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数形结合思想是最古老也是最基本的数学思想方法，数与形可以互相转化，他们之间有深入的联系。数形结合的应用可以分为两种情形，一是将数作为工具求解图形问题，二是将图形作为工具求解代数问题。
应用数形结合的思想可以将抽象的数学问题转化为具体、表象化的图形问题，变抽象为形象，使得问题生动直观。通过转化，许多问题就能比较容易地求解出来。数形结合的应用十分广泛，比如解方程和解不等式，求函数的性质问题等。在初中阶段应用数形结合思想，大致可以分为四个类型。
一、利用数轴和坐标系解几何题
数轴与全体实数有着一一对应的关系，在数轴上可以知道两个实数的大小关系，绝对值的含义等，因此是很重要的解题工具。坐标系可以将几何图形代数化，坐标对与实数对是一一对应关系，可以计算平面里两个点之间的距离。在教学这两个知识点时，可以结合例题，让学生体会数轴和坐标系的实用性，从而加深学生对数形结合方法的印象，使他们产生主动学习的欲望。
在课堂上，可以巧用数学情境，让学生在求解过程中慢慢学会数形结合的方法。如在教学人教版《义务教育教科书·数学》九年级上册“点和直线”这一知识点时，有如下教学片段。
师：同学们，我们在前面已经学习了点与点之间的距离公式，谁知道点与点之间的距离是怎么求的？
生：根据距离公式d=[x1-y12+x2-y22]来求。
生：他说的是平面上的点，直线上的点用数轴来求就行。
师：在求解的时候我们需要知道点的坐标，或者点在数轴上的某个位置，然后再根据点的坐标进行求解。点用坐标表示，用的就是数学中的数形结合思想，今天我们来学习点到直线的距离公式。
师：同学们想一下，点到直线的距离应该怎么定义的呢？
生：是指点到直线的垂线段。
师：按照定义，我们将直线过该点的垂线表示出来。根据垂直直线的斜率公式，我们知道垂线与直线的斜率关系是k1·k2 = -1，那么已知斜率和一点，可以求直线的解析式吗？请小组内探究一下，可以设点为（x0，y0）。
（学生探究，教师检查学生关于直线解析式的理解情况）
师：已知两条直线，我们就可以求得两条直线的交点，以这个交点为垂足，垂足到相应点的距离是点到直线的距离吗？（学生表示赞同）
数轴和坐标系是初中学生在应用数形结合的方法时所接触到的第一个类型。在从数到形的转化过程中，这一个类型的掌握对后续的数形结合知识起着基础性的作用。教学中，我们不仅要让学生理解用公式进行求解的方法，更重要的是，要让他们在头脑中形成数轴这个一维向量和坐标系这个二维向量之间的整体框架，要让他们对数轴和坐标系有鲜活的、动态的理解。
二、利用勾股定理证明直角
勾股定理的证明方法和用勾股定理证明直角也体现了数形结合的思想，学生在已知直角边和斜边长度的时候使用勾股定理，只需要进行简单的代数计算就可以证明几何关系，常在几何证明题中使用。
在教学人教版《义务教育教科书·数学》九年级下册“直角三角形与勾股定理”这一课时，有如下教学片段。
师：什么是勾股定理？
生：勾股定理的公式是a2 + b2 = c2。
师：大家预习得很到位，那么大家知道这么一个简单的公式是怎么推导出来的吗？可以小组讨论一下，也可以利用几何图形来辅助证明。
生：我想到可以利用面积证明，用图1的图形可以证明。
师：根据图1中的面积关系，我们可以证明勾股定理。类似这样的证明还有很多，比如图2、图3，他们都是利用面积的等量关系来进行证明。
师：如果已知三角形的三个边长，怎么判断三角形的角是直角呢？
生：使用勾股定理。
师：使用勾股定理判定直角的方法就是数形结合的方法。
生：我发现V = [Grh2] = [2pr2h2=pr2h]。
师：是的，这样我们就发现两个公式其实是统一的。
勾股定理的使用，使得一组具有特殊关系的数字与直角三角形这一图形紧密结合了起来，也使学生在头脑中建立起了“数和形一一对应”的表象，拓展了学生的空间觀念，使学生的数学思维走向了深入。
三、利用几何图形记忆代数公式
几何图形具有直观形象的优点，学生对图形更容易记忆。因此，几何图形还可以用来帮助学生记忆代数公式。在课堂教学中，教师可以多画图，让学生对公式的含义充分理解。在解题过程中，也可以多画图。这样，在潜移默化中，学生记忆和解题时就掌握了数形结合的思想。比如平方差公式、完全平方公式就可以用几何图形来辅助记忆。
在教学人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册“平方差公式”时，有如下教学片段。
师：我们来看一个简单的等式13 + 23 = 32，口算一下，这个结果是正确的吗？请大家用几何图形把这个等式表示出来。
生：我画出了这样的图来表示。（如图4）
生：在图4中，我们可以看到A是13 ，B、C、D合起来就是两个2 × 2 的正方形，就证明了等式。
师：13+23+33=62，13+23+33+……+n3=[n2×n2+14]，还有其他的表示方法吗？
生：我们可以画出有3项的图。（如图5）
对于n项的情况，学生也可以继续画下去。这样，这个等式的证明也就完成了。在这个证明过程中，就用到了数形结合的思想。此外，在平时的解题过程中，也要注意引导学生学会使用数形结合的方法。
四、利用函数图象把握函数性质
函数的知识是教学重难点，因为这一部分内容比较抽象，在理解函数的性质时，可以引导学生借助函数图象。建立起图象与性质的对应链接。了解函数的性质首先就要建立起直角坐标系，在直角坐标系中，平移点之后，要用图象表示平移的过程并观察平移后点的特征。在利用函数图象记忆函数性质的时候，还要画出函数的定义域、增减性、单调性等。
在教学人教版《义务教育教科书·数学》九年级上册“函数的图象与性质”一课时，有如下教学片段。
师：我们知道函数的因变量与自变量是一一对应的，那么就可以利用定义在坐标系中画出函数的图象。比如正比例函数，请大家画一画。
师：同学们是根据什么画出的图象呢？
生：我是根据正比例函数是一条过原点的直线画出来的。
师：这位同学掌握了正比例函数的图象性质，从正比例函数的图象中，我们可以知道它的斜率和经过的点是原点，还可以知道什么呢？
生：还有它的朝向。
生：还有它所有的值都是可以取的。
师：总结一下两位同学的发言，除了函数的增减性和还有什么？
生：还有正比例函数是单调的。
师：从一个图象中可以看到函数的基本性质，那么在记忆的过程中，我们只需要画出一个函数的图象，就可以知道它的所有性质了，是不是很方便、很实用呢？这种方法就是数形结合的方法，老师现在画出一个图象，请你们来告诉我它的性质好吗？（如图5）
生：可以看出它先增后减。
生：最高点是（1，4），对称点是（1，4）。
师：真棒，你们已经了解了函数的图象特征，而这个图象和我们要学习的一元二次方程是对应的，就是图中的方程式。在一元二次方程中，我们经常运用到数形结合的思想方法。
在数学课堂中使用直角坐标系来求解不等式、一元二次方程是很方便的。教学中，我们要利用图形来加深学生对抽象的概念和公式的理解，在图形和公式结合的过程中，引导学生使用数形结合的方法，锻炼数学思维能力。在使用数形结合辅助教学时，教师还需要注意分类总结，要让学生举一反三，掌握一个题目就可以掌握一个类型的题目。
（责任编辑：杨强）
应用数形结合的思想可以将抽象的数学问题转化为具体、表象化的图形问题，变抽象为形象，使得问题生动直观。通过转化，许多问题就能比较容易地求解出来。数形结合的应用十分广泛，比如解方程和解不等式，求函数的性质问题等。在初中阶段应用数形结合思想，大致可以分为四个类型。
一、利用数轴和坐标系解几何题
数轴与全体实数有着一一对应的关系，在数轴上可以知道两个实数的大小关系，绝对值的含义等，因此是很重要的解题工具。坐标系可以将几何图形代数化，坐标对与实数对是一一对应关系，可以计算平面里两个点之间的距离。在教学这两个知识点时，可以结合例题，让学生体会数轴和坐标系的实用性，从而加深学生对数形结合方法的印象，使他们产生主动学习的欲望。
在课堂上，可以巧用数学情境，让学生在求解过程中慢慢学会数形结合的方法。如在教学人教版《义务教育教科书·数学》九年级上册“点和直线”这一知识点时，有如下教学片段。
师：同学们，我们在前面已经学习了点与点之间的距离公式，谁知道点与点之间的距离是怎么求的？
生：根据距离公式d=[x1-y12+x2-y22]来求。
生：他说的是平面上的点，直线上的点用数轴来求就行。
师：在求解的时候我们需要知道点的坐标，或者点在数轴上的某个位置，然后再根据点的坐标进行求解。点用坐标表示，用的就是数学中的数形结合思想，今天我们来学习点到直线的距离公式。
师：同学们想一下，点到直线的距离应该怎么定义的呢？
生：是指点到直线的垂线段。
师：按照定义，我们将直线过该点的垂线表示出来。根据垂直直线的斜率公式，我们知道垂线与直线的斜率关系是k1·k2 = -1，那么已知斜率和一点，可以求直线的解析式吗？请小组内探究一下，可以设点为（x0，y0）。
（学生探究，教师检查学生关于直线解析式的理解情况）
师：已知两条直线，我们就可以求得两条直线的交点，以这个交点为垂足，垂足到相应点的距离是点到直线的距离吗？（学生表示赞同）
数轴和坐标系是初中学生在应用数形结合的方法时所接触到的第一个类型。在从数到形的转化过程中，这一个类型的掌握对后续的数形结合知识起着基础性的作用。教学中，我们不仅要让学生理解用公式进行求解的方法，更重要的是，要让他们在头脑中形成数轴这个一维向量和坐标系这个二维向量之间的整体框架，要让他们对数轴和坐标系有鲜活的、动态的理解。
二、利用勾股定理证明直角
勾股定理的证明方法和用勾股定理证明直角也体现了数形结合的思想，学生在已知直角边和斜边长度的时候使用勾股定理，只需要进行简单的代数计算就可以证明几何关系，常在几何证明题中使用。
在教学人教版《义务教育教科书·数学》九年级下册“直角三角形与勾股定理”这一课时，有如下教学片段。
师：什么是勾股定理？
生：勾股定理的公式是a2 + b2 = c2。
师：大家预习得很到位，那么大家知道这么一个简单的公式是怎么推导出来的吗？可以小组讨论一下，也可以利用几何图形来辅助证明。
生：我想到可以利用面积证明，用图1的图形可以证明。
师：根据图1中的面积关系，我们可以证明勾股定理。类似这样的证明还有很多，比如图2、图3，他们都是利用面积的等量关系来进行证明。
师：如果已知三角形的三个边长，怎么判断三角形的角是直角呢？
生：使用勾股定理。
师：使用勾股定理判定直角的方法就是数形结合的方法。
生：我发现V = [Grh2] = [2pr2h2=pr2h]。
师：是的，这样我们就发现两个公式其实是统一的。
勾股定理的使用，使得一组具有特殊关系的数字与直角三角形这一图形紧密结合了起来，也使学生在头脑中建立起了“数和形一一对应”的表象，拓展了学生的空间觀念，使学生的数学思维走向了深入。
三、利用几何图形记忆代数公式
几何图形具有直观形象的优点，学生对图形更容易记忆。因此，几何图形还可以用来帮助学生记忆代数公式。在课堂教学中，教师可以多画图，让学生对公式的含义充分理解。在解题过程中，也可以多画图。这样，在潜移默化中，学生记忆和解题时就掌握了数形结合的思想。比如平方差公式、完全平方公式就可以用几何图形来辅助记忆。
在教学人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册“平方差公式”时，有如下教学片段。
师：我们来看一个简单的等式13 + 23 = 32，口算一下，这个结果是正确的吗？请大家用几何图形把这个等式表示出来。
生：我画出了这样的图来表示。（如图4）
生：在图4中，我们可以看到A是13 ，B、C、D合起来就是两个2 × 2 的正方形，就证明了等式。
师：13+23+33=62，13+23+33+……+n3=[n2×n2+14]，还有其他的表示方法吗？
生：我们可以画出有3项的图。（如图5）
对于n项的情况，学生也可以继续画下去。这样，这个等式的证明也就完成了。在这个证明过程中，就用到了数形结合的思想。此外，在平时的解题过程中，也要注意引导学生学会使用数形结合的方法。
四、利用函数图象把握函数性质
函数的知识是教学重难点，因为这一部分内容比较抽象，在理解函数的性质时，可以引导学生借助函数图象。建立起图象与性质的对应链接。了解函数的性质首先就要建立起直角坐标系，在直角坐标系中，平移点之后，要用图象表示平移的过程并观察平移后点的特征。在利用函数图象记忆函数性质的时候，还要画出函数的定义域、增减性、单调性等。
在教学人教版《义务教育教科书·数学》九年级上册“函数的图象与性质”一课时，有如下教学片段。
师：我们知道函数的因变量与自变量是一一对应的，那么就可以利用定义在坐标系中画出函数的图象。比如正比例函数，请大家画一画。
师：同学们是根据什么画出的图象呢？
生：我是根据正比例函数是一条过原点的直线画出来的。
师：这位同学掌握了正比例函数的图象性质，从正比例函数的图象中，我们可以知道它的斜率和经过的点是原点，还可以知道什么呢？
生：还有它的朝向。
生：还有它所有的值都是可以取的。
师：总结一下两位同学的发言，除了函数的增减性和还有什么？
生：还有正比例函数是单调的。
师：从一个图象中可以看到函数的基本性质，那么在记忆的过程中，我们只需要画出一个函数的图象，就可以知道它的所有性质了，是不是很方便、很实用呢？这种方法就是数形结合的方法，老师现在画出一个图象，请你们来告诉我它的性质好吗？（如图5）
生：可以看出它先增后减。
生：最高点是（1，4），对称点是（1，4）。
师：真棒，你们已经了解了函数的图象特征，而这个图象和我们要学习的一元二次方程是对应的，就是图中的方程式。在一元二次方程中，我们经常运用到数形结合的思想方法。
在数学课堂中使用直角坐标系来求解不等式、一元二次方程是很方便的。教学中，我们要利用图形来加深学生对抽象的概念和公式的理解，在图形和公式结合的过程中，引导学生使用数形结合的方法，锻炼数学思维能力。在使用数形结合辅助教学时，教师还需要注意分类总结，要让学生举一反三，掌握一个题目就可以掌握一个类型的题目。
（责任编辑：杨强）