的作业巩固中，情况并没有好转，竟有更多的人误用“（a±b）2=a2±b2”这一错误等式。其实，这种情况是我们平时教学中一个较为普遍的现象，是不少教师、学生及家长的困惑。不少学生都反应，老师上课讲的内容我都“听得懂”，可是我自己去做却“不会做”！“听得懂”就是课堂上学生对教师所授知识和方法能听明白，无认知障碍，“不会做”就是学生对书本上的习题、教师布置的课外作业、教辅资料上的习题和考试试题不会做。“一听就懂，一做就错，一考就倒”是不少学生数学学习状态的生动写照！教学中还发现一些看似很聪明、特别自信的学生，每次进考场前都信心满满，然后每次的成绩都不甚理想，自我分析时总是说考试时自己粗心、笔误、看错题或是计算错了，对“考不好”还很不服气，自认为“其实我是会做的”。那么究竟是什么原因使学生懂了又忘，懂了又错，甚至懂了又不会做呢？笔者对此留心多年，现将点滴体会作一介绍，仅供同行参考。
1.是否真懂
由于教与学两方面的原因，常使学生自以为已懂，但知之不多，知之不深，浮于表面，似是而非。
1.1 所谓教的原因，一方面教师备课不够深入，没有对教学内容进行深入的研究，没有充分考虑到学生已有的基础知识和思维能力，对学生的基础与能力估计过高，致使课堂教学缺乏针对性。其二，没有设计合理的教学过程，老师讲课时，没有诱发学生的学习兴趣与学习动机，而是采取灌输的方式，老师把所有的步骤、思路都讲出来了，却没能深刻地提示本质特征，不能让学生充分地理解知识的内涵，更不能从“所以然”的角度进行思考。学生根本不知道为什么要这样想、为什么会想到这方面去，学生没有主动地参与教与学活动，造成学生的“懂”仅停留在“听”的层面上，教师照本宣科，学生就依样画葫芦。有时，当教师提出一个问题后，如果教室里一时鸦雀无声没有反应，加上教师又担心教学时间不够，这时教师往往把解题方法的谜底都“启发”出来了，由于得到教师的暗示，此时教师要是问学生“这个问题懂不懂？”，学生的“懂”字就会回答得格外响亮；也可能由于反应快的学生大声喊出了方法，此时不懂的学生经过几秒钟的愣神，也忽然明白了过来；也可能由于某位同学的提醒，而出现了听者的频频点头；或者稍微想不起来就放弃独立思考，马上毫不研究地照搬书本资料上的答案，而使自己快速产生“弄懂”题目的快感，当然谈不上运用知识解题。
1.2所谓学的原因，一方面是学习者浅尝辄止、不求甚解，往往听懂一点点就不想继续听下去，认为自己什么都懂了，不去深入地领悟所学知识，属于“浮燥型”学习心理。如在学习平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2时，自认为很简单，不愿多听多想，对公式中的a、b既可以代表单个数、字母，也可以代表单项式或多项式没有真正领会，结果在练习时就出现了（2x+1）（2x-1）=2x2-1的错误，其二，有的学生过分依赖课本和老师，缺乏独立思考的习惯，课堂上不积极思考、主动探索。练习、作业时做一步比照一次书本或老师的解答，做一道题看一次公式，或是经同学提示、拿他人已经完成的作业作“参考”、看书本或资料上的答案，而间接想起解题答案。如果离开了课本和老师，他们什么都不会做，也不敢做，属于“依赖型”学习心理。三是不去追根求源，解这类题为什么要用这种方法？从上一步到下一步的依据是什么？为什么这样做是错误？错在哪里？诸如此类的问题没有进行过思考，记忆不求活、理解不求深、辨析不求详，没有一种深入钻研的学习习惯。
例1.如图1所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？
对于此题，关键在于理解作图的依据，然而很多同学只是学样把图形做出来，对于为什么这么做就不深究，那么，下次遇到类似的题型他仍旧是不会的，或是对一些看似一样实则完全不同的题目，他也采用一样的做法，那就必错无疑，如把此题改成“奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离相等？”，作图方法就与原题完全不同。
2.是怎样弄懂的
学生都说，课上听得懂。然而，学生自认为的“懂”往往只是机械记忆、表面理解和程式化的模仿，是一种不稳定的心理特征。平常说的“会做”，也往往是模仿性的做，一法一题地做，老师课上讲什么，课下你就做什么，有法可依，有章可循。而考试则不然，考题一般不指明该题属于什么类型，要用什么方法，，考题涉及的知识面广，常常有一定的综合性，需要考生对知识和方法的掌握比较牢固，能举一反三，融会贯通，做到“真懂”、“真会”。那就应该在知识的探索、群体的讨论中通过深层次的研究，将知识内化为自己的认知结构，形成分析问题解决问题的能力。因而在教学中应注意：
2.1 要真正落实主体地位，切实创造“真会”空间。对知识的“假懂”到“真会”，不能仅停留在听的层次上，要经过自己的大脑将其想懂。从这个意义上讲，教者应负主要责任。课堂上为什么总是由你讲呢？为什么不给学生提供一点提出问题的时间和机会呢？一帆风顺的课未见的是好课。充分暴露学生思维过程，甚至是错误的思路是非常必要的。尽管这可能很费时间，但它确实是使学生真正弄懂，并从根本上理解和掌握的有效途径。只有在比较、探索、讨论，甚至争论的过程中领会的东西才是真正的懂，也才会掌握得牢。
如在学习《能得到直角三角形吗》这一节时，安排有如下练习： 例2.一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？
学生对于解决该问题的依据大都不会觉到困难，然而在格式书写上是一个难点，于是笔者就先让学生完成。相当多同学都是这样写的：
从学生的解题叙述中，可以发现学生对勾股定理的逆定理并没有真正理解，对“逆定理”中的题设与条件混淆了。在教学中，我不是直接告诉学生哪儿错了，而是由学生自己来找错，并分析出错的原因。这样一来，通过自主纠错这一环节，学生对“逆定理”的内涵有了更深刻的认识，就能更好理解“勾股定理”与“逆定理”间的不同。在作业反馈中可以看出，学生对“逆定理”的理解是到位的，做到了“真懂”、“会用”。
2.2 要努力完善知识结构，充分奠定“真会”基础。在学习新概念、新知识时，学生由于知识水平有限，或是受到旧有相近、易混淆知识的影响，或是受到旧有思维习惯的影响，都会对他们的学习产生负迁移，导致学生对所学新知看似“已懂”，当教师要求学生叙述概念、定理时，他们往往能够给予流利而圆满的回答，但却经常不能正确地运用它们解决有关问题。如在学习“平方根”时，对于问题“81的平方根等于多少？”，相当多的同学回答是“9”，然而学生对“一个正数有两个平方根，它们互为相反数”这一性质都能完整叙述。正确而流利的回答恰恰掩盖了学生并不理解的本质。因此在教学中，要通过精心合理地设计问题，揭示数学概念的内涵和外延，保证对概念的理解到位，才能进行抽象概念和判断推理，从而提高分析问题和解决问题的能力。同时，在教学中要注意知识的类比，尽可能把同类和相似的内容联系起来讲解，启发学生自己比较它们的异同，从而对所学内容理解透彻，不断完善知识结构。真正掌握所学的新知识，做到“真懂”、“真会”。
如笔者在教授《平方差公式》时，安排了如下练习：
通过这组练习，帮助学生进一步体会能应用平方差公式计算的式子应具备的特征；同时，对公式中的a、b所代表的意义有了更明确的认真。只有这样，学生熟悉了公式的结构特征，会快速判断一个式子是否符合公式特点了，才能应用它进行简化计算。才是真正的“懂”。
2.3 要指导学习方法，提供“真会”钥匙。很多学生对老师有很强的依赖性，课本、资料上的习题从不主动解答，等待老师讲解，对自己不负责任，学习上的消极情绪严重。有一位学生说：“我上课没记笔记，老师讲课时只管听，且听得头头是道，课后却找不着方向，原以为听懂了就记住了，没有把知识变成自己的，时间稍久就会忘记。” 加强学法指导，让学生学会学习，是学生能达到“真会”的突破口，要培养学生养成良好的学习习惯，在课堂上要求学生“专心听、勤于思、认真记”，切忌只听不记或只记不听。笔记要简明扼要，有选择性。着重记老师讲的要点、提纲、归纳、补充及老师对概念、定理阐述中的见解和题解分析的思路点拨等；记自己没有听懂的知识点、疑难处及突现的灵感等；记同学在课堂上交流的新概念、新思路、新方法及独到的见解和有代表性的问题，然后通过课后的整理和钻研将之内化到自己的认知结构中。