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《数学课程标准》指出，教学应结合具体的数学内容，采用“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的模式展开.所谓数学建模，简而言之，就是建立数学模型的过程，包括对实际问题进行提炼、抽象、简化，以及确立、求解、验证、解释、应用和拓展数学模型的过程.在建模过程中，引导学生要不断思考，不断对各种信息进行加工、转换，同时要不断激活原有的知识经验，对当前问题作出分析、推论、综合、概括，形成假设，并对假设进行验证，从而建构自己的知识经验，形成自己的见解，建立一定的模型，这一过程为数学思维训练提供了理想的途径.数学模型的解释、应用，不能将模型看做确定的算法或思维程序进行机械的记忆、复述与应用，而必须灵活、合理地选择解决问题的策略.笔者以一道中考试题为例，采撷几例，分析如何运用这种模型来提升学生的解题能力.
一、模型来源
题目（2007年南昌市）实验与探究
（1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点C的坐标，它们分别是 ， ，.
图1图2图3 （2）在图4中，给出平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标（如图所示），求出顶点C的坐标（C点坐标用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）；
图4图5归纳与发现
（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A（a，b），B（c，d），C（m，n），D（e，f）（如图4）时，则四个顶点的横坐标a，c，m，e之间的等量关系为 ；纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为 （不必证明）.
运用与推广
（4）在同一直角坐标系中有抛物线y=x2-（5c-3）x-c和三个点G（-112c，512c），S（112c，912c），H（2c，0）（其中c>0）.问当c为何值时，该抛物线上存在点P，使得以G，S，H，P为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P点坐标.
解析：（1）平行四边形在直角坐标系中顶点坐标从数字过渡到字母， 通过在图2中求顶点C的坐标，可探索在图3中求顶点C坐标的方法.可得（e+c，d），（c+e-a，d）.
（2）探索从特殊位置下四个顶点的横坐标之间关系和纵坐标之间关系是否在一般情况下成立？ 如图5，分别过点A、B、C、D作x轴的垂线，垂足分别为A1、B1、C1、D1，分别过A、D作AE⊥BB1于E，DF⊥CC1于点F.在平行四边形ABCD中，CD=BA，又因为BB1∥CC1， 所以∠EBA+∠ABC+∠BCF=∠ABC+∠BCF+∠FCD=180°，得∠EBA=∠FCD.又因为∠BEA=∠CFD=90°， 所以△BEA≌△CFD. 所以AF=DF=a-c，BE=CF=d-b.设C（x，y）.由e-x=a-c，得x=e+c-a.由y-f=d-b，得y=f+d-b.所以C（e+c-a，f+d-b）.
（3）归纳可得规律：m=c+e-a，n=d+f-b或m+a=c+e，n+b=d+f.
（4）将运用结论解决有关数学问题，分类讨论有三种情况.
若GS为平行四边形的对角线，由（3）可得P1（-2c，7c）.要使P1在抛物线上，则有7c=4c2-（5c-3）×（-2c）-c，即c2-c=0.所以c1=0，c2=1.此时P1（-2，7）.
若SH为平行四边形的对角线，由（3）可得P2（3c，2c），同理可得c=1，此时P2（3，2）.
若GH为平行四边形的对角线，由（3）可得P3（c，-2c），同理可得c=1，此时P2（1，-2）.
综上所述，当c=1时，抛物线上存在点P，使得以G，S，H，P为顶点的四边形是平行四边形.符合条件的点有P1（-2，7）、P2（3，2）、P3（1，-2）.
点评：此题既遵循了学生学习认知的规律，又遵循了数学演绎发展的规律，学生从简单到复杂，从特殊到一般，从结论的产生到结论的应用过程中来探索发现，提示共性规律，体现了课题学习倡导一种理念；在能力的考查方面，考查了学生的直觉思维，类比思维和创新能力，引导学生做课题学习，丰富了学生的探究问题的经验；渗透了数形结合思想、分类讨论和类比思想；试题呈现方式采用了从研究问题不同阶段来陈述，设问以平行四边形的顶点坐标系为主线，进行层层递进，最后完成探究的全过程，整题探究过程类似于发现定理.
二、模型归纳
细细品味，此题犹如一杯醇香的美酒，令人回味，更令人引发遐思与思索.笔者在教学中发现，解答一类与抛物线和平行四边形相关的综合性试题，运用该题的结论显得简捷、思路清晰.现把上述第（3）问的结论小结如下.
图6如图6无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A（xA，yA），B（xB， yB），C（xC，yC），D（xD，yD）时， 则四个顶点存在下列等量关系：
横坐标之间的等量关系为： xA+xC=xB+xD；
纵坐标之间的等量关系为： yA+yC=yB+yD.
三、模型运用
由于这类试题多以压轴题形式呈现，所涉及的知识比较多，题目综合性强，有些题目甚至比较难解.而应用这个结论来求解，往往能化难为易.
1. 联想应用
例1（2011年陕西省）如图7，二次函数y=213x2-113x的图象经过△AOC的三个顶点，其中A（-1，m） ，B（n，n）.
（1）求A、B的坐标；
（2）在坐标平面上找点C，使以A、O、B、C为顶点的四边形是平行四边形.
① 这样的点C有几个？
② 能否将抛物线y=213x2-113x平移后经过A、C两点，若能求出平移后经过A、C两点的一条抛物线的解析式；若不能，说明理由. 图7图8解：（1）因为y=213x2-113x的图象过点A（-1，m），所以m=213×（-1）2-113×（-1）=1，即m=1.同理：n=213n2-113n，解之，得n=0（舍去）或n=2.所以A（-1，1），B（2，2）.
（2）①存在这样的C点有3个.设C（x，y），由于B（2，2），O（0，0），A（-1，1）.根据上述结论，得：
①如图8，当C→B时，则须满足x+2=-1+0
y+2=1+0，解得x=-3
y=-1，所以C1（-3，-1）.
②如图8，当C→O时，则须满足x+0=2-1
y+0=2+1，解得x=1
y=3，所以C2（1，3）.
③如图8，当C→A时，则须满足x-1=2+0
y+1=2+0，解得x=3
y=1，所以C3（3，1）.
综上分析，满足条件的点C的坐标为C1（-3，-1）、C2（1，3）、C3（3，1）.②略.
评析：此题属于已知三个定点，探究平行四边形的第四个顶点的坐标问题.当三个点的坐标确定后，第四个顶点可直接应用上述结论建立关系，再通过计算得出所求坐标.运用此法的优点在于点C与其它顶点只有3种组合方式，不会产生漏解现象，且对学困生而言，能按“模型”索“答案”.由此可见，熟悉模型思想无疑对解决类似问题十分有益.
2. 拓展应用
（1）已知两个顶点（即x轴上的两个点），探究平行四边形的另两个顶点
例2 （2011年内江市）如图9抛物线y= 113x2-mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1）.且对称轴x=1.
（1）求出抛物线的解析式及A、B两点的坐标；
（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点D，使四边形ABDC的面积为3.若存在，求出点D的坐标；若不存在.说明理由（使用图9）；
（3）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标（使用图10）.
图9图10 解：（1）由题意易解得抛物线解析式为y=113x2-213x-1.再解得A（-1，0），B（3，0）.
（2）设在x轴下方的抛物线上存在D（a， 113a2-213a-1）（0 图11图12（3）设P（m，n），Q（0，y）. 由于A（-1，0），B（3，0）， 根据上述结论，易得：
①如图12，当P→A时，则须满足m-1=3+0
n+0=0+y，解得m=4
n=y.由于点P在抛物线上，所以把点P （4，y）代入函数解析式，得y=113×42-213×4-1=513，即n =513，所以P1（4，513）.
②如图12，当P→B时，则须满足m+3=-1+0
n+0=0+y，解得m=-4
n=y.由于点P在抛物线上，所以把点P（-4，y）代入函数解析式，得y=113×（-4）2-213×（-4）-1=7，即n=7，所以P2（-4，7）.
③如图12，当P→Q时，则须满足m+0=-1+3
n+y=0+0，解得m=2
n=-y.由于点P在抛物线上，所以把点P（2，- y）代入函数解析式，得- y=113×22-213×2-1=-1，即n=- y =-1，所以P3（2，-1）.
综上分析，满足条件的点P的坐标为P1（4，513），P2（-4，7），P3（2，-1）.
评析：此题与例1有所不同，只已知两个点的坐标，另外两个点给出了一定的位置条件的限制，即要求的点P在抛物线上，点Q在x轴上，需先结合题目条件，运用类比迁移的方法，将不变的模型置身于变化的题目之中.所以其解题思路为：设点P坐标为（m，n）→运用上述结论，建立方程组→解得m，n的值代入函数解析式→最后求出点P坐标.试题综合性强，对学生动手能力、探究能力，以及分类讨论的数学思想的考查要求较高，很好地体现了新课改的理念.
（2）已知两顶点（即x轴上的点和抛物线上的点），探究平行四边形的另两个顶点.
通过以上几例不难看出，在解决有关抛物线与平行四边形的问题中，关键要灵活运用上述模型结论，形成模型的思想，以解决一个问题来贯通一类问题.解题时还要恰当地运用数形结合思想、方程思想、函数思想、分类讨论思想.因此，教师在平时的教学和复习中，寻找典型的中考试题或例习题，探索利用模型解决问题的新方法，启迪学生的数学智慧，培养学生的创新意识，提升学生的数学素养.唯有如此，学生在考试中遇到此类问题时才会“有法可依”，有思路、有方法，才能在中考中立于不败之地.
一、模型来源
题目（2007年南昌市）实验与探究
（1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点C的坐标，它们分别是 ， ，.
图1图2图3 （2）在图4中，给出平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标（如图所示），求出顶点C的坐标（C点坐标用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）；
图4图5归纳与发现
（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A（a，b），B（c，d），C（m，n），D（e，f）（如图4）时，则四个顶点的横坐标a，c，m，e之间的等量关系为 ；纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为 （不必证明）.
运用与推广
（4）在同一直角坐标系中有抛物线y=x2-（5c-3）x-c和三个点G（-112c，512c），S（112c，912c），H（2c，0）（其中c>0）.问当c为何值时，该抛物线上存在点P，使得以G，S，H，P为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P点坐标.
解析：（1）平行四边形在直角坐标系中顶点坐标从数字过渡到字母， 通过在图2中求顶点C的坐标，可探索在图3中求顶点C坐标的方法.可得（e+c，d），（c+e-a，d）.
（2）探索从特殊位置下四个顶点的横坐标之间关系和纵坐标之间关系是否在一般情况下成立？ 如图5，分别过点A、B、C、D作x轴的垂线，垂足分别为A1、B1、C1、D1，分别过A、D作AE⊥BB1于E，DF⊥CC1于点F.在平行四边形ABCD中，CD=BA，又因为BB1∥CC1， 所以∠EBA+∠ABC+∠BCF=∠ABC+∠BCF+∠FCD=180°，得∠EBA=∠FCD.又因为∠BEA=∠CFD=90°， 所以△BEA≌△CFD. 所以AF=DF=a-c，BE=CF=d-b.设C（x，y）.由e-x=a-c，得x=e+c-a.由y-f=d-b，得y=f+d-b.所以C（e+c-a，f+d-b）.
（3）归纳可得规律：m=c+e-a，n=d+f-b或m+a=c+e，n+b=d+f.
（4）将运用结论解决有关数学问题，分类讨论有三种情况.
若GS为平行四边形的对角线，由（3）可得P1（-2c，7c）.要使P1在抛物线上，则有7c=4c2-（5c-3）×（-2c）-c，即c2-c=0.所以c1=0，c2=1.此时P1（-2，7）.
若SH为平行四边形的对角线，由（3）可得P2（3c，2c），同理可得c=1，此时P2（3，2）.
若GH为平行四边形的对角线，由（3）可得P3（c，-2c），同理可得c=1，此时P2（1，-2）.
综上所述，当c=1时，抛物线上存在点P，使得以G，S，H，P为顶点的四边形是平行四边形.符合条件的点有P1（-2，7）、P2（3，2）、P3（1，-2）.
点评：此题既遵循了学生学习认知的规律，又遵循了数学演绎发展的规律，学生从简单到复杂，从特殊到一般，从结论的产生到结论的应用过程中来探索发现，提示共性规律，体现了课题学习倡导一种理念；在能力的考查方面，考查了学生的直觉思维，类比思维和创新能力，引导学生做课题学习，丰富了学生的探究问题的经验；渗透了数形结合思想、分类讨论和类比思想；试题呈现方式采用了从研究问题不同阶段来陈述，设问以平行四边形的顶点坐标系为主线，进行层层递进，最后完成探究的全过程，整题探究过程类似于发现定理.
二、模型归纳
细细品味，此题犹如一杯醇香的美酒，令人回味，更令人引发遐思与思索.笔者在教学中发现，解答一类与抛物线和平行四边形相关的综合性试题，运用该题的结论显得简捷、思路清晰.现把上述第（3）问的结论小结如下.
图6如图6无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A（xA，yA），B（xB， yB），C（xC，yC），D（xD，yD）时， 则四个顶点存在下列等量关系：
横坐标之间的等量关系为： xA+xC=xB+xD；
纵坐标之间的等量关系为： yA+yC=yB+yD.
三、模型运用
由于这类试题多以压轴题形式呈现，所涉及的知识比较多，题目综合性强，有些题目甚至比较难解.而应用这个结论来求解，往往能化难为易.
1. 联想应用
例1（2011年陕西省）如图7，二次函数y=213x2-113x的图象经过△AOC的三个顶点，其中A（-1，m） ，B（n，n）.
（1）求A、B的坐标；
（2）在坐标平面上找点C，使以A、O、B、C为顶点的四边形是平行四边形.
① 这样的点C有几个？
② 能否将抛物线y=213x2-113x平移后经过A、C两点，若能求出平移后经过A、C两点的一条抛物线的解析式；若不能，说明理由. 图7图8解：（1）因为y=213x2-113x的图象过点A（-1，m），所以m=213×（-1）2-113×（-1）=1，即m=1.同理：n=213n2-113n，解之，得n=0（舍去）或n=2.所以A（-1，1），B（2，2）.
（2）①存在这样的C点有3个.设C（x，y），由于B（2，2），O（0，0），A（-1，1）.根据上述结论，得：
①如图8，当C→B时，则须满足x+2=-1+0
y+2=1+0，解得x=-3
y=-1，所以C1（-3，-1）.
②如图8，当C→O时，则须满足x+0=2-1
y+0=2+1，解得x=1
y=3，所以C2（1，3）.
③如图8，当C→A时，则须满足x-1=2+0
y+1=2+0，解得x=3
y=1，所以C3（3，1）.
综上分析，满足条件的点C的坐标为C1（-3，-1）、C2（1，3）、C3（3，1）.②略.
评析：此题属于已知三个定点，探究平行四边形的第四个顶点的坐标问题.当三个点的坐标确定后，第四个顶点可直接应用上述结论建立关系，再通过计算得出所求坐标.运用此法的优点在于点C与其它顶点只有3种组合方式，不会产生漏解现象，且对学困生而言，能按“模型”索“答案”.由此可见，熟悉模型思想无疑对解决类似问题十分有益.
2. 拓展应用
（1）已知两个顶点（即x轴上的两个点），探究平行四边形的另两个顶点
例2 （2011年内江市）如图9抛物线y= 113x2-mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1）.且对称轴x=1.
（1）求出抛物线的解析式及A、B两点的坐标；
（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点D，使四边形ABDC的面积为3.若存在，求出点D的坐标；若不存在.说明理由（使用图9）；
（3）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标（使用图10）.
图9图10 解：（1）由题意易解得抛物线解析式为y=113x2-213x-1.再解得A（-1，0），B（3，0）.
（2）设在x轴下方的抛物线上存在D（a， 113a2-213a-1）（0
①如图12，当P→A时，则须满足m-1=3+0
n+0=0+y，解得m=4
n=y.由于点P在抛物线上，所以把点P （4，y）代入函数解析式，得y=113×42-213×4-1=513，即n =513，所以P1（4，513）.
②如图12，当P→B时，则须满足m+3=-1+0
n+0=0+y，解得m=-4
n=y.由于点P在抛物线上，所以把点P（-4，y）代入函数解析式，得y=113×（-4）2-213×（-4）-1=7，即n=7，所以P2（-4，7）.
③如图12，当P→Q时，则须满足m+0=-1+3
n+y=0+0，解得m=2
n=-y.由于点P在抛物线上，所以把点P（2，- y）代入函数解析式，得- y=113×22-213×2-1=-1，即n=- y =-1，所以P3（2，-1）.
综上分析，满足条件的点P的坐标为P1（4，513），P2（-4，7），P3（2，-1）.
评析：此题与例1有所不同，只已知两个点的坐标，另外两个点给出了一定的位置条件的限制，即要求的点P在抛物线上，点Q在x轴上，需先结合题目条件，运用类比迁移的方法，将不变的模型置身于变化的题目之中.所以其解题思路为：设点P坐标为（m，n）→运用上述结论，建立方程组→解得m，n的值代入函数解析式→最后求出点P坐标.试题综合性强，对学生动手能力、探究能力，以及分类讨论的数学思想的考查要求较高，很好地体现了新课改的理念.
（2）已知两顶点（即x轴上的点和抛物线上的点），探究平行四边形的另两个顶点.
通过以上几例不难看出，在解决有关抛物线与平行四边形的问题中，关键要灵活运用上述模型结论，形成模型的思想，以解决一个问题来贯通一类问题.解题时还要恰当地运用数形结合思想、方程思想、函数思想、分类讨论思想.因此，教师在平时的教学和复习中，寻找典型的中考试题或例习题，探索利用模型解决问题的新方法，启迪学生的数学智慧，培养学生的创新意识，提升学生的数学素养.唯有如此，学生在考试中遇到此类问题时才会“有法可依”，有思路、有方法，才能在中考中立于不败之地.