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众所周知，有些数学知识是约定俗成的，不便于向学生解释其中的“为什么”。因此，很多教师在教学这样的内容时，只是简单地“告诉”学生前人（或者说数学家们）如何规定，我们应该怎样做。苏教版课程标准实验教材五年级（下册）《用“数对”确定位置》这一内容，主要将学生已有的用类似“第几排第几个”的方式描述位置的经验加以提升，用抽象的“数对”来表示位置，确定位置就要遵守“第几列第几行”的规定。一位教师依据教材，进行了下面的教学。
教师出示例1五年级（2）班学生座位场景图（如右图）。
说明：在确定位置时，竖排（手指场景图中的竖排）叫做列，横排（手指场景图中的横排）叫做行。确定第几列一般从左往右数，确定第几行一般从前往后数。
铺垫：（指第1列第1行的学生）这个学生坐在第几列第几行？（指3列第2行的学生）这个学生坐在第几列第几行？
学生同桌两人合作，一人指图中某一学生，另一人说这个学生坐在第几列第几行。
提问：第1列第1行的位置在哪里？小军的位置在哪里？
小结：规定了列和行，告诉我们第几列和第几行后，能正确、简明地确定位置。
揭示：（指图中小军的位置）小军坐在第4列第3行，数学家们规定用数对表示为（4，3）。
提问：你能理解这个数对的含义吗？数对中的4表示什么意思？3呢？
明确：数对中的第一个数表示第几列，第二个数表示第几行；两个数之间要用逗号隔开，两个数的外面要用小括号括起来。
生巩固练习，尝试用数对确定位置，然后交流。
……
教学进行得很顺利，学生都知道了确定位置就要遵守“第几列第几行”这一规定。我在六年级毕业班上对学生进行的一次口头调查中，就发现了问题。当问到学生“你还记得五年级学习用'数对'确定位置时，第一个数表示‘列’还是‘行’”时，许多学生抓耳挠腮，模棱两可。继续追问“为什么第一个数表示‘列’，第二个数表示‘行’”，有的学生说：“因为第一个数表示第几列，所以第二个数表示第几行……”有的学生说：“因为数学家就是这样规定的。”……
客观地说，学生能给出这样的解释，已经很不容易了。因为很多教师都觉得像“第几列第几行”这样人为规定的知识，没有必要让学生了解“为什么”，觉得没有什么道理可讲，就直接告诉学生了。这样的教学，表面上看，学生也能接受教师的“告诉”，但时间长了，学生习惯了接受，就会产生这样的想法：老师这样告诉我们的，我们就这样去记，记住了就能做对题目了。显然，从促进学生持续发展的角度来看，这样的教学就远远不够了。学生对这样的规定只是一知半解，他们只能机械地按照这一规定去回答问题。时间一长，容易忘记。那么，有更好的教学策略吗？我在实践中再次进行了尝试。
教师出示本班级学生座位表（如下图）
师：我们班数学课代表坐在哪里？
生1：坐在第二排左起第5个。
生2：坐在第二排右起第4个。
（学生已经会用自然数表示位置，这是旧知，也是本课教学的基础。）
教师相机介绍“行”和“列”，确定第几列一般从左往右数，确定第几行一般从前往后数。
课件出示：数学课代表坐在第5列第2行。数学课代表坐在第2行第5列。
师：下面我们来做个比比谁“眼疾手快”的游戏？屏幕依次出现一些同学的位置，大家在3秒之内将位置用自己喜欢的方式记录下来，3秒过后消失出现下一个。
游戏开始，学生逐个记录李雨秋、虞悦、刘健、王康等8人。
（由于是游戏，学生参与热情很大，积极记录，不过，记录的方式不自觉地就逐渐走向简单明了。）
师：都记录完了吗？
大部分学生说没有，少数学生说完成了。
教师展示少数写得快的学生作业纸。
生1：李雨秋（第3列 第4行）
虞悦（第5列第4行）
刘健（3列 4行）
……
生2：李雨秋（第4行第3列）
虞悦（4行5列）
……
师：为什么你们后面都把“第”字给去掉了？
生：这样快！
师：再给大家看一下这两位同学记录的。
生3：李雨秋（第3列 第4行）
虞悦（5列4行）
刘健（6 3）
……
生4：李雨秋（第4行第3列）
虞悦（4行5列）
刘健（3 6）
……
师：这两位同学就更简单了，把‘行’与‘列’也去掉了。大家觉得这样快不快？
生：快！
师：好不好？
学生意见不统一。
师追问：好，好在哪？不好，又不好在哪？
生5：我认为好，这样记录速度快。
生6：不好，因为不容易分清。比如刘健一会是（63），一会是（36），别人就搞不清了。
生7：对！不写‘行’与‘列’，大家就分不清了！
（学生形成了一个认知冲突，统一的数学规定呼之欲出，教师及时引导。）
师反问：是呀，光看（63）你能一下子明白吗？还需要改进。怎么改进？
生8：先写'列'，再写'行'。
揭示：（指图中刘健的位置）刘健坐在第6列第3行，在数学上可以用数对表示为（6，3）。
提问：你能理解这个数对的含义吗？数对中的6表示什么意思？3呢？
明确：数对中的第一个数表示第几列，第二个数表示第几行；两个数之间要用逗号隔开，两个数的外面要用小括号括起来。
追问：用数对（6，3）这样表示会不会混淆了？
生：不会！
同桌两人用数对说一说自己坐的位置。
……
弗赖登塔尔认为：学生学习数学是一个有指导的“再创造”的过程。数学学习本身是学生的“再创造”。虽然，学生要学的数学知识都是前人已经发现或发明（规定）的，对学生来说，仍是全新的、未知的、模糊的，需要每个人再现类似的创造过程来形成。数学知识的学习并不是简单的接受，而必须以“再创造”的方式进行。从这个角度去想，很多数学规定从产生到被普遍认可都有一个曲折而漫长的过程，怎样规定更合理都有其内在的原因，并不是轻描淡写的一句“数学家们这么规定”就能解释的。因此，在数学学习的过程中，应给学生提供具有充分“再创造”的通道。反思上述第二个案例，为什么能取得较好的效果呢？
1、情境+问题——让学生体会规定的必然性
小学数学规定的教学一般要经过规定的引入、规定的建立、规定的巩固与运用等三个阶段。规定的引入与数学概念的教学一样，也可以创设情境，让学生在有利于学习的课堂氛围中主动参与数学规则的建构过程。当学生有可能理解某一规定背后的产生原因时，不妨给学生创造条件，让学生更好地认识和理解这样的规定，体会规定的合理性与必然性。上面第二个案例的教学创设了一个让学生尝试记录班级同学的座位的情境，通过对不同记录方法的比较，产生认知冲突，诱发学生对确定位置这一问题的深入思考，进而理解遵守“第几列第几行”这一规定的合理性。学生不仅知其然，更知其所以然。
2、比较+反思——让学生经历规定的再创造
用“数对”确定位置其实就是以直角坐标系的思想对平面内一点位置的描述，而笛卡尔直角坐标系的创建，是数学史的一次飞跃，它在代数和几何上架起了一座桥梁。同时，不同方式描述平面内一点的位置，直至用数对来描述的过程，其实也是一个符号化的过程。数学史中，符号化的过程中大致经历了“文辞阶段、缩写阶段、符号阶段”三个时期，每个阶段相对前一阶段都是一次飞跃，在数学史上有着重大意义。这些，我想引领着学生在这节课中去经历，去感悟。通过教师两次叙述的对比，系列的追问“为什么你们后面都把'第'字给去掉了？” “好，好在哪？不好，又不好在哪？”“用数对（6，3）这样表示会不会混淆了？”学生充分地感受到符号化的价值，统一的数学规定呼之欲出、自然有效。
教师出示例1五年级（2）班学生座位场景图（如右图）。
说明：在确定位置时，竖排（手指场景图中的竖排）叫做列，横排（手指场景图中的横排）叫做行。确定第几列一般从左往右数，确定第几行一般从前往后数。
铺垫：（指第1列第1行的学生）这个学生坐在第几列第几行？（指3列第2行的学生）这个学生坐在第几列第几行？
学生同桌两人合作，一人指图中某一学生，另一人说这个学生坐在第几列第几行。
提问：第1列第1行的位置在哪里？小军的位置在哪里？
小结：规定了列和行，告诉我们第几列和第几行后，能正确、简明地确定位置。
揭示：（指图中小军的位置）小军坐在第4列第3行，数学家们规定用数对表示为（4，3）。
提问：你能理解这个数对的含义吗？数对中的4表示什么意思？3呢？
明确：数对中的第一个数表示第几列，第二个数表示第几行；两个数之间要用逗号隔开，两个数的外面要用小括号括起来。
生巩固练习，尝试用数对确定位置，然后交流。
……
教学进行得很顺利，学生都知道了确定位置就要遵守“第几列第几行”这一规定。我在六年级毕业班上对学生进行的一次口头调查中，就发现了问题。当问到学生“你还记得五年级学习用'数对'确定位置时，第一个数表示‘列’还是‘行’”时，许多学生抓耳挠腮，模棱两可。继续追问“为什么第一个数表示‘列’，第二个数表示‘行’”，有的学生说：“因为第一个数表示第几列，所以第二个数表示第几行……”有的学生说：“因为数学家就是这样规定的。”……
客观地说，学生能给出这样的解释，已经很不容易了。因为很多教师都觉得像“第几列第几行”这样人为规定的知识，没有必要让学生了解“为什么”，觉得没有什么道理可讲，就直接告诉学生了。这样的教学，表面上看，学生也能接受教师的“告诉”，但时间长了，学生习惯了接受，就会产生这样的想法：老师这样告诉我们的，我们就这样去记，记住了就能做对题目了。显然，从促进学生持续发展的角度来看，这样的教学就远远不够了。学生对这样的规定只是一知半解，他们只能机械地按照这一规定去回答问题。时间一长，容易忘记。那么，有更好的教学策略吗？我在实践中再次进行了尝试。
教师出示本班级学生座位表（如下图）
师：我们班数学课代表坐在哪里？
生1：坐在第二排左起第5个。
生2：坐在第二排右起第4个。
（学生已经会用自然数表示位置，这是旧知，也是本课教学的基础。）
教师相机介绍“行”和“列”，确定第几列一般从左往右数，确定第几行一般从前往后数。
课件出示：数学课代表坐在第5列第2行。数学课代表坐在第2行第5列。
师：下面我们来做个比比谁“眼疾手快”的游戏？屏幕依次出现一些同学的位置，大家在3秒之内将位置用自己喜欢的方式记录下来，3秒过后消失出现下一个。
游戏开始，学生逐个记录李雨秋、虞悦、刘健、王康等8人。
（由于是游戏，学生参与热情很大，积极记录，不过，记录的方式不自觉地就逐渐走向简单明了。）
师：都记录完了吗？
大部分学生说没有，少数学生说完成了。
教师展示少数写得快的学生作业纸。
生1：李雨秋（第3列 第4行）
虞悦（第5列第4行）
刘健（3列 4行）
……
生2：李雨秋（第4行第3列）
虞悦（4行5列）
……
师：为什么你们后面都把“第”字给去掉了？
生：这样快！
师：再给大家看一下这两位同学记录的。
生3：李雨秋（第3列 第4行）
虞悦（5列4行）
刘健（6 3）
……
生4：李雨秋（第4行第3列）
虞悦（4行5列）
刘健（3 6）
……
师：这两位同学就更简单了，把‘行’与‘列’也去掉了。大家觉得这样快不快？
生：快！
师：好不好？
学生意见不统一。
师追问：好，好在哪？不好，又不好在哪？
生5：我认为好，这样记录速度快。
生6：不好，因为不容易分清。比如刘健一会是（63），一会是（36），别人就搞不清了。
生7：对！不写‘行’与‘列’，大家就分不清了！
（学生形成了一个认知冲突，统一的数学规定呼之欲出，教师及时引导。）
师反问：是呀，光看（63）你能一下子明白吗？还需要改进。怎么改进？
生8：先写'列'，再写'行'。
揭示：（指图中刘健的位置）刘健坐在第6列第3行，在数学上可以用数对表示为（6，3）。
提问：你能理解这个数对的含义吗？数对中的6表示什么意思？3呢？
明确：数对中的第一个数表示第几列，第二个数表示第几行；两个数之间要用逗号隔开，两个数的外面要用小括号括起来。
追问：用数对（6，3）这样表示会不会混淆了？
生：不会！
同桌两人用数对说一说自己坐的位置。
……
弗赖登塔尔认为：学生学习数学是一个有指导的“再创造”的过程。数学学习本身是学生的“再创造”。虽然，学生要学的数学知识都是前人已经发现或发明（规定）的，对学生来说，仍是全新的、未知的、模糊的，需要每个人再现类似的创造过程来形成。数学知识的学习并不是简单的接受，而必须以“再创造”的方式进行。从这个角度去想，很多数学规定从产生到被普遍认可都有一个曲折而漫长的过程，怎样规定更合理都有其内在的原因，并不是轻描淡写的一句“数学家们这么规定”就能解释的。因此，在数学学习的过程中，应给学生提供具有充分“再创造”的通道。反思上述第二个案例，为什么能取得较好的效果呢？
1、情境+问题——让学生体会规定的必然性
小学数学规定的教学一般要经过规定的引入、规定的建立、规定的巩固与运用等三个阶段。规定的引入与数学概念的教学一样，也可以创设情境，让学生在有利于学习的课堂氛围中主动参与数学规则的建构过程。当学生有可能理解某一规定背后的产生原因时，不妨给学生创造条件，让学生更好地认识和理解这样的规定，体会规定的合理性与必然性。上面第二个案例的教学创设了一个让学生尝试记录班级同学的座位的情境，通过对不同记录方法的比较，产生认知冲突，诱发学生对确定位置这一问题的深入思考，进而理解遵守“第几列第几行”这一规定的合理性。学生不仅知其然，更知其所以然。
2、比较+反思——让学生经历规定的再创造
用“数对”确定位置其实就是以直角坐标系的思想对平面内一点位置的描述，而笛卡尔直角坐标系的创建，是数学史的一次飞跃，它在代数和几何上架起了一座桥梁。同时，不同方式描述平面内一点的位置，直至用数对来描述的过程，其实也是一个符号化的过程。数学史中，符号化的过程中大致经历了“文辞阶段、缩写阶段、符号阶段”三个时期，每个阶段相对前一阶段都是一次飞跃，在数学史上有着重大意义。这些，我想引领着学生在这节课中去经历，去感悟。通过教师两次叙述的对比，系列的追问“为什么你们后面都把'第'字给去掉了？” “好，好在哪？不好，又不好在哪？”“用数对（6，3）这样表示会不会混淆了？”学生充分地感受到符号化的价值，统一的数学规定呼之欲出、自然有效。