函数是贯穿于初中及高中数学的重要知识，对于培养学生的逻辑思维能力有很大的作用，在初中数学中占有很重要的地位。从中学数学知识的组织结构看，函数是代数的“纽带”，代数式、方程、不等式、数列、排列组合、极限和微积分等都与函数知识有直接联系。函数还是数学后继发展的基础，为高中数学中各种初等函数的学习，以至高等数学中函数概念及性质的研究也奠定了一定的基础。同时函数知识在物理、化学等自然科学中有着广泛的应用，在解决生产生活中的实际问题时，也往往采用函数作为建模的基本工具。函数既从客观现实中抽象出来，又超越了千变万化的课题的个性，其内涵极为深刻，外延又极为广泛。因此，函数的教学非常重要。然而，函数的学习对于初中学生来说却是个难点，作为数学教师应该如何分析这些困难，又要采取什么样的教学方法才能更好地帮助学生进行函数的学习，这是值得大家共同关注的重要课题。
　　我们首先分析初中学生学习函数的困难所在，在函数的概念方面：（1）初中课本中变量被当成是不定义的原始概念,而变量是函数概念中一个最基本的概念。数学中的变量概念与日常生活经验是有差异的,人们对变量的普遍理解是,在日常生活中,“变量”应该是变化的,不确定的。但数学中的变量包括常量,常量被看成是一种特殊的变量。另外函数概念中变量的意义更具一般性,既可以作为数,也可以作为点;既可以作为有形之物,也可以作为无形的东西。（2）函数概念表示方式的多样性，一方面表现在定义域、值域的多样性,可以用集合、区间、不等式等不同形式的表示;另一方面表现在它可以用图像、表格、对应、解析式等方法表示,从每一种表示中都可以独立地抽象出函数概念来。与其他数学概念相比,由于函数概念需要同时考虑几种表示,并要协调各种表示之间的关系,常常需要在各种表示之间进行转换,因此容易造成学习上的困难。（3）函数符号的抽象性。函数是在初中遇到的第一个用“数学关系概念定义法”给出的概念,解释它的本质(对应关系)的叙述方式与先前所学的诸多数学概念的叙述方式是不一样的。y=f(x)表示了一种特殊的对应关系,其中每一个字母都有特定的含义。但这种含义仅从字面上是看不出来的。我们不能通过“f”来想象对应法则的具体内容,也不能通过x(或y)来想象定义域(或值域)的抽象性到底是什么。这种抽象性大大增加了函数学习的难度。
　　在学生思维方面：中学生的思维发展水平是从具体形象思维逐步过渡到形式逻辑思维水平。初中生以形式逻辑思维水平为主。函数是一个辩证概念, 且理解函数概念时，需要学生在头脑中建构一个情景（例如：解析式、表格或图形），使得函数的对应法则能够得到形象的、动态的反映；函数是对应法则、定义域、值域的统一体，学生应当领会它们之间的相互制约关系，对三者进行整体把握，而学生的辩证思维发展还处于很不成熟的时期,看问题往往是局部的、静止的、割裂的,不善于把抽象的概念与具体的事例联系起来,还不能用辩证思维的思想来理解函数概念,这与函数概念的运动、变化、联系的特点是不相适应的。例如,学生常常认为,“x”代表一个单个的数(可能是未知数);求函数值就是把数带入“公式”中的字母运算;学生常常把函数概念与“公式”等同起来,因此函数的动态性、变化性在思维中不能得到充分反应。对初中学生的思维水平来说,建立函数这样一个复杂的概念需要克服许多困难。在函数概念的学习中，要求学生进行数形结合的思维运算，进行符号语言与图形语言的灵活转换。但在初中学生的认知结构中，数与形基本上是割裂的。在此根据多年的教学经验，对初中函数的教学作出以下建议。
　　一、抓住函数概念核心，加强概念形成的教学
　　理解概念是一切数学活动的基础，学生的概念理解不清就无法进一步学习相关内容。学生只有对函数概念真正的理解，才能真正理解函数。学生初次接触函数概念时，涉及到很多复杂的层次，包括：（1）在一个“变化”过程中；（2）存在“两个”变量；（3）这两个变量具有一定的“联系”；（4）一个变量的变化会引起另一个变量也“随之”变化；（5）两个变量存在“单值对应”的关系。这将直接导致学生在概括函数概念时出现障碍。另外，学生在学习函数概念之前，接触的基本上是常量数学的内容，是静态的数学知识。而函数研究的是变量与变量之间的关系，其特征是变化的、发展的、处于两个量的相互联系之中的。因此，函数概念形成中的抽象与概括以及对“单值对应”的理解也就成为函数概念教学的难点。
　　学生理解和掌握概念的过程实际上是掌握同类事物的共同、本质属性的过程，概念形成和概念同化反映了学生掌握概念的两种不同心理过程。根据中学生的认知特点，掌握概念的方式，应更多的采用概念形成，即从典型、丰富的具体例子出发，学生经过自己的实践活动，从中归纳、概括出一类事物的共同本质特征，从而理解和掌握概念。为了帮助学生形成函数概念，教学中要注意“举三反一”——通过给学生大量客观世界中反映这种变化规律的实例（解析式的、图象的、表格的），让学生经历“发生发展过程”，为学生提供独立概括概念的机会，经过分析、综合、比较而概括出函数概念“单值对应”的本质属性。在此基础上，再“举一反三”——用学生得到的函数概念再去看其他的对应问题，是不是符合函数概念的“单值对应”。在这一过程中，要注意恰当地使用反例，巩固学生对于函数概念的理解。
　　二、注意早期渗透，螺旋上升分散教学难点
　　在函数概念教学之前，需要提前渗透变化与对应的思想。在初中阶段，由具体的数过渡到用字母表示数，再由字母过渡到代数式、方程及简单的不等式等，都需要不断渗透变量思想的教学，在“变”与“不变”的辩证思想教学中强化学生的变量意识。例如，在有理数的运算中，可以通过让学生进行“对不同的数加上同一个数得到不同的结果”的练习，渗透集合、对应、根据法则由自变量求函数值；在进行“求代数式的值”的教学时，可以通过指出“字母每取一个值，代数式就有唯一确定的值”以及进行一些相应练习渗透对应的思想；通过讨论整式、分式、根式中字母的取值范围，可以渗透了函数的定义域；等等。这样做，将静态的知识模式演变为动态的讨论，赋予了函数的形式，让学生以运动的观点去领会知识，会使学生对“变量”概念的复杂性和辩证性更好的理解。
　　三、加强函数与相关内容的联系，用函数观点统领相关内容
　　要注意函数思想的应用，用函数思想看问题。数可以看成特殊函数；数的运算可以看成特殊的二元函数；代数式可以容易地被改造成一个函数；数列是特殊的函数；解一元方程就是求一个函数的零点，解三角形化归为一个三角函数的问题；等等。因此，在学习函数概念后，要注意让学生以函数观点去重新审视相关问题。例如，方程f(x)=0就是函数y=f(x)在变化过程中的一个特殊状态，解方程就是求函数的零点，从而对方程的研究（像根的性质、个数、分布范围等）就与对应的函数性质研究联系起来了。再如，求不等式(x)＞0的解集就是考察函数y=f(x)的图象与x轴的位置关系问题，即考虑函数y=f(x)的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围。由于函数具有表现的丰富性、变化的过程性等特点，用函数观点研究方程、不等式，可以引进运动变化、数形结合等思想，这就给方程和不等式的研究开拓了思路和方法。这对理解他们的意义和解决有关问题都是非常有益的。还可以使学生已有的认知结构得到重新组合，在使知识系统化的过程中，加深对函数思想的理解和运用。在此我们举例说明：
　　例 根据一家商店的账目记录，某天卖出39支牙刷和21盒牙膏，收入396元；另一天，以同样的价格卖出同样的52支牙刷和28盒牙膏，收入518元．这个记录是否有误？为什么？
　　解：设每支牙刷x元，每盒牙膏y元，则
　　
　　
　　从函数的角度看构成方程组的两个二元一次方程，对应两个一次函数，也对应两条直线。从函数“形”的角度看，二元一次方程组的解相当于两条直线交点的坐标；从函数“数”的角度看，二元一次方程组的解可以理解为当两个一次函数的函数值相等时自变量的取值，以及这个相等的函数值。在本例题中，方程组是两条平行的直线，即它们没交点，因此此方程组无解。