摘要：本文修正了一个流传很广的，与双曲线、圆、相切有关的选填题的错误解答.
　　关键词：双曲线；圆；切线
　　题目已知过双曲线－=1的左焦点F，且与圆x2+y2=a2相切于点T的直线与该双曲线右支相交于P，若线段FP的中点是M，则OM－MT=________.
　　答案：b－a.
　　
　　图1
　　解析设右焦点是F0，PF=R，PF0=r，则R－r=2a，OM=，在Rt△OTF中，因为OF=c，OT=a，所以FT=b，所以对图1有OM－MT=－－b= －（R-r）+b=b－a.
　　原答案或者就是这样得到的，但这一解答有失偏颇：点M一定就在T点的右侧，不可能落在T点的左边？就像图2所示那样.
　　对图2，因为在Rt△OTM中，MT=b－，所以由勾股定理有2－b－2=a2，所以+b－－b+=a2，即+－b=，所以OM－MT=－b－=+－b=.
　　这两种情况都有可能？还有其他情形吗？
　　
　　图3
　　如图3，作F0Q⊥PF于Q，设QP=x，在Rt△F0QP中，由x2+（2a）2=r2，（2b+x）－r=2a?圯（a－b）x=b（b－2a）. 当a=b时，无解；
　　当a≠b时，x=，所以x>0?圳a2a.
　　至此本题的真正解是：
　　当a=b时，直线FT与双曲线只有一个交点，与右支不相交，中点M不存在，（OM－MT）无意义；
　　当a　　当b=2a时，中点M和点T重合，OM－MT=a；
　　当b2a时，中点M在T点的左侧（如图2所示），OM－MT=.
　　练习：已知过双曲线－=1的左焦点F，且与圆x2+y2=a2相切于点T的直线与双曲线右支相交于P，线段FP的中点是M，若OM－MT=，试求该双曲线离心率的取值范围.