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摘 要：近年来，随着经济的发展和人们风险意识的增强，越来越多的人会选择通过购买保险来降低可能面临的潜在风险。在保险的购买和索赔过程中，人们关注的是保费的制定和索赔额的确定，这其中会出现一种特殊的索赔——未达到一定数额的理赔额时保险公司选择不做理赔。文章针对这一特殊情况的保费的制定进行探讨，初步得出了在零效用原理下保费的估计及其大样本性质。
关键词：零效用保费 非参数估计 贝叶斯估计 数值拟合
中图分类号：F840 文献标识码：A
文章编号：1004-4914（2017）11-104-03
在实际生活中，大多数的保险险种，如车险，健康险，疾病险，生命险和商业保险等都涉及有免赔条款。免赔条款是保险人对保险理赔进行限制的方式，其主要思想是：通过设置免赔额，减少一些频繁发生的小额赔付支出，提高被保险人的责任心和注意力，降低风险，同时降低保险公司的经营成本。
一般来说，保险公司可能涉及的免赔条款有：绝对免赔条款、相对免赔条款、比例免赔条款、有限比例免赔条款和消失免赔条款，它们基本满足以下四个性质：
1.预防损失：带有免赔条款的保险会使得被保险人发生损失时得到的理赔减少，这会使一部分人不参保，这样留下来的投保人将是积极的投保人。
2.亏损减少：带有免赔条款的保险会使得被保险人发生损失时只能得到部分的理赔，这不会为投保人提供经济诱因使得损失扩大（该扩大的损失可避免）。
3.避免小额理赔：在成本管理占主导地位的市场上，对小额理赔的管理费用往往会超过理赔额本身，因此在带有免赔额的保费中，保险公司要求投保人对小额损失自行处理。
4.降低保费：保费的降低对保单持有者来说是一个重要的因素，他们可能更希望有一个较高的免赔额来获得一个更低的保费。
在众多研究免赔条款的文献中，前人大多研究的是在净保费原理下讨论具有免赔额保险的定价问题，如Head and Smith侧重于免赔额定价方面的定性研究，Arrow讨论了免赔额定价的不同假设和研究方法，Raviv对最优保单合同的研究进行了归纳，并进一步延伸了Arrow等的研究结论，提出了更加完善的免赔额定价模型，而K.Burneck J. et al等在理论上研究在上述五种免赔条款下的净风险保费，并提出了该纯保费的计算公式。然而，在保险实际中，净保费不能满足保费的正的安全负荷性。在破产理论中已经证明，保险公司仅收取纯保费则将注定发生破产，可参考Asmussen。由于效用保费原理的重要性，下面将讨论效用保费原理下具有绝对免赔额的保费的估计。
一、模型概况
首先，我们给出绝对免赔额的定义？譹？訛：
定义绝对免赔额（Fix Amount Deductible）是指当被保险人的损失超过规定的免赔额时，保险公司只对超过部分进行理赔；其他情况下，保险公司不对损失进行理赔。假设规定的免赔额为d时，则保险公司的支付函数为：Id=max{0，x-d}。
设X是描述被保险人损失大小的非负随机变量，F（x）、f（x）分别代表X的分布函数与概率密度函数，假定X的期望、方差分别为：E[X]=μ，Var[X]=σ2。
命题1：在绝对免赔额下，保险公司承担该风险X后可能面临的损失为：
Id=（X-d）+=x-d，x≥d0，x 则Id的分布函数为：F1（y）=F（d），y=0F（y+d），y>0’
概率密度函数为：fI（y）=F（d），y=0f（y+d），y>0’
其中F（x）、f（x）分别是风险X的分布函数与概率密度函数。
证明：由全概率公式易得证。
假定免赔额d给定，那么在零效用保费原理下，此时保费P为下式方程的解：E[U（P-Id）]=0，其中函数U（·）我们称之为保险人的效用函数？譺？訛。
下面，我们给出在四种特殊的效用函数下，保费Pd的具体表达式。在计算过程中，为了简便叙述，我们引入有限期望值函数？譻？訛：
LX（t）=E[min（X，t）]=∫t0yfydy+t1-Ft，t>0
该函数在点t的值等于随机变量X在截断点t的期望值。又对任意的t大于0，都有：
L’X（t）=1+t-F（t）>0
成立，即LX（t）关于t单调递增。
（1）线性效用函数：选定效用函数为线性效用函数U（x）=x，此时在绝对免赔额下的保费Pd满足：
E[Pd-Id]=0
經计算得Pd1=E[X]-LX（d）。
由于LX（d）关于d单调递增，所以保费Pd1关于免赔额d单调递减。特别地，当绝对免赔额d=0时，所得保费满足净保费原理？譼？訛，即Pd1=E[X]。
（2）二次方效用函数：选定效用函数为二次效用函数U（x）=x-ax2，此时在绝对免赔额下的保费Pd应满足：
E[U（Pd-Id）]=E[（Pd-Id）-a（Pd-Id）2]=0，
经计算可得：
Pd2=E[Id]+-，
其中：
E[Id]=E[X]-LX（d），
Var[Id]=Var[X]-（1-F（d））（d-d2）+2E[X]（LX（d）-d）+LX（d）（2d-LX（d））-Lx2（d）。
特别地，当免赔额d=0时，此时Pd2=E[X]+-即为方差保费；当免赔额d→∞时，易证得此时保费Pd2=0。
（3）指数效用函数：选定效用函数为指数函数U（x）=1-e时，此时在绝对免赔额下的保费Pd满足：
E[U（Pd-Id）]=E[（1-e-a（Pd-Id）））]=0 经计算可得：
Pd3=lnE[eaId]=ln{E[ea（X-d）]-e-adLeaX（d）+（de-ad-1）（1-F（d））+1}。
特别地，当免赔额d=0时，Pd3=lnE[eax]，满足指数保费原理。
（4）Esscher效用函数：选定Esscher效用函数U（x）=xe-λx时，此时在绝对免赔额下的保费Pd应满足下式：
E[U（Pd-Id）]=E[（Pd-Id）e-λ（Pd-Id）=0，
经计算可得：
Pd4==
特别地，当免赔额d=0时，Pd4=，即为Esscher保费原理？譽？訛；当免赔额d→∞时，易证得此时保费Pd4=0。
二、具有免赔额保费非参数估计
（一）免赔额下的非参数估计
设风险X前n年的理赔额分别为I1，I2，…，In，对风险X第n+1年的保费Pd进行非参数估计时，此时得到的零效用保费的估计方程为：
UP-I=0（1）
由此得到的保费Pd的非参数估计具有如下性质：
定理1.当n→∞时，零期望效用估计方程（1）以概率1有解，且该解关于零期望效用保费Pd是强相合的，即→Pd a.s。
定理2.记h（Id，P）=U（P-Id），E[（h（Id，P）2]=m（Pd），以及E[I，P│]=H（Pd），若对任意的P>0满足下面的条件：
1.在零效用保费Pd的邻域内，效用函数h（Id，P）关于P的偏导数和对所有的Id均存在；
2.在零效用保费Pd的邻域内，有E[（I，P）]<∞；
则当n→∞时，零效用估计方程（1）的非参数估计是渐近正态的，且有
-PN0，。
对定理1和定理2的证明可参见《零期望效用原理下的贝叶斯保费》？譾？訛。
事实上，由于免赔额d的限定，风险X的历史索赔记录I1，I2，…，In与不含免赔额时风险X的历史记录X1，X2，…，Xn间仅相差几个非零数。由此，我们可得在常用的四种效用函数下具有免赔额d的保费的非参数估计：
（1）线性效用函数：在线性效用函数U（x）=x下可得到免赔额下保费Pd1的非参数估计为：
=Ii。
（2）二次方效用函数：在二次效用函数U（x）=x-ax2下可得到免赔额下保费Pd2的非参数估计为：
=Ii+-。
（3）指数效用函数：在指数效用函数U（x）=（1-e-ax）下可得到免赔额下保费Pd3的非参数估计为：
=ln（eaIi）。
（4）Esscher效用函数：在Esscher效用函数U（x）=xe-λx下可得到免赔额下保费Pa4的非参数估计为：
=。
（二）免赔额下的非参数估计的数值模拟
在本节中，为了验证上一节所得具有免赔额的零效用保费的非参数估计的大样本性质，我们选取了风险X的某一具体分布，通过蒙特卡洛方法对其进行数值上的拟合，以观察具有免赔额保费的非参数估计的收敛速度。
假设风险X服从指数分布Exp（θ），其密度函数为：f（x）=θe-θx（x>0），则有：
E[X]=，Var[X]=，MX（μ）=，E[XeμX]=MX'（μ）=，μ<θ。
由此易得到风险X在具有免赔额d下的分布函数为：
fI（y）=1-e-θd，y=0-θ（y+a）θe），y>0；
且有LX（d）=-e-θd，
Lx2（d）=-e-θd（d2++-d），
LeμX（d）=（e（μ-θ）d-1）+de-θd，
LXeμX（d）=e（μ-θ）d（-）++de-θd。
那么在特定的四种效用函数下，具有免赔额的保费分别为：
（1）线性效用函数下Pd1=e-θd；
（2）二次方效用函数下Pd2=e-θd+
-；
（3）指数效用函数下Pd3=ln（e-θd+1）；
（4）Esscher效用函数下Pd4=。
在模拟过程中，不妨取定二次方效用函数U（x）=x-ax2中a=，指数效用函数U（x）=（1-e-ax）中a=，Esscher效用函数U（x）=xe-λx中λ=，通过计算不同的样本容量n，笔者将得到保费Pd的非参数估计的均值和均方误差MSE。
设定样本容量n分别为30，80，200，800，指數分布Exp（θ）分布取θ=0.2，0.5，1，免赔额d=，分别计算出四种效用函数下具有免赔额的保费的非参数估计，选取模拟次数K=5000，所得结果绘制成表1—3。
观察表1—3，我们可以得到：首先从数值拟合上进一步验证了非参数估计的强相合性，且均方误差满足实际需要；其次当免赔额d保持不动的时候，随着分布参数θ的增大，收敛速度加快。
三、具有免赔额保费贝叶斯估计
一般地，在保险实际中，风险保费Pd（θ）都涉及风险参数θ，且θ未知。但我们易得到风险X的历年索赔记录，且由于免赔额下风险X保费的索赔记录与无免赔额下风险I保费的索赔记录仅差几项非零值，则免赔额下风险保费Pd（θ）与贝叶斯保费Pd（θ）？譾？訛也有类似前文的结论：
命题2：风险X在零效用保费原理下具有免赔额的贝叶斯保费Pd（（In）与风险保费Pd（θ）之间有如下关系：Pd（）=Pd（θ）1θ=In且贝叶斯保费Pd（（）渐近收敛于风险保费Pd（θ）。
由此可知，求解风险X的风险保费Pd（θ）可通过贝叶斯保费来进行估计。在常用效用函数下，我们可得具有免赔额d的风险保费与贝叶斯保费如下（由于二次方效用函数形式的复杂性在此只考虑三种效用函数）： 1.在线性效用函数U（x）=x下可得风险X在免赔额下的风险保费Pd1（θ）和贝叶斯保费Pd1（）分别为：
Pd1（θ）=E（In+1│θ），
Pd1（）=E（In+1│），
2.在指数效用函数U（x）=（1-e-ax）可得到风险X在免赔额下的风险保费Pd2（θ）与贝叶斯保费Pd2（）分别为：
Pd2（θ）=lnE（eaIn+1│θ），
Pd2（）=lnE（eaIn+1│），
3.在Esscher效用函数U（x）=xe-λx下可求得风险X在免赔额下的风险保费Pd3（θ）与贝叶斯保费Pd3（）分别为：
Pd3（θ）=。
Pd3（In）=
综上求解我们知道，在三种特殊的效用函数下，均易得证风险X的风险保费Pd（θ）与贝叶斯保费Pd（In）间是强相合的。
[基金项目：上饶师范学院青年科研基金项目201418]
注释：
？譹？訛Young V R.Premium Principles[M].New York： Encycloped
ia of Actuarial Science，2004
？譺？訛Denuit M， Dhaene J. Risk Measurement with Equivalent Utility Principles[J].Statistics and Decisions，2006，24（1）
？譻？訛Berger J.Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis[M].New York： Springer，1985
？譼？訛Huang J H， Wang G C， Wu z. Optimal Premium Policy of an Insurance Firm： Full and Partial Information [J]. Insurance： Mathematics and Economics. 2010，47（2）
？譽？訛Wen L M， Wang W， Wang J L.The Credibility Premiums for Exponential Principle[J].Acta Mathematica Sinica.2011，27（11）
？譾？訛溫利民，庄小红.零期望效用原理下的贝叶斯保费[J].系统科学与数学，2016，36（8）
（作者单位：上饶师范学院经济与管理学院 江西上饶 334001））
[第一作者简介：庄小红（1987—），女，福建泉州人，助教，硕士，主要从事统计学研究。]（责编：若佳）
关键词：零效用保费 非参数估计 贝叶斯估计 数值拟合
中图分类号：F840 文献标识码：A
文章编号：1004-4914（2017）11-104-03
在实际生活中，大多数的保险险种，如车险，健康险，疾病险，生命险和商业保险等都涉及有免赔条款。免赔条款是保险人对保险理赔进行限制的方式，其主要思想是：通过设置免赔额，减少一些频繁发生的小额赔付支出，提高被保险人的责任心和注意力，降低风险，同时降低保险公司的经营成本。
一般来说，保险公司可能涉及的免赔条款有：绝对免赔条款、相对免赔条款、比例免赔条款、有限比例免赔条款和消失免赔条款，它们基本满足以下四个性质：
1.预防损失：带有免赔条款的保险会使得被保险人发生损失时得到的理赔减少，这会使一部分人不参保，这样留下来的投保人将是积极的投保人。
2.亏损减少：带有免赔条款的保险会使得被保险人发生损失时只能得到部分的理赔，这不会为投保人提供经济诱因使得损失扩大（该扩大的损失可避免）。
3.避免小额理赔：在成本管理占主导地位的市场上，对小额理赔的管理费用往往会超过理赔额本身，因此在带有免赔额的保费中，保险公司要求投保人对小额损失自行处理。
4.降低保费：保费的降低对保单持有者来说是一个重要的因素，他们可能更希望有一个较高的免赔额来获得一个更低的保费。
在众多研究免赔条款的文献中，前人大多研究的是在净保费原理下讨论具有免赔额保险的定价问题，如Head and Smith侧重于免赔额定价方面的定性研究，Arrow讨论了免赔额定价的不同假设和研究方法，Raviv对最优保单合同的研究进行了归纳，并进一步延伸了Arrow等的研究结论，提出了更加完善的免赔额定价模型，而K.Burneck J. et al等在理论上研究在上述五种免赔条款下的净风险保费，并提出了该纯保费的计算公式。然而，在保险实际中，净保费不能满足保费的正的安全负荷性。在破产理论中已经证明，保险公司仅收取纯保费则将注定发生破产，可参考Asmussen。由于效用保费原理的重要性，下面将讨论效用保费原理下具有绝对免赔额的保费的估计。
一、模型概况
首先，我们给出绝对免赔额的定义？譹？訛：
定义绝对免赔额（Fix Amount Deductible）是指当被保险人的损失超过规定的免赔额时，保险公司只对超过部分进行理赔；其他情况下，保险公司不对损失进行理赔。假设规定的免赔额为d时，则保险公司的支付函数为：Id=max{0，x-d}。
设X是描述被保险人损失大小的非负随机变量，F（x）、f（x）分别代表X的分布函数与概率密度函数，假定X的期望、方差分别为：E[X]=μ，Var[X]=σ2。
命题1：在绝对免赔额下，保险公司承担该风险X后可能面临的损失为：
Id=（X-d）+=x-d，x≥d0，x
概率密度函数为：fI（y）=F（d），y=0f（y+d），y>0’
其中F（x）、f（x）分别是风险X的分布函数与概率密度函数。
证明：由全概率公式易得证。
假定免赔额d给定，那么在零效用保费原理下，此时保费P为下式方程的解：E[U（P-Id）]=0，其中函数U（·）我们称之为保险人的效用函数？譺？訛。
下面，我们给出在四种特殊的效用函数下，保费Pd的具体表达式。在计算过程中，为了简便叙述，我们引入有限期望值函数？譻？訛：
LX（t）=E[min（X，t）]=∫t0yfydy+t1-Ft，t>0
该函数在点t的值等于随机变量X在截断点t的期望值。又对任意的t大于0，都有：
L’X（t）=1+t-F（t）>0
成立，即LX（t）关于t单调递增。
（1）线性效用函数：选定效用函数为线性效用函数U（x）=x，此时在绝对免赔额下的保费Pd满足：
E[Pd-Id]=0
經计算得Pd1=E[X]-LX（d）。
由于LX（d）关于d单调递增，所以保费Pd1关于免赔额d单调递减。特别地，当绝对免赔额d=0时，所得保费满足净保费原理？譼？訛，即Pd1=E[X]。
（2）二次方效用函数：选定效用函数为二次效用函数U（x）=x-ax2，此时在绝对免赔额下的保费Pd应满足：
E[U（Pd-Id）]=E[（Pd-Id）-a（Pd-Id）2]=0，
经计算可得：
Pd2=E[Id]+-，
其中：
E[Id]=E[X]-LX（d），
Var[Id]=Var[X]-（1-F（d））（d-d2）+2E[X]（LX（d）-d）+LX（d）（2d-LX（d））-Lx2（d）。
特别地，当免赔额d=0时，此时Pd2=E[X]+-即为方差保费；当免赔额d→∞时，易证得此时保费Pd2=0。
（3）指数效用函数：选定效用函数为指数函数U（x）=1-e时，此时在绝对免赔额下的保费Pd满足：
E[U（Pd-Id）]=E[（1-e-a（Pd-Id）））]=0 经计算可得：
Pd3=lnE[eaId]=ln{E[ea（X-d）]-e-adLeaX（d）+（de-ad-1）（1-F（d））+1}。
特别地，当免赔额d=0时，Pd3=lnE[eax]，满足指数保费原理。
（4）Esscher效用函数：选定Esscher效用函数U（x）=xe-λx时，此时在绝对免赔额下的保费Pd应满足下式：
E[U（Pd-Id）]=E[（Pd-Id）e-λ（Pd-Id）=0，
经计算可得：
Pd4==
特别地，当免赔额d=0时，Pd4=，即为Esscher保费原理？譽？訛；当免赔额d→∞时，易证得此时保费Pd4=0。
二、具有免赔额保费非参数估计
（一）免赔额下的非参数估计
设风险X前n年的理赔额分别为I1，I2，…，In，对风险X第n+1年的保费Pd进行非参数估计时，此时得到的零效用保费的估计方程为：
UP-I=0（1）
由此得到的保费Pd的非参数估计具有如下性质：
定理1.当n→∞时，零期望效用估计方程（1）以概率1有解，且该解关于零期望效用保费Pd是强相合的，即→Pd a.s。
定理2.记h（Id，P）=U（P-Id），E[（h（Id，P）2]=m（Pd），以及E[I，P│]=H（Pd），若对任意的P>0满足下面的条件：
1.在零效用保费Pd的邻域内，效用函数h（Id，P）关于P的偏导数和对所有的Id均存在；
2.在零效用保费Pd的邻域内，有E[（I，P）]<∞；
则当n→∞时，零效用估计方程（1）的非参数估计是渐近正态的，且有
-PN0，。
对定理1和定理2的证明可参见《零期望效用原理下的贝叶斯保费》？譾？訛。
事实上，由于免赔额d的限定，风险X的历史索赔记录I1，I2，…，In与不含免赔额时风险X的历史记录X1，X2，…，Xn间仅相差几个非零数。由此，我们可得在常用的四种效用函数下具有免赔额d的保费的非参数估计：
（1）线性效用函数：在线性效用函数U（x）=x下可得到免赔额下保费Pd1的非参数估计为：
=Ii。
（2）二次方效用函数：在二次效用函数U（x）=x-ax2下可得到免赔额下保费Pd2的非参数估计为：
=Ii+-。
（3）指数效用函数：在指数效用函数U（x）=（1-e-ax）下可得到免赔额下保费Pd3的非参数估计为：
=ln（eaIi）。
（4）Esscher效用函数：在Esscher效用函数U（x）=xe-λx下可得到免赔额下保费Pa4的非参数估计为：
=。
（二）免赔额下的非参数估计的数值模拟
在本节中，为了验证上一节所得具有免赔额的零效用保费的非参数估计的大样本性质，我们选取了风险X的某一具体分布，通过蒙特卡洛方法对其进行数值上的拟合，以观察具有免赔额保费的非参数估计的收敛速度。
假设风险X服从指数分布Exp（θ），其密度函数为：f（x）=θe-θx（x>0），则有：
E[X]=，Var[X]=，MX（μ）=，E[XeμX]=MX'（μ）=，μ<θ。
由此易得到风险X在具有免赔额d下的分布函数为：
fI（y）=1-e-θd，y=0-θ（y+a）θe），y>0；
且有LX（d）=-e-θd，
Lx2（d）=-e-θd（d2++-d），
LeμX（d）=（e（μ-θ）d-1）+de-θd，
LXeμX（d）=e（μ-θ）d（-）++de-θd。
那么在特定的四种效用函数下，具有免赔额的保费分别为：
（1）线性效用函数下Pd1=e-θd；
（2）二次方效用函数下Pd2=e-θd+
-；
（3）指数效用函数下Pd3=ln（e-θd+1）；
（4）Esscher效用函数下Pd4=。
在模拟过程中，不妨取定二次方效用函数U（x）=x-ax2中a=，指数效用函数U（x）=（1-e-ax）中a=，Esscher效用函数U（x）=xe-λx中λ=，通过计算不同的样本容量n，笔者将得到保费Pd的非参数估计的均值和均方误差MSE。
设定样本容量n分别为30，80，200，800，指數分布Exp（θ）分布取θ=0.2，0.5，1，免赔额d=，分别计算出四种效用函数下具有免赔额的保费的非参数估计，选取模拟次数K=5000，所得结果绘制成表1—3。
观察表1—3，我们可以得到：首先从数值拟合上进一步验证了非参数估计的强相合性，且均方误差满足实际需要；其次当免赔额d保持不动的时候，随着分布参数θ的增大，收敛速度加快。
三、具有免赔额保费贝叶斯估计
一般地，在保险实际中，风险保费Pd（θ）都涉及风险参数θ，且θ未知。但我们易得到风险X的历年索赔记录，且由于免赔额下风险X保费的索赔记录与无免赔额下风险I保费的索赔记录仅差几项非零值，则免赔额下风险保费Pd（θ）与贝叶斯保费Pd（θ）？譾？訛也有类似前文的结论：
命题2：风险X在零效用保费原理下具有免赔额的贝叶斯保费Pd（（In）与风险保费Pd（θ）之间有如下关系：Pd（）=Pd（θ）1θ=In且贝叶斯保费Pd（（）渐近收敛于风险保费Pd（θ）。
由此可知，求解风险X的风险保费Pd（θ）可通过贝叶斯保费来进行估计。在常用效用函数下，我们可得具有免赔额d的风险保费与贝叶斯保费如下（由于二次方效用函数形式的复杂性在此只考虑三种效用函数）： 1.在线性效用函数U（x）=x下可得风险X在免赔额下的风险保费Pd1（θ）和贝叶斯保费Pd1（）分别为：
Pd1（θ）=E（In+1│θ），
Pd1（）=E（In+1│），
2.在指数效用函数U（x）=（1-e-ax）可得到风险X在免赔额下的风险保费Pd2（θ）与贝叶斯保费Pd2（）分别为：
Pd2（θ）=lnE（eaIn+1│θ），
Pd2（）=lnE（eaIn+1│），
3.在Esscher效用函数U（x）=xe-λx下可求得风险X在免赔额下的风险保费Pd3（θ）与贝叶斯保费Pd3（）分别为：
Pd3（θ）=。
Pd3（In）=
综上求解我们知道，在三种特殊的效用函数下，均易得证风险X的风险保费Pd（θ）与贝叶斯保费Pd（In）间是强相合的。
[基金项目：上饶师范学院青年科研基金项目201418]
注释：
？譹？訛Young V R.Premium Principles[M].New York： Encycloped
ia of Actuarial Science，2004
？譺？訛Denuit M， Dhaene J. Risk Measurement with Equivalent Utility Principles[J].Statistics and Decisions，2006，24（1）
？譻？訛Berger J.Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis[M].New York： Springer，1985
？譼？訛Huang J H， Wang G C， Wu z. Optimal Premium Policy of an Insurance Firm： Full and Partial Information [J]. Insurance： Mathematics and Economics. 2010，47（2）
？譽？訛Wen L M， Wang W， Wang J L.The Credibility Premiums for Exponential Principle[J].Acta Mathematica Sinica.2011，27（11）
？譾？訛溫利民，庄小红.零期望效用原理下的贝叶斯保费[J].系统科学与数学，2016，36（8）
（作者单位：上饶师范学院经济与管理学院 江西上饶 334001））
[第一作者简介：庄小红（1987—），女，福建泉州人，助教，硕士，主要从事统计学研究。]（责编：若佳）