正定二次型在实际中的应用

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  摘 要:二次型的理论及其性质是线性代数的主要内容之一,二次型的理论及其应用及其广泛,其中正定二次型又是二次型中一类重要的二次型,有着非常重要的理论和实用价值。在文【1】中,简介了二次型及其在实际中的应用,在文【2】中,浅析探讨了正定二次型的理论及其性质,而在文【3】中重点探讨了正定二次型及其在最优化方法中的应用。文【4】中主要是研讨了正定二次型在高等代数中的应用。为使读者能够比较全面的深入了解,正确清晰的理解和掌握正定二次型的理论及其应用,本文主要是针对正定二次型在几何,最小二乘法及其物理力学等实际中的一些应用作一些简介。如有不当之处,欢迎读者给予批评指正。
  关键词:正定二次型;正定矩阵;最小二乘法;线性方程组
  一、在解决二次曲线和二次曲面方程中的应用
  二次型的理论探讨是从18世纪开始的,它的起源是对二次曲线和二次曲面
  的分类问题的讨论,直到1858年,维尔斯托拉斯在他人研究的著作的基础上,不仅给出对同时化两个二次型成为平方和的一般的方法,而且还证明了,如果二次型是正定的,那么即使某些特征值相等,这个化简也是可能的。
  如果,取的前行所构成的列向量,由范德蒙德行列式可知,的前行所构成的列向量线性无关,从而,相应“接长”的维列向量也线性无关。因此,对于任意的,必有,这时,故为正定矩阵。综上所述,为正定矩阵的充分必要条件是:。
  四、在物理力学问题中的应用.
  由于在物理力学问题中,经常需要同时将两个二次型转化为标准型来实现,这是正定二次型在物理力学问题中应用中很重要的一个问题.
  定理 设是阶正定矩阵,是阶实对矩阵,则必存在阶非奇异矩阵,使得其中为对角阵.
  证明:因为是正定矩阵,所以存在阶非奇异矩阵,使得,令,显然仍为实对称矩阵,所以存在阶正交矩阵,使得.取,则为阶非奇异矩阵,且有
  另外正定二次型在研究系统的稳定性、广义重积分、物理学电阻器功率的消耗等方面都有廣泛的应用.由于篇幅所限,这里就不在累赘了。
  参考文献
  [1] 杨付贵.二次型及其在实际中的应用[J].科教导刊
  [2] 杨付贵.正定二次型及其性质的探讨[J].科教导刊
  [3] 杨付贵.正定二次型及其在最优化中的应用[J].科教导刊
  [4] 杨付贵.正定二次型及其在高等代数中的应用[J].科教导刊
  [5] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003.
  [6] 张禾瑞.郝鈵新.高等代数(第三版)[M].北京:高等教育出版社,1984.
  [7] 陈宝林.最优化理论与算法[M].北京:清华大学出版社,2005.
  [8] 王燕军.最优化理论与方法[M].上海:复旦大学出版社,2005.
  作者简介:杨付贵(1957.5)男,天津人,副教授。从事最优化方法研究。
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