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一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分
1.函数f（x）=（1+3tanx）cosx的最小正周期为.
2.已知f（x）=cos（πx），1x≤0
f（x-1）+1，1x>0，则f（413）+f（-413）的值是.
3.在钝角△ABC中，已知a=1，b=2，则最大边c的取值范围是.
4.函数y=sinπx13在区间[0，n]上至少取得2个最大值，则正整数n的最小值是.
5.已知e1、e2是夹角为2π13的两个单位向量，a=e1-2e2，b=ke1+e2，若a·b=0，则实数k=.
6.函数f（x）=sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是.
7.设a，b，c是任意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有（填序号）.
①（a·b）c-（c·a）b=0；
②|a|-|b|<|a-b|；
③（b·c）a-（a·c）b不与c垂直；
④（3a+4b）·（3a-4b）=9|a|2-16|b|2.
8.在△ABC中，AB=2，AC=1，D为BC的中点，则AD·BC=.
9.存在x∈[0，2π），使2（4-m）sin（x-π13）-（4m-6）=0成立，则m的取值范围是.
10.关于x的不等式a2+2a-sin2x-2acosx>2的解集是全体实数，则a的取值范围是.
11.在矩形ABCD中，AB=2，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB·AF=2，则AE·BF=.
12.在锐角△ABC中，b=2，B=π13，sin2A+sin（A-C）-sinB=0，则△ABC的面积为.
13.设e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，已知OM=e1，ON=e2，OP=x·OM+y·ON（x，y为实数）.若△PMN是以M为直角顶点的直角三角形，则x-y取值的集合为.
14.如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上（含原点）滑动，则OB·OC的最大值是.
二、解答题：本大题共6小题，共90分
15.（本小题满分14分）
函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，|φ|<π12）在它的某一个周期内的单调减区间是[5π112，11π112].
（1）求f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）的图象先向右平移π16个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的112倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为g（x），求函数g（x）在[π18，3π18]上的最大值和最小值.
16.（本小题满分14分）
设向量a=（4cosα，sinα），b=（sinβ，4cosβ），c=（cosβ，-4sinβ）.
（1）若a与b-2c垂直，求tan（α+β）的值；
（2）求|b+c|的最大值；
（3）若tanαtanβ=16，求证：a∥b.
17.（本小题满分14分）
已知函数f（x）=Asin（3x+φ）（A>0，0<φ<π）在x=π112时取得最大值是4.
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若f（213α+π112）=1215，求sinα.
18.（本小题满分16分）
已知两个不共线的向量a，b的夹角为θ，且|a|=3，|b|=1，x为正实数.
（1）若a+2b与a-4b垂直，求tanθ；
（2）若θ=π16，求|xa-b|的最小值及对应x的值，并指出向量a与xa-b的位置关系；
（3）若θ为锐角，对于正实数m，关于x的方程|xa-b|=|ma|有两个不同的正实数解，且x≠m，求m的取值范围.
19.（本小题满分16分）
某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.
20.（本小题满分16分）
已知函数f（x）=sin2x+23sinxcosx+sin（x+π14）sin（x-π14），x∈R.
（1）求f（x）的最小正周期和值域；
（2）若x=x0（0≤x≤π12）为f（x）的一个零点，求sin2x0的值.
参考答案
1. 2π2. 13. 5 6. 1 10. a<-2-6或a>211. 212. 313. {1}
14. 2
15.解：（1）依题意得：T12=11π112-5π112=π12，∴2π1ω=π，∴ω=2，
又sin（2×5π112+φ）=1，∴φ=-π13，
∴f（x）的解析式为f（x）=sin（2x-π13）.
（2）将y=f（x）的图象先向右平移π16个单位，得sin（2x-2π13），再将图象上所有点的横坐标变为原来的112倍（纵坐标不变），得sin（4x-213π）， ∴g（x）=sin（4x-2π13），而x∈[π18，3π18]，
∴-π16≤4x-2π13≤5π16，
∴函数g（x）在[π18，3π18]上的最大值为1，最小值为-112.
16.解：（1）b-2c=（sinβ-2cosβ，4cosβ+8sinβ），
∵a与b-2c垂直，
∴4cosα（sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，
∴sin（α+β）=2cos（α+β），即tan（α+β）=2.
（2）b+c=（sinβ+cosβ，4cosβ-4sinβ），
|b+c|=（sinβ+cosβ）2+16（cosβ-sinβ）2
=17-15sin2β≤17+15=42，
则|b+c|的最大值为42.
（3）证明：由tanαtanβ=16，
得sinαsinβ=16cosαcosβ，
即4cosα4cosβ-sinαsinβ=0，所以a∥b.
17.解：（1）依题意得：T=2π13.
（2）∵f（x）最大值是4，∴A=4，
f（x）max=f（π112）=4sin（3π112+φ）=4，
即sin（π14+φ）=1，
∵0<φ<π，∴π14<π14+φ<5π14，∴π14+φ=π12，
∴φ=π14，∴f（x）=4sin（3x+π14）.
（3）f（213α+π112）=4sin[3（213α+π112）+π14]=1215，
即sin[3（213α+π112）+π14]=315，
sin（2α+π12）=315，cos2α=315，1-2sin2α=315，
sin2α=115，∵0<α<π，∴sinα=515.
18.解：（1）由题意得，（a+2b）（a-4b）=0，即a2-2a·b-8b2=0，
得32-2×3×1×cosθ-8×12=0，得cosθ=116，
又θ∈（0，π），故θ∈（0，π12），因此，sinθ=1-cos2θ=1-（116）2=3516，
tanθ=sinθ1cosθ=35.
（2）|xa-b|=（xa-b）2=x2a2-2xa·b+b2=9x2-2x×3×1×cosπ16+1
=9（x-316）2+114，
故当x=316时，|xa-b|取得最小值为112，
此时，a·（xa-b）=xa2-a·b=316×9-3×1×cosπ16=0，
故向量a与xa-b垂直.10分
（3）对方程|xa-b|=|ma|两边平方整理，得9x2-（6cosθ）x+1-9m2=0，①
设方程①的两个不同正实数解为x1，x2，
则由题意得，
Δ=（6cosθ）2-4×9×（1-9m2）>0，
x1+x2=6cosθ19>0，
x1x2=1-9m219>0.
解之得，113sinθ 若x=m，则方程①可以化为-（6cosθ）x+1=0，
则x=116cosθ，即m=116cosθ.
而x≠m，故得m≠116cosθ.
令113sinθ<116cosθ<113，
得sin2θ<1，
cosθ>112，得0°<θ<60°，且θ≠45°，
当0°<θ<60°，且θ≠45°时，m的取值范围为{m|113sinθ 当60°≤θ<90°，或θ=45°时，
m的取值范围为{m|113sinθ 19.解：（1）要小艇到港口O的正北与轮船在点C相遇距离最小此时OC=103，AC=10，航行时间t=10130=113（小时），
航速v=1031t=1031113=303（海里/小时）
（2）由（1）得
OC=103，AC=10，故OC>AC，且对于线段AC上任意点P，有OP≥OC>AC，而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设∠COD=θ（0°<θ<90°），则在Rt△COD中，CD=103tanθ，OD=1031cosθ，
由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t=10+103tanθ130和t=1031vcosθ，
所以10+103tanθ130=1031vcosθ，解得v=1531sin（θ+30°），又v≤30，故sin（θ+30°）≥312，
从而30°≤θ≤90°，由于θ=30°时，tanθ取得最小值，且最小值为313，于是
当θ=30°时，t=10+103tanθ130取得最小值，且最小值为213.
此时，在△OAB中，OA=OB=AB=20，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇.
20.解：（1）依题意得：
f（x）=sin2x+3sin2x+112（sin2x-cos2x）
=1-cos2x12+3sin2x-112cos2x
=3sin2x-cos2x+112=2sin（2x-π16）+112，
∴f（x）周期π，值域为[-312，512]；
（2）由f（x0）=2sin（2x0-π16）+112=0，
得sin（2x0-π16）=-114<0.
又∵0≤x0≤π12得-π16≤2x0-π16≤5π16，
故∴cos（2x0-π16）=1514，
此时，sin2x0=sin[（2x0-π16）+π16]
=sin（2x0-π16）cosπ16+cos（2x0-π16）sinπ16
1.函数f（x）=（1+3tanx）cosx的最小正周期为.
2.已知f（x）=cos（πx），1x≤0
f（x-1）+1，1x>0，则f（413）+f（-413）的值是.
3.在钝角△ABC中，已知a=1，b=2，则最大边c的取值范围是.
4.函数y=sinπx13在区间[0，n]上至少取得2个最大值，则正整数n的最小值是.
5.已知e1、e2是夹角为2π13的两个单位向量，a=e1-2e2，b=ke1+e2，若a·b=0，则实数k=.
6.函数f（x）=sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是.
7.设a，b，c是任意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有（填序号）.
①（a·b）c-（c·a）b=0；
②|a|-|b|<|a-b|；
③（b·c）a-（a·c）b不与c垂直；
④（3a+4b）·（3a-4b）=9|a|2-16|b|2.
8.在△ABC中，AB=2，AC=1，D为BC的中点，则AD·BC=.
9.存在x∈[0，2π），使2（4-m）sin（x-π13）-（4m-6）=0成立，则m的取值范围是.
10.关于x的不等式a2+2a-sin2x-2acosx>2的解集是全体实数，则a的取值范围是.
11.在矩形ABCD中，AB=2，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB·AF=2，则AE·BF=.
12.在锐角△ABC中，b=2，B=π13，sin2A+sin（A-C）-sinB=0，则△ABC的面积为.
13.设e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，已知OM=e1，ON=e2，OP=x·OM+y·ON（x，y为实数）.若△PMN是以M为直角顶点的直角三角形，则x-y取值的集合为.
14.如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上（含原点）滑动，则OB·OC的最大值是.
二、解答题：本大题共6小题，共90分
15.（本小题满分14分）
函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，|φ|<π12）在它的某一个周期内的单调减区间是[5π112，11π112].
（1）求f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）的图象先向右平移π16个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的112倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为g（x），求函数g（x）在[π18，3π18]上的最大值和最小值.
16.（本小题满分14分）
设向量a=（4cosα，sinα），b=（sinβ，4cosβ），c=（cosβ，-4sinβ）.
（1）若a与b-2c垂直，求tan（α+β）的值；
（2）求|b+c|的最大值；
（3）若tanαtanβ=16，求证：a∥b.
17.（本小题满分14分）
已知函数f（x）=Asin（3x+φ）（A>0，0<φ<π）在x=π112时取得最大值是4.
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若f（213α+π112）=1215，求sinα.
18.（本小题满分16分）
已知两个不共线的向量a，b的夹角为θ，且|a|=3，|b|=1，x为正实数.
（1）若a+2b与a-4b垂直，求tanθ；
（2）若θ=π16，求|xa-b|的最小值及对应x的值，并指出向量a与xa-b的位置关系；
（3）若θ为锐角，对于正实数m，关于x的方程|xa-b|=|ma|有两个不同的正实数解，且x≠m，求m的取值范围.
19.（本小题满分16分）
某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.
20.（本小题满分16分）
已知函数f（x）=sin2x+23sinxcosx+sin（x+π14）sin（x-π14），x∈R.
（1）求f（x）的最小正周期和值域；
（2）若x=x0（0≤x≤π12）为f（x）的一个零点，求sin2x0的值.
参考答案
1. 2π2. 13. 5
14. 2
15.解：（1）依题意得：T12=11π112-5π112=π12，∴2π1ω=π，∴ω=2，
又sin（2×5π112+φ）=1，∴φ=-π13，
∴f（x）的解析式为f（x）=sin（2x-π13）.
（2）将y=f（x）的图象先向右平移π16个单位，得sin（2x-2π13），再将图象上所有点的横坐标变为原来的112倍（纵坐标不变），得sin（4x-213π）， ∴g（x）=sin（4x-2π13），而x∈[π18，3π18]，
∴-π16≤4x-2π13≤5π16，
∴函数g（x）在[π18，3π18]上的最大值为1，最小值为-112.
16.解：（1）b-2c=（sinβ-2cosβ，4cosβ+8sinβ），
∵a与b-2c垂直，
∴4cosα（sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，
∴sin（α+β）=2cos（α+β），即tan（α+β）=2.
（2）b+c=（sinβ+cosβ，4cosβ-4sinβ），
|b+c|=（sinβ+cosβ）2+16（cosβ-sinβ）2
=17-15sin2β≤17+15=42，
则|b+c|的最大值为42.
（3）证明：由tanαtanβ=16，
得sinαsinβ=16cosαcosβ，
即4cosα4cosβ-sinαsinβ=0，所以a∥b.
17.解：（1）依题意得：T=2π13.
（2）∵f（x）最大值是4，∴A=4，
f（x）max=f（π112）=4sin（3π112+φ）=4，
即sin（π14+φ）=1，
∵0<φ<π，∴π14<π14+φ<5π14，∴π14+φ=π12，
∴φ=π14，∴f（x）=4sin（3x+π14）.
（3）f（213α+π112）=4sin[3（213α+π112）+π14]=1215，
即sin[3（213α+π112）+π14]=315，
sin（2α+π12）=315，cos2α=315，1-2sin2α=315，
sin2α=115，∵0<α<π，∴sinα=515.
18.解：（1）由题意得，（a+2b）（a-4b）=0，即a2-2a·b-8b2=0，
得32-2×3×1×cosθ-8×12=0，得cosθ=116，
又θ∈（0，π），故θ∈（0，π12），因此，sinθ=1-cos2θ=1-（116）2=3516，
tanθ=sinθ1cosθ=35.
（2）|xa-b|=（xa-b）2=x2a2-2xa·b+b2=9x2-2x×3×1×cosπ16+1
=9（x-316）2+114，
故当x=316时，|xa-b|取得最小值为112，
此时，a·（xa-b）=xa2-a·b=316×9-3×1×cosπ16=0，
故向量a与xa-b垂直.10分
（3）对方程|xa-b|=|ma|两边平方整理，得9x2-（6cosθ）x+1-9m2=0，①
设方程①的两个不同正实数解为x1，x2，
则由题意得，
Δ=（6cosθ）2-4×9×（1-9m2）>0，
x1+x2=6cosθ19>0，
x1x2=1-9m219>0.
解之得，113sinθ
则x=116cosθ，即m=116cosθ.
而x≠m，故得m≠116cosθ.
令113sinθ<116cosθ<113，
得sin2θ<1，
cosθ>112，得0°<θ<60°，且θ≠45°，
当0°<θ<60°，且θ≠45°时，m的取值范围为{m|113sinθ
m的取值范围为{m|113sinθ
航速v=1031t=1031113=303（海里/小时）
（2）由（1）得
OC=103，AC=10，故OC>AC，且对于线段AC上任意点P，有OP≥OC>AC，而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设∠COD=θ（0°<θ<90°），则在Rt△COD中，CD=103tanθ，OD=1031cosθ，
由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t=10+103tanθ130和t=1031vcosθ，
所以10+103tanθ130=1031vcosθ，解得v=1531sin（θ+30°），又v≤30，故sin（θ+30°）≥312，
从而30°≤θ≤90°，由于θ=30°时，tanθ取得最小值，且最小值为313，于是
当θ=30°时，t=10+103tanθ130取得最小值，且最小值为213.
此时，在△OAB中，OA=OB=AB=20，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇.
20.解：（1）依题意得：
f（x）=sin2x+3sin2x+112（sin2x-cos2x）
=1-cos2x12+3sin2x-112cos2x
=3sin2x-cos2x+112=2sin（2x-π16）+112，
∴f（x）周期π，值域为[-312，512]；
（2）由f（x0）=2sin（2x0-π16）+112=0，
得sin（2x0-π16）=-114<0.
又∵0≤x0≤π12得-π16≤2x0-π16≤5π16，
故∴cos（2x0-π16）=1514，
此时，sin2x0=sin[（2x0-π16）+π16]
=sin（2x0-π16）cosπ16+cos（2x0-π16）sinπ16