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摘 要： 本文应用微分方程对微信营销信息传播问题进行了分析，并对给出的数学模型做了改进.
关键词： 数学建模 数学模型 微分方程 信息传播
利用数学模型建模解决实际问题的过程，是通过数学语言把其转化成数学思维的过程.本文探讨了通过个人平台销售的微信营销的信息传播建模问题.
1.最简单的模型
某公司通过个人微信平台进行某品牌面膜的销售，在t时刻获知该产品信息的人数为I（t），每个获知者在单位时间内可以让K个人获知该产品信息.
假设：（1）一个获知者在单位时间内让他人获知的人数是常数；
（2）一人知情后，持续关注本产品信息.
由结果可知，这种信息传播是依照指数函数的趋势增加的，符合传播初期获知者依照指数函数增长.但是由于当t→ ∞时，I（t）→ ∞，这显然是不符合实际的.假设（1）就不是很合理，因为传播初期，获知者少，未获知的多，而在传播的中后期，获知者慢慢增多，未获知的逐渐减少，所以认为一获知者单位时间内让他人获知的人数是常数不合理.我们修改假设建立新模型.
2.改进的模型
原来的符号意义不变，用S（t）表达t时刻未获知者的人数，n为总人数.
假设：（1）一个获知者在单位时间里让他人获知的人数与此时未获知者人数成正比例关系，即K=θS（t）；
（2）一人知情后，持续关注本产品信息；
（3）总人数n不变，即S（t） I（t）=n.
由以上假设得微分方程
■=θS（t）I（t），S（t） I（t）=n，I（0）=i■.
用分离变量法得到解为
I（t）=■.（1）
令■=0得到极大值点为
t■=■（2）
由（2）式可知，当产品信息传播强度θ增加时，t■将变小，即产品信息传播的高峰将来得较快，与实际符合.同时，若知道传播强度θ，那么由（1）式可以得到传播高峰到来的时刻，其对企业做出合理决策有益.
但是，此模型仍有不足之处，由（1）式，当t→ ∞时，I（t）→n，即最后人人都能获知此品牌面膜产品信息，这又是不符合实际的，原因是在假设（2）中假定一人知情后持续关注本产品信息.所以模型还可以做进一步改进.
3.再修改的模型
因为有一部分获知者关注此产品一段时间后，可能不再关注或是会失去兴趣，转而关注其他产品，而且不是每个获知者都会把产品信息分享给其他人.
设获知者不再关注产品信息后，永久不再关注.这样，可把人群分为三类：（1）仍在关注此产品信息的获知者，他们具有传播性，时刻此类人数为B（t）；（2）未获知者，他们在未来一段时间有可能被获知，t时刻此类人数为J（t）；（3）获知者中不再关注且永久不再关注产品信息者和获知者中暂时不再关注产品信息者，t时刻此类人数为M（t）.记N是人口总数，r是传播率，γ是排除率.
假设：（1）总人口数相对地保持不变；
（2）未获知者人数的减少率与第一类人和第二类人的乘积成正比；
（3）第三类人的增加率与第一类人成正比；
（4）获知者的增加率是第二类人数的减少率减第三类人数的增加率.
由以上假设，得到微分方程组
，B（t）为增函数，此产品面膜信息将很快被传播；当J=ρ时，B（t）达到最大值，即此产品面膜信息被传播到最大值；若J<ρ，则此产品面膜信息将逐渐不会被传播.由于产品信息在各时段的传播速度不同，商家据此制订合理的生产计划，广告策略等一系列决策，达到最大效益.
参考文献：
[1]郭大伟.数学建模[M].合肥：安徽教育出版社，2009.1.
[2]赵静，但琦.数学建模与数学实验[M].3版.北京：高等教育出版社，2008.1.
[3]尚馥娟.微分方程研究经济问题的数学建模[J].商场现代化，2008.52.
[4]庄科俊，杨鹏辉.经济数学中微分方程案例教学的探索[J].重庆科技学院学报（自然科学版），2013.15（3）.
[5]王高雄，周之铭，等.常微分方程[M].3版.北京：高等教育出版社，2006.7.
关键词： 数学建模 数学模型 微分方程 信息传播
利用数学模型建模解决实际问题的过程，是通过数学语言把其转化成数学思维的过程.本文探讨了通过个人平台销售的微信营销的信息传播建模问题.
1.最简单的模型
某公司通过个人微信平台进行某品牌面膜的销售，在t时刻获知该产品信息的人数为I（t），每个获知者在单位时间内可以让K个人获知该产品信息.
假设：（1）一个获知者在单位时间内让他人获知的人数是常数；
（2）一人知情后，持续关注本产品信息.
由结果可知，这种信息传播是依照指数函数的趋势增加的，符合传播初期获知者依照指数函数增长.但是由于当t→ ∞时，I（t）→ ∞，这显然是不符合实际的.假设（1）就不是很合理，因为传播初期，获知者少，未获知的多，而在传播的中后期，获知者慢慢增多，未获知的逐渐减少，所以认为一获知者单位时间内让他人获知的人数是常数不合理.我们修改假设建立新模型.
2.改进的模型
原来的符号意义不变，用S（t）表达t时刻未获知者的人数，n为总人数.
假设：（1）一个获知者在单位时间里让他人获知的人数与此时未获知者人数成正比例关系，即K=θS（t）；
（2）一人知情后，持续关注本产品信息；
（3）总人数n不变，即S（t） I（t）=n.
由以上假设得微分方程
■=θS（t）I（t），S（t） I（t）=n，I（0）=i■.
用分离变量法得到解为
I（t）=■.（1）
令■=0得到极大值点为
t■=■（2）
由（2）式可知，当产品信息传播强度θ增加时，t■将变小，即产品信息传播的高峰将来得较快，与实际符合.同时，若知道传播强度θ，那么由（1）式可以得到传播高峰到来的时刻，其对企业做出合理决策有益.
但是，此模型仍有不足之处，由（1）式，当t→ ∞时，I（t）→n，即最后人人都能获知此品牌面膜产品信息，这又是不符合实际的，原因是在假设（2）中假定一人知情后持续关注本产品信息.所以模型还可以做进一步改进.
3.再修改的模型
因为有一部分获知者关注此产品一段时间后，可能不再关注或是会失去兴趣，转而关注其他产品，而且不是每个获知者都会把产品信息分享给其他人.
设获知者不再关注产品信息后，永久不再关注.这样，可把人群分为三类：（1）仍在关注此产品信息的获知者，他们具有传播性，时刻此类人数为B（t）；（2）未获知者，他们在未来一段时间有可能被获知，t时刻此类人数为J（t）；（3）获知者中不再关注且永久不再关注产品信息者和获知者中暂时不再关注产品信息者，t时刻此类人数为M（t）.记N是人口总数，r是传播率，γ是排除率.
假设：（1）总人口数相对地保持不变；
（2）未获知者人数的减少率与第一类人和第二类人的乘积成正比；
（3）第三类人的增加率与第一类人成正比；
（4）获知者的增加率是第二类人数的减少率减第三类人数的增加率.
由以上假设，得到微分方程组
，B（t）为增函数，此产品面膜信息将很快被传播；当J=ρ时，B（t）达到最大值，即此产品面膜信息被传播到最大值；若J<ρ，则此产品面膜信息将逐渐不会被传播.由于产品信息在各时段的传播速度不同，商家据此制订合理的生产计划，广告策略等一系列决策，达到最大效益.
参考文献：
[1]郭大伟.数学建模[M].合肥：安徽教育出版社，2009.1.
[2]赵静，但琦.数学建模与数学实验[M].3版.北京：高等教育出版社，2008.1.
[3]尚馥娟.微分方程研究经济问题的数学建模[J].商场现代化，2008.52.
[4]庄科俊，杨鹏辉.经济数学中微分方程案例教学的探索[J].重庆科技学院学报（自然科学版），2013.15（3）.
[5]王高雄，周之铭，等.常微分方程[M].3版.北京：高等教育出版社，2006.7.