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【摘要】数学性质是数学对象（包括定义、定理、公式等）所具有的特征。数学性质是数学深度思维的结果，具有较高的抽象性，是培育学生数学抽象素养的重要载体。然而，在数学教学设计与实践中，有的教师对数学性质的教学不够重视。承接本专题的系列创课设计，研究者基于范希尔理论，以“等腰三角形的性质”教学为例，尝试优化数学性质的创课设计。
【关键词】数学性质；创课；范希尔；优化
数学概念、性质、公式、定理等是数学的基础知识。数学性质是数学对象（包括定义、定理、公式等）所具有的特征。如比例的性质是两个外项的积等于两个内项的积，再如四个角都是直角是长方形的性质。数学性质是数学深度思维的结果，具有较高的抽象性，是培育学生数学抽象素养的重要载体。然而，在数学教学设计与实践中，数学性质的教学并没有得到足够的重视。笔者基于范希尔理论，以初中“等腰三角形的性质”教学为例，对比原版和优化版的教学实录并进行片段评析，尝试优化数学性质的创课设计。
一、范希尔理论概述
基于皮亚杰的认知理论，荷兰学者范希尔夫妇对几何教学进行了长期的理论与实践研究，形成了指导几何教学的范希尔理论。范希尔理论的核心内容有两方面：一是几何思维的五个水平，二是与其对应的五个教学阶段。
（一）几何思维的基本水平
范希尔理论认为，学生的几何思维主要呈现五个层次的水平：直观（visualization）、分析（analysis）、抽象（abstraction）、演绎（deduction）、严谨（rigor）。直观层次的基本特征，即直观感知和辨认图形，能整体感知图形的形状，辨认图形的特征。如学生能从整体上直观感知某个图形是等腰三角形，因为它看起来是两条边一样长的三角形。分析层次的基本特征，即辨认和描述图形，能够根据图形的组成要素及其关系分析图形，依据操作经验来建立这类图形的特性，如学生能通过动手折叠图形发现等腰三角形是轴对称图形。抽象层次的基本特征，即抽象和概括图形的特征，能够通过图形的数量关系或空间形式的抽象，得到图形与几何的定义或性质，从图形的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言描述。如学生能用相对精准的自然语言或数学语言描述等腰三角形是轴对称图形。演绎层次的基本特征，即推理或证明图形的几何性质，能从已有的事实和确定的规则出发，进行符合逻辑的推理或证明。如学生能根据等腰三角形的定义推理等腰三角形的性质。严谨层次的基本特征，即严谨推理或证明，能基于不同公理体系的几何系统，用数学语言严谨推理或证明几何的性质。如学生用证明的数学语言严格推理等腰三角形的性质。这些不同的水平层次虽然是不连续的，却是顺次的，学生在进入某一水平层次的学习之前，必须达到上一个层次水平的要求。
（二）幾何教学的基本环节
对应五个几何思维水平，范希尔理论提出了几何教学的五个基本环节：学前咨询（information）、引导定向（guided orientation）、阐明（explication）、自由定向（free orientation）、整合（integration）。在学前咨询阶段，教师设计问题情境，激活学生的知识经验，搭建新旧知识间的联系，关键是温故知新，思考问题。引导定向指的是教师引导学生明确学习的目标和任务，计划重点探索什么和如何探索，关键是明确目标，明晰任务。阐明指的是学生表达自己学习的理解，教师主导讨论，并通过数学语言阐明猜想，关键是归纳猜想，表达分享。自由定向是自由探索的阶段，学生运用所学到的知识解决几何问题，用自己的方法完成性质的推理或证明，关键是推理论证，明晰结构。整合指的是学生通过总结和整理所学的知识以及思想和方法，形成一种新的观点，关键是小结反思，建构系统[1-3]。
二、优化数学性质类创课设计与案例分析
（一）本节创课的基本背景
人教版八年级数学上册的“等腰三角形的性质”内容，是学生经历以全等三角形为工具研究几何学的开端，为后续研究线段垂直平分线、垂径定理等奠定基础。“三线合一”这一性质是学生较难发现、理解以及证明的内容，是本节课的重点和难点，也是培育学生核心素养的良好载体。本节课的内容主要是探究等腰三角形两底角相等的多种证明方法，从中发现并证明等腰三角形“三线合一”的性质。
1.学前咨询——温故知新，思考问题
原版教学设计：首先，教师呈现问题情境；其次，学生动手操作，回顾旧知；最后，教师指出本节课学习的知识。原版教学设计如图1所示。
优化版教学设计：首先，教师摸清学生原有的知识经验；然后，基于新知识生长的逻辑起点，通过复习回顾、问题情境等活动，激活学生原有的知识经验；最后，教师带领学生进入新知学习。优化版的教学设计如图2所示。
【比较分析】学前咨询的目的是通过教师的问题驱动，激活学生原有的知识经验、学习新知识的欲望与兴趣。相比较而言，优化版的问题情境和要求比较具有挑战性，容易驱动学生手脑并用，激活学生原有的知识经验，激发学生学习新知识的欲望与兴趣。
2.引导定向——明确目标，明晰任务
原版教学设计：首先，教师询问学生，关于等腰三角形他们想研究什么；其次，教师提示学生类比平行线的学习是从性质和判定两个方面进行研究的，明确本节课的学习目标是研究等腰三角形的性质；最后，教师给出关于等腰三角形的性质的描述。原版的教学设计如图3所示。
优化版教学设计：首先，教师呈现模拟的学习困惑情境动画（动画的主人公是小圆、小镜、小方）；其次，营造认知冲突，激发学生求知欲望，明确学习目标，明晰学习任务；最后，引导学生带着问题思考，进入新知识学习。优化版的教学设计如图4所示，实录如下。
师：同学们，这是一个等腰三角形，你认为它有什么特点？
小圆：它的两条腰相等。
小镜：它的两个底角看起来相等。 小方：它的两个底角看起来不相等，而且老师之前也没说过等腰三角形的两个底角相等。
师：等腰三角形的两个底角到底相不相等？这个特殊的三角形隐藏着什么性质？这就是我们今天的学习目标。
（创设问题情境，营造认知冲突，明晰学习任务）
【比较分析】这个环节的目的是让学生明确学习目标、明晰学习任务。通过比较可知，优化版教学设计通过模拟情境和问题串设计，更具有趣味性和挑战性，更容易帮助学生明确本节课的目标和学习任务。
3.阐明——归纳猜想，表达分享
（1）原版教学设计及片段实录
原版教学设计：首先，教师要求学生动手操作；然后，学生观察表格，猜想性质；最后，学生找到证明关键。原版的教学设计如图5所示，片段实录如下。
师：请你把剪出的等腰三角形沿折痕AD对折，并把重合的线段和角填入表中，看看有什么发现？
小圆：我发现△ABC的两底角重合。
小镜：我发现这条折痕既是底边上的中线和高，又是顶角的角平分线。
师：根据这些发现，我们猜想等腰三角形会具有什么性质呢？
小方：等腰三角形的两底角应该是相等的，而且等腰三角形底边上的高、中线与顶角的角平分线应该是重合的。
师：通过动手实验，我们猜想等腰三角形的两个性质，那么这两个性质成不成立，接下来我们要通过逻辑推理来证明。
（2）优化版教学设计及片段实录
范希尔指出，经验的获得取决于正确的语言符号和学生对观察到的结构所做的交流分享。因此，本环节需要在促进学生归纳猜想的基础上加强交流分享。首先，学生动手操作；其次，学生认真观察图形的特征，归纳猜想图形的特征，并尽量用数学语言表述分享；最后，教师引导学生寻找证明的突破口。优化版的教学设计如图6所示，片段实录如下。
师：等腰三角形会有什么性质呢？请同学们观察你手中的等腰三角形，有什么发现？
小圆：我发现它可以对折重合，说明等腰△ABC是个轴对称图形，这条折痕AD所在的直线就是它的对称轴。
师：如果它是轴对称图形，那么它的两个底角有什么关系？
小圆：两个底角相等。我对折发现，它们是一样大的。小镜的猜想应该是对的，等腰三角形的第一个性质应该就是两底角相等。
（动手操作，观察发现，归纳猜想）
师：通过动手实验我们发现，等腰三角形的两底角能重合，进而猜想等腰三角形的性质，即等腰三角形的两底角相等。这个猜想成不成立，光靠实验来说明是不行的，数学的严谨性要求我们必须通过逻辑推理才能验证，那么证明的关键是什么呢？
小鏡：通过对折，折痕AD把等腰△ABC分成两个小的三角形——△ABD和△ACD。若能证明△ABD△ACD，就能得到∠B=∠C，从而可以验证猜想1是成立的。
（分析已知条件，结合原有经验，找到证明关键）
师：看来证明△ABD△ACD是关键，但是怎么证明全等呢？我们先用数学语言把猜想1写成“已知……求证……”的形式，也就是已知在△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C。
【比较分析】原版教学设计让学生按照步骤操作，把重合的线段、角填入表中，从表中猜想等腰三角形的两个性质，留给学生自主探究的空间不大，学生被动地接受操作，难以发挥学习主体的作用。优化版教学设计让学生从“被动接受”转为“主动思考”，在“授人以鱼”的同时“授人以渔”：学生经历学习数学的基本活动，主动发现性质；掌握学习数学的有效方法，找到证明的关键，感悟数学的基本思想，有利于培育学生的核心素养[4]。
4.自由定向——推理论证，明晰结构
（1）原版教学设计及片段实录
原版教学设计：首先，学生把猜想2拆分为三个命题；随后，根据命题一的已知信息添加辅助线，详细讲述证明方法，类似的验证命题二和命题三；最后，教师提醒学生注意易错之处。教学片段实录如下。
师：我们先把猜想写成“已知……求证……”的形式，猜想2可以分为三个命题（如图7所示），我们可以从这三个命题中寻找添加辅助线的方法。如根据命题一，要让BD=CD，那么作的辅助线就应是底边BC的中线。
师：类似上面作辅助线的方法，验证猜想2中的命题二、命题三也成立（如图8）。
（教师讲述具体的证明过程。）
师：由此，我们证明了猜想1、猜想2是正确的，因此得到等腰三角形的两个性质：① 等腰三角形两底角相等；② 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
（2）优化版教学设计及片段实录
此环节主要是自由定向阶段，鼓励学生发散思维，鼓励一题多法，弄清方法间的内在联系，促进深度理解。
优化版教学设计：首先，根据证明的关键信息，学生找到证明的必要条件。其次，学生寻找不同的证法，一题多解，发散思维，通过错漏分享，加深理解。最后，规范推理步骤，明晰性质，初步构建等腰三角形的性质及其体系。以下是优化版教学设计的片段实录。
师：要通过证明全等来证明∠B=∠C，那么首先需要添加辅助线，把一个等腰三角形分成两个小三角形，应该怎样添加辅助线呢？老师提示大家，要用到全等的思想哦。
小镜：添加的辅助线应该就是与折痕AD重合的位置，那么现在就有两个条件：AB=AC；AD是一条公共边。
师：小镜的分析非常正确。但是要判定两个三角形全等，我们现在还缺一个条件，怎么办？
小镜：可以想办法让两个小三角形的第三边相等，即BD=CD，作底边BC的中点D，接着连接AD作出等腰三角形底边上的中线，所以添加的辅助线就是底边上的中线。
（利用全等思想，循序渐进，作辅助线） 师：小镜的想法非常好。我们添加的辅助线是为了证明两个小三角形全等。小镜利用了“边边边”可以证明两个小三角形全等，成功地作出了辅助线。那么证明过程怎么写呢？
师：小镜按照他的思路写出了一个证明过程（如图9所示），我们一起来看看对不对。
（教师讲述具体证明过程。）
师：小镜牢记全等的思想，作出了辅助线，证明过程也写得非常完美，这样我们就证明了猜想1是成立的，因而成功解决了我们开始时的疑惑，也得到了等腰三角形的第一个性质，即等腰三角形的两底角相等。
师：那么，除了作底边中线的辅助线，还有其他添加辅助线的方法吗？
（学生通过逻辑证明，验证猜想成立；教师提出问题，启发学生思考。）
小方：在小镜的基础上，他是用“边边边”来证明全等的，我想还可以用“边角边”来证明。
师：我们知道“边角边”确实能够证明两个三角形全等。小方，你是怎么作辅助线的呢？
小方：这简单，既然两条相等的边（腰和公共边）已经确定了，那么这两个相等的角就必须是它们的夹角。因此，我作顶角的平分线AD，这样，两条相等的边所夹的角也就相等了。
师：同学们理解小方的想法了吗？小方的方法是否正确呢？
（教师讲述具体证明过程。）
师：站在前人的肩膀上可以看得更远。小方充分借鉴了小镜的思想，在小镜的基础上运用了另外一种方法，同样把等腰三角形分成了两个全等的小三角形，又一次验证了等腰三角形的两底角是相等的。（如图10所示）
（类比迁移，一题多解，发散思维）
小圆：我还有另外一种方法（如图11所示），作等腰三角形底边上的高，这样能得到两个直角；又知道AB=AC，AD=AD，所以根据“边边角”得到△ABD△ACD，因此∠B=∠C。
师：很好，小圆有了新的方法，作的是等腰三角形底边上的高，但是“边边角”能证明两个三角形全等吗？
小圆：是哦，“角角边”才能证明全等。如果是两条边加一个角，那么这个角必须是这两条边的夹角。但是这个角不是夹角，是我大意了，难道这样添加辅助线不对？
师：小圆由于粗心马虎，弄错了判定全等的条件，同学们可要吸取教训，不能粗心大意呀！老师提示一下，小圆作的是高，那么得到的两个小三角形都是什么三角形？
小圆：作高得到的△ABD和△ACD都是直角三角形，斜边AB=AC，直角边AD=AD，根据“斜边直角边”这一特殊的判定方法，就能证明Rt△ABDRt△ACD了。
（教师分析错漏，引导学生反思。）
师：我们发现，小镜添加的辅助线是底边上的中线，小方添加的辅助线是顶角的平分线，小圆添加的是底边上的高，但结果都能把等腰三角形分成两个全等的小三角形，即△ABD△ACD。那么，这三条辅助线有什么关系吗？
小镜：这说明作的三条辅助线都是在同一个位置。那么，等腰三角形的第二个性质，是不是顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合呢？
师：通过一系列的探索发现，我们得到了猜想2，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
（不同方法，比较联系，猜想性质）
师：经过前面的全等证明，虽然猜想2明显是成立了，但是猜想毕竟是猜想。数学是一门严谨的学科。接下来，我们需要严格的逻辑证明来验证它是否成立。
师：前面不同的作辅助线方法都能证明△ABD△ACD，得到∠B=∠C。请同学们思考，如果作底边上的中线，还能得到什么结论？
小镜：由两个小三角形全等能得到这两个三角形的对应边、对应角都相等，因此∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA=90°。
师：非常好。如此又得到了两个新结论。∠BAD=∠CAD说明了什么呢？
小镜：说明作的等腰三角形底边上的中线AD平分顶角。∠BDA=∠CDA=90°，说明AD⊥BC，也就是说，等腰三角形底边上的中线平分顶角且垂直于底边。
师：小镜经过分析又有了新发现。同样的，谁能分析另外两种方法的新结论？
小方：我的方法还能得到BD=CD，∠BDA=∠CDA=90°，所以AD⊥BC，说明作的等腰三角形的顶角平分线平分底边且垂直于底边。
小圆：我作的是底边上的高，还能得到BD=CD，∠BAD=∠CAD，说明等腰三角形底边上的高平分底边与顶角。
师：综合小镜、小方、小圆的证明，我们证明了猜想2是成立的，因而得到等腰三角形的第二个性质，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。证明过程如图13所示。
（严谨证明，验证猜想，得到性质）
师：我们已經成功证明了等腰三角形的两个性质。第二个性质特别长，我们来给它们取个简称吧。第一个性质：等腰三角形的两底角相等。我们把它简写为“等边对等角”。第二个性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。我们把它简写成“三线合一”。
（明晰简写，方便理解，加深记忆）
师：下面，我们借助动态数学软件来观察从一般三角形变为等腰三角形时，三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线的变化过程。移动顶点A，可以改变三角形的形状；当三角形从一般三角形变为等腰三角形，它的高、角平分线、中线也越来越趋近；当三角形ABC是等腰三角形的时候，这三条线段重合了。这就是“三线合一”，如图14所示。
（技术辅助，直观阐述，多元表征）
【比较分析】原版教学设计主要存在如下问题：直接给出辅助线，很难让学生明白为何这样作辅助线，缺少有效的引导过渡和互动环节；没有对证明方法的内在联系进行梳理与反思。因此，优化版教学设计进行了如下改进。 第一，注重辅助线的添加过程。基于前面的分析，教师提示学生带着全等的思想去寻找添加辅助线的方法，启发学生思考，师生互动，引导学生作出辅助线，重视证明过程和有效过渡。学生在教师的启发下，经过自己的努力，理解和掌握知识和技能，积累数学活动经验，感悟数学思想和方法。
第二，强调多样的证明方法。原版教学设计虽然也有多种证明方法，但是将重点放在证法本身，不注重思维过程的解读和方法之间的联系。优化版教学设计重视数学基本思想，以“抽象、推理、模型”为教学的核心任务，展示了学生证明思路产生的过程，鼓励学生一题多解，注重多种方法间的比较联系，是一类以问题为载体、学生自主参与为主的学习活动，在学习过程中培养学生独立思考的习惯。
第三，设计典型的错误证法。教师设置了学生的错漏分享，引导学生发现可能出现的错漏并进行检验完善。这不仅有利于学生严谨思维习惯的养成，而且能促进学生数学推理素养的培育[5]。
第四，阐明性质之间的关系。优化版教学设计在向学生展示具体的推理论证过程中，使结论合理化后，对性质作一个小结阐述，包括对性质的简写做了说明，加深学生对性质的认识，明晰了关于等腰三角形的性质的结构体系。
第五，数形结合的动态展示。在学生明确了等腰三角形的性质后，教师借助皓骏动态数学软件的动画功能，向学生展示等腰三角形“三线”的变化过程，使学生更加清晰、直观地感知性质。
参考文献：
[1]HOWSE T D，HOWSE M E.Linking the van hiele theory to instruction[J].Teaching Children Mathematics，2015（5）：304-313.
[2]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.
[3]刘立梅.范希尔理论在高中立体几何教学中的应用研究[D].天津：天津师范大學，2014.
[4]唐剑岚.“鱼渔欲”三位一体优化数学教学的理念与策略：以“三角形的内角”课例片段分析为例[J].基础教育研究，2015（9）：5-10.
[5]唐剑岚，冯耀庆.基于波利亚数学解题思想的数学创课设计：以2017年高考理科数学全国卷Ⅰ第21题的教学为例[J].中小学课堂教学研究，2018（2）：15-21.
【关键词】数学性质；创课；范希尔；优化
数学概念、性质、公式、定理等是数学的基础知识。数学性质是数学对象（包括定义、定理、公式等）所具有的特征。如比例的性质是两个外项的积等于两个内项的积，再如四个角都是直角是长方形的性质。数学性质是数学深度思维的结果，具有较高的抽象性，是培育学生数学抽象素养的重要载体。然而，在数学教学设计与实践中，数学性质的教学并没有得到足够的重视。笔者基于范希尔理论，以初中“等腰三角形的性质”教学为例，对比原版和优化版的教学实录并进行片段评析，尝试优化数学性质的创课设计。
一、范希尔理论概述
基于皮亚杰的认知理论，荷兰学者范希尔夫妇对几何教学进行了长期的理论与实践研究，形成了指导几何教学的范希尔理论。范希尔理论的核心内容有两方面：一是几何思维的五个水平，二是与其对应的五个教学阶段。
（一）几何思维的基本水平
范希尔理论认为，学生的几何思维主要呈现五个层次的水平：直观（visualization）、分析（analysis）、抽象（abstraction）、演绎（deduction）、严谨（rigor）。直观层次的基本特征，即直观感知和辨认图形，能整体感知图形的形状，辨认图形的特征。如学生能从整体上直观感知某个图形是等腰三角形，因为它看起来是两条边一样长的三角形。分析层次的基本特征，即辨认和描述图形，能够根据图形的组成要素及其关系分析图形，依据操作经验来建立这类图形的特性，如学生能通过动手折叠图形发现等腰三角形是轴对称图形。抽象层次的基本特征，即抽象和概括图形的特征，能够通过图形的数量关系或空间形式的抽象，得到图形与几何的定义或性质，从图形的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言描述。如学生能用相对精准的自然语言或数学语言描述等腰三角形是轴对称图形。演绎层次的基本特征，即推理或证明图形的几何性质，能从已有的事实和确定的规则出发，进行符合逻辑的推理或证明。如学生能根据等腰三角形的定义推理等腰三角形的性质。严谨层次的基本特征，即严谨推理或证明，能基于不同公理体系的几何系统，用数学语言严谨推理或证明几何的性质。如学生用证明的数学语言严格推理等腰三角形的性质。这些不同的水平层次虽然是不连续的，却是顺次的，学生在进入某一水平层次的学习之前，必须达到上一个层次水平的要求。
（二）幾何教学的基本环节
对应五个几何思维水平，范希尔理论提出了几何教学的五个基本环节：学前咨询（information）、引导定向（guided orientation）、阐明（explication）、自由定向（free orientation）、整合（integration）。在学前咨询阶段，教师设计问题情境，激活学生的知识经验，搭建新旧知识间的联系，关键是温故知新，思考问题。引导定向指的是教师引导学生明确学习的目标和任务，计划重点探索什么和如何探索，关键是明确目标，明晰任务。阐明指的是学生表达自己学习的理解，教师主导讨论，并通过数学语言阐明猜想，关键是归纳猜想，表达分享。自由定向是自由探索的阶段，学生运用所学到的知识解决几何问题，用自己的方法完成性质的推理或证明，关键是推理论证，明晰结构。整合指的是学生通过总结和整理所学的知识以及思想和方法，形成一种新的观点，关键是小结反思，建构系统[1-3]。
二、优化数学性质类创课设计与案例分析
（一）本节创课的基本背景
人教版八年级数学上册的“等腰三角形的性质”内容，是学生经历以全等三角形为工具研究几何学的开端，为后续研究线段垂直平分线、垂径定理等奠定基础。“三线合一”这一性质是学生较难发现、理解以及证明的内容，是本节课的重点和难点，也是培育学生核心素养的良好载体。本节课的内容主要是探究等腰三角形两底角相等的多种证明方法，从中发现并证明等腰三角形“三线合一”的性质。
1.学前咨询——温故知新，思考问题
原版教学设计：首先，教师呈现问题情境；其次，学生动手操作，回顾旧知；最后，教师指出本节课学习的知识。原版教学设计如图1所示。
优化版教学设计：首先，教师摸清学生原有的知识经验；然后，基于新知识生长的逻辑起点，通过复习回顾、问题情境等活动，激活学生原有的知识经验；最后，教师带领学生进入新知学习。优化版的教学设计如图2所示。
【比较分析】学前咨询的目的是通过教师的问题驱动，激活学生原有的知识经验、学习新知识的欲望与兴趣。相比较而言，优化版的问题情境和要求比较具有挑战性，容易驱动学生手脑并用，激活学生原有的知识经验，激发学生学习新知识的欲望与兴趣。
2.引导定向——明确目标，明晰任务
原版教学设计：首先，教师询问学生，关于等腰三角形他们想研究什么；其次，教师提示学生类比平行线的学习是从性质和判定两个方面进行研究的，明确本节课的学习目标是研究等腰三角形的性质；最后，教师给出关于等腰三角形的性质的描述。原版的教学设计如图3所示。
优化版教学设计：首先，教师呈现模拟的学习困惑情境动画（动画的主人公是小圆、小镜、小方）；其次，营造认知冲突，激发学生求知欲望，明确学习目标，明晰学习任务；最后，引导学生带着问题思考，进入新知识学习。优化版的教学设计如图4所示，实录如下。
师：同学们，这是一个等腰三角形，你认为它有什么特点？
小圆：它的两条腰相等。
小镜：它的两个底角看起来相等。 小方：它的两个底角看起来不相等，而且老师之前也没说过等腰三角形的两个底角相等。
师：等腰三角形的两个底角到底相不相等？这个特殊的三角形隐藏着什么性质？这就是我们今天的学习目标。
（创设问题情境，营造认知冲突，明晰学习任务）
【比较分析】这个环节的目的是让学生明确学习目标、明晰学习任务。通过比较可知，优化版教学设计通过模拟情境和问题串设计，更具有趣味性和挑战性，更容易帮助学生明确本节课的目标和学习任务。
3.阐明——归纳猜想，表达分享
（1）原版教学设计及片段实录
原版教学设计：首先，教师要求学生动手操作；然后，学生观察表格，猜想性质；最后，学生找到证明关键。原版的教学设计如图5所示，片段实录如下。
师：请你把剪出的等腰三角形沿折痕AD对折，并把重合的线段和角填入表中，看看有什么发现？
小圆：我发现△ABC的两底角重合。
小镜：我发现这条折痕既是底边上的中线和高，又是顶角的角平分线。
师：根据这些发现，我们猜想等腰三角形会具有什么性质呢？
小方：等腰三角形的两底角应该是相等的，而且等腰三角形底边上的高、中线与顶角的角平分线应该是重合的。
师：通过动手实验，我们猜想等腰三角形的两个性质，那么这两个性质成不成立，接下来我们要通过逻辑推理来证明。
（2）优化版教学设计及片段实录
范希尔指出，经验的获得取决于正确的语言符号和学生对观察到的结构所做的交流分享。因此，本环节需要在促进学生归纳猜想的基础上加强交流分享。首先，学生动手操作；其次，学生认真观察图形的特征，归纳猜想图形的特征，并尽量用数学语言表述分享；最后，教师引导学生寻找证明的突破口。优化版的教学设计如图6所示，片段实录如下。
师：等腰三角形会有什么性质呢？请同学们观察你手中的等腰三角形，有什么发现？
小圆：我发现它可以对折重合，说明等腰△ABC是个轴对称图形，这条折痕AD所在的直线就是它的对称轴。
师：如果它是轴对称图形，那么它的两个底角有什么关系？
小圆：两个底角相等。我对折发现，它们是一样大的。小镜的猜想应该是对的，等腰三角形的第一个性质应该就是两底角相等。
（动手操作，观察发现，归纳猜想）
师：通过动手实验我们发现，等腰三角形的两底角能重合，进而猜想等腰三角形的性质，即等腰三角形的两底角相等。这个猜想成不成立，光靠实验来说明是不行的，数学的严谨性要求我们必须通过逻辑推理才能验证，那么证明的关键是什么呢？
小鏡：通过对折，折痕AD把等腰△ABC分成两个小的三角形——△ABD和△ACD。若能证明△ABD△ACD，就能得到∠B=∠C，从而可以验证猜想1是成立的。
（分析已知条件，结合原有经验，找到证明关键）
师：看来证明△ABD△ACD是关键，但是怎么证明全等呢？我们先用数学语言把猜想1写成“已知……求证……”的形式，也就是已知在△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C。
【比较分析】原版教学设计让学生按照步骤操作，把重合的线段、角填入表中，从表中猜想等腰三角形的两个性质，留给学生自主探究的空间不大，学生被动地接受操作，难以发挥学习主体的作用。优化版教学设计让学生从“被动接受”转为“主动思考”，在“授人以鱼”的同时“授人以渔”：学生经历学习数学的基本活动，主动发现性质；掌握学习数学的有效方法，找到证明的关键，感悟数学的基本思想，有利于培育学生的核心素养[4]。
4.自由定向——推理论证，明晰结构
（1）原版教学设计及片段实录
原版教学设计：首先，学生把猜想2拆分为三个命题；随后，根据命题一的已知信息添加辅助线，详细讲述证明方法，类似的验证命题二和命题三；最后，教师提醒学生注意易错之处。教学片段实录如下。
师：我们先把猜想写成“已知……求证……”的形式，猜想2可以分为三个命题（如图7所示），我们可以从这三个命题中寻找添加辅助线的方法。如根据命题一，要让BD=CD，那么作的辅助线就应是底边BC的中线。
师：类似上面作辅助线的方法，验证猜想2中的命题二、命题三也成立（如图8）。
（教师讲述具体的证明过程。）
师：由此，我们证明了猜想1、猜想2是正确的，因此得到等腰三角形的两个性质：① 等腰三角形两底角相等；② 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
（2）优化版教学设计及片段实录
此环节主要是自由定向阶段，鼓励学生发散思维，鼓励一题多法，弄清方法间的内在联系，促进深度理解。
优化版教学设计：首先，根据证明的关键信息，学生找到证明的必要条件。其次，学生寻找不同的证法，一题多解，发散思维，通过错漏分享，加深理解。最后，规范推理步骤，明晰性质，初步构建等腰三角形的性质及其体系。以下是优化版教学设计的片段实录。
师：要通过证明全等来证明∠B=∠C，那么首先需要添加辅助线，把一个等腰三角形分成两个小三角形，应该怎样添加辅助线呢？老师提示大家，要用到全等的思想哦。
小镜：添加的辅助线应该就是与折痕AD重合的位置，那么现在就有两个条件：AB=AC；AD是一条公共边。
师：小镜的分析非常正确。但是要判定两个三角形全等，我们现在还缺一个条件，怎么办？
小镜：可以想办法让两个小三角形的第三边相等，即BD=CD，作底边BC的中点D，接着连接AD作出等腰三角形底边上的中线，所以添加的辅助线就是底边上的中线。
（利用全等思想，循序渐进，作辅助线） 师：小镜的想法非常好。我们添加的辅助线是为了证明两个小三角形全等。小镜利用了“边边边”可以证明两个小三角形全等，成功地作出了辅助线。那么证明过程怎么写呢？
师：小镜按照他的思路写出了一个证明过程（如图9所示），我们一起来看看对不对。
（教师讲述具体证明过程。）
师：小镜牢记全等的思想，作出了辅助线，证明过程也写得非常完美，这样我们就证明了猜想1是成立的，因而成功解决了我们开始时的疑惑，也得到了等腰三角形的第一个性质，即等腰三角形的两底角相等。
师：那么，除了作底边中线的辅助线，还有其他添加辅助线的方法吗？
（学生通过逻辑证明，验证猜想成立；教师提出问题，启发学生思考。）
小方：在小镜的基础上，他是用“边边边”来证明全等的，我想还可以用“边角边”来证明。
师：我们知道“边角边”确实能够证明两个三角形全等。小方，你是怎么作辅助线的呢？
小方：这简单，既然两条相等的边（腰和公共边）已经确定了，那么这两个相等的角就必须是它们的夹角。因此，我作顶角的平分线AD，这样，两条相等的边所夹的角也就相等了。
师：同学们理解小方的想法了吗？小方的方法是否正确呢？
（教师讲述具体证明过程。）
师：站在前人的肩膀上可以看得更远。小方充分借鉴了小镜的思想，在小镜的基础上运用了另外一种方法，同样把等腰三角形分成了两个全等的小三角形，又一次验证了等腰三角形的两底角是相等的。（如图10所示）
（类比迁移，一题多解，发散思维）
小圆：我还有另外一种方法（如图11所示），作等腰三角形底边上的高，这样能得到两个直角；又知道AB=AC，AD=AD，所以根据“边边角”得到△ABD△ACD，因此∠B=∠C。
师：很好，小圆有了新的方法，作的是等腰三角形底边上的高，但是“边边角”能证明两个三角形全等吗？
小圆：是哦，“角角边”才能证明全等。如果是两条边加一个角，那么这个角必须是这两条边的夹角。但是这个角不是夹角，是我大意了，难道这样添加辅助线不对？
师：小圆由于粗心马虎，弄错了判定全等的条件，同学们可要吸取教训，不能粗心大意呀！老师提示一下，小圆作的是高，那么得到的两个小三角形都是什么三角形？
小圆：作高得到的△ABD和△ACD都是直角三角形，斜边AB=AC，直角边AD=AD，根据“斜边直角边”这一特殊的判定方法，就能证明Rt△ABDRt△ACD了。
（教师分析错漏，引导学生反思。）
师：我们发现，小镜添加的辅助线是底边上的中线，小方添加的辅助线是顶角的平分线，小圆添加的是底边上的高，但结果都能把等腰三角形分成两个全等的小三角形，即△ABD△ACD。那么，这三条辅助线有什么关系吗？
小镜：这说明作的三条辅助线都是在同一个位置。那么，等腰三角形的第二个性质，是不是顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合呢？
师：通过一系列的探索发现，我们得到了猜想2，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
（不同方法，比较联系，猜想性质）
师：经过前面的全等证明，虽然猜想2明显是成立了，但是猜想毕竟是猜想。数学是一门严谨的学科。接下来，我们需要严格的逻辑证明来验证它是否成立。
师：前面不同的作辅助线方法都能证明△ABD△ACD，得到∠B=∠C。请同学们思考，如果作底边上的中线，还能得到什么结论？
小镜：由两个小三角形全等能得到这两个三角形的对应边、对应角都相等，因此∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA=90°。
师：非常好。如此又得到了两个新结论。∠BAD=∠CAD说明了什么呢？
小镜：说明作的等腰三角形底边上的中线AD平分顶角。∠BDA=∠CDA=90°，说明AD⊥BC，也就是说，等腰三角形底边上的中线平分顶角且垂直于底边。
师：小镜经过分析又有了新发现。同样的，谁能分析另外两种方法的新结论？
小方：我的方法还能得到BD=CD，∠BDA=∠CDA=90°，所以AD⊥BC，说明作的等腰三角形的顶角平分线平分底边且垂直于底边。
小圆：我作的是底边上的高，还能得到BD=CD，∠BAD=∠CAD，说明等腰三角形底边上的高平分底边与顶角。
师：综合小镜、小方、小圆的证明，我们证明了猜想2是成立的，因而得到等腰三角形的第二个性质，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。证明过程如图13所示。
（严谨证明，验证猜想，得到性质）
师：我们已經成功证明了等腰三角形的两个性质。第二个性质特别长，我们来给它们取个简称吧。第一个性质：等腰三角形的两底角相等。我们把它简写为“等边对等角”。第二个性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。我们把它简写成“三线合一”。
（明晰简写，方便理解，加深记忆）
师：下面，我们借助动态数学软件来观察从一般三角形变为等腰三角形时，三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线的变化过程。移动顶点A，可以改变三角形的形状；当三角形从一般三角形变为等腰三角形，它的高、角平分线、中线也越来越趋近；当三角形ABC是等腰三角形的时候，这三条线段重合了。这就是“三线合一”，如图14所示。
（技术辅助，直观阐述，多元表征）
【比较分析】原版教学设计主要存在如下问题：直接给出辅助线，很难让学生明白为何这样作辅助线，缺少有效的引导过渡和互动环节；没有对证明方法的内在联系进行梳理与反思。因此，优化版教学设计进行了如下改进。 第一，注重辅助线的添加过程。基于前面的分析，教师提示学生带着全等的思想去寻找添加辅助线的方法，启发学生思考，师生互动，引导学生作出辅助线，重视证明过程和有效过渡。学生在教师的启发下，经过自己的努力，理解和掌握知识和技能，积累数学活动经验，感悟数学思想和方法。
第二，强调多样的证明方法。原版教学设计虽然也有多种证明方法，但是将重点放在证法本身，不注重思维过程的解读和方法之间的联系。优化版教学设计重视数学基本思想，以“抽象、推理、模型”为教学的核心任务，展示了学生证明思路产生的过程，鼓励学生一题多解，注重多种方法间的比较联系，是一类以问题为载体、学生自主参与为主的学习活动，在学习过程中培养学生独立思考的习惯。
第三，设计典型的错误证法。教师设置了学生的错漏分享，引导学生发现可能出现的错漏并进行检验完善。这不仅有利于学生严谨思维习惯的养成，而且能促进学生数学推理素养的培育[5]。
第四，阐明性质之间的关系。优化版教学设计在向学生展示具体的推理论证过程中，使结论合理化后，对性质作一个小结阐述，包括对性质的简写做了说明，加深学生对性质的认识，明晰了关于等腰三角形的性质的结构体系。
第五，数形结合的动态展示。在学生明确了等腰三角形的性质后，教师借助皓骏动态数学软件的动画功能，向学生展示等腰三角形“三线”的变化过程，使学生更加清晰、直观地感知性质。
参考文献：
[1]HOWSE T D，HOWSE M E.Linking the van hiele theory to instruction[J].Teaching Children Mathematics，2015（5）：304-313.
[2]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.
[3]刘立梅.范希尔理论在高中立体几何教学中的应用研究[D].天津：天津师范大學，2014.
[4]唐剑岚.“鱼渔欲”三位一体优化数学教学的理念与策略：以“三角形的内角”课例片段分析为例[J].基础教育研究，2015（9）：5-10.
[5]唐剑岚，冯耀庆.基于波利亚数学解题思想的数学创课设计：以2017年高考理科数学全国卷Ⅰ第21题的教学为例[J].中小学课堂教学研究，2018（2）：15-21.